Обратимость можно распознать несколькими равносильными способами. Каждый из них удобен в своей задаче: определитель даёт короткий критерий, метод Гаусса — алгоритм, а однородная система — смысл через решения.
В терминах предыдущей статьи эти условия также равносильны линейной независимости строк и столбцов \(A\).
Что проверяем
Обратимая матрица
Вырожденная матрица
Определитель
\(\det A\ne0\)
\(\det A=0\)
Улучшенный ступенчатый вид
\(I_n\)
Не равен \(I_n\)
\(A\mathbf{x}=\mathbf{0}\)
Только нулевое решение
Есть ненулевое решение
\(A\mathbf{x}=\mathbf{b}\)
Одно решение для любого \(\mathbf{b}\)
Единственного решения быть не может: для некоторых \(\mathbf{b}\) решений нет, а при совместности их бесконечно много
Если \(A\) обратима, то из \(AA^{-1}=I_n\) получаем
\[\det A\cdot\det A^{-1}=1,\]
поэтому \(\det A\ne0\). В обратную сторону предположим, что при исключении Гаусса потерялась главная позиция. Тогда в ступенчатом виде квадратной матрицы появилась бы нулевая строка, а её определитель был бы равен нулю. Это противоречит условию \(\det A\ne0\). Следовательно, главных позиций будет \(n\), матрицу можно довести до \(I_n\), а те же преобразования построят \(A^{-1}\).
Действительно, из \(LA=I_n\) следует
\[\det L\cdot\det A=1,\]
поэтому \(\det A\ne0\), и по критерию выше матрица \(A\) обратима. Для правой обратной доказательство аналогично.
