6 Основные свойства определителя

Основные свойства определителя

Свойства позволяют вычислять определитель без раскрытия всех $n!$ произведений. Они также показывают, какие привычные арифметические правила здесь работают, а какие — нет.

\boxed{\det(AB)=\det A\cdot\det B}

У каждого свойства есть понятный механизм.

Единичная матрица. Она оставляет единичный квадрат или параллелепипед неизменным, поэтому коэффициент изменения площади или объёма равен $1$ .

Транспонирование. В общей формуле строки и столбцы меняются ролями. Каждому произведению для $A$ соответствует произведение с тем же набором множителей и тем же знаком для $A^{\mathsf T}$ , поэтому значение не меняется.

Произведение. Для порядков $2$ и $3$ механизм особенно хорошо виден геометрически. Сначала умножение на $B$ изменяет ориентированную площадь или объём в $\det B$ раз, затем умножение на $A$ — ещё в $\det A$ раз. Последовательному действию соответствует матрица $AB$ , поэтому общий коэффициент равен произведению $\det A\det B$ .

Умножение на число. Степень $n$ появляется потому, что при умножении всей матрицы на $\lambda$ множитель входит в каждую из $n$ строк. Если умножить на $\lambda$ только одну строку, определитель умножится лишь на $\lambda$ .

Из мультипликативности сразу следует

\det(A^k)=(\det A)^k \qquad k=1,2,\ldots

При этом порядок множителей в матричном произведении важен для самой матрицы, но не для её определителя:

\det(AB)=\det A\det B=\det B\det A=\det(BA)

Для одной выбранной строки при неизменных остальных строках выполняется формула

\det(\ldots,\alpha\mathbf{u}+\beta\mathbf{v},\ldots) = \alpha\det(\ldots,\mathbf{u},\ldots) + \beta\det(\ldots,\mathbf{v},\ldots).

Та же формула верна для одного выбранного столбца при неизменных остальных столбцах. Именно эта линейность вместе со сменой знака при перестановке строк лежит в основе многих вычислительных правил.