Уравнения \(AX=B\) и \(XA=B\) Именно здесь видно, почему у матриц нет одного универсального знака деления. Положение неизвестной матрицы определяет, с какой стороны нужно умножать на \(A^{-1}\) .
Первую формулу получают умножением слева:
\[A^{-1}(AX)=A^{-1}B
\quad\Longrightarrow\quad
X=A^{-1}B\]
Во втором уравнении умножать нужно справа:
\[(XA)A^{-1}=BA^{-1}
\quad\Longrightarrow\quad
X=BA^{-1}\]
Пример
Пусть
\[A=\begin{pmatrix}2&1\\1&1\end{pmatrix},
\qquad
A^{-1}=\begin{pmatrix}1&-1\\-1&2\end{pmatrix},
\qquad
B=\begin{pmatrix}5&1\\3&0\end{pmatrix}\]
Для уравнения \(AX=B\)
\[\begin{aligned}
X=A^{-1}B=\\
=
\begin{pmatrix}1&-1\\-1&2\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}5&1\\3&0\end{pmatrix}
&=
\begin{pmatrix}
1\cdot5+(-1)\cdot3&1\cdot1+(-1)\cdot0\\
(-1)\cdot5+2\cdot3&(-1)\cdot1+2\cdot0
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}2&1\\1&-1\end{pmatrix}
\end{aligned}\]
Для уравнения \(XA=B\)
\[\begin{aligned}
X=BA^{-1}=\\
=
\begin{pmatrix}5&1\\3&0\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}1&-1\\-1&2\end{pmatrix}
&=
\begin{pmatrix}
5\cdot1+1\cdot(-1)&5\cdot(-1)+1\cdot2\\
3\cdot1+0\cdot(-1)&3\cdot(-1)+0\cdot2
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}4&-3\\3&-3\end{pmatrix}
\end{aligned}\]
Одинаковые \(A\) и \(B\) дали разные ответы, потому что неизвестная стояла с разных сторон. Проверка подстановкой подтверждает оба результата:
\[\begin{aligned}
A\begin{pmatrix}2&1\\1&-1\end{pmatrix}
&=
\begin{pmatrix}2&1\\1&1\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}2&1\\1&-1\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}5&1\\3&0\end{pmatrix}
=B\\[1.1em]
\begin{pmatrix}4&-3\\3&-3\end{pmatrix}A
&=
\begin{pmatrix}4&-3\\3&-3\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}2&1\\1&1\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}5&1\\3&0\end{pmatrix}
=B
\end{aligned}\]
Если \(P\in M_m(\mathbb{R})\) и \(Q\in M_n(\mathbb{R})\) обратимы, а \(X,C\in M_{m\times n}(\mathbb{R})\) , то уравнение
\[PXQ=C\]
решается последовательным умножением с нужных сторон. Сначала умножаем слева на \(P^{-1}\) :
\[P^{-1}(PXQ)=P^{-1}C
\quad\Longrightarrow\quad
XQ=P^{-1}C\]
Затем умножаем справа на \(Q^{-1}\) :
\[(XQ)Q^{-1}=P^{-1}CQ^{-1}
\quad\Longrightarrow\quad
X=P^{-1}CQ^{-1}\]
Порядок множителей менять нельзя.
Задача
Для
\[A=\begin{pmatrix}2&1\\1&1\end{pmatrix},
\qquad
B=\begin{pmatrix}4&1\\1&2\end{pmatrix}\]
решите отдельно уравнения \(AX=B\) и \(XA=B\) . Проверьте оба ответа подстановкой.
Типичная ошибка
Сокращать матрицы как числа нельзя. Из \(AX=AY\) следует \(X=Y\) только при дополнительных условиях, например если \(A\) обратима. Для вырожденной матрицы разные столбцы могут переходить в один и тот же результат. Например,
\[A=\begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix},
\qquad
X=\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix},
\qquad
Y=\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}\]
Здесь \(X\ne Y\) , но
\[AX=AY=\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}\]
