10 Формулы сложения

Формулы сложения

Для решения задач этого раздела Вам может быть полезно следующее видео:

\(\Longrightarrow\) Формулы сложения и лайфхак для их запоминания

\(\blacktriangleright\) Примеры к заданию 10.1:

1. Упростите выражение:

   \[\sin{\left(\dfrac{\pi}{3}+\alpha\right)}-\dfrac{1}{2}\sin{\alpha}.\]

   Решение:

   Распишем \(\sin{\left(\dfrac{\pi}{3}+\alpha\right)}\), используя формулу для синуса суммы, и подставим числовые значения \(\cos{\dfrac{\pi}{3}}=\dfrac{1}{2}\) и \(\sin{\dfrac{\pi}{3}}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}\):

   \[\sin{\left(\dfrac{\pi}{3}+\alpha\right)}=\sin{\dfrac{\pi}{3}}\cos{\alpha}+\sin{\alpha}\cos{\dfrac{\pi}{3}}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}\cos{\alpha}+\dfrac{1}{2}\sin{\alpha}.\]

   Подставим полученное выражения для \(\sin{\left(\dfrac{\pi}{3}+\alpha\right)}\) в нашу задачу и упростим:

   \[\sin{\left(\dfrac{\pi}{3}+\alpha\right)}-\dfrac{1}{2}\sin{\alpha}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}\cos{\alpha}+\dfrac{1}{2}\sin{\alpha}-\dfrac{1}{2}\sin{\alpha}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}\cos{\alpha}.\]

2. Упростите выражение:

   \[\dfrac{\sqrt{3}}{2}\sin{\alpha}+\cos{\left(\alpha-\dfrac{5\pi}{3}\right)}.\]

   Решение:

   Распишем \(\cos{\left(\alpha-\dfrac{5\pi}{3}\right)}\), используя формулу для косинуса разницы, и подставим числовые значения \(\cos{\dfrac{5\pi}{3}}=\dfrac{1}{2}\) и \(\sin{\dfrac{5\pi}{3}}=-\dfrac{\sqrt{3}}{2}\):

   \[\cos{\left(\alpha-\dfrac{5\pi}{3}\right)}=\cos{\alpha}\cos{\dfrac{5\pi}{3}}+\sin{\alpha}\sin{\dfrac{5\pi}{3}}=\dfrac{1}{2}\cos{\alpha}-\dfrac{\sqrt{3}}{2}\sin{\alpha}.\]

   Подставим полученное выражения для \(\cos{\left(\alpha-\dfrac{5\pi}{3}\right)}\) в нашу задачу и упростим:

   \[\dfrac{\sqrt{3}}{2}\sin{\alpha}+\cos{\left(\alpha-\dfrac{5\pi}{3}\right)}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}\sin{\alpha}+\dfrac{1}{2}\cos{\alpha}-\dfrac{\sqrt{3}}{2}\sin{\alpha}=\dfrac{1}{2}\cos{\alpha}.\]

3. Упростите выражение:

   \[\sin{(\alpha-30^\circ)}.\]

   Решение:

   Распишем \(\sin{(\alpha-30^\circ)}\), используя формулу для синуса разности, и подставим числовые значения \(\cos{30^\circ}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}\) и \(\sin{30^\circ}=\dfrac{1}{2}\):

   \[\sin{(\alpha-30^\circ)}=\sin{\alpha}\cos{30^\circ}-\sin{30^\circ}\cos{\alpha}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}\sin{\alpha}-\dfrac{1}{2}\cos{\alpha}.\]

4. Упростите выражение:

   \[\dfrac{\sin{(\alpha-\beta)}+2\cos{\alpha}\sin{\beta}}{2\cos{\alpha}\cos{\beta}-\cos{(\alpha-\beta)}}.\]

   Решение:

   Распишем \(\sin{(\alpha-\beta)}\) и \(\cos{(\alpha-\beta)}\), воспользовавшись формулами разности:

   \[\sin{(\alpha-\beta)}=\sin{\alpha}\cos{\beta}-\sin{\beta}\cos{\alpha},\]
   \[\cos{(\alpha-\beta)}=\cos{\alpha}\cos{\beta}+\sin{\alpha}\sin{\beta}.\]

   Таким образом, получаем:

   \(\dfrac{\sin{\alpha}\cos{\beta}-\sin{\beta}\cos{\alpha}+2\cos{\alpha}\sin{\beta}}{2\cos{\alpha}\cos{\beta}-\cos{\alpha}\cos{\beta}-\sin{\alpha}\sin{\beta}}=\dfrac{\sin{\alpha}\cos{\beta}+\cos{\alpha}\sin{\beta}}{\cos{\alpha}\cos{\beta}-\sin{\alpha}\sin{\beta}}=\dfrac{\sin{(\alpha+\beta)}}{\cos{(\alpha+\beta)}}=\)

   \(=\tan{(\alpha+\beta)}.\)

Ответ:

1. \(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\cos{\alpha}\);

2. \(\dfrac{1}{2}\cos{\alpha}\);

3. \(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\sin{\alpha}-\dfrac{1}{2}\cos{\alpha}\);

4. \(\tan{(\alpha+\beta)}.\)

Задание 10.1

Упростите выражения:

1. \(\sin{(\alpha+\beta)}-\sin{\alpha}\cos{\beta}\);

2. \(\sin{\alpha}\sin{\beta}+\cos{(\alpha+\beta)}\);

3. \(\cos{\left(\alpha+\dfrac{\pi}{4}\right)}+\dfrac{1}{\sqrt{2}}\sin{\alpha}\);

4. \(\cos{(\alpha-\beta)}-\cos{\alpha}\cos{\beta}\);

5. \(\sin{(\alpha+\beta)}+\sin{(\alpha-\beta)}\);

6. \(\sin{\alpha}\sin{\beta}-\cos{(\alpha-\beta)}\);

7. \(\cos{(\alpha-\beta)}+\cos{(\alpha+\beta)}\);

8. \(\sin{\left(\dfrac{5\pi}{6}-\alpha\right)}-\dfrac{1}{2}\cos{\alpha}\);

9. \(\sqrt{3}\cos{\alpha}-2\cos{\left(\alpha-\dfrac{\pi}{6}\right)}\);

10. \(\sqrt{2}\sin{\left(\alpha-\dfrac{\pi}{4}\right)}-\sin{\alpha}\);

11. \(\sin{(60^\circ-\beta)}\);

12. \(\cos{(\beta-30^\circ)}\);

13. \(\cos{(60^\circ-\alpha)}\);

14. \(\dfrac{\sin{(\alpha+\beta)}-\cos{\alpha}\sin{\beta}}{\sin{(\alpha-\beta)}+\cos{\alpha}\sin{\beta}}\);

15. \(\cos{\left(\dfrac{2\pi}{3}-\alpha\right)}+\cos{\left(\dfrac{\pi}{3}+\alpha\right)}\);

16. \(\sin{\left(\dfrac{2\pi}{3}+\alpha\right)}-\sin{\left(\dfrac{\pi}{3}-\alpha\right)}\);

17. \(\dfrac{2\cos{\alpha}\sin{\beta}+\sin{(\alpha-\beta)}}{2\cos{\alpha}\cos{\beta}-\cos{(\alpha-\beta)}}\);

18. \(\dfrac{\cos{\alpha}\cos{\beta}-\cos{(\alpha+\beta)}}{\sin{\alpha}\sin{\beta}-\cos{(\alpha-\beta)}}\).

\(\blacktriangleright\) Примеры к заданию 10.2

1. Докажите тождество:

   \[\cos{2x}\cos{12x}-\sin{2x}\sin{12x}=\cos{14x}.\]

   Решение:
   
   Свернём левую часть равенства, применив формулу косинуса суммы:

   \[\cos{2x}\cos{12x}-\sin{2x}\sin{12x}=\cos{(2x+12x)}=\cos{14x}.\]

2. Докажите тождество:

   \[\cos{(\alpha+\beta)}+\sin{(-\alpha)}\sin{(-\beta)}=\cos{\beta}\cos{\alpha}.\]

   Решение:
   
   Распишем косинус суммы:

   \[\cos{(\alpha+\beta)}+\sin{(-\alpha)}\sin{(-\beta)}=\cos{\alpha}\cos{\beta}-\sin{\alpha}\sin{\beta}+\sin{(-\alpha)}\sin{(-\beta)}.\]

   Заметим, что, если вынести минусы из аргументов синусов, то получим:

   \[\sin{(-\alpha)}\sin{(-\beta)}=(-\sin{\alpha})(-\sin{\beta})=\sin{\alpha}\sin{\beta}.\]

   Подставим это в левую часть и докажем тождество:

   \[\cos{\alpha}\cos{\beta}-\sin{\alpha}\sin{\beta}+\sin{(-\alpha)}\sin{(-\beta)}=\cos{\alpha}\cos{\beta}-\sin{\alpha}\sin{\beta}+\sin{\alpha}\sin{\beta}=\cos{\alpha}\cos{\beta}.\]

3. Докажите тождество:

   \[\cos{(\alpha-\beta)}+\sin{(-\alpha)}\sin{\beta}=\cos{\alpha}\cos{\beta}.\]

   Решение:
   
   Распишем косинус разности:

   \[\cos{(\alpha-\beta)}+\sin{(-\alpha)}\sin{\beta}=\cos{\alpha}\cos{\beta}+\sin{\alpha}\sin{\beta}+\sin{(-\alpha)}\sin{\beta}.\]

   Заметим, что, если вынести минус из аргумента синуса, то получим:

   \[\sin{(-\alpha)}\sin{\beta}=-\sin{\alpha}\sin{\beta}.\]

   Подставим это в левую часть и докажем тождество:

   \[\cos{\alpha}\cos{\beta}+\sin{\alpha}\sin{\beta}+\sin{(-\alpha)}\sin{\beta}=\cos{\alpha}\cos{\beta}+\sin{\alpha}\sin{\beta}-\sin{\alpha}\sin{\beta}=\cos{\alpha}\cos{\beta}.\]

4. Докажите тождество:

   \[2\cos{\left(\dfrac{\pi}{3}+\alpha\right)}=\cos{\alpha}-\sqrt{3}\sin{\alpha}.\]

   Решение:
   
   Распишем в левой части косинус суммы:

   \[2\cos{\left(\dfrac{\pi}{3}+\alpha\right)}=2\left(\cos{\dfrac{\pi}{3}}\cos{\alpha}-\sin{\dfrac{\pi}{3}}\sin{\alpha}\right).\]

   Подставим значения для \(\cos{\dfrac{\pi}{3}}=\dfrac{1}{2}\) и \(\sin{\dfrac{\pi}{3}}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}\) и раскроем скобки:

   \[2\left(\cos{\dfrac{\pi}{3}}\cos{\alpha}-\sin{\dfrac{\pi}{3}}\sin{\alpha}\right)=2\cdot\dfrac{1}{2}\cos{\alpha}-2\cdot\dfrac{\sqrt{3}}{2}\sin{\alpha}=\cos{\alpha}-\sqrt{3}\sin{\alpha}.\]

Задание 10.2

Докажите тождества:

1. \(\sin{5x}\cos{3x}+\cos{5x}\sin{3x}=\sin{8x}\);

2. \(\cos{5x}\cos{3x}+\sin{5x}\sin{3x}=\cos{2x}\);

3. \(\sin{7x}\cos{4x}+\cos{7x}\sin{4x}=\sin{11x}\);

4. \(\sin 2x\sin{3x}-\cos{2x}\cos{3x}=-\cos{5x}\);

5. \(\sin{(\alpha+\beta)}+\sin{(-\alpha)}\cos{(-\beta)}=\sin{\beta}\cos{\alpha}\);

6. \(\sin{(30^\circ-\alpha)}-\cos{(60^\circ-\alpha)}=-\sqrt{3}\sin{\alpha}\);

7. \(\sin{(\alpha-\beta)}-\cos{\alpha}\sin{(-\beta)}=\sin{\alpha}\cos{\beta}\);

8. \(\sin{(30^\circ-\alpha)}+\sin{(30^\circ+\alpha)}=\cos{\alpha}\);

9. \(2\sin{\left(\dfrac{\pi}{6}+\alpha\right)}=\cos{\alpha}+\sqrt{3}\sin{\alpha}\);

10. \(2\cos{\left(\dfrac{\pi}{6}+\alpha\right)}=\sqrt{3}\cos{\alpha}-\sin{\alpha}\);

11. \(\sqrt{2}\sin{\left(\dfrac{\pi}{4}+\alpha\right)}=\cos{\alpha}+\sin{\alpha}\);

12. \(\sqrt{2}\sin{\left(\dfrac{\pi}{4}-\alpha\right)}=\cos{\alpha}-\sin{\alpha}\);

13. \(2\sin{\left(\dfrac{\pi}{3}+\alpha\right)}=\sqrt{3}\cos{\alpha}+\sin{\alpha}\);

14. \(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\cos{x}+\dfrac{1}{2}\sin{x}=\sin{\left(\dfrac{\pi}{3}+x\right)}\);

15. \(\dfrac{1}{2}\cos{x}-\dfrac{\sqrt{3}}{2}\sin{x}=\cos{\left(\dfrac{\pi}{3}+x\right)}\);

16. \(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\cos{x}-\dfrac{1}{2}\sin{x}=\sin{\left(\dfrac{\pi}{3}-x\right)}\);

17. \(\dfrac{1}{2}\cos{x}+\dfrac{\sqrt{3}}{2}\sin{x}=\cos{\left(\dfrac{\pi}{3}-x\right)}\).

\(\blacktriangleright\) Примеры к заданию 10.3

1. Вычислите:

   \[\sin{63^\circ}\cos{27^\circ}+\cos{63^\circ}\sin{27^\circ}.\]

   Решение:
   
   Преобразуем выражение, использовав формулу синуса суммы:

   \[\sin{63^\circ}\cos{27^\circ}+\cos{63^\circ}\sin{27^\circ}=\sin{(63^\circ+27^\circ)}=\sin{90^\circ}=1.\]

2. Вычислите:

   \[\sin{\dfrac{\pi}{5}}\cos{\dfrac{\pi}{20}}+\cos{\dfrac{\pi}{5}}\sin{\dfrac{\pi}{20}}.\]

   Решение:
   
   Преобразуем выражение, использовав формулу синуса суммы:

   \[\sin{\dfrac{\pi}{5}}\cos{\dfrac{\pi}{20}}+\cos{\dfrac{\pi}{5}}\sin{\dfrac{\pi}{20}}=\sin{\left(\dfrac{\pi}{5}+\dfrac{\pi}{20}\right)}=\sin{\dfrac{\pi}{4}}=\dfrac{1}{\sqrt{2}}.\]

3. Вычислите:

   \[\cos{\dfrac{\pi}{12}}\cos{\dfrac{\pi}{4}}-\sin{\dfrac{\pi}{12}}\sin{\dfrac{\pi}{4}}.\]

   Решение:
   
   Преобразуем выражение, использовав формулу косинуса суммы:

   \[\cos{\dfrac{\pi}{12}}\cos{\dfrac{\pi}{4}}-\sin{\dfrac{\pi}{12}}\sin{\dfrac{\pi}{4}}=\cos{\left(\dfrac{\pi}{12}+\dfrac{\pi}{4}\right)}=\cos{\dfrac{\pi}{3}}=\dfrac{1}{2}.\]

Ответ:

1. \(1\);

2. \(\dfrac{1}{\sqrt{2}}\);

3. \(\dfrac{1}{2}\).

Задание 10.3

Вычислите:

1. \(\sin{74^\circ}\cos{16^\circ}+\cos{74^\circ}\sin{16^\circ}\);

2. \(\cos{23^\circ}\cos{22^\circ}-\sin{23^\circ}\sin{22^\circ}\);

3. \(\sin{89^\circ}\cos{1^\circ}+\cos{89^\circ}\sin{1^\circ}\);

4. \(\cos{178^\circ}\cos{2^\circ}-\sin{178^\circ}\sin{2^\circ}\);

5. \(\cos{107^\circ}\cos{17^\circ}+\sin{107^\circ}\sin{17^\circ}\);

6. \(\cos{36^\circ}\cos{24^\circ}-\sin{36^\circ}\sin{24^\circ}\);

7. \(\sin{62^{\circ}}\sin{28^{\circ}}-\cos{28^{\circ}}\cos{62^{\circ}}\);

8. \(\sin{51^\circ}\cos{21^\circ}-\cos{51^\circ}\sin{21^\circ}\);

9. \(\cos{\dfrac{\pi}{20}}\sin{\dfrac{\pi}{5}}+\cos{\dfrac{\pi}{5}}\sin{\dfrac{\pi}{20}}\);

10. \(\cos{\dfrac{2\pi}{7}}\cos{\dfrac{5\pi}{7}}-\sin{\dfrac{2\pi}{7}}\sin{\dfrac{5\pi}{7}}\);

11. \(\sin{\dfrac{\pi}{12}}\cos{\dfrac{11\pi}{12}}+\cos{\dfrac{\pi}{12}}\sin{\dfrac{11\pi}{12}}\);

12. \(\cos{\dfrac{2\pi}{15}}\cos{\dfrac{\pi}{5}}-\sin{\dfrac{2\pi}{15}}\sin{\dfrac{\pi}{5}}\);

13. \(\cos{\dfrac{5\pi}{8}}\cos{\dfrac{3\pi}{8}}+\sin{\dfrac{5\pi}{8}}\sin{\dfrac{3\pi}{8}}\);

14. \(\sin{\dfrac{2\pi}{15}}\cos{\dfrac{\pi}{5}}+\cos{\dfrac{2\pi}{15}}\sin{\dfrac{\pi}{5}}\);

15. \(\sin{\dfrac{\pi}{12}\sin{\dfrac{\pi}{4}}}-\cos{\dfrac{\pi}{12}}\cos{\dfrac{\pi}{4}}\);

16. \(\sin{\dfrac{\pi}{12}}\cos{\dfrac{\pi}{4}}-\cos{\dfrac{\pi}{12}}\sin{\dfrac{\pi}{4}}\).

\(\blacktriangleright\) Примеры к заданию 10.4

1. Докажите тождество:

   \[\dfrac{\cos{(\alpha-\beta)}}{\cos{(\alpha+\beta)}}=\dfrac{\cot{\alpha}\cot{\beta}+1}{\cot{\alpha}\cot{\beta}-1}.\]

   Решение:
   
   Распишем в правой части \(\cot{\alpha}=\dfrac{\cos{\alpha}}{\sin{\alpha}}\) и \(\cot{\beta}=\dfrac{\cos{\beta}}{\sin{\beta}}\):

   \[\dfrac{\cot{\alpha}\cot{\beta}+1}{\cot{\alpha}\cot{\beta}-1}=\left(\dfrac{\cos{\alpha}}{\sin{\alpha}}\cdot\dfrac{\cos{\beta}}{\sin{\beta}}+1\right):\left(\dfrac{\cos{\alpha}}{\sin{\alpha}}\cdot\dfrac{\cos{\beta}}{\sin{\beta}}-1\right)=\]
   \[=\dfrac{\cos{\alpha}\cos{\beta}+\sin{\alpha}\sin{\beta}}{\sin{\alpha}\sin{\beta}}:\dfrac{\cos{\alpha}\cos{\beta}-\sin{\alpha}\sin{\beta}}{\sin{\alpha}\sin{\beta}}=\dfrac{\cos{\alpha}\cos{\beta}+\sin{\alpha}\sin{\beta}}{\cos{\alpha}\cos{\beta}-\sin{\alpha}\sin{\beta}}.\]

   Пользуясь формулами косинусов разности и суммы, преобразуем числитель и знаменатель:

   \[\dfrac{\cos{\alpha}\cos{\beta}+\sin{\alpha}\sin{\beta}}{\cos{\alpha}\cos{\beta}-\sin{\alpha}\sin{\beta}}=\dfrac{\cos{(\alpha-\beta)}}{\cos{(\alpha+\beta)}}.\]

2. Докажите тождество:

   \[\cos{(\alpha-\beta)}\cos{(\alpha+\beta)}=\cos^2{\alpha}-\sin^2{\beta}.\]

   Решение:

   Распишем множители левой части по формулам косинусов разности и суммы аргументов:

   \[\cos{(\alpha-\beta)}\cos{(\alpha+\beta)}=(\cos{\alpha}\cos{\beta}+\sin{\alpha}\sin{\beta})\cdot (\cos{\alpha}\cos{\beta}-\sin{\alpha}\sin{\beta}).\]

   Можно заметить, что произведение скобок представляет собой формулу разности квадратов \(a^2-b^2=(a+b)(a-b)\). В нашем случае

   \[a=\cos{\alpha}\cos{\beta},\,\, b=\sin{\alpha}\sin{\beta}.\]

   Тогда

   \[(\cos{\alpha}\cos{\beta}+\sin{\alpha}\sin{\beta})\cdot (\cos{\alpha}\cos{\beta}-\sin{\alpha}\sin{\beta})=\cos^2{\alpha}\cos^2{\beta}-\sin^2{\alpha}\sin^2{\beta}.\]

   Воспользуемся основным тригонометрическим тождеством:

   \[\cos^2{\alpha}\cos^2{\beta}-\sin^2{\alpha}\sin^2{\beta}=\cos^2{\alpha}\cos^2{\beta}-(1-\cos^2{\alpha})\sin^2{\beta}=\cos^2{\alpha}\cos^2{\beta}-\sin^2{\beta}+\]
   \[+\cos^2{\alpha}\sin^2{\beta}=\cos^2{\alpha}(\cos^2{\beta}+\sin^2{\beta})-\sin^2{\beta}=\cos^2{\alpha}-\sin^2{\beta}.\]

3. Докажите тождество:

   \[\tan{\alpha}+\tan{\beta}=\dfrac{\sin{(\alpha+\beta)}}{\cos{\alpha}\cos{\beta}}.\]

   Решение:

   Распишем в левой части \(\tan{\alpha}=\dfrac{\sin{\alpha}}{\cos{\alpha}}\) и \(\tan{\beta}=\dfrac{\sin{\beta}}{\cos{\beta}}\) и приведём к общему знаменателю:

   \[\tan{\alpha}+\tan{\beta}=\dfrac{\sin{\alpha}}{\cos{\alpha}}+\dfrac{\sin{\beta}}{\cos{\beta}}=\dfrac{\sin{\alpha}\cos{\beta}+\sin{\beta}\cos{\alpha}}{\cos{\alpha}\cos{\beta}}.\]

   Заметим, что выражение в числителе есть ничто иное, как синус суммы:

   \[\dfrac{\sin{\alpha}\cos{\beta}+\sin{\beta}\cos{\alpha}}{\cos{\alpha}\cos{\beta}}=\dfrac{\sin{(\alpha+\beta)}}{\cos{\alpha}\cos{\beta}}.\]

Задание 10.4

Докажите тождества:

1. \(\dfrac{\sin(\alpha+\beta)}{\sin{(\alpha-\beta)}}=\dfrac{\tan{\alpha}+\tan{\beta}}{\tan{\alpha}-\tan{\beta}}\);

2. \(\sin(\alpha-\beta)\sin{(\alpha+\beta)}=\sin^2{\alpha}-\sin^2{\beta}\);

3. \(\dfrac{\sqrt{2}\cos{\alpha}-2\cos{\left(\dfrac{\pi}{4}-\alpha\right)}}{2\sin{\left(\dfrac{\pi}{6}+\alpha\right)}-\sqrt{3}\sin{\alpha}}=-\sqrt{2}\tan{\alpha}\);

4. \(\dfrac{\cos{\alpha}-2\cos{\left(\dfrac{\pi}{3}+\alpha\right)}}{2\sin{\left(\alpha-\dfrac{\pi}{6}\right)}-\sqrt{3}\sin{\alpha}}=-\sqrt{3}\tan{\alpha}\);

5. \(\tan{\alpha}-\tan{\beta}=\dfrac{\sin{(\alpha-\beta)}}{\cos{\alpha}\cos{\beta}}\);

6. \(\cot{\alpha}+\cot{\beta}=\dfrac{\sin{(\alpha+\beta)}}{\sin{\alpha}\sin{\beta}}\);

7. \(\cot{\alpha}-\cot{\beta}=\dfrac{\sin{(\alpha-\beta)}}{\sin{\alpha}\sin{\beta}}\);

8. \(\tan{\alpha}+\cot{\beta}=\dfrac{\cos{(\alpha-\beta)}}{\cos{\alpha}\sin{\beta}}\);

9. \(\cot{\alpha}-\tan{\beta}=\dfrac{\cos{(\alpha+\beta)}}{\sin{\alpha}\cos{\beta}}\).

\(\blacktriangleright\) Пример к заданию 10.5:

Зная, что \(\sin{t}=-\dfrac{4}{5}\), \(-\dfrac{\pi}{2}<t<0\), вычислите:

1. \(\sin{\left(\dfrac{\pi}{3}+t\right)}\);

2. \(\cos{\left(\dfrac{\pi}{2}+t\right)}\);

3. \(\sin{\left(\dfrac{\pi}{2}+t\right)}\);

4. \(\cos{\left(\dfrac{\pi}{3}+t\right)}\).

Решение:

Нам известно значение \(\sin{t}=-\dfrac{4}{5}\), а также то, что \(t\in\left[-\dfrac{\pi}{2};0 \right]\).

Найдём \(\cos{t}\). По основному тригонометрическому тождеству:

Так как \(-\dfrac{\pi}{2}<t<0\), то \(\cos{t}>0\). Отсюда:

1. Распишем наше выражение через формулу синуса суммы:

2. Распишем наше выражение через формулы косинуса суммы или формулы приведения:

3. Распишем наше выражение через формулы синуса суммы или формулы приведения:

4. Распишем наше выражение через формулу косинуса суммы:

Ответ:

1. \(\dfrac{3\sqrt{3}-4}{10}\);

2. \(\dfrac{4}{5}\);

3. \(\dfrac{3}{5}\);

4. \(\dfrac{3+4\sqrt{3}}{10}\).

Задание 10.5

Зная, что \(\sin{t}=\dfrac{3}{5}\), \(0<t<\dfrac{\pi}{2}\), вычислите:

1. \(\sin{\left(\dfrac{\pi}{3}+t\right)}\);

2. \(\cos{\left(\dfrac{\pi}{2}+t\right)}\);

3. \(\sin{\left(\dfrac{\pi}{2}+t\right)}\);

4. \(\cos{\left(\dfrac{\pi}{3}+t\right)}\).

Задание 10.6

Зная, что \(\cos{t}=-\dfrac{5}{13}\), \(\dfrac{\pi}{2}<t<\pi\), вычислите:

1. \(\sin{\left(t+\dfrac{\pi}{6}\right)}\);

2. \(\cos{\left(t+\dfrac{3\pi}{2}\right)}\);

3. \(\cos{\left(t+\dfrac{\pi}{6}\right)}\);

4. \(\sin{\left(t+\dfrac{3\pi}{2}\right)}\).

Задание 10.7

Зная, что \(\sin{t}=\dfrac{5}{12}\), \(\dfrac{\pi}{2}<t<\pi\), вычислите:

1. \(\sin{\left(\dfrac{\pi}{3}-t\right)}\);

2. \(\cos{\left(t-\dfrac{\pi}{2}\right)}\).

Задание 10.8

Зная, что \(\sin{t}=-\dfrac{3}{5}\), \(\dfrac{3\pi}{2}<t<2\pi\), вычислите:

1. \(\sin{\left(t-\dfrac{\pi}{6}\right)}\);

2. \(\cos{\left(t-\dfrac{3\pi}{2}\right)}\).

\(\blacktriangleright\) Пример к заданию 10.9:

Зная, что \(\cos{\alpha}=\dfrac{3}{5}\), \(\cos{\beta}=\dfrac{1}{2}\), \(-\dfrac{\pi}{2}<\alpha<0\), \(0<\beta<\dfrac{\pi}{2}\), найдите значение выражения:

1. \(\sin{\left(\alpha+\beta\right)}\);

2. \(\cos{\left(\alpha+\beta\right)}\).

Решение:

Найдём сначала \(\sin{\alpha}\) и \(\sin{\beta}\):

Так как \(-\dfrac{\pi}{2}<\alpha<0\), то \(\sin{\alpha}<0\). Тогда по основному тригонометрическому тождеству:

Так как \(0<\beta<\dfrac{\pi}{2}\), то \(\sin{\beta}>0\). Тогда по основному тригонометрическому тождеству:

1. Распишем наше выражение через формулу синуса суммы:

2. Распишем наше выражение через формулу косинуса суммы:

Задание 10.9

Зная, что \(\cos{\alpha}=-\dfrac{15}{17}\), \(\cos{\beta}=-\dfrac{4}{5}\), \(\dfrac{\pi}{2}<\alpha<\pi\), \(\dfrac{\pi}{2}<\beta<\pi\), найдите значения выражений:

1. \(\sin{\left(\alpha+\beta\right)}\);

2. \(\cos{\left(\alpha+\beta\right)}\).

Задание 10.10

Зная, что \(\sin{\alpha}=\dfrac{4}{5}\), \(\cos{\beta}=-\dfrac{15}{17}\), \(\dfrac{\pi}{2}<\alpha<\pi\), \(\dfrac{\pi}{2}<\beta<\pi\), найдите значения выражений:

1. \(\sin{\left(\alpha+\beta\right)}\);

2. \(\cos{\left(\alpha+\beta\right)}\).

Задание 10.11

Зная, что \(\sin{\alpha}=\dfrac{4}{5}\), \(\cos{\beta}=-\dfrac{15}{17}\), \(\dfrac{\pi}{2}<\alpha<\pi\), \(\dfrac{\pi}{2}<\beta<\pi\), найдите значения выражений:

1. \(\sin{\left(\alpha-\beta\right)}\);

2. \(\cos{\left(\alpha-\beta\right)}\).

Задание 10.12

Зная, что \(\sin{\alpha}=\dfrac{9}{41}\), \(\sin{\beta}=-\dfrac{40}{41}\), \(0<\alpha<\dfrac{\pi}{2}\), \(\dfrac{3\pi}{2}<\beta<2\pi\), найдите значения выражений:

1. \(\sin{\left(\alpha+\beta\right)}\);

2. \(\cos{\left(\alpha+\beta\right)}\).

Задание 10.13

Зная, что \(\sin{\beta}=-\dfrac{12}{13}\), \(\cos{\alpha}=-0,8\), \(\pi<\beta<\dfrac{3\pi}{2}\), \(\dfrac{\pi}{2}<\alpha<\pi\), найдите значения выражений:

1. \(\sin{\left(\alpha-\beta\right)}\);

2. \(\cos{\left(\alpha-\beta\right)}\).

\(\blacktriangleright\) Примеры к заданию 10.14:

1. Вычислить \(\sin{105^\circ}\).
   
   Решение:
   
   Представим \(105^\circ\) как сумму \(45^\circ+60^\circ\), тогда мы можем расписать синус суммы:

   \[\sin{(45^\circ+60^\circ)}=\sin{45^\circ}\cos{60^\circ}+\cos{45^\circ}\sin{60^\circ}.\]

   Подставим значения синуса и косинуса \(45^\circ\) и \(60^\circ\), получим:

   \[\sin{(45^\circ+60^\circ)}=\sin{45^\circ}\cos{60^\circ}+\cos{45^\circ}\sin{60^\circ}=\dfrac{1}{\sqrt{2}}\cdot\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{\sqrt{2}}\cdot\dfrac{\sqrt{3}}{2}=\dfrac{1+\sqrt{3}}{2\sqrt{2}}.\]

2. Вычислить \(\cos{135^\circ}\).

   Решение:
   
   Представим \(135^\circ\) как сумму \(45^\circ+90^\circ\), тогда мы можем расписать косинус суммы:

   \[\cos{(45^\circ+90^\circ)}=\cos{45^\circ}\cos{90^\circ}-\sin{45^\circ}\sin{90^\circ}.\]

   Подставим значения синуса и косинуса \(45^\circ\) и \(90^\circ\), получим:

   \[\cos{(45^\circ+90^\circ)}=\cos{45^\circ}\cos{90^\circ}-\sin{45^\circ}\sin{90^\circ}=\dfrac{1}{\sqrt{2}}\cdot0-\dfrac{1}{\sqrt{2}}\cdot1=-\dfrac{1}{\sqrt{2}}.\]

   Или мы можем воспользоваться формулой приведения:

   \[\cos{135^\circ}=\cos{(45^\circ+90^\circ)}=-\sin{45^\circ}=-\dfrac{1}{\sqrt{2}}.\]

Ответ:

1. \(\dfrac{1+\sqrt{3}}{2\sqrt{2}}\);

2. \(-\dfrac{1}{\sqrt{2}}\).

Задание 10.14

Вычислить:

1. \(\sin{75^\circ}\);

2. \(\cos{75^\circ}\);

3. \(\sin{105^\circ}\);

4. \(\cos{105^\circ}\).

Задание 10.15

Вычислить:

1. \(\sin{15^\circ}\);

2. \(\cos{15^\circ}\);

3. \(\sin{15^\circ}\cos{15^\circ}\);

4. \(\cos^2{15^\circ}-\sin^2{15^\circ}\).

\(\blacktriangleright\) Пример к заданию 10.16:

Вычислить \(\sin{67^\circ}\cos{37^\circ}-\sin{23^\circ}\cos{53^\circ}\).

Решение:

В выражении много различных углов, следовательно, для решения этой задачи нам стоит поискать связи между ними.

Заметим, что:

Тогда, используя формулы приведения

получаем:

Теперь наше выражение можно переписать в следующем виде:

Применяя к выражению в скобках формулу косинуса суммы, получаем:

Задание 10.16

Вычислить:

1. \(\sin{77^\circ}\cos{17^\circ}-\sin{13^\circ}\cos{73^\circ}\);

2. \(\cos{125^\circ}\cos{5^\circ}+\sin{55^\circ}\cos{85^\circ}\).

\(\blacktriangleright\) Пример к заданию 10.17

Вычислить:

Решение:

В выражении много различных углов, следовательно, для решения этой задачи нам стоит поискать связи между ними.

Заметим, что:

Тогда, используя формулы приведения

получаем:

Теперь наше выражение можно переписать в следующем виде:

Применяя к числителю формулу синуса суммы, а к знаменателю формулу синуса разности мы получаем:

Задание 10.17

Вычислить:

1. \(\dfrac{\cos{105^\circ}\cos{5^\circ}+\sin{105^\circ}\cos{85^\circ}}{\sin{185^\circ}\cos{5^\circ}-\cos{185^\circ}\sin{185^\circ}}\);

2. \(\dfrac{\sin{75^\circ}\cos{5^\circ}-\cos{75^\circ}\cos{85^\circ}}{\cos{375^\circ}\cos{5^\circ}-\sin{15^\circ}\sin{365^\circ}}\).

Задание 10.18

Представив \(2x\) в виде \(x+x\), докажите тождество:

1. \(\sin{2x}=2\sin{x}\cos{x}\);

2. \(\cos{2x}=\cos^2{x}-\sin^2{x}\).

Формулы сложения

Задание 10.1

1. \(\cos{\alpha}\sin{\beta};\)

2. \(\cos{\alpha}\cos{\beta};\)

3. \(\dfrac{\cos{\alpha}}{\sqrt{2}};\)

4. \(\sin{\alpha}\sin{\beta};\)

5. \(2\sin{\alpha}\cos{\beta};\)

6. \(-\cos{\alpha}\cos{\beta};\)

7. \(2\cos{\alpha}\cos{\beta};\)

8. \(\dfrac{\sqrt{3}\sin{\alpha}}{2};\)

9. \(-\sin{\alpha};\)

10. \(-\cos{\alpha};\)

11. \(\dfrac{\sqrt{3}\cos{\beta}-\sin{\beta}}{2};\)

12. \(\dfrac{\sqrt{3}\cos{\beta}+\sin{\beta}}{2};\)

13. \(\dfrac{\sqrt{3}\sin{\alpha}+\cos{\alpha}}{2};\)

14. \(1;\)

15. \(0;\)

16. \(0;\)

17. \(\tan{(\alpha+\beta)};\)

18. \(-\tan{\alpha}\tan{\beta}.\)

Задание 10.3

1. 1;

2. \(\dfrac{1}{\sqrt{2}};\)

3. \(1;\)

4. \(-1;\)

5. \(0;\)

6. \(0,5;\)

7. \(0;\)

8. \(0,5;\)

9. \(\dfrac{1}{\sqrt{2}};\)

10. \(-1;\)

11. \(0;\)

12. \(0,5;\)

13. \(\dfrac{1}{\sqrt{2}};\)

14. \(\dfrac{\sqrt{3}}{2};\)

15. \(-0,5;\)

16. \(-0,5.\)

Задание 10.5

1. \(\dfrac{2\sqrt{3}}{5}+\dfrac{3}{10}\);

2. \(-\dfrac{3}{5};\)

3. \(\dfrac{4}{5};\)

4. \(\dfrac{2}{5}-\dfrac{3\sqrt{3}}{10}.\)

Задание 10.6

1. \(\dfrac{12\sqrt{3}-5}{26};\)

2. \(\dfrac{12}{13};\)

3. \(\dfrac{-5\sqrt{3}-12}{26};\)

4. \(\dfrac{5}{13}.\)

Задание 10.7

1. \(-\dfrac{\sqrt{357}+5}{24}\);

2. \(\dfrac{5}{12}\).

Задание 10.8

1. \(-\dfrac{3\sqrt{3}+4}{10};\)

2. \(\dfrac{3}{5}.\)

Задание 10.9

1. \(-\dfrac{77}{85};\)

2. \(\dfrac{36}{85}.\)

Задание 10.10

1. \(-\dfrac{84}{85};\)

2. \(\dfrac{13}{85}.\)

Задание 10.11

1. \(-\dfrac{36}{85};\)

2. \(\dfrac{77}{85}.\)

Задание 10.12

1. \(-\dfrac{1519}{1681};\)

2. \(\dfrac{720}{1681}.\)

Задание 10.13

1. \(-\dfrac{63}{65};\)

2. \(-\dfrac{16}{65}.\)

Задание 10.14

1. \(\dfrac{\sqrt{2}+\sqrt{6}}{4};\)

2. \(\dfrac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4};\)

3. \(\dfrac{\sqrt{2}+\sqrt{6}}{4};\)

4. \(\dfrac{\sqrt{2}-\sqrt{6}}{4}.\)

Задание 10.15

1. \(\dfrac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4};\)

2. \(\dfrac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4};\)

3. \(\dfrac{1}{4};\)

4. \(\dfrac{\sqrt{3}}{2}.\)

Задание 10.16

1. \(\dfrac{\sqrt{3}}{2};\)

2. \(-\dfrac{1}{2}.\)

Задание 10.17

1. \(1;\)

2. \(1.\)