4 Тригонометрические уравнения в первой части

Тригонометрические уравнения в первой части

Для решения задач этого раздела Вам может быть полезно следующее видео:

\(\Longrightarrow\) Тригонометрические уравнения первой части.

Примечание. Если вы посмотрели видео и всё поняли, то переходите сразу к заданию 4.3.

\(\blacktriangleright\) Пример к заданию 4.1:

При целых значениях \(n\) найдите наибольшее отрицательное и наименьшее положительное значение выражения:

\[5n+8.\]

Решение:
Заметим, что при \(n=0\):

\[5n+8=5\cdot 0+8=8.\]

Если возьмём \(n\) больше, то мы получим значение больше 8.

Возьмём отрицательные \(n\):

\[\text{при $n=-1$: $5\cdot (-1)+8=3,$}\]
\[\text{при $n=-2$: $5\cdot (-2)+8=-2.$}\]

При меньших \(n\) результат будет ещё меньше.

Вывод:
наибольшее отрицательное значение выражения равно \(-2\) при \(n=-2\);

наименьшее положительное значение выражения равно \(3\) при \(n=-1\).

Ответ: \(-2\); 3.

Задание 4.1

При каком целом значении \(k\) выражение

  1. \(2k+3\) — принимает наибольшее отрицательное значение? Чему оно равно?

  2. \(6k-7\) — принимает наименьшее положительное значение? Чему оно равно?

  3. \(3k+5\) — принимает наименьшее положительное значение? Чему оно равно?

  4. \(4k-5\) — принимает наибольшее отрицательное значение? Чему оно равно?

\(\blacktriangleright\) Пример к заданию 4.2:

Решите уравнение относительно \(x\):

\[\dfrac{\pi(3x-4)}{4}=\dfrac{\pi}{6}+2\pi n,\,\,\,n\in\mathbb{Z}.\]

Решение:
Разделим обе части уравнения на \(\pi\), а затем домножим обе части на 12:

\[\dfrac{\pi(3x-4)}{4}=\dfrac{\pi}{6}+2\pi n,\]
\[\dfrac{3x-4}{4}=\dfrac{1}{6}+2n,\]
\[3(3x-4)=2+24n,\]
\[9x-12=2+24n .\]

Теперь выразим \(x\):

\[9x=14+24n,\]
\[x=\dfrac{24n+14}{9}.\]

Ответ: \(x=\dfrac{24n+14}{9},\,\,\,n\in\mathbb{Z}\).

Задание 4.2

Решите уравнения относительно \(x\):

  1. \(x-4=5k+3,\,\,\,k\in\mathbb{Z};\)

  2. \(\dfrac{x+3}{2}=6n,\,\,\,n\in\mathbb{Z};\)

  3. \(\pi(x-4)=2\pi m,\,\,\,m\in\mathbb{Z};\)

  4. \(\dfrac{\pi(x+1)}{4}=\dfrac{\pi}{2}+\pi t,\,\,\,t\in\mathbb{Z}.\)

\(\blacktriangleright\) Пример к заданию 4.3:

Найдите наибольший отрицательный и наименьший положительный корни уравнения:

\[\cot{\dfrac{\pi(x+8)}{18}}=\sqrt{3}.\]

Решение:
Сделаем замену \(\dfrac{\pi(x+8)}{18}=t\) и решим полученное уравнение:

\[\cot{t}=\sqrt{3},\]
\[t=\dfrac{\pi}{6}+\pi n,\,\,\,n\in\mathbb{Z}.\]

Сделаем обратную замену и найдём \(x\):

\[\dfrac{\pi(x+8)}{18}=\dfrac{\pi}{6}+\pi n,\]
\[\dfrac{x+8}{18}=\dfrac{1}{6}+n ,\]
\[x+8=3+18n,\]
\[x =18n-5.\]

Заметим, что при \(n=0\):

\[18\cdot 0-5=-5.\]

Если возьмём \(n\) меньше 0, то мы получим значение меньше \(-5\).

Возьмём положительные \(n\):

\[\text{при } n=1 \text{ получим: } 18\cdot 1-5=13,\]
\[\text{при }n=2 \text{ получим: } 18\cdot 2-5=31.\]

Вывод:
наибольший отрицательный корень уравнения равен \(-5\) при \(n=0\);
наименьший положительный корень уравнения равен \(13\) при \(n=1\).

Ответ: \(-5\); 13.

Задание 4.3

  1. Найдите наименьший положительный корень уравнения:

    \[\cos{\dfrac{\pi(x-3)}{3}}=\dfrac{1}{2}.\]


    \(\Longrightarrow\) Решение

  2. Найдите наибольший отрицательный корень уравнения:

    \[\sin{\dfrac{\pi x}{12}}=-\dfrac{1}{2}.\]


    \(\Longrightarrow\) Решение

  3. Найдите наибольший отрицательный корень уравнения:

    \[\cos{\dfrac{\pi (x+7)}{4}}=\dfrac{1}{\sqrt{2}}.\]

  4. Найдите наименьший положительный корень уравнения:

    \[\tan{\dfrac{\pi(4x+3)}{3}}=-\sqrt{3}.\]


    \(\Longrightarrow\) Решение

  5. Найдите наименьший положительный корень уравнения:

    \[\sin{\dfrac{\pi(8x-7)}{4}}=1.\]