9 Различные варианты записи точек на тригонометрической окружности

Различные варианты записи точек на
тригонометрической окружности

Для решения задач этого раздела Вам может быть полезно следующее видео:

\(\Longrightarrow\) Различные варианты записи точек
на тригонометрической окружности

\(\blacktriangleright\) Пример к заданию 9.1

Дано множество точек \(\dfrac{2\pi}{3}+2\pi n,\,\, n\in\mathbb{Z}\).
a) Какое значение принимает выражение \(\dfrac{2\pi}{3}+2\pi n\) при:

\[1)\,n=1;\,\,\,\,\,\, 2)\, n=0;\,\,\,\,\,\, 3)\,n=-3?\]

б) Обозначьте данное множество точек на тригонометрической окружности.

Решение:

а) Подставим в уравнение, задающее множество точек,

\(n=1\):

\[\dfrac{2\pi}{3}+2\pi \cdot 1=\dfrac{2\pi+6\pi}{3}=\dfrac{8\pi}{3};\]

\(n=0\):

\[\dfrac{2\pi}{3}+2\pi \cdot 0=\dfrac{2\pi}{3};\]

\(n=-3\):

\[\dfrac{2\pi}{3}+2\pi \cdot (-3)=\dfrac{2\pi}{3}-6\pi=\dfrac{2\pi-18\pi}{3}=-\dfrac{16\pi}{3}.\]

Ответ: \(\dfrac{8\pi}{3}\), \(\dfrac{2\pi}{3}\), \(-\dfrac{16\pi}{3}\).

б)

pic_14

Задание 9.1

  1. Дано множество точек \(-\dfrac{\pi}{6}+\pi n,\,\, n\in\mathbb{Z}\).
    a) Какое значение принимает выражение \(-\dfrac{\pi}{6}+\pi n\) при:

    \[1)\,n=1;\,\,\,\,\,\, 2)\, n=0;\,\,\,\,\,\, 3)\,n=-3?\]

    б) Обозначьте данное множество точек на тригонометрической окружности.

  2. Дано множество точек \(\dfrac{\pi}{4}+\pi n,\,\, n\in\mathbb{Z}\).
    a) Какое значение принимает выражение \(\dfrac{\pi}{4}+\pi n\) при:

    \[1)\,n=1;\,\,\,\,\,\, 2)\, n=0;\,\,\,\,\,\, 3)\,n=-3?\]

    б) Обозначьте данное множество точек на тригонометрической окружности.

  3. Дано множество точек \(\dfrac{\pi k}{6},\,\, k\in\mathbb{Z}\).
    a) Какое значение принимает выражение \(\dfrac{\pi k}{6}\) при:

    \[1)\,k=1;\,\,\,\,\,\, 2)\, k=0;\,\,\,\,\,\, 3)\,k=-3?\]

    б) Обозначьте данное множество точек на тригонометрической окружности.

  4. Дано множество точек \(\dfrac{\pi}{4}+\dfrac{\pi k}{2},\,\, k\in\mathbb{Z}\).
    a) Какое значение принимает выражение \(\dfrac{\pi}{4}+\dfrac{\pi k}{2}\) при:

    \[1)\,k=1;\,\,\,\,\,\, 2)\, k=0;\,\,\,\,\,\, 3)\,k=-3?\]

    б) Обозначьте данное множество точек на тригонометрической окружности.

Задание 9.2

Выберите верные формы записи для множества точек, представленного на тригонометрической окружности.

pic_15

  1. \(\left[ \begin{array}{ll} \dfrac{\pi}{2}+2\pi n, \\ \\ \pm\dfrac{\pi}{6}+2\pi n,\\ \end{array} \right. n\in\mathbb{Z}.\)

  2. \(-\dfrac{\pi}{6}+\dfrac{2\pi n}{3},\,\,\,n\in\mathbb{Z}.\)

  3. \(\left[ \begin{array}{ll} \dfrac{\pi}{2}+\pi n, \\ \\ -\dfrac{\pi}{6}+\pi n,\\ \end{array} \right. n\in\mathbb{Z}.\)

  4. \(\left[ \begin{array}{ll} \dfrac{\pi}{2}+2\pi n, \\ \\ \dfrac{7\pi}{6}+2\pi n, \\ \\ \dfrac{11\pi}{6}+2\pi n,\\ \end{array} \right. n\in\mathbb{Z}.\)

  5. \(\dfrac{\pi}{2}-\dfrac{2\pi n}{3},\,\,\,n\in\mathbb{Z}.\)

  6. \(\left[ \begin{array}{ll} 2\pi n, \\ \\ (-1)^n\cdot\left(-\dfrac{\pi}{6}\right)+\pi n,\\ \end{array} \right. n\in\mathbb{Z}.\)

\(\blacktriangleright\) Примеры к задаче 9.3:

1. Задать одной или несколькими формулами множество точек, изображённых на тригонометрической окружности. Найти различные способы записи этих множеств, в том числе и объединяющие несколько точек на окружности. Отмеченные точки соответствуют табличным углам.

pic_16

Решение:

Способ 1. (Задаём формулой каждую точку).

1. Пронумеруем точки на окружности.

pic_17

2. Точка 1 совпадает с точкой \(\dfrac{\pi}{3}\) на окружности. Каждая такая точка получается из предыдущей поворотом на \(2\pi\). Поэтому множество точек 1 задаётся формулой

\[\dfrac{\pi}{3}++2\pi n,\,\,\,n\in\mathbb{Z.}\]

3. Перейдём к точке 2. На окружности она совпадает с точкой \(-\dfrac{2\pi}{3}\). Каждая такая точка получается из предыдущей поворотом на \(2\pi\). Поэтому множество точек 2 задаётся формулой

\[-\dfrac{2\pi}{3}+2\pi n,\,\,\,n\in\mathbb{Z.}\]

4. Мы задали формулами и точку 1, и точку 2. Объединяя обе формулы в совокупность, запишем ответ:

\[\left[ \begin{array}{ll} \dfrac{\pi}{3}+2\pi n, \\ \\ -\dfrac{2\pi}{3}+2\pi n,\\ \end{array} \right. n\in\mathbb{Z}.\]

Способ 2. (Пытаемся записать как можно больше точек в одной серии).

1. Смотря на рисунок, заметим, что при движении по окружности из точки 1 в точку 2 мы поворачиваемся на \(\pi\). Из точки 2 в точку 1 нам тоже надо повернуть по окружности на \(\pi\). Это значит, что каждый раз прибавляя по \(\pi\), мы будем получать либо точку 1, либо точку 2.

pic_18

2. Точка 1 совпадает с точкой \(\dfrac{\pi}{3}\) на окружности. Учитывая сказанное в первом пункте, можем записать ответ:

\[\dfrac{\pi}{3}+\pi n,\,\,\, n\in\mathbb{Z}.\]

Замечание! Мы могли стартовать из точки 2, которая совпадает с точкой \(-\dfrac{2\pi}{3}\) на окружности. Тогда ответ будет выглядеть, как:

\[-\dfrac{2\pi}{3}+\pi n,\,\,\, n\in\mathbb{Z}.\]

Мы могли бы стартовать и из точки 2, если бы задали её как \(\dfrac{4\pi}{3}\). Тогда ответ будет выглядеть, как:

\[\dfrac{4\pi}{3}+\pi n, \,\,\, n\in\mathbb{Z}.\]

2. Задать одной или несколькими формулами множество точек, изображённых на тригонометрической окружности. Найти различные способы записи этих множеств, в том числе и объединяющие несколько точек на окружности. Отмеченные точки соответствуют табличным углам.

pic_19

Решение:

Способ 1. (Задаём своей формулой каждую точку).

1. Пронумеруем точки на окружности.

pic_20

2. Точка 1 совпадает с точкой 0 на окружности. Каждая такая точка получается из предыдущей поворотом на \(2\pi\). Множество точек 1 задаётся формулой

\[2\pi n,\,\,\,n\in\mathbb{Z.}\]

3. Точка 2 совпадает с точкой \(\dfrac{\pi}{3}\) на окружности. Каждая такая точка получается из предыдущей поворотом на \(2\pi\). Следовательно, множество точек 2 задаётся формулой

\[\dfrac{\pi}{3}+2\pi n,\,\,\,n\in\mathbb{Z.}\]

4. Точка 3 совпадает с точкой \(\dfrac{2\pi}{3}\) на окружности. Каждая такая точка получается из предыдущей поворотом на \(2\pi\). Следовательно, множество точек 3 задаётся формулой

\[\dfrac{2\pi}{3}+2\pi n,\,\,\,n\in\mathbb{Z.}\]

5. Точка 4 совпадает с точкой \(\pi\) на окружности. Каждая такая точка получается из предыдущей поворотом на \(2\pi\). Следовательно, множество точек 4 задаётся формулой

\[\pi+2\pi n,\,\,\,n\in\mathbb{Z.}\]

Вместо \(\pi\) мы могли бы, например, взять \(-\pi.\)

6. Точка 5 совпадает с точкой \(-\dfrac{2\pi}{3}\) на окружности. Каждая такая точка получается из предыдущей поворотом на \(2\pi\). Следовательно, множество точек 5 задаётся формулой

\[-\dfrac{2\pi}{3}+2\pi n,\,\,\,n\in\mathbb{Z.}\]

Вместо \(-\dfrac{2\pi}{3}\) мы могли бы, например, взять \(\dfrac{4\pi}{3}.\)

7. Точка 6 совпадает с точкой \(-\dfrac{\pi}{3}\) на окружности. Каждая такая точка получается из предыдущей поворотом на \(2\pi\). Следовательно, множество точек 6 задаётся формулой

\[-\dfrac{\pi}{3}+2\pi n,\,\,\,n\in\mathbb{Z.}\]

Вместо \(-\dfrac{\pi}{3}\) мы могли бы, например, взять \(\dfrac{5\pi}{3}.\)

8. Мы задали формулами точки 1, 2, 3, 4, 5 и точку 6. Объединяя все формулы в совокупность, запишем ответ:

\[\left[ \begin{array}{ll} 2\pi n, \\ \\ \pm \dfrac{\pi}{3}+2\pi n, \\ \\ \pm \dfrac{2\pi}{3}+2\pi n,\\ \\ \pi+2\pi n, \\ \end{array} \right. n\in\mathbb{Z}.\]

Способ 2. (Пытаемся записать как можно больше точек в одной серии).

1. Заметим, что при движении по окружности из точки 1 в точку 2, из точки 2 в точку 3, из точки 3 в точку 4, из точки 4 в точку 5, из точки 5 в точку 6 и из точки 6 в точку 1 мы каждый раз осуществляем поворот на \(\dfrac{\pi}{3}\) (смотри рисунок). Это значит, что, каждый раз прибавляя по \(\dfrac{\pi}{3}\), мы будем получать одну из наших 6 точек.

pic_21

2. Точка 1 совпадает с точкой \(0\) на окружности. Учитывая сказанное в первом пункте, можем записать ответ:

\[0+\dfrac{\pi n}{3}=\dfrac{\pi n}{3},\,\,\, n\in\mathbb{Z}.\]

Способ 3. Можно также записать ответ 3 сериями, при помощи поворотов на \(\pi n\) пар точек 1 и 4, 2 и 5, 3 и 6 (смотри рисунки).

pic_22pic_23pic_24

Объединяя все серии в совокупность, запишем ответ:

\[\left[ \begin{array}{ll} \pi n, \\ \\ \dfrac{\pi}{3}+\pi n, \\ \\ \dfrac{2\pi}{3}+\pi n,\\ \end{array} \right. n\in\mathbb{Z}.\]

Задание 9.3

Задать одной или несколькими формулами множество точек, изображённых на тригонометрической окружности. Найти различные способы записи этих множеств, в том числе и объединяющие несколько точек на окружности. Отмеченные точки соответствуют табличным углам.

1.

2.

3.

4.

pic_25pic_26pic_27pic_28

5.

6.

7.

8.

pic_29pic_30pic_31pic_32

9.

10.

11.

12.

pic_33pic_34pic_35pic_36

13.

14.

15.

16.

pic_37pic_38pic_39pic_40

17.

18.

19.

20.

pic_41pic_42pic_43pic_44

Различные варианты записи точек на тригонометрической окружности

Задание 9.1

а)

t]l 1) \(\dfrac{5\pi}{6};\)

2) \(-\dfrac{\pi}{6};\)

3) \(-\dfrac{19\pi}{6}.\)

б) \(x=-\dfrac{\pi}{6}+\pi n, \ n \in\mathbb{Z}.\)

pic_47

а)

t]l 1) \(\dfrac{5\pi}{4};\)

2) \(\dfrac{\pi}{4};\)

3) \(-\dfrac{11\pi}{4}.\)

б) \(x=\dfrac{\pi}{4}+\pi n, \ n \in\mathbb{Z.}\)

pic_48

а)

t]l 1) \(\dfrac{\pi}{6};\)

2) \(0;\)

3) \(-\dfrac{\pi}{2}.\)

б) \(x=\dfrac{\pi k}{6}, \ k \in\mathbb{Z.}\)

pic_49

а)

t]l 1) \(\dfrac{3\pi}{4};\)

2) \(\dfrac{\pi}{4};\)

3) \(-\dfrac{5\pi}{4}.\)

б) \(x=\dfrac{\pi}{4}+ \dfrac{\pi k}{2}, \ k \in\mathbb{Z.}\)

pic_50

Задание 9.2

2, 4, 5.

Задание 9.3

  1. \(\left\{\pi n,\,\,\, n\in\mathbb{Z}\right \};\)

    \(\left\{2\pi k,\,\,\,\pi+2\pi k,\,\,\, k\in\mathbb{Z}\right \}.\)

  2. \(\left\{\dfrac{\pi}{2}+\pi n,\,\,\, n\in\mathbb{Z}\right \};\)

    \(\left\{\dfrac{\pi}{2}+2\pi k,\,\,\,-\dfrac{\pi}{2}+2\pi k,\,\,\, k\in\mathbb{Z}\right \}\).

  3. \(\left\{\dfrac{\pi n}{2},\,\,\, n\in\mathbb{Z}\right \};\)

    \(\left\{\pi k,\,\,\,\dfrac{\pi}{2}+\pi k,\,\,\, k\in\mathbb{Z}\right \};\)

    \(\left\{\pi m,\,\,\,\pm\dfrac{\pi}{2}+2\pi m,\,\,\, m\in\mathbb{Z}\right \};\)

    \(\left\{2\pi p,\,\,\,\pm\dfrac{\pi}{2}+2\pi p,\,\,\,\pi+2\pi p,\,\,\, p\in\mathbb{Z}\right \};\)

    \(\left\{2\pi q,\,\,\,\dfrac{\pi}{2}+2\pi q,\,\,\,-\dfrac{\pi}{2}+2\pi q,\,\,\,\pi+2\pi q,\,\,\, q\in\mathbb{Z}\right \}.\)

  4. \(\left\{\dfrac{\pi}{4}+\pi n,\,\,\, n\in\mathbb{Z}\right \};\)

    \(\left\{\dfrac{\pi}{4}+2\pi k,\,\,\,-\dfrac{3\pi}{4}+2\pi k,\,\,\, k\in\mathbb{Z}\right \}.\)

  5. \(\left\{\dfrac{\pi}{4}+\dfrac{\pi n}{2},\,\,\, n\in\mathbb{Z}\right \};\)

    \(\left\{\pm\dfrac{\pi}{4}+\pi k,\,\,\, k\in\mathbb{Z}\right \};\)

    \(\left\{\pm\dfrac{\pi}{4}+2\pi m,\,\,\,\pm\dfrac{3\pi}{4}+2\pi m,\,\,\, m\in\mathbb{Z}\right \};\)

    \(\left\{\dfrac{\pi}{4}+\pi p,\,\,\,-\dfrac{\pi}{4}+\pi p,\,\,\, p\in\mathbb{Z}\right \};\)

    \(\left\{\dfrac{\pi}{4}+2\pi q,\,\,\,\dfrac{3\pi}{4}+2\pi q,\,\,\,-\dfrac{\pi}{4}+2\pi q,\,\,\,\\ \\-\dfrac{3\pi}{4}+2\pi q,\,\,\, q\in\mathbb{Z}\right \}.\)

  6. \(\left\{\pm\dfrac{\pi}{3}+2\pi n,\,\,\, n\in\mathbb{Z}\right \};\)

    \(\left\{\dfrac{\pi}{3}+2\pi k,\,\,\,-\dfrac{\pi}{3}+2\pi k,\,\,\, k\in\mathbb{Z}\right \}.\)

  7. \(\left\{-\dfrac{\pi}{4}+\pi n,\,\,\, n\in\mathbb{Z}\right \};\)

    \(\left\{\dfrac{3\pi}{4}+2\pi k,\,\,\,-\dfrac{\pi}{4}+2\pi k,\,\,\, k\in\mathbb{Z}\right \}.\)

  8. \(\left\{\dfrac{\pi}{3}+2\pi n,\,\,\,\dfrac{2\pi}{3}+2\pi n,\,\,\, n\in\mathbb{Z}\right \}.\)

  9. \(\left\{\dfrac{2\pi n}{3},\,\,\, n\in\mathbb{Z}\right \};\)

    \(\left\{2\pi k,\,\,\,\pm\dfrac{2\pi}{3}+2\pi k,\,\,\, k\in\mathbb{Z}\right \};\)

    \(\left\{2\pi m,\,\,\,\dfrac{2\pi}{3}+2\pi m,\,\,\,-\dfrac{2\pi}{3}+2\pi m,\,\,\, m\in\mathbb{Z}\right \}.\)

  10. \(\left\{-\dfrac{\pi}{6}+2\pi n,\,\,\, -\dfrac{5\pi}{6}+2\pi n,\,\,\, n\in\mathbb{Z}\right \}.\)

  11. \(\left\{\dfrac{\pi}{6}+\pi n,\,\,\, n\in\mathbb{Z}\right \};\)

    \(\left\{\dfrac{\pi}{6}+2\pi k,\,\,\,-\dfrac{5\pi}{6}+2\pi k,\,\,\, k\in\mathbb{Z}\right \}.\)

  12. \(\left\{\dfrac{\pi}{6}+\dfrac{2\pi n}{3},\,\,\, n\in\mathbb{Z}\right \};\)

    \(\left\{\dfrac{\pi}{6}+2\pi k,\,\,\,\dfrac{5\pi}{6}+2\pi k,\,\,\,-\dfrac{\pi}{2}+2\pi k,\,\,\, k\in\mathbb{Z}\right \}.\)

  13. \(\left\{\pm\dfrac{\pi}{6}+\pi n,\,\,\, n\in\mathbb{Z}\right \};\)

    \(\left\{\dfrac{\pi}{6}+\pi k,\,\,\,-\dfrac{\pi}{6}+\pi k,\,\,\, k\in\mathbb{Z}\right \};\)

    \(\left\{\pm\dfrac{\pi}{6}+2\pi m,\,\,\,\pm\dfrac{5\pi}{6}+2\pi m,\,\,\, m\in\mathbb{Z}\right \};\)

    \(\left\{\dfrac{\pi}{6}+2\pi p,\,\,\,\dfrac{5\pi}{6}+2\pi p,\,\,\,-\dfrac{\pi}{6}+2\pi p,\,\,\,\\ \\-\dfrac{5\pi}{6}+2\pi p,\,\,\, p\in\mathbb{Z}\right \}.\)

  14. \(\left\{\pm\dfrac{\pi}{3}+\pi n,\,\,\, n\in\mathbb{Z}\right \};\)

    \(\left\{\dfrac{\pi}{3}+\pi k,\,\,\,-\dfrac{\pi}{3}+\pi k,\,\,\, k\in\mathbb{Z}\right \};\)

    \(\left\{\pm\dfrac{\pi}{3}+2\pi m,\,\,\,\pm\dfrac{2\pi}{3}+2\pi m,\,\,\, m\in\mathbb{Z}\right \};\)

    \(\left\{\dfrac{\pi}{3}+2\pi p,\,\,\,\dfrac{2\pi}{3}+2\pi p,\,\,\,-\dfrac{\pi}{3}+2\pi p,\,\,\,\\ \\-\dfrac{2\pi}{3}+2\pi p,\,\,\, p\in\mathbb{Z}\right \}.\)

  15. \(\left\{\dfrac{\pi}{6}+\dfrac{\pi n}{3},\,\,\, n\in\mathbb{Z}\right \};\)

    \(\left\{\pm\dfrac{\pi}{6}+\pi k,\,\,\,\pm\dfrac{\pi}{2}+2\pi k,\,\,\, k\in\mathbb{Z}\right \};\)

    \(\left\{\dfrac{\pi}{6}+\pi m,\,\,\,-\dfrac{\pi}{6}+\pi m,\,\,\,\dfrac{\pi}{2}+\pi m,\,\,\, m\in\mathbb{Z}\right \};\)

    \(\left\{\pm\dfrac{\pi}{6}+2\pi p,\,\,\,\pm\dfrac{5\pi}{6}+2\pi p,\,\,\,\dfrac{\pi}{2}+\pi p,\,\,\, p\in\mathbb{Z}\right \};\)

    \(\left\{\dfrac{\pi}{6}+2\pi q,\,\,\,\dfrac{5\pi}{6}+2\pi q,\,\,\,-\dfrac{\pi}{6}+2\pi q,\,\,\,-\dfrac{5\pi}{6}+2\pi q,\,\,\,\dfrac{\pi}{2}+2\pi q,\,\,\,-\dfrac{\pi}{2}+2\pi q,\,\,\, q\in\mathbb{Z}\right \}.\)

  16. \(\left\{\dfrac{\pi}{2}+\pi n,\,\,\, \pi+2\pi n,\,\,\, n\in\mathbb{Z}\right \};\)

    \(\left\{\pm\dfrac{\pi}{2}+2\pi k,\,\,\, \pi+2\pi k,\,\,\, k\in\mathbb{Z}\right \};\)

    \(\left\{\dfrac{\pi}{2}+2\pi m,\,\,\, \pi+2\pi m,\,\,\,-\dfrac{\pi}{2}+2\pi m,\,\,\, m\in\mathbb{Z}\right \}.\)

  17. \(\left\{\dfrac{\pi}{3}+2\pi n,\,\,\, -\dfrac{\pi}{6}+2\pi n, \,\,\, -\dfrac{5\pi}{6}+2\pi n,\,\,\, n\in\mathbb{Z}\right \}\).

  18. \(\left\{-\dfrac{\pi}{4}+\pi n,\,\,\, -\dfrac{\pi}{2}+2\pi n,\,\,\, n\in\mathbb{Z}\right \};\)

    \(\left\{\dfrac{3\pi}{4}+2\pi k,\,\,\,-\dfrac{\pi}{4}+2\pi k,\,\,\, -\dfrac{\pi}{2}+2\pi k,\,\,\, k\in\mathbb{Z}\right \}.\)

  19. \(\left\{\dfrac{\pi}{3}+\dfrac{2\pi n}{3},\,\,\, n\in\mathbb{Z}\right \};\)

    \(\left\{\pm\dfrac{\pi}{3}+2\pi k,\,\,\,\pi+2\pi k,\,\,\, k\in\mathbb{Z}\right \};\)

    \(\left\{\dfrac{\pi}{3}+2\pi m,\,\,\,\pi+2\pi m, -\dfrac{\pi}{3}+2\pi m,\,\,\, m\in\mathbb{Z}\right \}.\)

  20. \(\left\{\dfrac{\pi}{2}+2\pi n, \,\,\, -\dfrac{\pi}{3}+2\pi n,\,\,\, -\dfrac{2\pi}{3}+2\pi n,\,\,\, n\in\mathbb{Z}\right \}\).