2 Тригонометрические уравнения. Уровень 1

Тригонометрические уравнения. Уровень 1

Для решения задач этого раздела вам может быть полезно следующее видео:

\(\Longrightarrow\) Простейшие тригонометрические уравнения

\(\blacktriangleright\) Примеры к заданию 2.1:

  1. Решите уравнение:

    \[\sin{x}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}.\]

    Решение:

    Отметим на тригонометрической окружности точки, соответствующие решению уравнения \(\sin{x}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}\):

    pic_2

    Эти точки соответствуют: \(\left[ \begin{gathered} x=\dfrac{\pi}{4}+2\pi n, \\ x=\dfrac{3\pi}{4}+2\pi n, \\ \end{gathered} \right. n\in\mathbb{Z}.\)

  2. Решите уравнение:

    \[\cos{x}=-\dfrac{1}{\sqrt{2}}.\]

    Решение:

    Отметим на тригонометрической окружности точки, соответствующие \(\cos{x}=-\dfrac{1}{\sqrt{2}}\):

    pic_3

    Эти точки соответствуют: \(x=\pm\dfrac{3\pi}{4}+2\pi n, n\in\mathbb{Z}.\)

Ответ:

  1. \(\dfrac{\pi}{4}+2\pi n,\,\,\, \dfrac{3\pi}{4}+2\pi n,\,\,\,n\in\mathbb{Z}\);

  2. \(\pm\dfrac{3\pi}{4}+2\pi n,\,\,\,n\in\mathbb{Z}\).

Задание 2.1

Решите уравнения:

  1. \(\sin{x}=\dfrac{1}{2}\);

  2. \(\sin{x}=-\dfrac{1}{2}\);

  3. \(\sin{x}=-\dfrac{\sqrt{2}}{2}\);

  4. \(\sin{x}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}\);

  5. \(\sin{x}=-\dfrac{\sqrt{3}}{2}\);

  6. \(\sin{x}=\dfrac{1}{\sqrt{2}}\);

  7. \(\sin{x}=-\dfrac{1}{\sqrt{2}}\);

  8. \(\cos{x}=\dfrac{1}{2}\);

  9. \(\cos{x}=-\dfrac{1}{2}\);

  10. \(\cos{x}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}\);

  11. \(\cos{x}=-\dfrac{\sqrt{2}}{2}\);

  12. \(\cos{x}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}\);

  13. \(\cos{x}=-\dfrac{\sqrt{3}}{2}\);

  14. \(\cos{x}=\dfrac{1}{\sqrt{2}}\).

\(\blacktriangleright\) Примеры к заданию 2.2:

  1. Решите уравнение:

    \[\cos{x}=1.\]

    Решение:
    Отметим на тригонометрической окружности точки, соответствующие \(\cos{x}=1\):

    pic_4

    Эти точки соответствуют: \(x=2\pi k,\,\,\,k\in\mathbb{Z}.\)

  2. Решите уравнение:

    \[\sin{x}=0.\]

    Решение:
    Отметим на тригонометрической окружности точки, соответствующие решению уравнения \(\sin{x}=0\):

    pic_5

    Эти точки соответствуют: \(\left[ \begin{gathered} x=2\pi k, \\ x=\pi+2\pi k, \\ \end{gathered} \right. k\in\mathbb{Z}.\)
    Две серии корней, полученные в решении, можно объединить в одну \(x=\pi k,\,\,\, k\in\mathbb{Z}.\) Допустимы обе формы записи ответа, но обычно используют более короткий вариант \(x=\pi k,\,\,\, k\in\mathbb{Z}.\)

Ответ:

  1. \(2\pi k,\,\,\,k\in\mathbb{Z}\);

  2. \(\pi k,\,\,\, k\in\mathbb{Z}\).

Задание 2.2

Решите уравнения:

  1. \(\cos{x}=0\);

  2. \(\cos{x}=1\);

  3. \(\cos{x}=2\);

  4. \(\cos{x}=-2\);

  5. \(\sin{x}=2\);

  6. \(\sin{x}=-2\);

  7. \(\sin{x}=1\);

  8. \(\sin{x}=-1\).

\(\blacktriangleright\) Примеры к заданию 2.3:

  1. Решите уравнение:

    \[\tan{x}=-\sqrt{3}.\]

    Решение:
    Отметим на тригонометрической окружности точки, соответствующие решению уравнения \(\tan x = - \sqrt{3}.\)

    pic_6

    Зная табличные значения, поймём, что тангенс равен \(-\sqrt{3}\) в точке \(-\dfrac{\pi}{3}\).
    Тангенс имеет период \(\pi\). То есть, если мы будем прибавлять или вычитать из точки \(-\dfrac{\pi}{3}\) любое целое количество раз число \(\pi\), то будем получать точки с таким же значением тангенса. Значит, эти точки тоже будут являться решениями нашего уравнения. Тогда наш ответ можно записать в виде:

    \[x=-\dfrac{\pi}{3} + \pi\cdot n,\]

    где \(n\) – целое число, которое показывает, сколько раз мы добавим число \(\pi\) к точке \(-\dfrac{\pi}{3}\), чтобы получить точку с тем же значением тангенса.
    По-другому можно записать ответ с использованием \(n \in \mathbb{Z}\).

    Окончательный ответ:

    \[x=-\dfrac{\pi}{3} + \pi n,\,\, n \in \mathbb{Z}.\]


  2. Решите уравнение:

    \[\cot{x}=1.\]

    Решение:
    Отметим на тригонометрической окружности точки, соответствующие решению уравнения \(\cot{x}=1\):

    pic_7

    Эти точки соответствуют: \(\left[ \begin{gathered} x=\dfrac{\pi}{4}+2\pi n, \\ x=-\dfrac{3\pi}{4}+2\pi n, \\ \end{gathered} \right. n \in\mathbb{Z}.\)
    Две серии корней, полученные в решении, можно объединить в одну \(x=\dfrac{\pi}{4}+\pi n,\,\,\, n\in\mathbb{Z}.\)
    Допустимы обе формы записи ответа, но обычно используют более короткий вариант \(x=\dfrac{\pi}{4}+\pi n,\,\,\, n\in\mathbb{Z}.\)

Ответ:

  1. \(-\dfrac{\pi}{3}+\pi n,\,\,\,n\in\mathbb{Z}\);

  2. \(\dfrac{\pi}{4}+\pi n,\,\,\, n\in\mathbb{Z}\).

Задание 2.3

Решите уравнения:

  1. \(\tan{x}=0\);

  2. \(\tan{x}=\dfrac{1}{\sqrt{3}}\);

  3. \(\tan{x}=-\dfrac{1}{\sqrt{3}}\);

  4. \(\tan{x}=1\);

  5. \(\tan{x}=-1\);

  6. \(\tan{x}=\sqrt{3}\);

  7. \(\tan{x}=\dfrac{\sqrt{3}}{3}\);

  8. \(\tan{x}=-\dfrac{\sqrt{3}}{3}\);

  9. \(\cot{x}=\dfrac{1}{\sqrt{3}}\);

  10. \(\cot{x}=-\dfrac{1}{\sqrt{3}}\);

  11. \(\cot{x}=1\);

  12. \(\cot{x}=-1\);

  13. \(\cot{x}=\sqrt{3}\);

  14. \(\cot{x}=-\sqrt{3}\);

  15. \(\cot{x}=\dfrac{\sqrt{3}}{3}\);

  16. \(\cot{x}=-\dfrac{\sqrt{3}}{3}\).

\(\blacktriangleright\) Пример к заданию 2.4:

Решите уравнение:

\[2\cos{x}+\sqrt{3}=0.\]

Решение:
Перенесём \(\sqrt{3}\) в правую часть равенства, а затем поделим обе части уравнения на 2. Получим следующее уравнение:

\[\cos{x}=-\dfrac{\sqrt{3}}{2}.\]

Отметим на тригонометрической окружности точки, соответствующие решению уравнения \(\cos x = - \dfrac{\sqrt{3}}{2}\):

pic_52

Эти точки соответствуют: \(\left[ \begin{array}{ll} x=\dfrac{5\pi}{6}+2\pi n, \\\\ x=-\dfrac{5\pi}{6}+2\pi n, \\ \end{array} \right.\)

где \(n\) – целое число, которое показывает, сколько раз мы добавляем число \(2\pi\) к точке \(\dfrac{5\pi}{6}\) или к точке \(-\dfrac{5\pi}{6}\), чтобы получить точку с тем же значением косинуса.
По-другому можно записать ответ с использованием \(n \in \mathbb{Z}\).

Окончательный ответ:

\[x=\pm \dfrac{5\pi}{6} + 2\pi n,\,\, n \in \mathbb{Z}.\]

Ответ: \(\pm \dfrac{5\pi}{6} + 2\pi n,\,\, n \in \mathbb{Z}.\)

Задание 2.4

Решите уравнения:

  1. \(\sin x -1 =0\);

  2. \(\cos x +1 =0\);

  3. \(1+2\sin x =0\);

  4. \(2\cos x -1 =0\).

\(\blacktriangleright\) Пример к заданию 2.5:

Решите уравнение:

\[\sqrt{12}\sin{x}+3=0.\]

Решение:

Перенесём 3 в правую часть равенства, а затем поделим обе части уравнения на \(\sqrt{12}\). Получим следующее уравнение:

\[\sin{x}=-\dfrac{3}{\sqrt{12}}, \ \sin{x}=-\dfrac{3}{2\sqrt{3}}, \ \sin{x}=-\dfrac{\sqrt{3}}{2}.\]

Отметим на тригонометрической окружности точки, соответствующие решению уравнения \(\sin x = - \dfrac{\sqrt{3}}{2}\):

pic_51

Эти точки соответствуют: \(\left[ \begin{array}{ll} x=-\dfrac{\pi}{3}+2\pi n, \\\\ x=-\dfrac{2\pi}{3}+2\pi n, \\ \end{array} \right.\)
где \(n\) – целое число, которое показывает, сколько раз мы добавляем число \(2\pi\) к точке \(-\dfrac{\pi}{3}\) или к точке \(-\dfrac{2\pi}{3}\), чтобы получить точку с тем же значением синуса.

По-другому можно записать ответ с использованием \(n \in \mathbb{Z}\).

Окончательный ответ:

\[\left[ \begin{array}{ll} x=-\dfrac{\pi}{3} + 2\pi n, \\\\ x=-\dfrac{2\pi}{3} + 2\pi n, \\ \end{array} \right. n \in \mathbb{Z}.\]

Ответ: \(-\dfrac{\pi}{3} + 2\pi n,\,\,-\dfrac{2\pi}{3} + 2\pi n,\,\, n \in \mathbb{Z}.\)

\(\Longrightarrow\) Решение

Задание 2.5

Решите уравнения:

  1. \(10\sin x=\sqrt{25}\);

  2. \(\sqrt{32} \sin x + 4= 0\);

  3. \(4\cos x - \sqrt{8} = 0\);

  4. \(4\cos x =- \sqrt{12}\).

\(\blacktriangleright\) Пример к заданию 2.6:

Решите уравнение:

\[5\sin{x}+\sqrt{26}=0.\]

Решение:

\[5\sin{x}+\sqrt{26}=0, \ \sin{x}=-\dfrac{\sqrt{26}}{5}.\]

Так как \(-1\leqslant \sin{x}\leqslant 1\), а \(-\dfrac{\sqrt{26}}{5}<-1\), то данное уравнение не имеет решений.

Ответ: \(\varnothing.\)

\(\Longrightarrow\) Решение

Задание 2.6

Решите уравнения:

  1. \(4\sin x=3\sqrt{2}\);

  2. \(4\sqrt{5}\sin x=-9\);

  3. \(7\cos x - 5\sqrt{2} = 0\);

  4. \(4\sqrt{3}\cos x +7=0\).

\(\blacktriangleright\) Пример к заданию 2.7

Решите уравнение:

\[2\sin^2{x}-\sin{x}=0.\]

Решение:
Вынесем общий множитель \(\sin{x}\) за скобки:

\[\sin{x}(2\sin{x}-1)=0.\]

Произведение двух множителей равно нулю тогда и только тогда, когда один из них равен нулю, а другой существует:

\[\begin{aligned} & \left[ \begin{aligned} & \sin{x}=0, \\ & 2\sin{x}-1=0; \end{aligned} \right. \\[8pt] & \left[ \begin{aligned} & x=\pi k, \\ & \sin{x}=\dfrac{1}{2}; \end{aligned} \right. \\[8pt] & \left[ \begin{aligned} & x=\pi k, \\ & x=\dfrac{\pi}{6}+2\pi k, \\ & x=\dfrac{5\pi}{6}+2\pi k; \end{aligned} \right. \quad k\in\mathbb{Z}. \end{aligned}\]

Ответ: \(\pi k, \dfrac{\pi}{6}+2\pi k, \dfrac{5\pi}{6}+2\pi k, k\in\mathbb{Z}.\)

\(\Longrightarrow\) Решение

Задание 2.7

Решите уравнения:

  1. \(2\cos^2{x}+\sqrt{3}\cos{x}=0;\)

  2. \(2\sin^2{x}+\sin{x}=0.\)

\(\blacktriangleright\) Пример к заданию 2.8

Решите уравнение:

\[2\sin^2x-1=0.\]

Решение:

\[2\sin^2x-1=0;\]
\[\sin^2x=\dfrac{1}{2};\]
\[\left[ \begin{gathered} \sin{x}=\dfrac{1}{\sqrt{2}}, \\ \sin{x}=-\dfrac{1}{\sqrt{2}}; \\ \end{gathered} \right.\]
\[\left[\begin{gathered} x=\dfrac{\pi}{4}+2\pi n, \\ x=\dfrac{3\pi}{4}+2\pi n, \\ x=-\dfrac{\pi}{4}+2\pi n, \\ x=-\dfrac{3\pi}{4}+2\pi n, \\ \end{gathered} \right. n\in\mathbb{Z}.\]

Решение уравнения, полученное выше, состоит из 4 серий решений. Отметим их на окружности и заметим, что между соседними решениями на окружности одинаковые дуги, равные \(\dfrac{\pi}{2}\), следовательно, ответ можно записать в виде одной серии

\[x=\dfrac{\pi}{4}+\dfrac{\pi n}{2},\,\,\,n\in\mathbb{Z}.\]

Обе записи ответа верные: и с четырьмя сериями, и с одной, и имеют право на существование, но обычно записывают более короткий вариант.

Ответ: \(\dfrac{\pi}{4}+\dfrac{\pi n}{2},\,\,\,n\in\mathbb{Z}.\)

\(\Longrightarrow\) Решение

Задание 2.8

Решите уравнения:

  1. \(4\cos^2{x}-3=0\);

  2. \(4\sin^2{x}-3=0\);

  3. \(\sin^2{x}-\dfrac{1}{4}=0\);

  4. \(4\cos^2{x}-2=0\).

\(\blacktriangleright\) Пример к заданию 2.9

Решите уравнение:

\[2\sin^2{x}-7\sin{x}+3=0.\]

Решение:

Пусть \(\sin{x}=t\), при этом \(t\in[-1;1]\). Тогда наше уравнение примет вид:

\[2t^2-7t+3=0.\]

Решая квадратное уравнение относительно переменной \(t\), получим следующие корни:

\[\left[ \begin{gathered} t=3 \,\, (\text{не подходит, так как }t\in[-1;1]), \\ t=\dfrac{1}{2}. \\ \end{gathered} \right.\]


Вернёмся к прежней переменной:

\[\sin{x}=\dfrac{1}{2},\]
\[\left[ \begin{gathered} x=\dfrac{\pi}{6}+2\pi k, \\ x=\dfrac{5\pi}{6}+2\pi k, \\ \end{gathered} \right.k\in \mathbb{Z}.\]

Ответ: \(\dfrac{\pi}{6}+2\pi k,\,\,\, \dfrac{5\pi}{6}+2\pi k,\,\,\,k\in \mathbb{Z}.\)

\(\Longrightarrow\) Решение

Задание 2.9

Решите уравнения:

  1. \(\sin^2{x}-3\sin{x}+2=0\);

  2. \(\cos^2{x}+4\cos{x}+3=0\).

\(\blacktriangleright\) Пример к заданию 2.10

Решите уравнение:

\[2\cos^2{x}+5\sin{x}=5.\]

Решение:

Преобразуем уравнение, применив основное тригонометрическое тождество:

\[2(1-\sin^2{x})+5\sin{x}=5,\]
\[2\sin^2{x}-5\sin{x}+3=0.\]

Пусть \(\sin{x}=t,\,\,\, t\in[-1;1]\), тогда:

\[2t^2-5t+3=0.\]

Решая уравнение относительно переменной \(t\), получим следующие корни:

\[\left[ \begin{gathered} t=\dfrac{3}{2} \,\, (\text{не подходит, так как }t\in[-1;1]), \\ t=1. \\ \end{gathered} \right.\]

Вернёмся к прежней переменной:

\[\sin{x}=1,\]
\[x=\dfrac{\pi}{2}+2\pi k, k\in \mathbb{Z}.\]

Ответ: \(\dfrac{\pi}{2}+2\pi k,~k\in \mathbb{Z}.\)

\(\Longrightarrow\) Решение

Задание 2.10

Решите уравнения:

  1. \(2\cos^2{x}+2\sin{x}=2,5\);

  2. \(2\cos^2{x}+5\sin{x}+1=0\);

  3. \(4\sin^2{x}-4\cos{x}=5\);

  4. \(2\sin^2{x}-5\cos{x}+1=0\).

Тригонометрические уравнения. Уровень 1

Задание 2.1

  1. \(\left\{\dfrac{\pi}{6}+2\pi k,\,\,\,\dfrac{5\pi}{6}+2\pi k,\,\,\, k\in\mathbb{Z} \right \}\);

  2. \(\left\{-\dfrac{\pi}{6}+2\pi k,\,\,\,-\dfrac{5\pi}{6}+2\pi k,\,\,\, k\in\mathbb{Z} \right \}\);

  3. \(\left\{-\dfrac{\pi}{4}+2\pi k,\,\,\,-\dfrac{3\pi}{4}+2\pi k,\,\,\, k\in\mathbb{Z} \right \}\);

  4. \(\left\{\dfrac{\pi}{3}+2\pi k,\,\,\,\dfrac{2\pi}{3}+2\pi k,\,\,\, k\in\mathbb{Z} \right \}\);

  5. \(\left\{-\dfrac{\pi}{3}+2\pi k,\,\,\,-\dfrac{2\pi}{3}+2\pi k,\,\,\, k\in\mathbb{Z} \right \}\);

  6. \(\left\{\dfrac{\pi}{4}+2\pi k,\,\,\,\dfrac{3\pi}{4}+2\pi k,\,\,\, k\in\mathbb{Z} \right \}\);

  7. \(\left\{-\dfrac{\pi}{4}+2\pi k,\,\,\,-\dfrac{3\pi}{4}+2\pi k,\,\,\, k\in\mathbb{Z} \right \}\);

  8. \(\left\{\pm\dfrac{\pi}{3}+2\pi k,\,\,\, k\in\mathbb{Z} \right \}\);

  9. \(\left\{\pm\dfrac{2\pi}{3}+2\pi k,\,\,\, k\in\mathbb{Z} \right \}\);

  10. \(\left\{\pm\dfrac{\pi}{4}+2\pi k,\,\,\, k\in\mathbb{Z}\right \}\);

  11. \(\left\{\pm\dfrac{3\pi}{4}+2\pi k,\,\,\, k\in\mathbb{Z}\right \}\);

  12. \(\left\{\pm\dfrac{\pi}{6}+2\pi k,\,\,\, k\in\mathbb{Z}\right \}\);

  13. \(\left\{\pm\dfrac{5\pi}{6}+2\pi k,\,\,\, k\in\mathbb{Z} \right \}\);

  14. \(\left\{\pm\dfrac{\pi}{4}+2\pi k,\,\,\, k\in\mathbb{Z} \right \}\).

Задание 2.2

  1. \(\left\{\dfrac{\pi}{2}+\pi k,\,\,\, k\in\mathbb{Z} \right \}\);

  2. \(\left\{2\pi k ,\,\,\, k\in\mathbb{Z}\right \}\);

  3. \(\varnothing\);

  4. \(\varnothing\);

  5. \(\varnothing\);

  6. \(\varnothing\);

  7. \(\left\{\dfrac{\pi}{2}+2\pi k,\,\,\, k\in\mathbb{Z} \right \}\);

  8. \(\left\{-\dfrac{\pi}{2}+2\pi k,\,\,\, k\in\mathbb{Z} \right \}\).

Задание 2.3

  1. \(\left\{\pi k,\,\,\, k\in\mathbb{Z} \right \}\);

  2. \(\left\{\dfrac{\pi}{6}+\pi k,\,\,\, k\in\mathbb{Z} \right \}\);

  3. \(\left\{\dfrac{5\pi}{6}+\pi k,\,\,\, k\in\mathbb{Z} \right \}\);

  4. \(\left\{\dfrac{\pi}{4}+\pi k,\,\,\, k\in\mathbb{Z} \right \}\);

  5. \(\left\{\dfrac{3\pi}{4}+\pi k,\,\,\, k\in\mathbb{Z} \right \}\);

  6. \(\left\{\dfrac{\pi}{3}+\pi k,\,\,\, k\in\mathbb{Z} \right \}\);

  7. \(\left\{\dfrac{\pi}{6}+\pi k,\,\,\, k\in\mathbb{Z} \right \}\);

  8. \(\left\{\dfrac{5\pi}{6}+\pi k,\,\,\, k\in\mathbb{Z} \right \}\);

  9. \(\left\{\dfrac{\pi}{3}+\pi k,\,\,\, k\in\mathbb{Z} \right \}\);

  10. \(\left\{\dfrac{2\pi}{3}+\pi k,\,\,\, k\in\mathbb{Z}\right \}\);

  11. \(\left\{\dfrac{\pi}{4}+\pi k,\,\,\, k\in\mathbb{Z} \right \}\);

  12. \(\left\{\dfrac{3\pi}{4}+\pi k,\,\,\, k\in\mathbb{Z} \right \}\);

  13. \(\left\{\dfrac{\pi}{6}+\pi k,\,\,\, k\in\mathbb{Z} \right \}\);

  14. \(\left\{\dfrac{5\pi}{6}+\pi k,\,\,\, k\in\mathbb{Z} \right \}\);

  15. \(\left\{\dfrac{\pi}{3}+\pi k,\,\,\, k\in\mathbb{Z} \right \}\);

  16. \(\left\{\dfrac{2\pi}{3}+\pi k,\,\,\, k\in\mathbb{Z} \right \}\).

Задание 2.4

  1. \(\left\{\dfrac{\pi}{2}+2\pi k,\,\,\, k\in\mathbb{Z}\right \};\)

  2. \(\left\{\pi+2\pi k,\,\,\, k\in\mathbb{Z}\right \};\)

  3. \(\left\{-\dfrac{\pi}{6}+2\pi k,\,\, -\dfrac{5\pi}{6}+2\pi k,\,\,\, k\in\mathbb{Z}\right \};\)

  4. \(\left\{\pm\dfrac{\pi}{3}+2\pi k,\,\,\, k\in\mathbb{Z}\right \}.\)

Задание 2.5

  1. \(\left\{\dfrac{\pi}{6}+2\pi k,\,\, \dfrac{5\pi}{6}+2\pi k,\,\,\, k\in\mathbb{Z}\right \};\)

  2. \(\left\{-\dfrac{\pi}{4}+2\pi k,\,\, -\dfrac{3\pi}{4}+2\pi k,\,\,\, k\in\mathbb{Z}\right \};\)

  3. \(\left\{\pm\dfrac{\pi}{4}+2\pi k,\,\,\, k\in\mathbb{Z}\right \};\)

  4. \(\left\{\pm\dfrac{5\pi}{6}+2\pi k,\,\,\, k\in\mathbb{Z}\right \}.\)

Задание 2.6

  1. \(\varnothing;\)

  2. \(\varnothing;\)

  3. \(\varnothing;\)

  4. \(\varnothing.\)

Задание 2.7

  1. \(\left\{\dfrac{\pi}{2}+\pi k,\,\,\,\pm\dfrac{5\pi}{6}+2\pi k,\,\,\, k\in\mathbb{Z}\right \};\)

  2. \(\left\{\pi k,\,\,\,-\dfrac{\pi}{6}+2\pi k,\,\,\, -\dfrac{5\pi}{6}+2\pi k,\,\,\, k\in\mathbb{Z}\right \}.\)

Задание 2.8

  1. \(\left\{\pm \dfrac{\pi}{6}+2\pi k,\,\,\, \pm \dfrac{5\pi}{6}+2\pi k,\,\,\, k\in\mathbb{Z} \right \}\)
    или \(\left\{\dfrac{\pi}{6}+\pi k,\,\,\, \dfrac{5\pi}{6}+\pi k,\,\,\, k\in\mathbb{Z} \right \}\);

  2. \(\left\{\pm \dfrac{\pi}{3}+2\pi k,\,\,\, \pm \dfrac{2\pi}{3}+2\pi k,\,\,\, k\in\mathbb{Z}\right \}\)
    или \(\left\{\dfrac{\pi}{3}+\pi k,\,\,\, \dfrac{2\pi}{3}+\pi k,\,\,\, k\in\mathbb{Z}\right \}\);

  3. \(\left\{\pm \dfrac{\pi}{6}+2\pi k,\,\,\, \pm \dfrac{5\pi}{6}+2\pi k,\,\,\, k\in\mathbb{Z} \right \}\)
    или \(\left\{\dfrac{\pi}{6}+\pi k,\,\,\, \dfrac{5\pi}{6}+\pi k,\,\,\, k\in\mathbb{Z} \right \}\);

  4. \(\left\{\pm\dfrac{\pi}{4}+2\pi k,\,\,\,\pm\dfrac{3\pi}{4}+2\pi k,\,\,\, k\in\mathbb{Z}\right \}\)
    или \(\left\{\dfrac{\pi}{4}+\dfrac{\pi k}{2},\,\,\, k\in\mathbb{Z} \right \}\).

Задание 2.9

  1. \(\left\{\dfrac{\pi}{2}+2\pi k,\,\,\, k\in\mathbb{Z}\right \};\)

  2. \(\left\{\pi+2\pi k,\,\,\, k\in\mathbb{Z}\right \}.\)

Задание 2.10

  1. \(\left\{\dfrac{\pi}{6}+2\pi k,\,\,\,\dfrac{5\pi}{6}+2\pi k,\,\,\, k\in\mathbb{Z}\right \};\)

  2. \(\left\{-\dfrac{\pi}{6}+2\pi k,\,\,\, -\dfrac{5\pi}{6}+2\pi k,\,\,\, k\in\mathbb{Z}\right \};\)

  3. \(\left\{\pm\dfrac{2\pi}{3}+2\pi k,\,\,\, k\in\mathbb{Z}\right \};\)

  4. \(\left\{\pm\dfrac{\pi}{3}+2\pi k,\,\,\, k\in\mathbb{Z}\right \}.\)