8 Миноры и разложение определителя

Миноры и разложение определителя

Приведение к треугольному виду удобно для плотных матриц. Если же в строке или столбце много нулей, быстрее уменьшить порядок определителя с помощью миноров.

Знаки алгебраических дополнений располагаются в шахматном порядке, начиная с плюса в левом верхнем углу:

\[\begin{pmatrix} +&-&+&- &\cdots\\ -&+&-&+ &\cdots\\ +&-&+&- &\cdots\\ -&+&-&+ &\cdots\\ \vdots&\vdots&\vdots&\vdots&\ddots \end{pmatrix}\]

Рассмотрим матрицу

\[A=\begin{pmatrix} 2&1&4\\ 0&3&0\\ -1&3&7 \end{pmatrix}\]

и найдём минор элемента \(a_{23}=0\).

Сам элемент \(a_{23}\) равен нулю, но его минор и алгебраическое дополнение всё равно определены. Мы выбираем эту позицию специально, чтобы увидеть на ней отрицательный шахматный знак.

После вычёркивания строки и столбца остаётся матрица минора

Получаем

\[M_{23}=\begin{vmatrix}2&1\\-1&3\end{vmatrix}=2\cdot3-1\cdot(-1)=7\]

но позиция \((2,3)\) имеет отрицательный знак, поэтому

\[A_{23}=(-1)^{2+3}M_{23}=-7\]

Для сравнения, у элемента \(a_{22}=3\) знак положительный:

\[M_{22}=\begin{vmatrix}2&4\\-1&7\end{vmatrix}=18 \qquad A_{22}=18\]

Механизм формулы виден из общего определения: сгруппируем все слагаемые по тому, какой элемент \(a_{ij}\) выбран из фиксированной \(i\)-й строки. После вынесения \(a_{ij}\) оставшаяся сумма с нужным знаком образует его алгебраическое дополнение \(A_{ij}\).