11 Формулы двойного угла

Формулы двойного угла

Для решения задач этого раздела Вам может быть полезно следующее видео:

$\Longrightarrow$ Формулы синуса и косинуса двойного угла

$\blacktriangleright$ Пример к заданию 11.1:

Вычислите $2\sin{\dfrac{\pi}{8}} \cos{\dfrac{\pi}{8}}.$
Решение:
По формуле синуса двойного угла:
$2\sin{\dfrac{\pi}{8}} \cos{\dfrac{\pi}{8}}=\sin{\left( 2\cdot \dfrac{\pi}{8} \right )}=\sin{\dfrac{\pi}{4}}=\dfrac{1}{\sqrt{2}}.$
Вычислите $\sin{\dfrac{\pi}{12}}\cos{\dfrac{\pi}{12}}+\dfrac{3}{4}.$
Решение:
Для начала попробуем понять, что нам делать с выражением $\sin{\dfrac{\pi}{12}}\cos{\dfrac{\pi}{12}}$ . Анализируя решение предыдущего примера, мы понимаем, что
$2\sin{\dfrac{\pi}{12}} \cos{\dfrac{\pi}{12}}=\sin{\left( 2\cdot \dfrac{\pi}{12} \right )}=\sin{\dfrac{\pi}{6}}=\dfrac{1}{2}.$
Тогда
$\sin{\dfrac{\pi}{12}}\cos{\dfrac{\pi}{12}}=\dfrac{2\sin{\frac{\pi}{12}}\cos{\frac{\pi}{12}}}{2}=\dfrac{\sin{\left(2\cdot \frac{\pi}{12}\right)}}{2}=\dfrac{\sin{\frac{\pi}{6}}}{2}=\dfrac{\frac{1}{2}}{2}=\dfrac{1}{4}.$ $\sin{\dfrac{\pi}{12}}\cos{\dfrac{\pi}{12}}+\dfrac{3}{4}=\dfrac{2\sin{\dfrac{\pi}{12}}\cos{\dfrac{\pi}{12}}}{2}+\dfrac{3}{4}=\dfrac{\sin{\left( 2\cdot\dfrac{\pi}{6}\right)}}{2}+\dfrac{3}{4}=\dfrac{\sin{\dfrac{\pi}{6}}}{2}+\dfrac{3}{4}=\dfrac{\dfrac{1}{2}}{2}=\dfrac{1}{4}+\dfrac{3}{4}=1.$
Вычислите $\left(\cos{\dfrac{\pi}{8}}-\sin{\dfrac{\pi}{8}}\right)^2.$
Решение:
Раскроем скобки по формуле квадрата разности $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$ и применим формулы синуса двойного угла $\sin{2\alpha}=2\sin{\alpha}\cos{\alpha}$ и основное тригонометрическое тождество $\sin^2{\alpha}+\cos^2{\alpha}=1$ :
$\left(\cos{\dfrac{\pi}{8}}-\sin{\dfrac{\pi}{8}}\right)^2=\cos^2{\dfrac{\pi}{8}}-2\sin{\dfrac{\pi}{8}}\cos{\dfrac{\pi}{8}}+\sin^2{\dfrac{\pi}{8}}=\cos^2{\dfrac{\pi}{8}}+\sin^2{\dfrac{\pi}{8}}-2\sin{\dfrac{\pi}{8}}\cos{\dfrac{\pi}{8}}=$ $=1-\sin{\left( 2\cdot \dfrac{\pi}{8} \right )}=1-\sin{\dfrac{\pi}{4}}=1-\dfrac{1}{\sqrt{2}}.$
Вычислите $\dfrac{2\tan{\dfrac{\pi}{8}}}{1-\tan^2{\dfrac{\pi}{8}}}.$
Решение:
По формуле тангенса двойного угла:
$\dfrac{2\tan{\dfrac{\pi}{8}}}{1-\tan^2{\dfrac{\pi}{8}}}=\tan{\left( 2\cdot \dfrac{\pi}{8} \right )}=\tan{\dfrac{\pi}{4}}=1.$

Задание 11.1

Вычислите:

$2\sin{15^\circ}\cos{15^\circ};$
$\cos^2{15^\circ}-\sin^2{15^\circ};$
$2\sin{\dfrac{\pi}{8}}\cos{\dfrac{\pi}{8}};$
$\cos^2{\dfrac{\pi}{8}}-\sin^2{\dfrac{\pi}{8}};$
$2\cos^2{75^\circ}-1;$
$1-2\sin^2{\dfrac{7\pi}{12}};$
$1-2\cos^2{\dfrac{5\pi}{8}};$
$2\sin^2{165^\circ}-1;$
$4\sin{75^\circ}\cos{75^\circ};$
$(\cos{75^\circ}-\sin{75^\circ})^2;$
$(\cos{15^\circ}+\sin{15^\circ})^2;$
$\Big(\cos{\dfrac{\pi}{12}}+\sin{\dfrac{\pi}{12}}\Big)^2;$
$\Big(\sin{\dfrac{7\pi}{8}}+\cos{\dfrac{7\pi}{8}}\Big)^2;$
$\dfrac{\sqrt{2}}{2}-\Big(\cos{\dfrac{\pi}{8}}+\sin{\dfrac{\pi}{8}}\Big)^2;$
$\sin{\dfrac{\pi}{8}}\cos{\dfrac{\pi}{8}}+\dfrac{1}{4};$
$\dfrac{1}{2}\sin{105^\circ}\cos{105^\circ};$
$\dfrac{2\tan{15^\circ}}{1-\tan^2{15^\circ}};$
$\dfrac{\tan{\dfrac{\pi}{8}}}{1-\tan^2{\dfrac{\pi}{8}}};$
$\dfrac{\tan{75^\circ}}{1-\tan^2{75^\circ}};$
$\dfrac{2\tan{\dfrac{\pi}{6}}}{\tan^2{\dfrac{\pi}{6}}-1}.$

$\blacktriangleright$ Пример к заданию 11.2:

Упростите выражение $\dfrac{1+\cos{2x}}{\cos{x}}$ .
Решение:

Распишем в числителе косинус двойного угла по формуле $\cos{2\gamma}=2\cos^2\gamma-1$ :
$\dfrac{1+\cos{2x}}{\cos{x}}=\dfrac{1+2\cos^2x-1}{\cos{x}}=\dfrac{2\cos^2x}{\cos{x}}=2\cos{x}.$
Упростите выражение $\dfrac{\sin{100^\circ}}{2\cos{50^\circ}}$ .
Решение:

Распишем в числителе синус двойного угла по формуле $\sin{2\gamma}=2\sin{\gamma}\cos{\gamma}$ :
\[\dfrac{\sin{100^\circ}}{2\cos{50^\circ}}=\dfrac{2\sin{50^\circ}\cos{50^\circ}}{2\cos{50^\circ}}=\sin{50^\circ}.\]
Ответ:
1. — $2\cos{x}$ ;
2. — $\sin{50^\circ}$ .

Задание 11.2

Упростите выражения:

$\dfrac{\sin{2x}}{\cos{x}};$
$\dfrac{2\sin^2{x}}{\sin{2x}};$
$\dfrac{1-\cos{2x}}{\sin{x}};$
$\cos^2{x}-\cos{2x};$
$\sin{2x}+(\sin{x}-\cos{x})^2;$
$\sin{2x}\cot{x}-1;$
$\dfrac{\sin{2x}}{\cos{x}}-\sin{x};$
$(\tan{x}+\cot{x})\sin{2x};$
$\dfrac{\cos{2x}-\cos^2{x}}{1-\cos^2{x}};$
$\dfrac{\cos{2x}-\sin{2x}}{\cos{4x}};$
$\dfrac{\cos{2x}}{\cos{x}-\sin{x}}-\sin{x};$
$\dfrac{\sin{40^\circ}}{\sin{20^\circ}};$
$\dfrac{\cos{36^\circ}+\sin^2{18^\circ}}{\cos{18^\circ}};$
$\dfrac{\cos{40^\circ+\sin^2{20^\circ}}}{\cos^2{20^\circ}};$
$\dfrac{\cos{80^\circ}}{\cos{40^\circ}+\sin{40^\circ}};$
$\dfrac{\cos{10^\circ}}{\cos{5^\circ}+\sin{5^\circ}}+\sin{5^\circ};$
$\dfrac{\sin{6x}}{\cos^2{3x}};$
$\dfrac{\sin{4x}}{\cos{2x}};$
$(\cos{3x}+\sin{3x})(\cos{3x}-\sin{3x});$
$\dfrac{\sin{x}}{2\cos^2{\dfrac{x}{2}}};$
$\dfrac{\cos{x}}{\cos{\dfrac{x}{2}}+\sin{\dfrac{x}{2}}};$
$2\sin{\dfrac{\pi+x}{2}}\cos{\dfrac{\pi+x}{2}};$
$\cos^2{\dfrac{\pi+x}{4}}-\sin^2{\dfrac{\pi+x}{4}};$
$\dfrac{2}{\tan{x}+\cot{x}};$
$\dfrac{2}{\tan{x}-\cot{x}}.$

$\blacktriangleright$ Пример к заданию 11.3:

Докажите тождество $\sin{2x}\cos{2x}=\dfrac{1}{2}\sin{4x}$ .
Решение:

Распишем $\sin{4x}$ по формуле синуса двойного угла:
$\dfrac{1}{2}\sin{4x}=\dfrac{1}{2}\cdot2\sin{2x}\cos{2x}=\sin{2x}\cos{2x}.$
Докажите тождество $\cos^4{x}-\sin^4{x}=\cos{2x}$ .
Решение:

Распишем в левой части $\cos^4{x}-\sin^4{x}$ , как разность квадратов и применим формулу косинуса двойного угла и основное тригонометрическое тождество:
$\cos^4{x}-\sin^4{x}=(\cos^2{x}+\sin^2{x})(\cos^2{x}-\sin^2{x})=1\cdot\cos{2x}=\cos{2x}.$
Докажите тождество $\sin{x}\cos^3{x}-\cos{x}\sin^3{x}=\dfrac{1}{4}\sin{4x}.$
Решение:

Домножим каждую из частей тождества на $4$ :
$4\sin{x}\cos^3{x}-4\cos{x}\sin^3{x}=\sin{4x}$
Вынесем общий множитель в левой части и воспользуемся формулой синуса и косинуса двойного угла:
$4\sin{x}\cos^3{x}-4\cos{x}\sin^3{x}=2\cdot2\sin{x}\cos{x}(\cos^2{x}-\sin^2{x})=2\sin{2x}\cos{2x}=\sin{4x}.$
Докажите тождество $\cos{(2\alpha+2\beta)}=\cos^2{(\alpha+\beta)}-\sin^2{(\alpha+\beta)}.$
Решение:

Сделаем замену $\alpha+\beta=x$ , получим формулу косинуса двойного угла:
$\cos{2x}=\cos^2{x}-\sin^2{x}.$
Тогда, очевидно, что тождество верно.

Задание 11.3

Докажите тождества:

— $(\sin{x}-\cos{x})^2=1-\sin{2x};$
— $2\cos^2{x}=1+\cos{2x};$
— $(\sin{x}+\cos{x})^2=1+\sin{2x};$
— $2\sin^2{x}=1-\cos{2x};$
— $\sin{\dfrac{x}{2}}\cos{\dfrac{x}{2}}=\dfrac{1}{2}\sin{x};$
— $\cos^2{\dfrac{x}{4}}-\sin^2{\dfrac{x}{4}}=\cos{\dfrac{x}{2}};$
— $\cos^2{\dfrac{x}{2}}-\sin^2{\dfrac{x}{2}}=\cos{x};$
— $\cos^4{x}+\sin^4{x}=1-\dfrac{1}{2}\sin^2{2x};$
— $\cot{x}-\sin{2x}=\cot{x}\cos{2x};$
— $\sin{2x}-\tan{x}=\cos{2x}\tan{x};$
— $(1+\cos{2x})\tan{x}=\sin{2x};$
— $\dfrac{\cos{2x}}{\sin{x}\cos{x}+\sin^2{x}}=\cot{x}-1;$
— $\Big(\dfrac{\cos{x}}{1+\sin{x}}+\dfrac{\cos{x}}{1-\sin{x}}\Big)\sin{2x}=4\sin{x};$
— $\dfrac{1-\cos{x}+\cos{2x}}{\sin{2x}-\sin{x}}=\cot{x};$
— $\cot{\dfrac{x}{2}}-\tan{\dfrac{x}{2}}=2\cot{x};$
— $(\cot{x}-\tan{x})\sin{2x}=2\cos{2x};$
— $\dfrac{\sin{2x}-2\cos{x}}{\sin{x}-\sin^2{x}}=-2\cot{x};$
— $\Big(\dfrac{\sin{x}}{1+\cos{x}}+\dfrac{\sin{x}}{1-\cos{x}}\Big)\sin{2x}=4\cos{x};$
— $\sin{(2\alpha+2\beta)}=2\sin{(\alpha+\beta)}\cos{(\alpha+\beta)};$
— $\dfrac{\sin{3x}}{\sin{x}}-\dfrac{\cos{3x}}{\cos{x}}=2;$
— $\sin^6{x}+\cos^6{x}=1-\dfrac{3}{4}\sin^2{2x}.$

$\blacktriangleright$ Пример к заданию 11.4:

Известно, что $\sin{x}=-\dfrac{4}{5}$ , $180^\circ<x<270^\circ$ Найдите:

$\sin{2x};$
$\cos{2x}.$

Решение:

Найдём сначала $\cos{x}$ , при $180^\circ<x<270^\circ$ оказывается, что $\cos{x}<0$ . Тогда по основному тригонометрическому тождеству:

\sin^2{x}+\cos^2{x}=1,

\dfrac{16}{25}+\cos^2{x}=1,

\cos^2{x}=\dfrac{9}{25},

\cos{x}=-\dfrac{3}{5}.

1. Распишем наше выражение по формуле синуса двойного угла:

\sin{2x}=2\sin{x}\cos{x}=2\cdot\left(-\dfrac{4}{5}\right)\cdot \left(-\dfrac{3}{5}\right)=\dfrac{2\cdot4\cdot3}{5\cdot5}=\dfrac{24}{25}.

2. Распишем наше выражение по одной из трёх формул косинуса двойного угла:

\cos{2x}=\cos^2{x}-\sin^2{x}=\dfrac{9}{25}-\dfrac{16}{25}=-\dfrac{7}{25}.

Ответ:

$\dfrac{24}{25}$ ;
$-\dfrac{7}{25}$ .

Задание 11.4

1. Известно, что $\sin{x}=\dfrac{4}{5}$ , $0^\circ<x<90^\circ$ . Найдите:

$\sin{2x};$
$\cos{2x}.$

2. Известно, что $\tan{x}=-\dfrac{5}{12}$ , $\dfrac{3\pi}{2}<x<2\pi$ . Найдите:

$\sin{2x};$
$\cos{2x}.$

3. Известно, что $\sin{x}=\dfrac{5}{13}$ , $\dfrac{\pi}{2}<x<\pi$ . Найдите:

$\sin{2x};$
$\cos{2x};$
$\tan{2x};$
$\cot{2x}.$

4. Известно, что $\cos{x}=0,8$ , $0<x<\dfrac{\pi}{2}$ . Найдите:

$\sin{2x};$
$\cos{2x};$
$\tan{2x};$
$\cot{2x}.$

$\blacktriangleright$ Примеры к заданию 11.5:

Вычислить $\sin{\dfrac{\pi}{12}}.$
Решение:
Запишем формулу косинуса двойного угла через синус $\cos{2x}=1-2\sin^2{x}$ , подставляя $\dfrac{\pi}{12};$ вместо $x$ получим соотношение, из которого мы найдём $\sin{\dfrac{\pi}{12}}$ :
$\cos{2x}=1-2\sin^2{x},$ $\cos{\left(2\cdot\dfrac{\pi}{12}\right)}=1-2\sin^2{\dfrac{\pi}{12}},$ $\sin^2{\dfrac{\pi}{12}}=\dfrac{1-\cos{\left(2\cdot\dfrac{\pi}{12}\right)}}{2}.$ $\sin^2{\dfrac{\pi}{12}}=\dfrac{1-\cos{\left(2\cdot\dfrac{\pi}{12}\right)}}{2}=\dfrac{1-\cos{\dfrac{\pi}{6}}}{2}=\dfrac{1-\dfrac{\sqrt{3}}{2}}{2}=\dfrac{2-\sqrt{3}}{4}.$
Заметим, что $\dfrac{\pi}{12}\in\left(0;\dfrac{\pi}{2}\right)$ , значит, $\sin{\dfrac{\pi}{12}}>0$ .
$\sin{\dfrac{\pi}{12}}=\dfrac{\sqrt{2-\sqrt{3}}}{2}.$
Вычислить $\cos{\dfrac{\pi}{12}}.$
Решение:
Запишем формулу косинуса двойного угла через косинус $\cos{2x}=\cos^2{x}-1$ , подставляя $\dfrac{\pi}{12};$ вместо $x$ получим соотношение, из которого мы найдём $\cos{\dfrac{\pi}{12}}$ :
$\cos{2x}=2\cos^2{x}-1,$ $\cos{\left(2\cdot\dfrac{\pi}{12}\right)}=2\cos^2{\dfrac{\pi}{12}}-1,$ $\cos^2{\dfrac{\pi}{12}}=\dfrac{\cos{\left(2\cdot\dfrac{\pi}{12}\right)}+1}{2}.$ $\cos^2{\dfrac{\pi}{12}}=\dfrac{\cos{\left(2\cdot\dfrac{\pi}{12}\right)}+1}{2}=\dfrac{\cos{\dfrac{\pi}{6}}+1}{2}=\dfrac{\dfrac{\sqrt{3}}{2}+1}{2}=\dfrac{\sqrt{3}+2}{4}.$
Заметим, что $\dfrac{\pi}{12}\in\left(0;\dfrac{\pi}{2}\right)$ , значит, $\cos{\dfrac{\pi}{12}}>0$ .
$\cos{\dfrac{\pi}{12}}=\dfrac{\sqrt{\sqrt{3}+2}}{2}.$

Ответ:

— $\dfrac{\sqrt{2-\sqrt{3}}}{2}$ ;
— $\dfrac{\sqrt{\sqrt{3}+2}}{2}$ .

Задание 11.5

Вычислить:

$\sin{\dfrac{\pi}{8}};$
$\cos{\dfrac{\pi}{8}}.$

Формулы двойного угла

Задание 11.1

$\dfrac{1}{2};$
$\dfrac{\sqrt{3}}{2};$
$\dfrac{1}{\sqrt{2}};$
$\dfrac{1}{\sqrt{2}};$
$-\dfrac{\sqrt{3}}{2};$
$-\dfrac{\sqrt{3}}{2};$
$\dfrac{\sqrt{2}}{2};$
$-\dfrac{\sqrt{3}}{2};$
$1;$
$\dfrac{1}{2};$
$\dfrac{3}{2};$
$\dfrac{3}{2};$
$1-\dfrac{1}{\sqrt{2}};$
$-1;$
$\dfrac{1+\sqrt{2}}{4};$
$-\dfrac{1}{8};$
$\dfrac{1}{\sqrt{3}};$
$\dfrac{1}{2};$
$-\dfrac{1}{2\sqrt{3}};$
$-\sqrt{3}.$

Задание 11.2

$2\sin{x};$
$\tan{x};$
$2\sin{x};$
$\sin^2{x};$
$1;$
$\cos{2x};$
$\sin{x};$
$2;$
$-1;$
$\dfrac{1}{\cos{2x}+\sin{2x}};$
$\cos{x};$
$2\cos{20^\circ};$
$\cos{18^\circ};$
$1;$
$\cos{40^{\circ}}-\sin{40^{\circ}};$
$\cos{5^\circ};$
$2\tan{3x};$
$2\sin{2x};$
$\cos{6x};$
$\tan{\dfrac{x}{2}};$
$\cos{\dfrac{x}{2}}-\sin{\dfrac{x}{2}};$
$-\sin{x};$
$-\sin{\dfrac{x}{2}};$
$\sin{2x};$
$-\tan{2x}.$

Задание 11.4

$\dfrac{24}{25}$ ;
$-\dfrac{7}{25}$ .

$-\dfrac{120}{169}$ ;
$\dfrac{119}{169}$ .

$-\dfrac{120}{169}$ ;
$\dfrac{119}{169}$ ;
$-\dfrac{120}{119}$ ;
$-\dfrac{119}{120}$ .

$\dfrac{24}{25}$ ;
$\dfrac{7}{25}$ ;
$\dfrac{24}{7}$ ;
$\dfrac{7}{24}$ .

Задание 11.5

$\dfrac{\sqrt{2-\sqrt{2}}}{2}$ ;
$\dfrac{\sqrt{2+\sqrt{2}}}{2}$ .

	$\sin{2x}=2\sin{x}\cos{x};$	$\cos{2x}=2\cos^2{x}-1;$
	$\cos{2x}=\cos^2{x}-\sin^2{x};$	$\cos{2x}=1-2\sin^2{x};$
	$\tan{2x}=\dfrac{2\tan{x}}{1-\tan^2x};$	$\cot{2x}=\dfrac{\cot^2x-1}{2\cot{x}}.$