11 Формулы Крамера

Формулы Крамера

Формулы Крамера дают способ решить квадратную систему при \(\det A\ne0\); в этом случае решение существует и единственно. Они особенно наглядны для двух или трёх неизвестных.

Пусть система записана в виде

\[A\mathbf{x}=\mathbf{b} \qquad A=\begin{pmatrix}\mathbf{a}_1&\cdots&\mathbf{a}_n\end{pmatrix} \qquad \mathbf{x}=\begin{pmatrix}x_1\\\vdots\\x_n\end{pmatrix}\]

Обозначим

\[\Delta=\det A\]

Через \(A_k\) обозначим матрицу, в которой \(k\)-й столбец матрицы коэффициентов заменён столбцом правых частей \(\mathbf{b}\), а через \(\Delta_k=\det A_k\) — её определитель.

LaTeX
Матрицу \(A_k\) получают заменой \(k\)-го столбца матрицы \(A\) столбцом правых частей \(\mathbf b\), после чего вычисляют \(\Delta_k=\det A_k\)

Почему формула Крамера имеет такой вид. Теорема выше утверждает существование и единственность решения; здесь разберём механизм самой формулы. Матричное равенство \(A\mathbf{x}=\mathbf{b}\) означает

\[\mathbf{b}=x_1\mathbf{a}_1+\cdots+x_n\mathbf{a}_n\]

Подставим эту сумму вместо \(k\)-го столбца и воспользуемся линейностью определителя по столбцу. Все слагаемые, кроме одного, содержат два одинаковых столбца и обращаются в нуль. Остаётся

\[\Delta_k=x_k\Delta\]

откуда при \(\Delta\ne0\) получается формула \(x_k=\dfrac{\Delta_k}{\Delta}\).