10 Нулевой определитель и линейная зависимость

Нулевой определитель и линейная зависимость

Геометрически нулевой определитель означает, что параллелограмм или параллелепипед сплющился. Алгебраически это означает, что строки или столбцы содержат избыточную информацию.

Векторы $\mathbf{v}_1,\ldots,\mathbf{v}_n$ называются линейно зависимыми, если существуют числа $\alpha_1,\ldots,\alpha_n$ , не все равные нулю, для которых

\alpha_1\mathbf{v}_1+\cdots+\alpha_n\mathbf{v}_n=\mathbf{0}

Иначе векторы линейно независимы. Подробно это понятие будет изучено в статье о векторных пространствах; здесь нам нужен его вычислительный критерий.

Пусть столбцы $\mathbf{c}_1,\ldots,\mathbf{c}_n$ линейно зависимы. Тогда

\alpha_1\mathbf{c}_1+\cdots+\alpha_n\mathbf{c}_n=\mathbf{0}, \qquad \text{не все }\alpha_i\text{ равны нулю}.

Выберем $\alpha_k\ne0$ . Тогда

\mathbf{c}_k=-\sum_{j\ne k}\frac{\alpha_j}{\alpha_k}\mathbf{c}_j.

Значит, при линейной зависимости один из столбцов действительно выражается через остальные.

Если один столбец является линейной комбинацией остальных, из него можно вычесть эту комбинацию и получить нулевой столбец. Прибавление кратных столбцов определитель не меняет, а матрица с нулевым столбцом имеет нулевой определитель.

Обратное направление удобно связать с однородной системой. Равенство

A\mathbf{x}=\mathbf{0}

означает линейную комбинацию столбцов матрицы $A$ с коэффициентами из $\mathbf{x}$ .

Пусть $\det A=0$ . При элементарных преобразованиях нулевой определитель остаётся нулевым: перестановка строк меняет только знак, умножение строки на ненулевое число умножает значение на ненулевой множитель, а прибавление кратной строки определитель не меняет. Значит, после приведения к верхнетреугольному ступенчатому виду полученная матрица тоже имеет нулевой определитель. Он равен произведению диагональных элементов, поэтому хотя бы один из них нулевой и всех $n$ ведущих элементов быть не может.

Следовательно, появляется свободная переменная, и однородная система имеет ненулевое решение $\mathbf{x}\ne\mathbf{0}$ . Его координаты дают нетривиальную линейную зависимость столбцов.