2 Определитель как ориентированная площадь и объём

Определитель как ориентированная площадь и объём

Матрица хранит числа, а определитель сопоставляет всей квадратной таблице одно число. Сначала разберём геометрический смысл этого числа, затем получим формулы для вычисления.

На плоскости матрица

A=\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}\mathbf{u}&\mathbf{v}\end{pmatrix}

переводит стандартные столбцы

\mathbf{e}_1=\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix} \qquad \mathbf{e}_2=\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}

в свои столбцы: $A\mathbf{e}_1=\mathbf{u}$ и $A\mathbf{e}_2=\mathbf{v}$ . Поэтому единичный квадрат со сторонами $\mathbf{e}_1,\mathbf{e}_2$ превращается в параллелограмм со сторонами $\mathbf{u},\mathbf{v}$ .

Для пары столбцов будем использовать запись $\det(\mathbf u,\mathbf v)$ : это определитель матрицы, в которой первым столбцом служит $\mathbf u$ , а вторым — $\mathbf v$ . Для двух ненулевых неколлинеарных векторов на плоскости порядок $(\mathbf u,\mathbf v)$ считаем положительным, если кратчайший поворот от первого вектора ко второму идёт против часовой стрелки. После перестановки векторов направление поворота меняется, поэтому определитель получает противоположный знак.

LaTeX — Матрица превращает единичный квадрат в параллелограмм: модуль определителя задаёт площадь, порядок столбцов задаёт знак, а зависимые столбцы сплющивают фигуру в отрезок

Знак зависит от порядка векторов. Если поменять два столбца местами, геометрическая фигура сохранится, но её ориентация изменится, поэтому определитель поменяет знак. В $\mathbb R^2$ два столбца на одной прямой, проходящей через начало координат, дают нулевую площадь; в $\mathbb R^3$ три столбца в одной плоскости, проходящей через начало координат, дают нулевой объём.

Две роли одного числа.

Модуль определителя отвечает за масштабирование площади или объёма. Если $\det A>0$ , ориентация сохраняется; если $\det A<0$ , меняется на противоположную; если $\det A=0$ , фигура сплющивается в объект меньшей размерности. В $\mathbb R^3$ знак аналогично кодирует ориентацию упорядоченной тройки столбцов; при перестановке двух столбцов знак меняется. Поэтому в геометрической задаче на обычную площадь берут $|\det A|$ , а в алгебраических формулах сохраняют знак $\det A$ .