13 Проверьте себя

Проверьте себя

Сначала выполните задания самостоятельно. В вычислительных пунктах подписывайте выбранный метод, а в заданиях на свойства указывайте, какое именно правило применяется.

  1. Для каких из матриц \(A\) и \(B\) определитель определён? Для тех, для которых он определён, вычислите его:

    \[A=\begin{pmatrix}1&2&3\\4&5&6\end{pmatrix} \qquad B=\begin{pmatrix}1&0&0\\2&1&0\\3&4&1\end{pmatrix}\]

  2. Для

    \[C=\begin{pmatrix}4&1\\2&3\end{pmatrix}\]

    найдите определитель и площадь параллелограмма, построенного на столбцах. Что произойдёт с определителем после перестановки столбцов?

  3. Вычислите по правилу Саррюса

    \[\begin{vmatrix} 1&0&2\\ 2&1&3\\ 0&4&-1 \end{vmatrix}\]

  4. Известно, что \(\det A=-5\). Матрицу \(B\) получают последовательно: переставляют две строки \(A\), затем умножают одну строку на \(-2\), затем прибавляют к другой строке утроенную первую. Найдите \(\det B\).

  5. Выполните три коротких задания.

    1. Найдите знак перестановки \(\sigma=(3,1,2)\).

    2. Для матриц \(A,B\in M_3(\mathbb R)\), где \(\det A=-2\) и \(\det B=5\), найдите \(\det(A^{\mathsf T}B)\) и \(\det(2A)\).

    3. Не вычисляя определитель, выберите самый короткий способ для матрицы

      \[E=\begin{pmatrix} 1&2&0&3\\ 0&4&5&6\\ 0&7&8&9\\ 0&1&2&3 \end{pmatrix}\]

  6. Для матрицы

    \[D=\begin{pmatrix} 2&0&1\\ 3&-1&4\\ 5&2&0 \end{pmatrix}\]

    найдите минор \(M_{23}\) и алгебраическое дополнение \(A_{23}\).

  7. Известно, что столбцы квадратной матрицы связаны равенством

    \[\mathbf{c}_3=2\mathbf{c}_1-\mathbf{c}_2\]

    Чему равен определитель и почему?

  8. У двух систем одинаковая матрица коэффициентов с нулевым определителем:

    \[\begin{cases}x+y=2\\2x+2y=4 \end{cases} \qquad \begin{cases}x+y=2\\2x+2y=5 \end{cases}\]

    Сколько решений имеет каждая система и почему формулы Крамера не различают эти случаи?

Краткие разборы к разделу «Проверьте себя».

  1. Матрица \(A\) прямоугольная, поэтому её определитель не определён. Матрица \(B\) квадратная и нижнетреугольная:

    \[\det B=1\cdot1\cdot1=1\]

  2. Матрица С - обычная:

    \[\det C=4\cdot3-1\cdot2=10\]

    Ориентированная площадь равна \(10\), обычная площадь — \(10\). После перестановки столбцов определитель станет равен \(-10\), а площадь не изменится.

  3. Разложим шесть произведений:

    \[\begin{align*} \det&=1\cdot1\cdot(-1)+0\cdot3\cdot0+2\cdot2\cdot4\\ &\quad-2\cdot1\cdot0-1\cdot3\cdot4-0\cdot2\cdot(-1)=\\ &=-1+0+16-0-12-0=3 \end{align*}\]

  4. Перестановка строк меняет \(-5\) на \(5\). Умножение одной строки на \(-2\) даёт \(-10\). Последующее прибавление кратной строки определитель не меняет. Поэтому

    \[\det B=-10\]

  5. a) В перестановке \((3,1,2)\) две инверсии: \((3,1)\) и \((3,2)\). Поэтому \(\operatorname{sgn}(\sigma)=(-1)^2=1\). b) Используем транспонирование, произведение и умножение матрицы порядка \(3\) на число:

    \[\det(A^{\mathsf T}B)=\det A\det B=(-2)\cdot5=-10\]
    \[\det(2A)=2^3\det A=8\cdot(-2)=-16\]

    c) В первом столбце матрицы \(E\) только один ненулевой элемент. Поэтому короче всего разложить определитель по первому столбцу и перейти к определителю порядка \(3\).

После вычёркивания второй строки и третьего столбца остаётся матрица

\[\begin{pmatrix}2&0\\5&2\end{pmatrix}\]

Поэтому

\[M_{23}=2\cdot2-0\cdot5=4 \qquad A_{23}=(-1)^{2+3}M_{23}=-4\]

Третий столбец выражается через первые два, значит, столбцы линейно зависимы. По критерию

\[\det A=0\]

В первой системе второе уравнение является удвоенным первым, поэтому решений бесконечно много: \(y=2-x\). Во второй системе левые части пропорциональны, а правые — нет, поэтому после вычитания возникает противоречие \(0=1\) и решений нет. В обоих случаях \(\Delta=0\), а делить на него в формулах Крамера нельзя; различие обнаруживает расширенная матрица.