6 Метод Гаусса–Жордана
Метод Гаусса–Жордана
Метод Гаусса–Жордана одновременно проверяет обратимость и строит обратную матрицу. Идея состоит в решении матричного уравнения
\[AX=I_n\]
Столбцы неизвестной матрицы \(X\) являются решениями \(n\) систем с одной и той же матрицей коэффициентов \(A\).
Почему алгоритм работает? Запишем
\[I_n=\begin{pmatrix}\mathbf{e}_1&\cdots&\mathbf{e}_n\end{pmatrix},
\qquad
X=\begin{pmatrix}\mathbf{x}_1&\cdots&\mathbf{x}_n\end{pmatrix}\]
Тогда уравнение \(AX=I_n\) означает сразу \(n\) систем
\[A\mathbf{x}_1=\mathbf{e}_1,
\quad\ldots,\quad
A\mathbf{x}_n=\mathbf{e}_n\]
У всех систем одна матрица коэффициентов, поэтому одинаковые строковые преобразования можно выполнить одновременно над \((A\mid I_n)\). Если получено \((I_n\mid X)\), то столбцы \(X\) являются решениями этих систем и \(AX=I_n\). Поскольку \(A\) квадратная, следствие об односторонней обратимости даёт \(X=A^{-1}\). Поэтому
\[\boxed{(A\mid I_n)\longmapsto(I_n\mid A^{-1})}\]