3 Левая и правая обратимость

Левая и правая обратимость

Для прямоугольной матрицы два порядка умножения дают единичные матрицы разных размеров. Поэтому полезно сначала разделить понятия левой и правой обратимости.

Размеры всех произведений удобно собрать в одной таблице:

Матрица	Размер
$A$	$m\times n$
$L$ и $R$	$n\times m$
$LA$	$n\times n$
$AR$	$m\times m$

Смысл двух условий удобно показать стрелочными схемами:

\mathbb{R}^n \xrightarrow{\ A\ } \mathbb{R}^m \xrightarrow{\ L\ } \mathbb{R}^n, \qquad LA=I_n

Левая обратная должна вернуть каждый исходный вход. Для правой обратной порядок действий другой:

\mathbb{R}^m \xrightarrow{\ R\ } \mathbb{R}^n \xrightarrow{\ A\ } \mathbb{R}^m, \qquad AR=I_m

Правая обратная должна позволить получить любой требуемый выход.

Равенство $LA=I_n$ означает, что после исключения Гаусса главная позиция должна появиться в каждом столбце $A$ . Поэтому левая обратная возможна только при $m\ge n$ . Равенство $AR=I_m$ требует главной позиции в каждой строке $A$ , поэтому правая обратная возможна только при $n\ge m$ . Для прямоугольных матриц эти свойства не обязаны совпадать, а односторонних обратных может быть много.

Обе стороны одновременно возможны только при $m=n$ .

Доказательство помещается в одну цепочку:

L=LI_m=L(AR)=(LA)R=I_nR=R

Вместе с ограничениями на размеры это означает, что двусторонняя обратимость возможна только для квадратной матрицы.