2 Что означает «деление» на матрицу

Что означает «деление» на матрицу

Для ненулевого числа $a$ деление на $a$ означает умножение на обратное число:

\frac{x}{a}=x\cdot a^{-1}, \qquad aa^{-1}=a^{-1}a=1

С матрицами идея та же, но есть две особенности. Во-первых, не каждая ненулевая матрица обратима. Во-вторых, умножение матриц некоммутативно: умножить на обратную матрицу слева и справа — разные действия.

Условия нужны с обеих сторон: матрица $A^{-1}$ должна отменять действие $A$ независимо от порядка их композиции. Геометрически $A$ выполняет обратимое линейное преобразование, а $A^{-1}$ возвращает каждый результат в исходное положение:

\mathbf{x}\xmapsto{\ A\ }A\mathbf{x} \xmapsto{\ A^{-1}\ }\mathbf{x}

На следующей схеме используется матрица $A=\begin{pmatrix}2&1\\1&1\end{pmatrix}$ , которая появится в первом примере.

LaTeX — Матрица $A$ переводит единичный квадрат в параллелограмм, а $A^{-1}$ возвращает его обратно

Действительно,

B=BI_n=B(AC)=(BA)C=I_nC=C

Поэтому обозначение $A^{-1}$ однозначно.

Пример

Пусть

A=\begin{pmatrix}2&1\\1&1\end{pmatrix}, \qquad B=\begin{pmatrix}1&-1\\-1&2\end{pmatrix}

Проверим оба произведения:

\begin{aligned} AB &= \begin{pmatrix}2&1\\1&1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}1&-1\\-1&2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2\cdot1+1\cdot(-1)&2\cdot(-1)+1\cdot2\\ 1\cdot1+1\cdot(-1)&1\cdot(-1)+1\cdot2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix} \end{aligned}

\begin{aligned} BA &= \begin{pmatrix}1&-1\\-1&2\end{pmatrix} \begin{pmatrix}2&1\\1&1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1\cdot2+(-1)\cdot1&1\cdot1+(-1)\cdot1\\ (-1)\cdot2+2\cdot1&(-1)\cdot1+2\cdot1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix} \end{aligned}

Следовательно,

A^{-1}=\begin{pmatrix}1&-1\\-1&2\end{pmatrix}