12 Формулы понижения степени

Формулы понижения степени

Для решения задач этого раздела Вам может быть полезно следующее видео:

\(\Longrightarrow\) Формулы понижения степени

\(\blacktriangleright\) Примеры к заданию 12.1

  1. Докажите тождество \(2\sin^2{\dfrac{x}{2}}+\cos{x}=1\).

    Решение:
    Воспользуемся формулой понижения степени:

    \[\sin^2{\dfrac{x}{2}}=\dfrac{1-\cos{x}}{2}.\]

    Тогда

    \[2\cdot \dfrac{1-\cos{x}}{2}+\cos{x}=1-\cos{x}+\cos{x}=1.\]

  2. Докажите тождество \(2\sin^2{\left(45^\circ-\dfrac{x}{2}\right)}=1-\sin{x}\).

    Решение:
    Воспользуемся формулой для понижения степени для синуса:

    \[\sin^2{\left(\dfrac{\pi}{4}-\dfrac{x}{2}\right)}=\dfrac{1-\cos{\left(2\cdot\left(\dfrac{\pi}{4}-\dfrac{x}{2}\right)\right)}}{2}=\dfrac{1-\cos{\left(\dfrac{\pi}{2}-x\right)}}{2}=\dfrac{1-\sin{x}}{2}.\]

    Тогда

    \[2\cdot \dfrac{1-\sin{x}}{2}=1-\sin{x}.\]

Задание 12.1

Докажите тождества:

  1. \(\sin^2{2x}=\dfrac{1-\cos{4x}}{2};\)

  2. \(2\sin^2{2x}=1+\sin{\Big(\dfrac{3\pi}{2}-4x\Big)};\)

  3. \(2\cos^2{x}-\cos{2x}=1;\)

  4. \(1+\sin{x}=2\cos^2{\Big(45^\circ-\dfrac{x}{2}\Big)};\)

  5. \(2\sin^2{(45^\circ-x)}+\sin{2x}=1;\)

  6. \(2\cos^2{(45^\circ+x)}+\sin{2x}=1.\)

\(\blacktriangleright\) Пример к заданию 12.2:

Вычислить (с помощью формул понижения степени):

\[\cos{\dfrac{\pi}{12}}.\]

Решение:
По формуле понижение степени:

\[\cos^2{\dfrac{\pi}{12}}=\dfrac{\cos{\left(2\cdot\dfrac{\pi}{12}\right)}+1}{2}=\dfrac{\cos{\dfrac{\pi}{6}}+1}{2}=\dfrac{\dfrac{\sqrt{3}}{2}+1}{2}=\dfrac{\frac{\sqrt{3}+2}{2}}{2}=\dfrac{\sqrt{3}+2}{4},\]
\[\cos^2{\dfrac{\pi}{12}}=\dfrac{\sqrt{3}+2}{4}.\]

Заметим, что \(\dfrac{\pi}{12}\in\left(0;\dfrac{\pi}{2}\right)\), значит, \(\cos{\dfrac{\pi}{12}}>0\).

\[\cos{\dfrac{\pi}{12}}=\dfrac{\sqrt{\sqrt{3}+2}}{2}.\]

Ответ: \(\dfrac{\sqrt{\sqrt{3}+2}}{2}\).

Задание 12.2

Вычислить (с помощью формул понижения степени):

  1. \(\sin{22,5^\circ};\)

  2. \(\cos{22,5^\circ};\)

  3. \(\sin{\dfrac{3\pi}{8}};\)

  4. \(\cos{\dfrac{3\pi}{8}}.\)

Формулы понижения степени

Задание 12.2

  1. \(\dfrac{\sqrt{2-\sqrt{2}}}{2};\)

  2. \(\dfrac{\sqrt{2+\sqrt{2}}}{2};\)

  3. \(\dfrac{\sqrt{2+\sqrt{2}}}{2};\)

  4. \(\dfrac{\sqrt{2-\sqrt{2}}}{2}.\)