7 Формулы приведения

Формулы приведения

Напомним, как выносить « $-$ » из аргументов тригонометрических функций.

Для решения задач из этого раздела Вам может быть полезно следующее видео:

$\Longrightarrow$ Формулы приведения за 20 минут

$\blacktriangleright$ Пример к заданию 7.1:

Упростите выражение:
$\cos{(2\pi-x)}.$
Решение:
Нанесём точку $2\pi$ на тригонометрической окружность. В этой точке функция не меняется на кофункцию, значит, у нас останется косинус.
Далее выбираем четверть в отрицательном направлении:
В этой четверти знак исходной функции, то есть косинуса, << $+$ >>, значит, у нас тоже будет знак << $+$ >>.
Тогда получаем, что $\cos{(2\pi-x)}=\cos{x}$ .
Упростите выражение:
$\cot{\Big(\dfrac{5\pi}{2}-x\Big)}.$
Решение:
Нанесём точку $\dfrac{5\pi}{2}$ на тригонометрической окружность. В этой точке функция меняется на кофункцию, значит у нас получится тангенс.
Далее выбираем четверть в отрицательном направлении:
В этой четверти знак исходной функции, то есть котангенса, << $+$ >>, значит, у нас тоже будет знак << $+$ >>.
Тогда получаем, что $\cot{\left(\dfrac{5\pi}{2}-x\right)=\tan{x}}$ .
Упростите выражение:
$\cos{\left(\dfrac{x}{2}-\dfrac{3\pi}{2}\right)}.$
Решение:
Нанесём точку $-\dfrac{3\pi}{2}$ на тригонометрической окружность. В этой точке функция меняется на кофункцию, значит, у нас получится синус. Далее выбираем четверть в положительном направлении:
В этой четверти знак исходной функции, то есть косинуса, << $-$ >>, значит, у нас тоже будет знак << $-$ >>.
Тогда получаем, что $\cos{\left(\dfrac{x}{2}-\dfrac{3\pi}{2}\right)}=-\sin{\dfrac{x}{2}}$ .
Упростите выражение:
$\sin{(270^\circ +x)}.$
Решение:
Нанесём точку $270^\circ$ на тригонометрической окружность. В этой точке функция меняется на кофункцию, значит, у нас получится косинус. Далее выбираем четверть в отрицательном направлении:
В этой четверти знак исходной функции, то есть синуса, << $-$ >>, значит, у нас тоже будет знак << $-$ >>.
Тогда получаем, что $\sin{(270^\circ +x)}=-\cos{x}$ .

Ответ:

$\cos{x}$ ;
$\tan{x}$ ;
$-\sin{\dfrac{x}{2}}$ ;
$-\cos{x}$ .

Задание 7.1

Упростить выражение:

$\cos{\Big(\dfrac{\pi}{2}-x\Big)};$
$\cos{\Big(\dfrac{3\pi}{2}+x\Big)};$
$\sin{(\pi+x)};$
$\sin{(\pi-x)};$
$\cos{\Big(\dfrac{\pi}{2}+x\Big)};$
$\cos{(2\pi+x)};$
$\sin{\Big(\dfrac{3\pi}{2}-x\Big)};$
$\tan{\Big(\dfrac{3\pi}{2}+x\Big)};$
$\cot{(\pi-x)};$
$\tan{(\pi+x)};$
$\cos{\left(2x-\dfrac{\pi}{2}\right)};$
$\cos{(4x-\pi)};$
$\sin{\left(2x-\dfrac{\pi}{2}\right)};$
$\sin{(4x-\pi)};$
$\sin{\left(\dfrac{x}{2}-\dfrac{3\pi}{2}\right)};$
$\tan{\left(2x-\dfrac{\pi}{2}\right)};$
$\tan{(4x-\pi)};$
$\tan{\left(\dfrac{x}{2}-\dfrac{3\pi}{2}\right)};$
$\cos{(90^\circ +x)};$
$\sin{(360^\circ -x)};$
$\cos{(180^\circ +x)};$
$\tan{(90^\circ -x)};$
$\cot{(180^\circ -x)};$
$\tan{(270^\circ +x)};$
$\cot{(360^\circ +x)}.$

Задание 7.2

Упростить выражение:

$\sin{(90^\circ-x)}+\cos{(180^\circ+x)}+\tan{(270^\circ+x)}+\cot{(360^\circ +x)};$
$\sin{\Big(\dfrac{\pi}{2}+x\Big)}-\cos{(\pi-x)}+\tan{(\pi-x)}+\cot{\Big(\dfrac{5\pi}{2}-x\Big)};$
$\sin{\left(\dfrac{\pi}{2}-x\right)}+\cos{(\pi-x)};$
$\dfrac{\sin{\left(\dfrac{\pi}{2}+x\right)}}{\cos{(\pi+x)}};$
$\sin{(\pi-x)}\tan{\left(\dfrac{3\pi}{2}+x\right)};$
$\cos{\left(\dfrac{\pi}{2}+x\right)}\cot{(\pi-x)};$
$\dfrac{\cos{(-x)\cos{(180^\circ+x)}}}{\sin{(-x)\sin{(90^\circ+x)}}};$
$\dfrac{\sin{(-x)\cot{(-x)}}}{\cos{(360^\circ-x)\tan{(180^\circ+x)}}};$
$\dfrac{\sin{(\pi+x)\cos{(2\pi-x)}}}{\tan{(\pi-x)\cos{(x-\pi)}}};$
$\dfrac{\sin{(\pi+x)\sin{(2\pi+x)}}}{\tan{(\pi+x)\cos{(1,5\pi+x)}}};$
$\dfrac{\tan{(\pi-x)\sin{\left(\dfrac{3\pi}{2}+x\right)}}}{\cos{(\pi+x)\tan{\left(\dfrac{3\pi}{2}+x\right)}}};$
$\dfrac{\sin{(\pi-x)\cot{\left(\dfrac{\pi}{2}-x\right)}\cos{(2\pi-x)}}}{\tan{(\pi+x)\tan{\left(\dfrac{\pi}{2}+x\right)}\sin{(-x)}}};$
$\tan{\left(\dfrac{\pi}{2}+x\right)}\tan{(\pi-x)};$
$\dfrac{\cot{\left(\dfrac{\pi}{2}+x\right)-\tan(\pi+x)}}{\cot{\left(\dfrac{3\pi}{2}+x\right)}};$
$\sin^2 {(\pi-x)}\tan^2 {\left(\dfrac{7\pi}{2}+x\right)};$
$\cos{\left(\dfrac{\pi}{2}+x\right)}\cot^2 {(\pi-x)}\cot {\left(\dfrac{7\pi}{2}+x\right)};$
$\dfrac{\cos{(\pi-x)}+\cos{\left(\dfrac{\pi}{2}-x\right)}}{\sin{(2\pi-x)}-\sin{\left(\dfrac{3\pi}{2}-x\right)}};$
$\dfrac{\sin^2{(\pi-x)}+\sin^2{\left(\dfrac{\pi}{2}-x\right)}}{\sin{(\pi-x)}}\cdot\tan{(\pi-x)}$ ;
$\dfrac{\tan{(\pi+x)}\sin{\left(\dfrac{5\pi}{2}-x\right)}}{\cos{(\pi-x)}\tan{\left(\dfrac{\pi}{2}+x\right)}};$
$\dfrac{\sin{(2\pi+x)}\cot{\left(\dfrac{3\pi}{2}-x\right)}\cos{(\pi-x)}}{\tan{(\pi-x)}\tan{\left(\dfrac{3\pi}{2}+x\right)}\sin{(-\pi -x)}}.$

Задание 7.3

Упростить выражение:

$\dfrac{\cos{(180^\circ+x)}\cos{(-x)}}{\sin{(-x)}\sin{(90^\circ+x)}};$
$\dfrac{\sin{(\pi-x)}\cos{(2\pi-x)}}{\tan{(\pi-x)}\cos{(\pi-x)}};$
$\dfrac{\sin{(-x)}\cot{(-x)}}{\cos{(360^\circ-x)}\tan{(180^\circ+x)}};$
$\dfrac{\sin{(\pi+x)}\sin{(2\pi+x)}}{\tan{(\pi+x)}\cos{\left(\dfrac{3\pi}{2}+x\right)}}.$

$\blacktriangleright$ Пример к заданию 7.4:

Упростить выражение:

\cos^2{(90^\circ+x)}+\sin^2{(270^\circ+x)}.

Решение:
Обратим внимание, что когда у нас тригонометрическая функция возводится в квадрат, то неважно какого знака получается результат применения формулы приведения, так как после возведения в квадрат знак все равно пропадает, даже если он был.
Тогда:
1. По формулам приведения $\cos^2{(90^\circ+x)}=(-\sin x)^2=\sin^2{x}$ .
2. По формулам приведения $\sin^2{(270^\circ+x)}=(-\cos x)^2=\cos^2{x}$ .
3. Подставим полученные результаты в начальное выражение и преобразуем его, используя основное тригонометрическое тождество:

\cos^2{(90^\circ+x)}+\sin^2{(270^\circ+x)}=\sin^2{x}+\cos^2{x}=1.

Ответ: $1$ .

Задание 7.4

Упростить выражение:

$\sin^2{(180^\circ-x)}+\sin^2{(270^\circ-x)};$
$\cos^2{(\pi+x)}+\cos^2{\left(\dfrac{\pi}{2}+x\right)};$
$\sin{(\pi-x)}\cos{\left(x-\dfrac{\pi}{2}\right)}-\sin{\left(x+\dfrac{\pi}{2}\right)}\cos{(\pi-x)};$
$\sin{(\pi+x)}\cos{\left(\dfrac{\pi}{2}+x\right)}-\cos{(2\pi+x)}\sin{\left(\dfrac{3\pi}{2}-x\right)}.$

Задание 7.5

Докажите тождество:

$\dfrac{\tan{(\pi-x)}}{\cos{(\pi+x)}}\cdot\dfrac{\sin{\left(\dfrac{3\pi}{2}+x\right)}}{\tan{\left(\dfrac{3\pi}{2}+x\right)}}=\tan^2{x};$
$\dfrac{\sin{(\pi-x)}}{\tan(\pi+x)}\cdot\dfrac{\cot{\left(\dfrac{\pi}{2}-x\right)}}{\tan{\left(\dfrac{\pi}{2}+x\right)}}\cdot\dfrac{\cos{(2\pi-x)}}{\sin(-x)}=\sin{x};$
$\dfrac{\cos^2{(\pi-x)}+\sin^2{\left(\dfrac{\pi}{2}-x\right)}+\cos{(\pi+x)}\cos{(2\pi-x)}}{\tan^2{\left(x-\dfrac{\pi}{2}\right)}\cot^2{\left(\dfrac{3\pi}{2}+x\right)}}=\cos^2{x};$
$\dfrac{\sin^2{\left(x-\dfrac{3\pi}{2}\right)}\cos{(2\pi-x)}}{\tan^2{\left(x-\dfrac{\pi}{2}\right)}\cos^2{\left(x-\dfrac{3\pi}{2}\right)}}=\cos{x}.$

Формулы приведения

Задание 7.1

$\sin{x};$
$\sin{x};$
$-\sin{x};$
$\sin{x};$
$-\sin{x};$
$\cos{x};$
$-\cos{x};$
$-\cot{x};$
$-\cot{x};$
$\tan{x};$
$\sin{2x};$
$-\cos{4x};$
$-\cos{2x};$
$-\sin{4x};$
$\cos{\frac{x}{2}};$
$-\cot{2x};$
$\tan{4x};$
$-\cot{\frac{x}{2}};$
$-\sin{x};$
$-\sin{x};$
$-\cos{x};$
$\cot{x};$
$-\cot{x};$
$-\cot{x};$
$\cot{x}.$

Задание 7.2

$0;$
$2\cos{x};$
$0;$
$-1;$
$-\cos{x};$
$\cos{x};$
$\cot{x};$
$\cot{x};$
$-\cos{x};$
$-\cos{x};$
$\tan^2{x};$
$\sin{x};$
$1;$
$2;$
$\cos^2 {x};$
$\cos{x};$
$-1;$
$-\frac{1}{\cos{x}};$
$\tan^2{x};$
$-\sin{x}.$

Задание 7.3

$\cot{x};$
$\cos{x};$
$\cot{x};$
$-\cos{x}.$

Задание 7.4

$1;$
$1;$
$1;$
$1.$

	$\sin{(-x)}=-\sin{x};$	$\tan{(-x)}=-\tan{x};$
	$\cos{(-x)}=\cos{x};$	$\cot{(-x)}=-\cot{x}.$