14 Решения самостоятельных задач
Решения самостоятельных задач
Задача 1. Вычисляем произведения: \[\begin{aligned}
AB
=
\begin{pmatrix}3&1\\2&1\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}1&-1\\-2&3\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
3\cdot1+1\cdot(-2)&3\cdot(-1)+1\cdot3\\
2\cdot1+1\cdot(-2)&2\cdot(-1)+1\cdot3
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}
\end{aligned}\] \[\begin{aligned}
BA
=
\begin{pmatrix}1&-1\\-2&3\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}3&1\\2&1\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
1\cdot3+(-1)\cdot2&1\cdot1+(-1)\cdot1\\
(-2)\cdot3+3\cdot2&(-2)\cdot1+3\cdot1
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}
\end{aligned}\] Поэтому \[A^{-1}=B=\begin{pmatrix}1&-1\\-2&3\end{pmatrix}\] |
Задача 2. \[\begin{aligned}
\det C_s
&=s\cdot s-2\cdot1\\
&=s^2-2
\end{aligned}\] Матрица обратима тогда и только тогда, когда \[s\ne\sqrt2
\qquad\text{и}\qquad
s\ne-\sqrt2\] |
Задача 3. Начинаем с расширенной матрицы и вычитаем первую строку из третьей: \[\left(
\begin{array}{ccc|ccc}
1&2&0&1&0&0\\
0&1&1&0&1&0\\
1&0&1&0&0&1
\end{array}
\right)
\xrightarrow{R_3\leftarrow R_3-R_1}
\left(
\begin{array}{ccc|ccc}
1&2&0&1&0&0\\
0&1&1&0&1&0\\
0&-2&1&-1&0&1
\end{array}
\right)\] Прибавим к третьей строке удвоенную вторую: \[\left(
\begin{array}{ccc|ccc}
1&2&0&1&0&0\\
0&1&1&0&1&0\\
0&-2&1&-1&0&1
\end{array}
\right)
\xrightarrow{R_3\leftarrow R_3+2R_2}
\left(
\begin{array}{ccc|ccc}
1&2&0&1&0&0\\
0&1&1&0&1&0\\
0&0&3&-1&2&1
\end{array}
\right)\] Нормируем третью строку: \[\left(
\begin{array}{ccc|ccc}
1&2&0&1&0&0\\
0&1&1&0&1&0\\
0&0&3&-1&2&1
\end{array}
\right)
\xrightarrow{R_3\leftarrow\tfrac13R_3}
\left(
\begin{array}{ccc|ccc}
1&2&0&1&0&0\\
0&1&1&0&1&0\\
0&0&1&-\tfrac13&\tfrac23&\tfrac13
\end{array}
\right)\] Обнулим элемент над третьей главной единицей: \[\left(
\begin{array}{ccc|ccc}
1&2&0&1&0&0\\
0&1&1&0&1&0\\
0&0&1&-\tfrac13&\tfrac23&\tfrac13
\end{array}
\right)
\xrightarrow{R_2\leftarrow R_2-R_3}
\left(
\begin{array}{ccc|ccc}
1&2&0&1&0&0\\
0&1&0&\tfrac13&\tfrac13&-\tfrac13\\
0&0&1&-\tfrac13&\tfrac23&\tfrac13
\end{array}
\right)\] Наконец, обнулим второй элемент первой строки: \[\left(
\begin{array}{ccc|ccc}
1&2&0&1&0&0\\
0&1&0&\tfrac13&\tfrac13&-\tfrac13\\
0&0&1&-\tfrac13&\tfrac23&\tfrac13
\end{array}
\right)
\xrightarrow{R_1\leftarrow R_1-2R_2}
\left(
\begin{array}{ccc|ccc}
1&0&0&\tfrac13&-\tfrac23&\tfrac23\\
0&1&0&\tfrac13&\tfrac13&-\tfrac13\\
0&0&1&-\tfrac13&\tfrac23&\tfrac13
\end{array}
\right)\] Следовательно, \[C^{-1}
=
\frac13
\begin{pmatrix}
1&-2&2\\
1&1&-1\\
-1&2&1
\end{pmatrix}\] Покажем одну из проверок полностью: \[\begin{aligned}
CC^{-1}
&=
\frac13
\begin{pmatrix}
1&2&0\\0&1&1\\1&0&1
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
1&-2&2\\1&1&-1\\-1&2&1
\end{pmatrix}
=
\frac13
\begin{pmatrix}
3&0&0\\0&3&0\\0&0&3
\end{pmatrix}
=I_3
\end{aligned}\] Аналогично \(C^{-1}C=I_3\). |
Задача 4. Определитель равен \[\det D=1\cdot1\cdot2=2\] Вычислим все алгебраические дополнения: \[\begin{alignedat}{2}
C_{11}&=\begin{vmatrix}1&1\\0&2\end{vmatrix}=1\cdot2-1\cdot0=2,
&\qquad C_{12}&=-\begin{vmatrix}0&1\\0&2\end{vmatrix}=-(0\cdot2-1\cdot0)=0,\\[0.55em]
C_{13}&=\begin{vmatrix}0&1\\0&0\end{vmatrix}=0\cdot0-1\cdot0=0,
&\qquad C_{21}&=-\begin{vmatrix}1&0\\0&2\end{vmatrix}=-(1\cdot2-0\cdot0)=-2,\\[0.55em]
C_{22}&=\begin{vmatrix}1&0\\0&2\end{vmatrix}=1\cdot2-0\cdot0=2,
&\qquad C_{23}&=-\begin{vmatrix}1&1\\0&0\end{vmatrix}=-(1\cdot0-1\cdot0)=0,\\[0.55em]
C_{31}&=\begin{vmatrix}1&0\\1&1\end{vmatrix}=1\cdot1-0\cdot1=1,
&\qquad C_{32}&=-\begin{vmatrix}1&0\\0&1\end{vmatrix}=-(1\cdot1-0\cdot0)=-1,\\[0.55em]
C_{33}&=\begin{vmatrix}1&1\\0&1\end{vmatrix}=1\cdot1-1\cdot0=1
\end{alignedat}\] Поэтому матрица алгебраических дополнений имеет вид \[C=
\begin{pmatrix}
2&0&0\\
-2&2&0\\
1&-1&1
\end{pmatrix}\] По определению \(\widehat{D}=C^{\mathsf T}\), поэтому \(C\) обязательно транспонируем. Здесь \(C\) несимметрична, поэтому \(C^{\mathsf T}\) визуально отличается от \(C\): \[\widehat{D}=C^{\mathsf T}
=
\begin{pmatrix}
2&-2&1\\
0&2&-1\\
0&0&1
\end{pmatrix}\] Следовательно, \[D^{-1}
=
\frac12
\begin{pmatrix}
2&-2&1\\
0&2&-1\\
0&0&1
\end{pmatrix}\] |
Задача 5. Имеем \[A^{-1}=\begin{pmatrix}1&-1\\-1&2\end{pmatrix}\] Для \(AX=B\): \[\begin{aligned}
X=A^{-1}B=\\
=
\begin{pmatrix}1&-1\\-1&2\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}4&1\\1&2\end{pmatrix}
&=
\begin{pmatrix}
1\cdot4+(-1)\cdot1&1\cdot1+(-1)\cdot2\\
(-1)\cdot4+2\cdot1&(-1)\cdot1+2\cdot2
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
3&-1\\
-2&3
\end{pmatrix}
\end{aligned}\] Для \(XA=B\): \[\begin{aligned}
X=BA^{-1}=\\
=
\begin{pmatrix}4&1\\1&2\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}1&-1\\-1&2\end{pmatrix}
&=
\begin{pmatrix}
4\cdot1+1\cdot(-1)&4\cdot(-1)+1\cdot2\\
1\cdot1+2\cdot(-1)&1\cdot(-1)+2\cdot2
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
3&-2\\
-1&3
\end{pmatrix}
\end{aligned}\] Проверим оба ответа: \[\begin{pmatrix}2&1\\1&1\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}3&-1\\-2&3\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}4&1\\1&2\end{pmatrix}=B,\] \[\begin{pmatrix}3&-2\\-1&3\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}2&1\\1&1\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}4&1\\1&2\end{pmatrix}=B\] |
Задача 6. Собираем правые части в матрицу \[B=
\begin{pmatrix}
4&2&-1\\
1&3&2
\end{pmatrix}\] Составляем расширенную матрицу и выполняем один набор преобразований для всех трёх правых частей: \[\left(
\begin{array}{cc|ccc}
2&1&4&2&-1\\
1&1&1&3&2
\end{array}
\right)
\xrightarrow{R_1\leftrightarrow R_2}
\left(
\begin{array}{cc|ccc}
1&1&1&3&2\\
2&1&4&2&-1
\end{array}
\right),\] \[\left(
\begin{array}{cc|ccc}
1&1&1&3&2\\
2&1&4&2&-1
\end{array}
\right)
\xrightarrow{R_2\leftarrow R_2-2R_1}
\left(
\begin{array}{cc|ccc}
1&1&1&3&2\\
0&-1&2&-4&-5
\end{array}
\right)\] \[\left(
\begin{array}{cc|ccc}
1&1&1&3&2\\
0&-1&2&-4&-5
\end{array}
\right)
\xrightarrow{R_2\leftarrow-R_2}
\left(
\begin{array}{cc|ccc}
1&1&1&3&2\\
0&1&-2&4&5
\end{array}
\right),\] \[\left(
\begin{array}{cc|ccc}
1&1&1&3&2\\
0&1&-2&4&5
\end{array}
\right)
\xrightarrow{R_1\leftarrow R_1-R_2}
\left(
\begin{array}{cc|ccc}
1&0&3&-1&-3\\
0&1&-2&4&5
\end{array}
\right)
=
\left(I_2\mid X\right)\] Следовательно, \[X=
\begin{pmatrix}
3&-1&-3\\
-2&4&5
\end{pmatrix}\] Таким образом, \[\mathbf{x}_1=\begin{pmatrix}3\\-2\end{pmatrix},
\qquad
\mathbf{x}_2=\begin{pmatrix}-1\\4\end{pmatrix},
\qquad
\mathbf{x}_3=\begin{pmatrix}-3\\5\end{pmatrix}\] |