15 Итог

Итог

Обратная матрица превращает идею деления в корректную матричную операцию. Она существует не для всякой матрицы, а для квадратной матрицы условие существования равносильно ненулевому определителю, полному набору главных позиций в методе Гаусса и единственности решения каждой системы $A\mathbf{x}=\mathbf{b}$ .

Понятие или ситуация	Что нужно помнить
Обратная матрица	$AA^{-1}=A^{-1}A=I_n$
Вырожденная матрица	Обратной матрицы не существует
Левая обратная	$LA=I_n$ ; для прямоугольных матриц не обязана быть правой
Правая обратная	$AR=I_m$ ; для прямоугольных матриц может быть неединственной
Критерий	$A^{-1}$ существует тогда и только тогда, когда $\det A\ne0$
Произведение	$(AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}$
Гаусс–Жордан	$(A\mid I_n)\longmapsto(I_n\mid A^{-1})$
Присоединённая матрица	$A^{-1}=(\det A)^{-1}\widehat{A}$
Элементарные матрицы	Записывают строковые преобразования как умножение слева
$AX=B$	$X=A^{-1}B$
$XA=B$	$X=BA^{-1}$
Несколько систем	Собрать правые части в $B$ и решить одно уравнение $AX=B$

Перед обращением матрицы проверьте три вещи: квадратна ли она, ненулевой ли её определитель и действительно ли для задачи нужна вся обратная матрица. При решении матричного уравнения добавляется четвёртый вопрос: с какой стороны стоит неизвестная?

В следующей статье мы перейдём от матричных преобразований к векторам и аналитической геометрии: длинам, углам, произведениям, прямым и плоскостям.