В предыдущей статье были введены миноры и алгебраические дополнения. Напомним обозначения. После вычёркивания \(i\)-й строки и \(j\)-го столбца остаётся квадратная подматрица. Её определитель \(M_{ij}\) называется минором элемента \(a_{ij}\), а число
\[C_{ij}=(-1)^{i+j}M_{ij}\]
называется алгебраическим дополнением элемента \(a_{ij}\).
В предыдущей статье алгебраическое дополнение обозначалось \(A_{ij}\). Здесь, чтобы не путать его с исходной матрицей \(A=(a_{ij})\), будем обозначать его \(C_{ij}\).
Присоединённая матрица \(\widehat{A}\) существует для любой квадратной матрицы \(A\): для её построения нужны только миноры и алгебраические дополнения. Обратная матрица \(A^{-1}\) существует уже не всегда; формула через \(\widehat{A}\) применима только при \(\det A\ne0\).
Транспонирование в определении принципиально:
\[(\widehat{A})_{ij}=C_{ji}\]
Рассмотрим механизм этого тождества для матрицы порядка \(3\). Первый диагональный элемент произведения равен
Последняя сумма является разложением определителя матрицы, в которой вторая строка заменена первой. В ней две одинаковые строки, поэтому определитель равен нулю. Аналогично вычисляются остальные элементы, и
