Пусть
\[A=\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix},
\qquad
B=\begin{pmatrix}2&0\\0&3\end{pmatrix}\]
Проверим указанную обратную матрицу для \(A\):
\[\begin{aligned}
A\begin{pmatrix}1&-1\\0&1\end{pmatrix}
&=
\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}1&-1\\0&1\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
1\cdot1+1\cdot0&1\cdot(-1)+1\cdot1\\
0\cdot1+1\cdot0&0\cdot(-1)+1\cdot1
\end{pmatrix}
=I_2
\end{aligned}\]
Следовательно,
\[A^{-1}=\begin{pmatrix}1&-1\\0&1\end{pmatrix}\]
Для диагональной матрицы \(B\) ненулевые диагональные элементы обращаются по отдельности. Проверка имеет вид
\[\begin{aligned}
B\begin{pmatrix}\tfrac12&0\\0&\tfrac13\end{pmatrix}
&=
\begin{pmatrix}2&0\\0&3\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}\tfrac12&0\\0&\tfrac13\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
2\cdot\tfrac12+0\cdot0&2\cdot0+0\cdot\tfrac13\\
0\cdot\tfrac12+3\cdot0&0\cdot0+3\cdot\tfrac13
\end{pmatrix}
=I_2
\end{aligned}\]
Поэтому
\[B^{-1}=\begin{pmatrix}\tfrac12&0\\0&\tfrac13\end{pmatrix}\]
Теперь вычислим произведение \(AB\):
\[\begin{aligned}
AB
&=
\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}2&0\\0&3\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
1\cdot2+1\cdot0&1\cdot0+1\cdot3\\
0\cdot2+1\cdot0&0\cdot0+1\cdot3
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}2&3\\0&3\end{pmatrix}
\end{aligned}\]
По правилу обращения произведения сначала умножаем \(B^{-1}\) на \(A^{-1}\):
\[\begin{aligned}
(AB)^{-1}
&=B^{-1}A^{-1}=\\
&=
\begin{pmatrix}\tfrac12&0\\0&\tfrac13\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}1&-1\\0&1\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
\tfrac12\cdot1+0\cdot0&\tfrac12\cdot(-1)+0\cdot1\\
0\cdot1+\tfrac13\cdot0&0\cdot(-1)+\tfrac13\cdot1
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}\tfrac12&-\tfrac12\\0&\tfrac13\end{pmatrix}
\end{aligned}\]
Если порядок не изменить, получится другая матрица:
\[\begin{aligned}
A^{-1}B^{-1}
&=
\begin{pmatrix}1&-1\\0&1\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}\tfrac12&0\\0&\tfrac13\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
1\cdot\tfrac12+(-1)\cdot0&1\cdot0+(-1)\cdot\tfrac13\\
0\cdot\tfrac12+1\cdot0&0\cdot0+1\cdot\tfrac13
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}\tfrac12&-\tfrac13\\0&\tfrac13\end{pmatrix}
\end{aligned}\]
Она не равна \((AB)^{-1}\).
