1 Тригонометрическая окружность. Табличные значения углов. Область значений тригонометрических функций

Тригонометрическая окружность. Табличные значения углов. Область значений тригонометрических функций

$\Longrightarrow$ Тригонометрическая окружность

Задание 1.1

Посмотрите видео и заполните тригонометрическую окружность.

Задание 1.2

Вычислите $\sin t$ , $\cos t$ , $\tan t$ и $\cot t$ :

$t=0$ ;
$t=\dfrac{\pi}{2}$ ;
$t=\dfrac{3\pi}{2}$ ;
$t=\pi$ ;
$t=-2\pi$ ;
$t=-\dfrac{\pi}{2}$ ;
$t=-\dfrac{3\pi}{2}$ ;
$t=-\pi$ ;
$t=\dfrac{5\pi}{6}$ ;
$t=\dfrac{5\pi}{4}$ ;
$t=\dfrac{7\pi}{6}$ ;
$t=\dfrac{7\pi}{4}$ ;
$t=-\dfrac{7\pi}{4}$ ;
$t=-\dfrac{4\pi}{3}$ ;
$t=-\dfrac{5\pi}{6}$ ;
$t=-\dfrac{5\pi}{3}$ .

Задание 1.3

Вычислите:

$\sin \dfrac{11\pi}{6}$ ;
$\cos \left(-\dfrac{8\pi}{3}\right)$ ;
$\tan \left(-\dfrac{11\pi}{4}\right)$ ;
$\cot \dfrac{27\pi}{2}$ ;
$\sin \left(-\dfrac{55\pi}{4}\right)$ ;
$\cos \dfrac{29\pi}{6}$ ;
$\tan \left(-\dfrac{41\pi}{4}\right)$ ;
$\cot \left(-\dfrac{47\pi}{6}\right)$ ;
$\sin \dfrac{100\pi}{3}$ ;
$\cos \dfrac{123\pi}{4}$ ;
$\tan \left(-\dfrac{51\pi}{3}\right)$ ;
$\cot \dfrac{37\pi}{3}$ .

Задание 1.4

Найдите значение выражения:

$\sin{240^\circ}$ ;
$\tan{300^\circ}$ ;
$\cos{330^\circ}$ ;
$\cot{315^\circ}$ ;
$\cos{300^\circ}$ ;
$\sin{(-330^\circ)}$ ;
$\sin{210^\circ}$ ;
$\cos{(-420^\circ)}$ .

Задание 1.5

Найдите значение выражения:

$36\sqrt{6}\tan \dfrac{\pi}{6}\sin \dfrac{\pi}{4}$ ;
$4\sqrt{2}\cos \dfrac{\pi}{4}\cos \dfrac{7\pi}{3}$ ;
$\dfrac{8}{\sin\left(-\dfrac{27\pi}{4}\right)\cos \left(\dfrac{31\pi}{4}\right)}$ ;
$-4\sqrt{3}\cos(-750^\circ)$ ;
$2\sqrt{3}\tan(-300^\circ)$ ;
$-18\sqrt{2}\sin(-135^\circ)$ ;
$24\sqrt{2}\cos\left(-\dfrac{\pi}{3}\right)\sin \left(-\dfrac{\pi}{4}\right)$ ;
$12\sin150^\circ\cos120^\circ$ .

$\blacktriangleright$ Пример к заданию 1.6:

Может ли функция $y = \cos x$ принимать значения:

$-\dfrac{1}{5}$ ;
$-2$ ;
$\sqrt{3}$ ;
$\dfrac{9}{10}$ .

Решение:

Косинус угла может принимать любые значения от $-1$ до 1 включительно. Это можно понять с помощью тригонометрической окружности. Следовательно, для значений из промежутка $[-1;1]$ ответ будет «да».
А для значений, больших 1 или меньших $-1$ , ответ будет «нет».

1. Так как $-\dfrac{1}{5} \in[-1;1]$ , то $\cos{x}$ может принимать значение $-\dfrac{1}{5}$ ;

2. Так как $-2 < -1$ , то $\cos{x}$ не может принимать значение $-2$ ;

3. Так как $\sqrt{3} > 1$ , то $\cos{x}$ не может принимать значение $\sqrt{3}$ ;

4. Так как $\dfrac{9}{10} \in[-1;1]$ , то $\cos{x}$ может принимать значение $\dfrac{9}{10}$ .

Примечание:

Синус угла, так же как и косинус угла, может принимать любые значения от $-1$ до 1 включительно.
Тангенс и котангенс угла могут принимать любые значения.

Задание 1.6

1.6.1 Может ли функция $y = \cos x$ принимать значения:

$-\dfrac{2}{5}$ ;
$-\dfrac{\sqrt{10}}{5}$ ;
–2;
$\dfrac{\sqrt2}{4}$ ;
$\dfrac{5}{8}$ ;
$\sqrt1$ ;
$-\dfrac{10}{9}$ ;
0,99.

1.6.2 Может ли функция $y = \sin x$ принимать значения:

$\dfrac{2}{3}$ ;
$-\dfrac{\sqrt{24}}{5}$ ;
2;
$-\dfrac{\sqrt3}{5}$ ;
$\dfrac{15}{16}$ ;
$-\sqrt3$ ;
0,25;
$\dfrac{249}{248}$ .

1.6.3 Может ли функция $y = \tan x$ принимать значения:

$\dfrac{1}{3}$ ;
$-100$ ;
5;
$-\dfrac{\sqrt3}{2}$ ;
$\dfrac{15}{7}$ ;
$-1000$ ;
0,35;
$\dfrac{251}{248}$ .

1.6.4 Может ли функция $y = \cot x$ принимать значения:

$\dfrac{7}{3}$ ;
$-3$ ;
7;
$-\dfrac{\sqrt{144}}{5}$ ;
$\dfrac{21}{16}$ ;
$-\sqrt7$ ;
0,75;
$\dfrac{51}{32}$ .

Тригонометрическая окружность. Табличные значения углов. Область значений синуса и косинуса

Задание 1.1

Задание 1.2

$\sin t = 0$ , $\cos t = 1$ , $\tan t = 0$ , $\cot t \in \varnothing$ ;
$\sin t = 1$ , $\cos t = 0$ , $\tan t \in \varnothing$ , $\cot t = 0$ ;
$\sin t = -1$ , $\cos t = 0$ , $\tan t \in \varnothing$ , $\cot t = 0$ ;
$\sin t = 0$ , $\cos t = -1$ , $\tan t = 0$ , $\cot t \in \varnothing$ ;
$\sin t = 0$ , $\cos t = 1$ , $\tan t = 0$ , $\cot t \in \varnothing$ ;
$\sin t = -1$ , $\cos t = 0$ , $\tan t \in \varnothing$ , $\cot t = 0$ ;
$\sin t = 1$ , $\cos t = 0$ , $\tan t \in \varnothing$ , $\cot t = 0$ ;
$\sin t = 0$ , $\cos t = -1$ , $\tan t = 0$ , $\cot t \in \varnothing$ ;
$\sin t =\dfrac{1}{2}$ , $\cos t = -\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ , $\tan t = -\dfrac{\sqrt{3}}{3}$ , $\cot t = - \sqrt{3}$ ;
$\sin t = -\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ , $\cos t = -\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ , $\tan t = 1$ , $\cot t = 1$ ;
$\sin t = -\dfrac{1}{2}$ , $\cos t = -\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ , $\tan t = \dfrac{\sqrt{3}}{3}$ , $\cot t = \sqrt{3}$ ;
$\sin t = -\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ , $\cos t = \dfrac{\sqrt{2}}{2}$ , $\tan t = -1$ , $\cot t = -1$ ;
$\sin t = \dfrac{\sqrt{2}}{2}$ , $\cos t = \dfrac{\sqrt{2}}{2}$ , $\tan t = 1$ , $\cot t = 1$ ;
$\sin t = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$ , $\cos t = -\dfrac{1}{2}$ , $\tan t = - \sqrt{3}$ , $\cot t = -\dfrac{\sqrt{3}}{3}$ ;
$\sin t = -\dfrac{1}{2}$ , $\cos t = -\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ , $\tan t = \dfrac{\sqrt{3}}{3}$ , $\cot t = \sqrt{3}$ ;
$\sin t = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$ , $\cos t = \dfrac{1}{2}$ , $\tan t = \sqrt{3}$ , $\cot t = \dfrac{\sqrt{3}}{3}$ .

Задание 1.3

$-\dfrac{1}{2}$ ;
$-\dfrac{1}{2}$ ;
1;
0;
$\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ ;
$-\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ ;
$-1;$
$\sqrt{3}$ ;
$-\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ ;
$-\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ ;
0;
$\dfrac{\sqrt{3}}{3}$ .

Задание 1.4

$-\dfrac{\sqrt{3}}{2};$
$-\sqrt{3};$
$\dfrac{\sqrt{3}}{2};$
$-1;$
$\dfrac{1}{2};$
$\dfrac{1}{2};$
$-\dfrac{1}{2};$
$\dfrac{1}{2}.$

Задание 1.5

36;
2;
$-16;$
$-6;$
6;
18;
$-12;$
$-3.$

Задание 1.6

1.6.1

да;
да;
нет;
да;
да;
да;
нет;
да.

1.6.2

да;
да;
нет;
да;
да;
нет;
да;
нет.

1.6.3

да;
да;
да;
да;
да;
да;
да;
да.

1.6.4

да;
да;
да;
да;
да;
да;
да;
да.