8 Матрицы элементарных преобразований

Матрицы элементарных преобразований

Теперь посмотрим на алгоритм Гаусса–Жордана с другой стороны: каждое строковое преобразование можно записать отдельной матрицей. Такая матрица получается применением соответствующего преобразования к единичной матрице.

Преобразование	Действие $E$	Действие $E^{-1}$
$R_i\leftrightarrow R_j$	Переставляет строки	Та же перестановка
$R_i\leftarrow\lambda R_i$ , $\lambda\ne0$	Умножает строку на $\lambda$	Умножает её на $1/\lambda$
$R_j\leftarrow R_j+\mu R_i$	Прибавляет $\mu R_i$	Прибавляет $-\mu R_i$

Все элементарные матрицы обратимы: обратная матрица просто выполняет отменяющее преобразование.

Механизм левого умножения виден уже на двух строках. Если

A= \begin{pmatrix} \mathbf{r}_1\\ \mathbf{r}_2 \end{pmatrix}, \qquad E= \begin{pmatrix} 1&0\\ -2&1 \end{pmatrix},

то

EA= \begin{pmatrix} \mathbf{r}_1\\ \mathbf{r}_2-2\mathbf{r}_1 \end{pmatrix}

Таким образом, умножение на $E$ слева выполняет преобразование $R_2\leftarrow R_2-2R_1$ .

Пример

Снова рассмотрим

A=\begin{pmatrix}2&1\\1&1\end{pmatrix}

Приведём её к единичной матрице:

\begin{aligned} R_1&\leftrightarrow R_2,\\ R_2&\leftarrow R_2-2R_1,\\ R_2&\leftarrow-R_2,\\ R_1&\leftarrow R_1-R_2 \end{aligned}

Этим шагам соответствуют матрицы

\begin{gathered} E_1=\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}, \qquad E_2=\begin{pmatrix}1&0\\-2&1\end{pmatrix},\\ E_3=\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}, \qquad E_4=\begin{pmatrix}1&-1\\0&1\end{pmatrix} \end{gathered}

Последовательные левые умножения дают цепочку

\begin{aligned} A &\xrightarrow{E_1} E_1A=\begin{pmatrix}1&1\\2&1\end{pmatrix} \xrightarrow{E_2} E_2E_1A=\begin{pmatrix}1&1\\0&-1\end{pmatrix}\xrightarrow{E_3}\\ &\xrightarrow{E_3} E_3E_2E_1A=\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix} \xrightarrow{E_4} E_4E_3E_2E_1A=I_2 \end{aligned}

Те же действия над единичной матрицей накапливают обратную:

\begin{aligned} I_2 &\xrightarrow{E_1} E_1=\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix} \xrightarrow{E_2} E_2E_1=\begin{pmatrix}0&1\\1&-2\end{pmatrix}\xrightarrow{E_3}\\ &\xrightarrow{E_3} E_3E_2E_1=\begin{pmatrix}0&1\\-1&2\end{pmatrix} \xrightarrow{E_4} E_4E_3E_2E_1= \begin{pmatrix}1&-1\\-1&2\end{pmatrix}=A^{-1} \end{aligned}

Так как

E_4E_3E_2E_1A=I_2,

то

A^{-1}=E_4E_3E_2E_1 = \begin{pmatrix}1&-1\\-1&2\end{pmatrix}

Если $E_k\cdots E_1A=I_n$ , то

A^{-1}=E_k\cdots E_1, \qquad A=E_1^{-1}\cdots E_k^{-1}

Так метод Гаусса–Жордана не только вычисляет обратную матрицу, но и неявно раскладывает её в произведение простых обратимых преобразований.