3 Нахождение корней простейшего уравнения на заданном промежутке

Нахождение корней простейшего уравнения на заданном промежутке

Для решения задач этого раздела Вам могут быть полезны следующие видео:

$\Longrightarrow$ Корни простейших тригонометрических уравнений
с помощью окружности

$\Longrightarrow$ Корни простейших тригонометрических уравнений

$\Longrightarrow$ Метод артиллериста

$\blacktriangleright$ Пример 1

Найти все корни уравнения $\cos{x}=\dfrac{\sqrt2}{2}$ , принадлежащие отрезку $[0;2\pi]$ .
Решение:
1) Решим уравнение $\cos{x}=\dfrac{\sqrt2}{2},$

\left[ \begin{gathered} x=\dfrac{\pi}{4}+2\pi n, \\ x=-\dfrac{\pi}{4}+2\pi n, \\ \end{gathered} \right. n\in\mathbb{Z}.

2) Найдём решения уравнения, принадлежащие отрезку $[0;2\pi]$ :

1.5 Способ 1. При помощи тригонометрической окружности.
Нанесём точки, соответствующие сериям $\dfrac{\pi}{4}+2\pi n$ и $-\dfrac{\pi}{4}+2\pi n$ на тригонометрическую окружность. Отметим дугой на окружности промежуток $[0;2\pi]$ , на котором мы будем искать корни. Чтобы нарисовать дугу, следует отметить начало промежутка на окружности и подписать значение угла. Далее следует вести дугу против часовой стрелки, пока не дойдём до правого конца промежутка $2\pi$ . Его тоже следует подписать.

Теперь приступаем к отбору корней. Видим, что нашему промежутку принадлежит 2 корня. Мы стартуем из точки $0$ . До ближайшей отмеченной точки нам нужно пройти дугу длины $\dfrac{\pi}{4}$ . Тогда мы попадём в точку $0+\dfrac{\pi}{4}=\dfrac{\pi}{4}$ . От второй отмеченной точки до конца отрезка $2\pi$ надо пройти так же длину дуги равную $\dfrac{\pi}{4}$ . Тогда вторая отмеченная точка: $2\pi - \dfrac{\pi}{4} = \dfrac{7\pi}{4}$ .

Нашему отрезку $[0;2\pi]$ принадлежат два корня:

x=\dfrac{\pi}{4}\text{ и } x=\dfrac{7\pi}{4}.

Способ 2. При помощи двойного неравенства.

Берём первую серию решений $x=\dfrac{\pi}{4}+2\pi n$ и заключаем её в двойное неравенство:

0\leqslant \dfrac{\pi}{4}+2\pi n\leqslant 2\pi.

Поделим каждую часть неравенства на $\pi$ :

0\leqslant \dfrac{1}{4}+2n\leqslant 2,

умножим каждую часть неравенства на $4$ :

0\leqslant 1+8n\leqslant 8,

вычтем $1$ из каждой части неравенства:

-1\leqslant 8n\leqslant 7,

поделим каждую часть неравенства на $8$ :

-\dfrac{1}{8}\leqslant n\leqslant \dfrac{7}{8}.

Найдём целые $n$ , удовлетворяющие неравенству:

n=0.

Подставляем в $x=\dfrac{\pi}{4}+2\pi n$ найденные $n$ :

x=\dfrac{\pi}{4}+2\pi\cdot 0=\dfrac{\pi}{4}.

Получаем корень, принадлежащий нашему промежутку.

Берём вторую серию решений $x=-\dfrac{\pi}{4}+2\pi n$ и заключаем её в двойное неравенство:

0\leqslant -\dfrac{\pi}{4}+2\pi n \leqslant 2\pi.

Поделим каждую часть неравенства на $\pi$ :

0\leqslant -\dfrac{1}{4}+2n\leqslant 2,

умножим каждую часть неравенства на $4$ :

0\leqslant -1+8n\leqslant 8,

прибавим $1$ к каждой части неравенства:

1\leqslant 8n\leqslant 9,

поделим каждую часть неравенства на $8$ :

\dfrac{1}{8}\leqslant n\leqslant \dfrac{9}{8}.

Найдём целые $n$ , удовлетворяющие неравенству:

n=1.

Подставляем в $x=-\dfrac{\pi}{4}+2\pi n$ найденные значения $n$ :

x=-\dfrac{\pi}{4}+2\pi \cdot 1=\dfrac{7\pi}{4}.

Получаем корень, принадлежащий нашему промежутку.

Способ 3. При помощи таблицы.
Представим наш промежуток $[0;2\pi]$ в виде $\left[0;\dfrac{8\pi}{4}\right]$ . Составим таблицу для значений $x$ при заданных значениях $n$ :

$n$

$\ldots$

$-1$

$0$

$1$

$2$

$\ldots$

$\dfrac{\pi}{4}+2\pi n$

$\ldots$

$-\dfrac{7\pi}{4}$

$\dfrac{\pi}{4}$

$\dfrac{9\pi}{4}$

$\ldots$

$-\dfrac{\pi}{4}+2\pi n$

$\ldots$

$-\dfrac{9\pi}{4}$

$-\dfrac{\pi}{4}$

$\dfrac{7\pi}{4}$

$\dfrac{15\pi}{4}$

$\ldots$

Из таблицы видим, что промежутку $[0;2\pi]$ принадлежат два корня $\dfrac{\pi}{4}$ и $\dfrac{7\pi}{4}$ . При $n>1$ , получаем, что $x\geqslant\dfrac{15\pi}{4}$ , а при $n \leqslant -1$ , получаем, что $x\leqslant-\dfrac{7\pi}{4}$ . Значит, при остальных значениях $n$ корней, принадлежащих отрезку, нет.

Ответ: $\dfrac{\pi}{4};\,\, \dfrac{7\pi}{4}.$

$\Longrightarrow$ Решение

$\blacktriangleright$ Пример 2

Найти все корни уравнения $\tan{x}=-\dfrac{\sqrt3}{3}$ , принадлежащие отрезку $\left[3\pi;\dfrac{9\pi}{2}\right]$ .
Решение:
1) Решим уравнение

\tan{x}=-\dfrac{\sqrt3}{3},

x=-\dfrac{\pi}{6}+\pi n,\,\,\, n\in\mathbb{Z}.

2) Найдём решения уравнения, принадлежащие отрезку $\left[3\pi;\dfrac{9\pi}{2}\right]$ :

1.5 Способ 1. При помощи тригонометрической окружности.
Нанесём точки, соответствующие $-\dfrac{\pi}{6}+\pi n$ на тригонометрическую окружность. Этих точек две. Отметим дугой на окружности промежуток $\left[3\pi;\dfrac{9\pi}{2}\right]$ , на котором мы будем искать корни. Чтобы нарисовать дугу, следует отметить начало промежутка на окружности и подписать значение угла. Далее следует вести дугу против часовой стрелки, пока не дойдём до правого конца промежутка $\dfrac{9\pi}{2}$ . Его тоже следует подписать.

Теперь приступаем к отбору корней. Видим, что нашему промежутку принадлежит только 1 корень. Мы стартуем из точки $3\pi$ . До ближайшей отмеченной точки нам нужно пройти дугу длины $\dfrac{5\pi}{6}$ . Тогда мы попадём в точку $3\pi+\dfrac{5\pi}{6}=\dfrac{23\pi}{6}$ .

Нашему отрезку $\left[3\pi;\dfrac{9\pi}{2}\right]$ принадлежит один корень: $x=\dfrac{23\pi}{6}$ .

Способ 2. При помощи двойного неравенства.

Берём серию решений $x=-\dfrac{\pi}{6}+\pi n$ и заключаем её в двойное неравенство: $3\pi\leqslant -\dfrac{\pi}{6}+\pi n\leqslant \dfrac{9\pi}{2}.$ Поделим каждую часть неравенства на $\pi$ : $3\leqslant -\dfrac{1}{6}+n\leqslant \dfrac{9}{2},$ умножим каждую часть неравенства на $6$ : $18\leqslant -1+6n\leqslant 27,$ прибавим $1$ к каждой части неравенства: $19\leqslant 6n\leqslant 28,$ поделим каждую часть неравенства на $6$ : $\dfrac{19}{6}\leqslant n\leqslant \dfrac{28}{6}.$ Найдём целые $n$ , удовлетворяющие неравенству: $n=4.$ Подставляем в $x=-\dfrac{\pi}{6}+\pi n$ найденное $n$ : $x=-\dfrac{\pi}{6}+\pi \cdot 4=\dfrac{23\pi}{6}.$ Получаем корень, принадлежащий нашему промежутку.

Способ 3. При помощи таблицы.
Представим наш промежуток $\left[3\pi;\dfrac{9\pi}{2}\right]$ в виде $\left[\dfrac{18\pi}{6};\dfrac{27\pi}{6}\right]$ . Составим таблицу для значений $x$ при заданных значениях $n$ :

$n$

…

$3$

$4$

$5$

…

$-\dfrac{\pi}{6}+\pi n$

…

$\dfrac{17\pi}{6}$

$\dfrac{23\pi}{6}$

$\dfrac{29\pi}{6}$

…

Из таблицы видим, что промежутку $\left[3\pi;\dfrac{9\pi}{2}\right]$ принадлежит один корень $\dfrac{23\pi}{6}$ . При $n\geqslant5$ , получаем, что $x>\dfrac{9\pi}{2}$ , а при $n\leqslant3$ , получаем, что $x<3\pi$ . Значит, при остальных значениях $n$ корней, принадлежащих отрезку, нет.

Ответ: $\dfrac{23\pi}{6}.$

$\Longrightarrow$ Решение

Задание 3.1

Найти все корни уравнений, принадлежащие отрезку, тремя способами, показанными выше:

$\cos{x}=\dfrac{1}{2}$ , $x\in$ $\Big[2\pi;\dfrac{7\pi}{2}\Big] ;$
$\sin{x}=-\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ , $x\in$ $[0;2\pi];$
$\tan{x}=\dfrac{\sqrt{3}}{3}$ , $x\in$ $\Big[2\pi; \dfrac{5\pi}{2}\Big];$
$\cot{x}=0$ , $x\in$ $\Big[3\pi; \dfrac{9\pi}{2}\Big];$
$\cos{x}=-\dfrac{1}{\sqrt{2}}$ , $x\in$ $\Big[-2\pi;-\dfrac{\pi}{2}\Big];$
$\sin{x}=-\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ , $x\in$ $\Big[\dfrac{7\pi}{2}; 5\pi\Big];$
$\tan{x}=\dfrac{1}{\sqrt{3}}$ , $x\in$ $[\pi; 4\pi];$
$\cot{x}=-1$ , $x\in$ $\Big[-\dfrac{3\pi}{2}; 0\Big].$

Нахождение корней простейшего уравнения на заданном промежутке

Задание 3.1

$\dfrac{7\pi}{3}$ ;
$\dfrac{5\pi}{4},\,\,\dfrac{7\pi}{4}$ ;
$\dfrac{13\pi}{6}$ ;
$\dfrac{7\pi}{2},\,\, \dfrac{9\pi}{2}$ ;
$-\dfrac{5\pi}{4},\,\, -\dfrac{3\pi}{4}$ ;
$\dfrac{11\pi}{3}$ ;
$\dfrac{7\pi}{6},\,\,\dfrac{13\pi}{6},\,\,\dfrac{19\pi}{6}$ ;
$-\dfrac{\pi}{4} ,\,\, -\dfrac{5\pi}{4}$ .