14 Решения самостоятельных задач
Решения самостоятельных задач
Задача 1. Матрица со столбцами \(\mathbf{u}\) и \(\mathbf{v}\) имеет вид \[A=\begin{pmatrix}4&2\\1&3\end{pmatrix}\] Тогда \[\det(\mathbf{u},\mathbf{v})=4\cdot3-2\cdot1=10\] Площадь параллелограмма равна \(|10|=10\). После перестановки столбцов определитель меняет знак: \[\det(\mathbf{v},\mathbf{u})=-10\] |
Задача 2. По правилу Саррюса сумма трёх произведений, входящих в формулу со знаком «плюс», равна \[2\cdot4\cdot(-2)+(-1)\cdot1\cdot5+3\cdot0\cdot2=-16-5+0=-21\] Сумма произведений, которые нужно вычесть, равна \[3\cdot4\cdot5+2\cdot1\cdot2+(-1)\cdot0\cdot(-2)=60+4+0=64\] Следовательно, \[\begin{vmatrix}
2&-1&3\\
0&4&1\\
5&2&-2
\end{vmatrix}
=-21-64=-85\] |
Задача 3. Выполним преобразования, не меняющие определитель: \[R_2\leftarrow R_2-2R_1
\qquad
R_4\leftarrow R_4-R_1\] Получаем \[\begin{vmatrix}
1&1&0&2\\
0&1&1&1\\
0&1&2&1\\
0&1&1&2
\end{vmatrix}\] Теперь выполним \[R_3\leftarrow R_3-R_2
\qquad
R_4\leftarrow R_4-R_2\] Матрица становится верхнетреугольной: \[\begin{vmatrix}
1&1&0&2\\
0&1&1&1\\
0&0&1&0\\
0&0&0&1
\end{vmatrix}
=1\cdot1\cdot1\cdot1=1\] |
Задача 4. Удобно раскрыть по третьему столбцу. В нём ненулевой только элемент \(a_{13}=3\), а знак позиции \((1,3)\) положителен: \[\begin{align*}
\begin{vmatrix}
1&2&3\\
-2&4&0\\
5&1&0
\end{vmatrix}
&=3(-1)^{1+3}
\begin{vmatrix}-2&4\\5&1\end{vmatrix}=\\
&=3\bigl((-2)\cdot1-4\cdot5\bigr)
=3(-22)=-66
\end{align*}\] |
Задача 5. Главный определитель равен \[\Delta=\begin{vmatrix}1&1\\2&-1\end{vmatrix}=1\cdot(-1)-1\cdot2=-3\] Он не равен нулю, поэтому формулы Крамера применимы: \[\Delta_x=\begin{vmatrix}5&1\\1&-1\end{vmatrix}=5\cdot(-1)-1\cdot1=-6\] \[\Delta_y=\begin{vmatrix}1&5\\2&1\end{vmatrix}=1\cdot1-5\cdot2=-9\] Следовательно, \[x=\frac{-6}{-3}=2
\qquad
y=\frac{-9}{-3}=3\] Проверка: \[2+3=5
\qquad
2\cdot2-3=1\] |