13 Проверьте себя

Проверьте себя

Сначала ответьте самостоятельно. В вычислительных пунктах укажите не только результат, но и условие, при котором используемая формула допустима.

  1. Может ли матрица размера \(3\times2\) иметь левую обратную? правую обратную? двустороннюю обратную?

  2. Пусть \(A,B\in M_n(\mathbb{R})\) и \(AB=I_n\). Следует ли отсюда \(BA=I_n\)?

  3. Известно, что \(\det A=-4\). Чему равен \(\det(A^{-1})\)? Затем найдите обратную матрицу к

    \[D= \begin{pmatrix} 2&0&0\\ 0&-1&0\\ 0&0&\tfrac13 \end{pmatrix}\]

  4. Запишите без доказательства формулы для \((ABC)^{-1}\) и \((A^{\mathsf T})^{-1}\).

  5. Пусть \(C=(C_{ij})\) — матрица алгебраических дополнений матрицы \(A\). Как из \(C\) получить \(\widehat{A}\) и куда при этом перейдёт элемент \(C_{ij}\)?

  6. Матрицы \(P\) и \(Q\) обратимы. Выразите \(X\) из уравнения

    \[PXQ=C\]

  7. Что можно сказать о матрице \(A\), если после преобразований \((A\mid I_n)\) левая половина содержит нулевую строку?

  8. Как собрать три правые части \(\mathbf{b}_1,\mathbf{b}_2,\mathbf{b}_3\) в одну матрицу \(B\)? Что означают столбцы матрицы \(X\), полученной после преобразования \((A\mid B)\) к виду \((I_n\mid X)\)?

Краткие разборы к разделу «Проверьте себя».

  1. Левая обратная возможна: у матрицы два столбца в \(\mathbb{R}^3\), и они могут быть линейно независимы. Правая обратная невозможна, потому что два входных направления не могут охватить всё \(\mathbb{R}^3\). Двусторонней обратной у прямоугольной матрицы нет.

  2. Да. Из

    \[\det A\cdot\det B=\det I_n=1\]

    следует \(\det A\ne0\). Поэтому \(A\) обратима, \(B=A^{-1}\) и \(BA=I_n\). Для прямоугольных матриц такое заключение неверно.

  3. Матрица \(A\) обратима, и

    \[\det(A^{-1})=\frac{1}{\det A}=-\frac14\]

    У диагональной матрицы обращается каждый ненулевой диагональный элемент, поэтому

    \[D^{-1}= \begin{pmatrix} \tfrac12&0&0\\ 0&-1&0\\ 0&0&3 \end{pmatrix}\]

  4. Обращение меняет порядок всех множителей:

    \[(ABC)^{-1}=C^{-1}B^{-1}A^{-1}, \qquad (A^{\mathsf T})^{-1}=(A^{-1})^{\mathsf T}\]

  5. Нужно транспонировать матрицу алгебраических дополнений:

    \[\widehat{A}=C^{\mathsf T}, \qquad C_{ij}=(\widehat{A})_{ji}\]

  6. Умножаем слева на \(P^{-1}\), а справа на \(Q^{-1}\):

    \[X=P^{-1}CQ^{-1}\]

  7. Левую половину невозможно довести до \(I_n\). Следовательно, \(A\) вырождена, \(\det A=0\) и \(A^{-1}\) не существует.

  8. Правые части записывают столбцами:

    \[B=\begin{pmatrix}\mathbf{b}_1&\mathbf{b}_2&\mathbf{b}_3\end{pmatrix}\]

    Если \((A\mid B)\) приведена к \((I_n\mid X)\), то \(i\)-й столбец \(X\) является решением системы \(A\mathbf{x}_i=\mathbf{b}_i\).