5 Преобразование тригонометрических выражений. Тригонометрические тождества

Преобразование тригонометрических выражений. Тригонометрические тождества

Также полезно помнить, что:

\[1-\cos^2{\alpha}=\sin^2{\alpha};\,\,\,\, 1-\sin^2{\alpha}=\cos^2{\alpha};\,\,\,\, \tan{x}=\dfrac{1}{\cot{x}};\,\,\,\, \cot{x}=\dfrac{1}{\tan{x}}.\]

Напомним формулы сокращённого умножения:

Для решения задач этого раздела Вам может быть полезно следующее видео:

\(\Longrightarrow\) Тригонометрические тождества

\(\blacktriangleright\) Пример к заданию 5.1:

  1. Упростите выражение:

    \[\dfrac{1-\cos^2 t}{1-\sin^2 t}.\]

    Решение:

    Воспользуемся основным тригонометрическим тождеством, преобразуем наше выражение и получим ответ:

    \[\sin^2{t}+\cos^2{t}=1,\]
    \[1-\sin^2{t}=\cos^2{t},\]
    \[1-\cos^2{t}=\sin^2{t}.\]

    Значит:

    \[\dfrac{1-\cos^2 t}{1-\sin^2 t}=\dfrac{\sin^2 t}{\cos^2 t}=\tan^2 t.\]

  2. Упростите выражение:

    \[\dfrac{\sin^2 t - 1}{\cos^2 t -1}+\tan t \cot t.\]

    Решение:

    Воспользуемся основным тригонометрическим тождеством и тем, что

    \[\tan{x}\cdot \cot{x}=\dfrac{\sin{x}}{\cos{x}}\cdot \dfrac{\cos{x}}{\sin{x}}=1.\]

    Преобразуем наше выражение:

    \[\dfrac{\sin^2 t - 1}{\cos^2 t -1}+\tan t \cot t=\dfrac{\sin^2{t}-(\sin^2{t}+\cos^2{t})}{\cos^2{t}-(\sin^2{t}+\cos^2{t})}+1=\dfrac{\sin^2{t}-\sin^2{t}-\cos^2{t}}{\cos^2{t}-\sin^2{t}-\cos^2{t}}+1=\]
    \[=\dfrac{-\cos^2{t}}{-\sin^2{t}}++1=\dfrac{\cos^2{t}}{\sin^2{t}}+1.\]

    Приведём сумму выражений к одному знаменателю, снова воспользуемся основным тригонометрическим тождеством и получим ответ:

    \[\dfrac{\cos^2{t}}{\sin^2 {t}}+1=\dfrac{\cos^2 t+\sin^2 t}{\sin^2 t}=\dfrac{1}{\sin^2t}.\]

  3. Упростите выражение:

    \[\cot^2 t(\cos^2 t -1 ) +1.\]

    Решение:

    Воспользуемся основным тригонометрическим тождеством \(\sin^2{t}+\cos^2{t}=1, \ \\ \cos^2{t}-1=-\sin^2{t}\) и распишем \(\cot t\) через \(\sin t\) и \(\cos t\):

    \[\cot^2{t}(\cos^2{t}-1) +1=\dfrac{\cos^2t}{\sin^2t}(-\sin^2t)+1=-\cos^2t+1=\sin^2t.\]

  4. Упростите выражение:

    \[(3\sin t +4\cos t)^2 + (4\sin t-3\cos t)^2.\]

    Решение:

    Раскроем скобки и преобразуем наше выражение:

    \[(3\sin t +4\cos t)^2 + (4\sin t-3\cos t)^2=9\sin^2t+24\sin{t}\cos{t}+16\cos^2t+16\sin^2t-\]
    \[-24\sin{t}\cos{t}+9\cos^2t=25\sin^2t+25\cos^2t=25(\sin^2{t}+\cos^2{t})=25.\]

Ответ: 1. \(\tan^2t\); 2. \(\dfrac{1}{\sin^2t}\); 3. \(\sin^2t\); 4. \(25\).

Задание 5.1

Упростите выражения:

  1. \(1-\sin^2 t\);

  2. \(\cos^2 t - 1\);

  3. \(1-\cos^2 t\);

  4. \(\sin^2 t - 1\);

  5. \((1-\sin t)(1+\sin t)\);

  6. \(\cos^2 t+ 1 -\sin^2 t\);

  7. \((1-\cos t)(1+\cos t)\);

  8. \(\sin^2 t + 2\cos^2 t -1\);

  9. \(\dfrac{1}{\cos^2 t}-1\);

  10. \(\dfrac{1-\sin^2 t}{\cos^2 t}\);

  11. \(1-\dfrac{1}{\sin^2 t}\);

  12. \(\dfrac{(\sin t+\cos t)^2}{1+2\sin t \cos t}\);

  13. \(\dfrac{1-2\sin t \cos t}{(\cos t-\sin t)^2}\);

  14. \(\dfrac{\cos^2 t - \cot^2 t}{\sin^2 t- \tan^2 t}\);

  15. \(\cot^2 t - (\sin^{-2} t -1)\);

  16. \(\cos^2 t - \sin^2 t (\cot^2 t+1)\);

  17. \(\dfrac{\sin t}{1+\cos t}+\dfrac{\sin t}{1-\cos t}\);

  18. \(\dfrac{\cos t}{1+\sin t}+\dfrac{\cos t}{1-\sin t}\);

  19. \(\dfrac{\tan t+1}{1+\cot t}\);

  20. \((\tan t+\cot t)^2 -(\tan t -\cot t)^2\);

  21. \(\sin t\cos t(\tan t+\cot t)\);

  22. \(\sin^2 t\cos^2 t (\tan^2 t +\cot^2 t +2)\);

  23. \(\dfrac{1-\sin^2 t}{1-\cos^2 t} + \tan t \cot t\);

  24. \(\dfrac{\cos^2 t+\tan^2 t}{\sin^2 t +\cot^2 t}\);

  25. \((\sin t + \cos t)^2 - 2\sin t\cos t\);

  26. \(\dfrac{2-\sin^2 t -\cos^2 t}{3\sin^2 t+3\cos ^2 t}\);

  27. \(\sin^4 t+\cos^4 t+2\sin^2 t\cos^2 t\);

  28. \(\dfrac{\sin^4 t -\cos^4 t}{\sin^2 t - \cos^2 t}\).

\(\blacktriangleright\) Пример к заданию 5.2:

  1. Докажите тождество:

    \[\sin^3{t}\cdot {\left(1+\cot t\right)}+\cos^3{t} \cdot{\left(1+\tan t\right)}=\sin t +\cos t.\]

    Решение:

    Приведём левую часть тождества к виду, записанному в его правой части. Для начала воспользуемся формулами \(\tan{x}=\dfrac{\sin{x}}{\cos{x}}\) и \(\cot{x}=\dfrac{\cos{x}}{\sin{x}}:\)

    \[\sin^3{t}\cdot{\left(1+\cot{t}\right)}+\cos^3{t}\cdot {\left(1+\tan{t}\right)}=\sin^3{t}\cdot {\left(1+\dfrac{\cos{t}}{\sin{t}}\right)}+\cos^3{t} \cdot {\left(1+\dfrac{\sin{t}}{\cos{t}}\right).}\]

    Приведём к общему знаменателю выражения в каждой скобке:

    \[\sin^3 t \cdot \left( \frac{\sin t + \cos t}{\sin t} \right) + \cos^3 t \cdot \left( \frac{\cos t + \sin t}{\cos t} \right).\]

    Сократим:

    \[\sin^2 t \left( \sin t + \cos t \right) + \cos^2 t \left( \cos t + \sin t \right).\]

    Вынесем за скобки общий множитель \((\sin{t}+\cos{t})\), затем применим основное тригонометрическое тождество:

    \[(\sin{t}+\cos{t})(\sin^2t+\cos^2t)=\sin{t}+\cos{t}.\]

    Получили выражение, равное правой части исходного тождества. Следовательно, тождество доказано.

  2. Докажите тождество:

    \[\dfrac{1-4\sin^2 t \cos^2 t}{(\sin t+\cos t)^2}+2\sin t\cos t=1.\]

    Решение:

    Приведём левую часть тождества к виду, записанному в его правой части.

    Сначала приведём выражения в левой части к общему знаменателю:

    \[\dfrac{1-4\sin^2 t \cos^2 t}{(\sin t+\cos t)^2}+2\sin t\cos t=\dfrac{1-4\sin^2 t \cos^2 t+2\sin t\cos t(\sin t+\cos t)^2}{(\sin t+\cos t)^2}.\]

    Заметим, что:

    \[(\sin{t}+\cos{t})^2=\sin^2{t}+2\sin{t}\cos{t}+\cos^2{t}=(\sin^2{t}+\cos^2{t})+2\sin{t}\cos{t}=1+2\sin{t}\cos{t}.\]

    Раскроем скобки, преобразуем выражение:

    \[\dfrac{1-4\sin^2 t \cos^2 t+2\sin t\cos t(\sin t+\cos t)^2}{(\sin t+\cos t)^2}=\dfrac{1-4\sin^2 t \cos^2 t+2\sin t\cos t(1+2\sin t\cos t)}{1+2\sin t\cos t}=\]
    \[=\dfrac{1-4\sin^2 t \cos^2 t+2\sin t\cos t+4\sin^2 t\cos^2 t}{1+2\sin t\cos t}=\dfrac{1+2\sin t\cos t}{1+2\sin t\cos t}=1.\]

    Получили выражение, равное правой части исходного тождества. Следовательно, тождество доказано.

  3. Докажите тождество:

    \[\cos^4{t}-\sin^4{t}=1-2\sin^2{t}.\]

    Решение:

    Приведём левую часть тождества к виду, записанному в его правой части.

    Распишем разность квадратов и применим основное тригонометрическое тождество:

    \[\cos^4{t}-\sin^4{t}=(\cos^2{t}-\sin^2{t})(\cos^2{t}+\sin^2{t})=\cos^2{t}-\sin^2{t}.\]

    Применим основное тригонометрическое тождество:

    \[\sin^2{t}+\cos^2{t}=1, \ \cos^2{t}=1-\sin^2{t}.\]

    Наше выражение примет вид:

    \[\cos^2{t}-\sin^2{t}=1-\sin^2{t}-\sin^2{t}=1-2\sin^2{t}.\]

    Получили выражение, равное правой части исходного тождества. Следовательно, тождество доказано.

  4. Докажите тождество:

    \[\dfrac{1+\tan^2{t}}{1+\cot^2{t}}=\tan^2{t}.\]

    Решение:

    Способ 1.

    Приведём левую часть к виду, записанному в правой части.

    Распишем в левой части \(\tan{t}\) и \(\cot t\) через \(\sin t\) и \(\cos t\) и применим основное тригонометрическое тождество:

    \[\dfrac{1+\tan^2{t}}{1+\cot^2{t}}=\dfrac{1+\frac{\sin^2t}{\cos^2t}}{1+\frac{\cos^2t}{\sin^2t}}=\dfrac{\frac{\cos^2t+\sin^2t}{\cos^2t}}{\frac{\sin^2t+\cos^2t}{\sin^2t}}=\dfrac{\frac{1}{\cos^2t}}{\frac{1}{\sin^2t}}=\dfrac{1}{\cos^2{t}}:\dfrac{1}{\sin^2{t}}=\dfrac{1}{\cos^2{t}}\cdot \dfrac{\sin^2{t}}{1}=\dfrac{\sin^2t}{\cos^2t}=\tan^2t.\]

    Получили выражение, равное правой части исходного тождества. Следовательно, тождество доказано.

    Способ 2.

    Упростим левую часть тождества, используя формулу связи \(\tan{t}\) и \(\cot t\):

    \[\dfrac{1+\tan^2{t}}{1+\cot^2{t}}=\dfrac{1+\tan^2{t}}{1+\frac{1}{\tan^2t}}=\dfrac{{1+\tan^2{t}}}{\frac{\tan^2{t}+1}{\tan^2{t}}}=\dfrac{1+\tan^2{t}}{1}:\dfrac{\tan^2{t}+1}{\tan^2{t}}=\dfrac{1+\tan^2{t}}{1}\cdot \dfrac{\tan^2{t}}{\tan^2{t}+1}=\tan^2t.\]

    Получили выражение, равное правой части, как и при решении способом 1.

Задание 5.2

Докажите тождества:

  1. \(\dfrac{\cos^2 t}{1-\sin t}-\sin t=1\);

  2. \(\dfrac{\sin^2 t}{1+\cos t}+\cos t =1\);

  3. \(\dfrac{\tan t}{\tan t + \cot t}=\sin^2 t\);

  4. \(\dfrac{1+\tan t}{1+\cot t}=\tan t\);

  5. \(\dfrac{\cot t}{\tan t + \cot t}=\cos^2 t\);

  6. \(\dfrac{1-\cot t}{1-\tan t}=-\cot t\);

  7. \(1+\sin t = \dfrac{\cos t + \cot t}{\cot t}\);

  8. \(\dfrac{1-\sin t}{\cos t}=\dfrac{\cos t}{1+\sin t}\);

  9. \(1+\cos t=\dfrac{\sin t +\tan t}{\tan t}\);

  10. \(\dfrac{\sin t}{1-\cos t}=\dfrac{1+\cos t}{\sin t}\);

  11. \(\dfrac{(\sin t +\cos t )^2 - 1}{\cot t - \sin t \cos t}=2\tan^2 t\);

  12. \(\dfrac{(\sin t +\cos t)^2 -1}{\tan t -\sin t\cos t}=2\cot^2 t\);

  13. \((1-\sin{t})(1+\sin{t})=\cos^2{t}\);

  14. \(\dfrac{\cos^2{t}}{1-\cos^2{t}}=\cot^2{t}\);

  15. \((1+\cot^2{t})(1-\cos^2{t})=1\);

  16. \((1+\tan^2{t})(1-\sin^2{t})=1\);

  17. \(\left(1+\tan^2{t}+\dfrac{1}{\sin^2{t}}\right)\sin^2{t}\cos^2{t}=1\);

  18. \((\sin^2{t}-\cos^2{t})^2+4\sin^2{t}\cos^2{t}=1\);

  19. \(\dfrac{1+\cos{t}}{\sin{t}}+\dfrac{\sin{t}}{1+\cos{t}}=\dfrac{2}{\sin{t}}\);

  20. \(\dfrac{\cos{t}}{1-\sin{t}}+\dfrac{\cos{t}}{1+\sin{t}}=\dfrac{2}{\cos{t}}\);

  21. \(\tan^2{t}-\sin^2{t}=\tan^2{t}\sin^2{t}\);

  22. \(\cot^2{t}-\cos^2{t}=\cot^2{t}\cos^2{t}\);

  23. \(\dfrac{\sin^3{t}-\cos^3{t}}{\sin{t}-\cos{t}}-\sin{t}\cos{t}=1\);

  24. \(\dfrac{\sin^3{t}+\cos^3{t}}{\sin{t}+\cos{t}}+\sin{t}\cos{t}=1\).

\(\blacktriangleright\) Пример к заданию 5.3:

1. Найдите наименьшее и наибольшее значения функции \(f(t) = \sin^2 t - \cos^2 t+1.\)

Решение:

Используя основное тригонометрическое тождество, упростим заданную функцию:

\[f(t) = \sin^2 t - \cos^2 t+1=\sin^2 t - \cos^2 t + \sin^2 t + \cos^2 t =\sin^2 t+\sin^2 t= 2 \sin^2 t.\]

Наименьшее значение \(\sin t\) равно \(-1\), а наибольшее \(1\). Тогда наибольшее значение \(\sin^2 t\) равно \(1\), а наименьшее \(0\), так как квадрат числа всегда неотрицателен. Следовательно, наибольшее значение \(2 \sin^2 t\) равно \(2\), а наименьшее \(0\).

Таким образом,

\(f_{min}(t)=0\);
\(f_{max}(t)=2\).

2. Найдите наименьшее и наибольшее значения функции \(f(t) = 5\sin^2{t} + \cos^2{t}.\)

Решение:

Используя основное тригонометрическое тождество, упростим заданную функцию:

\[f(t) = 5\sin^2 t + \cos^2 t= 4\sin^2{t} + \sin^2 t + \cos^2 t = 4\sin^2{t}+1.\]

Наименьшее значение \(\sin t\) равно \(-1\), а наибольшее \(1\). Тогда наибольшее значение \(\sin^2 t\) равно \(1\), а наименьшее \(0\). Тогда наибольшее значение \(4 \sin^2 t\) равно \(4\), а наименьшее \(0\). В свою очередь, наибольшее значение \(4 \sin^2 t+1\) равно 5, а наименьшее равно 1. Таким образом,

\(f_{min}(t)=1\);
\(f_{max}(t)=5\).

Ответ:

  1. \(0\), \(2\);

  2. \(1\), \(5\).

Задание 5.3

Найдите наименьшее и наибольшее значения функций \(f(t)\), если:

  1. \(f(t) = 1-(\cos^2 t - \sin^2 t)\);

  2. \(f(t) = 5\cos^2t-\sin^2t\);

  3. \(f(t) = \dfrac{\cos^4t-1}{\cos^2t+1}\);

  4. \(f(t) = \sin t + 3\sin^2 t +3\cos^2 t\).

Преобразование тригонометрических выражений. Уровень 1

Задание 5.1

  1. \(\cos^2 t\);

  2. \(-\sin^2 t\);

  3. \(\sin^2 t\) ;

  4. \(-\cos^2 t\);

  5. \(\cos^2 t\);

  6. \(2\cos^2 t\);

  7. \(\sin^2 t\) ;

  8. \(\cos^2 t\);

  9. \(\tan^2 t\);

  10. 1;

  11. \(-\cot^2 t\);

  12. 1;

  13. 1;

  14. \(\cot^6 x\);

  15. 0;

  16. \(-\sin^2 t\);

  17. \(\dfrac{2}{\sin t}\);

  18. \(\dfrac{2}{\cos t}\);

  19. \(\tan t\);

  20. 4;

  21. 1;

  22. 1;

  23. \(\dfrac{1}{\sin^2 t}\);

  24. \(\tan^2 t\);

  25. 1;

  26. \(\dfrac{1}{3}\);

  27. 1;

  28. 1.

Задание 5.3

  1. \(f_{\text{min}}(t)=0,\,\, f_{\text{max}}(t)=2\);

  2. \(f_{\text{min}}(t)=-1,\,\, f_{\text{max}}(t)=5\);

  3. \(f_{\text{min}}(t)=-1,\,\, f_{\text{max}}(t)=0\);

  4. \(f_{\text{min}}(t)=2,\,\, f_{\text{max}}(t)=4\).