Определитель третьего порядка и правило Саррюса Для матрицы \(3\times3\) в определителе уже шесть произведений: три входят со знаком плюс и три — со знаком минус. Запомнить их помогает правило Саррюса.
Пусть
\[A=\begin{pmatrix}
a_{11}&a_{12}&a_{13}\\
a_{21}&a_{22}&a_{23}\\
a_{31}&a_{32}&a_{33}
\end{pmatrix}\]
Справа мысленно приписывают первые два столбца и проводят три нисходящие и три восходящие диагонали.
Правило Саррюса: произведения вдоль нисходящих диагоналей складываем, а произведения вдоль восходящих диагоналей вычитаем Получается формула
\[\begin{align*}
\det A={}&a_{11}a_{22}a_{33}+a_{12}a_{23}a_{31}+a_{13}a_{21}a_{32}\\
&-a_{13}a_{22}a_{31}-a_{11}a_{23}a_{32}-a_{12}a_{21}a_{33}
\end{align*}\]
Пример
Вычислим определитель
\[\det A=
\begin{vmatrix}
1&2&3\\
2&2&4\\
3&1&2
\end{vmatrix}\]
По правилу Саррюса
\[\begin{align*}
\det A={}&1\cdot2\cdot2+2\cdot4\cdot3+3\cdot2\cdot1\\
&-3\cdot2\cdot3-1\cdot4\cdot1-2\cdot2\cdot2=\\
={}&4+24+6-18-4-8=4
\end{align*}\]
Знак результата важен: ориентированный объём равен \(4\) , а обычный объём соответствующего параллелепипеда равен \(|4|=4\) .
Типичная ошибка
Правило Саррюса работает только для матриц \(3\times3\) . Приписывание столбцов к матрице четвёртого или большего порядка не даёт все необходимые произведения и не является формулой определителя. Для больших порядков используют свойства, приведение к треугольному виду или разложение по строке и столбцу.
Задача
Вычислите по правилу Саррюса
\[\begin{vmatrix}
2&-1&3\\
0&4&1\\
5&2&-2
\end{vmatrix}\]
Отдельно вычислите три слагаемых, входящих в формулу со знаком «плюс», и три слагаемых, которые вычитаются.
