8 Тригонометрические уравнения. Уровень 2

Тригонометрические уравнения. Уровень 2

$\blacktriangleright$ Примеры к заданию 8.1:

Решите уравнение:
$2\cos{x}(2\sin{x}+1)=0.$
Решение:
Мы знаем, что произведение множителей равно нулю, тогда и только тогда, когда один из них равен нулю, а другой существует, то есть получаем следующее:
$2\cos{x}(2\sin{x}+1)=0,$ $\left[ \begin{array}{ll} 2\cos{x}=0, \\ \\ 2\sin{x}+1=0; \\ \end{array} \right.$ $\left[ \begin{array}{ll} \cos{x}=0, \\ \\ \sin{x}=-\dfrac{1}{2}; \\ \end{array} \right.$ $\left[ \begin{array}{ll} x=\dfrac{\pi}{2}+\pi n, \\ \\ x=-\dfrac{\pi}{6}+2\pi n, \\ \\ x=-\dfrac{5\pi}{6}+2\pi n, \end{array} \right.n\in\mathbb{Z}.$
$\Longrightarrow$ Решение
Решите уравнение:
$\left(\cos{x}+\dfrac{1}{2}\right)\left(\sin{x}-\dfrac{1}{2}\right)=0.$
Решение:
Мы знаем, что произведение двух множителей равно нулю, тогда и только тогда, когда один из них равен нулю, а другой существует, то есть получаем следующее:
$\left(\cos{x}+\dfrac{1}{2}\right)\left(\sin{x}-\dfrac{1}{2}\right)=0,$ $\left[ \begin{array}{ll} \cos{x}+\dfrac{1}{2}=0, \\ \\ \sin{x}-\dfrac{1}{2}=0; \\ \end{array} \right.$ $\left[ \begin{array}{ll} \cos{x}=-\dfrac{1}{2}, \\ \\ \sin{x}=\dfrac{1}{2}; \\ \end{array} \right.$ $\left[ \begin{array}{lll} x=\pm\dfrac{2\pi}{3}+2\pi n, \\ \\ x=\dfrac{\pi}{6}+2\pi n, \\ \\ x=\dfrac{5\pi}{6}+2\pi n, \\ \end{array} \right.n\in\mathbb{Z}.$

Ответ:

$\dfrac{\pi}{2}+\pi n,\,\,\, -\dfrac{\pi}{6}+2\pi n,\,\,\, -\dfrac{5\pi}{6}+2\pi n,\,\,\,n\in\mathbb{Z}$ ;
$\pm\dfrac{2\pi}{3}+2\pi n,\,\,\,\dfrac{\pi}{6}+2\pi n,\,\,\,\dfrac{5\pi}{6}+2\pi n\,\,\, n\in\mathbb{Z}$ .
$\Longrightarrow$ Решение

Задание 8.1

Решите уравнение:

1. $\sin t(2 \cos t+1)=0$ ;

$\Longrightarrow$ Решение

2. $(\sin t-1)(\cos t+1)=0$ ;

$\Longrightarrow$ Решение

3. $\cos t(2 \sin t+1)=0$ ;

4. $(2 \sin t-\sqrt{2})(2 \cos t+1)=0$ .

$\blacktriangleright$ Пример к заданию 8.2:

Решите уравнение:
$\sqrt{1-\cos^2{x}}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}.$
Решение:
Из основного тригонометрического тождества: $1-\cos^2{x}=\sin^2{x}$ . Как мы знаем из свойств квадратных корней: $\sqrt{x^2}=|x|$ . Тогда:
$\sqrt{1-\cos^2{x}}=\sqrt{\sin^2{x}}=|\sin{x}|.$
Наше уравнение принимает вид:
$|\sin{x}|=\dfrac{\sqrt{3}}{2}.$
Зададимся вопросом: «У каких чисел модуль равен $\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ ?»
Таких чисел два. Это $\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ и $-\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ . Значит:
$|\sin{x}|=\dfrac{\sqrt{3}}{2},$ $\left[ \begin{array}{ll} \sin{x}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}, \\ \sin{x}=-\dfrac{\sqrt{3}}{2}; \\ \end{array} \right.$ $\left[ \begin{array}{ll} x=\dfrac{\pi}{3}+2\pi k, \\ \\ x=\dfrac{2\pi}{3}+2\pi k,\\ \\ x=-\dfrac{\pi}{3}+2\pi k,\\ \\ x=-\dfrac{2\pi}{3}+2\pi k; \\ \end{array} \right.$ $\left[ \begin{array}{ll} x=\pm\dfrac{\pi}{3}+2\pi k, \\ \\ x=\pm\dfrac{2\pi}{3}+2\pi k, \\ \end{array} \right. k\in\mathbb{Z}.$
$\Longrightarrow$ Решение
Решите уравнение:
$|\cos x| =1.$
Решение:
Зададимся вопросом: «У каких чисел модуль равен $1$ ?»
Таких чисел два. Это $1$ и $-1$ . Значит:
$|\cos{x}|=1,$ $\left[ \begin{array}{ll} \cos{x}=1, \\ \cos{x}=-1; \\ \end{array} \right.$ $\left[ \begin{array}{ll} x=0+2\pi k, \\ \\ x=\pi+2\pi k. \\ \end{array} \right.$

Две серии корней, полученные в решении, можно объединить в одну $x=\pi k,\,\,\, k\in\mathbb{Z}.$
Допустимы обе формы записи ответа, но обычно используют более короткий вариант $x=\pi k,\,\,\, k\in\mathbb{Z}.$

Ответ:

$\pm\dfrac{\pi}{3}+2\pi k,\,\,\, \pm\dfrac{2\pi}{3}+2\pi k,\,\,\, k\in\mathbb{Z}$ ;
$\pi k,\,\,\, k\in\mathbb{Z}$ .

Задание 8.2

Решите уравнения:

1. $|\cos x| =\dfrac{1}{2}$ ;

$\Longrightarrow$ Решение

2. $\sqrt{1 - \cos^2 x} = 0,5$ ;

$\Longrightarrow$ Решение

3. $|\sin x| = 1$ ;

4. $\sqrt{1-\sin^2 x}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\blacktriangleright$ Пример к заданию 8.3

Решите уравнение:

\sin (\pi-t)=\dfrac{1}{2}.

Решение:

Способ 1.

Воспользуемся формулой приведения, чтобы упростить вид нашего уравнения

\sin{(\pi-t)}=\sin{t}.

\sin{t}=\dfrac{1}{2},

\left[\begin{array}{ll} t=\dfrac{\pi}{6}+2\pi k, \\ \\ t=\dfrac{5\pi}{6}+2\pi k, \\ \end{array}\right. k\in \mathbb{Z}.

Способ 2.

Сделаем замену. Пусть $(\pi-t)=x$ , тогда $\sin{x}=\dfrac{1}{2}$ .

\left[\begin{array}{ll} x=\dfrac{\pi}{6}+2\pi k, \\ \\ x=\dfrac{5\pi}{6}+2\pi k, \\ \end{array}\right. k\in \mathbb{Z}.

Вернёмся к исходной переменной.

\left[\begin{array}{ll} x=\pi-t=\dfrac{\pi}{6}+2\pi k, \\ \\ x=\pi-t=\dfrac{5\pi}{6}+2\pi k; \\ \end{array}\right.

\left[\begin{array}{ll} t=\pi -\dfrac{\pi}{6}-2\pi k, \\ \\ t=\pi -\dfrac{5\pi}{6}-2\pi k; \\ \end{array}\right.

\left[\begin{array}{ll} t=\dfrac{5\pi}{6}-2\pi k, \\ \\ t=\dfrac{\pi}{6}-2\pi k; \\ \end{array}\right.

\left[\begin{array}{ll} t=\dfrac{\pi}{6}+2\pi k, \\ \\ t=\dfrac{5\pi}{6}+2\pi k, \\ \end{array}\right. k\in \mathbb{Z}.

Ответ: $\dfrac{\pi}{6}+2\pi k,\,\, \dfrac{5\pi}{6}+2\pi k,\,\,\, k\in \mathbb{Z}$ .

$\Longrightarrow$ Решение

Задание 8.3

Решите уравнение:

1. $\cos \left(\dfrac{\pi}{2}-t\right)=1$ ;

$\Longrightarrow$ Решение

2. $\cos (t-\pi)=0$ ;

$\Longrightarrow$ Решение

3. $\sin \left(t-\dfrac{\pi}{2}\right)=1$ ;

4. $\cos{\left(\dfrac{3\pi}{2}-t\right)}=\dfrac{1}{2}$ .

$\blacktriangleright$ Примеры к заданию 8.4

Решите уравнение:
$2 \sin ^{2} t+\sin t=0.$
Решение:
Сделаем замену переменной $\sin{t}=x,$ тогда $2x^2+x=0.$
Найдём корни уравнения:
$2x^2+x=0,$ $x(2x+1)=0,$ $\left[\begin{array}{ll} x=0, \\ x=-\dfrac{1}{2}. \\ \end{array}\right.$
Вернёмся к прежней переменной:
$\left[\begin{array}{ll} \sin{t}=0, \\ \sin{t}=-\dfrac{1}{2}; \\ \end{array}\right.$ $\left[\begin{array}{ll} t=\pi k, \\\\ t=-\dfrac{5\pi}{6}+2\pi k, \\\\ t=-\dfrac{\pi}{6}+2\pi k, \end{array}\right. k\in\mathbb{Z}.$
$\Longrightarrow$ Решение
Решите уравнение:
$3-4 \cos ^{2} t=0.$
Решение:
Выразим $\cos^2t$ и решим уравнение:
$3-4 \cos ^{2} t=0 ,$ $\cos^2t=\dfrac{3}{4},$ $\left[ \begin{array}{ll} \cos{t}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}, \\ \cos{t}=-\dfrac{\sqrt{3}}{2}; \\ \end{array} \right.$ $\left[ \begin{array}{ll} t=\pm\dfrac{\pi}{6}+2\pi k, \\ \\ t=\pm\dfrac{5\pi}{6}+2\pi k, \\ \end{array} \right. k\in\mathbb{Z}.$

Ответ:

$\pi k,\,\,\, -\dfrac{5\pi}{6}+2\pi k,\,\,\, -\dfrac{\pi}{6}+2\pi k,\,\,\, k\in\mathbb{Z}$ ;
$\pm\dfrac{\pi}{6}+2\pi k,\,\,\, \pm\dfrac{5\pi}{6}+2\pi k,\,\,\, k\in\mathbb{Z}$ .

Задание 8.4

Решите уравнения:

1. $3-4 \sin ^{2} t=0$ ;

$\Longrightarrow$ Решение

2. $\sin ^{2} t-\sin t=0$ ;

$\Longrightarrow$ Решение

3. $4 \sin ^{2} t-1=0$ ;

4. $2 \cos ^{2} t-\cos t=0$ ;

5. $4 \cos ^{2} t-1=0$ ;

6. $2 \cos ^{2} t+\cos t=0$ .

$\blacktriangleright$ Пример к заданию 8.5

Решите уравнение:

2 \cos ^{2} t-5 \cos t+2=0.

Решение:

Сделаем замену переменной $\cos{t}=x,$ тогда $2x^2-5x+2=0$ .

Найдём корни уравнения:

2x^2-5x+2=0,

(2x-1)(x-2)=0,

\left[\begin{array}{ll} x=\dfrac{1}{2}, \\ \\x=2. \\ \end{array}\right.

Вернёмся к прежней переменной:

\left[\begin{array}{ll} \cos{t}=\dfrac{1}{2}, \\ \\\cos{t}=2; \\ \end{array}\right.

\left[\begin{array}{ll} t=\pm\dfrac{\pi}{3}+2\pi k, \\ \\t=\varnothing; \end{array}\right.

t=\pm\dfrac{\pi}{3}+2\pi k,\,\,\, k\in\mathbb{Z}.

Ответ: $\pm\dfrac{\pi}{3}+2\pi k,\,\,\, k\in\mathbb{Z}.$

Задание 8.5

Решите уравнения:

$2 \sin ^{2} t+3 \sin t-2=0$ ;

$\Longrightarrow$ Решение
$2 \sin ^{2} t+\sin t-1=0$ ;
$4 \cos ^{2} t+9 \cos t+5=0$ .

$\blacktriangleright$ Пример к заданию 8.6

Решите уравнение:

\sin ^{2} t+3 \cos t-3=0.

Решение:

Для того чтобы свести это уравнение к квадратному относительно $\cos{t}$ , воспользуемся основным тригонометрическим тождеством $\sin^2{t}+\cos^2t=1$ и заменим $\sin^2{t}$ на $1-\cos^2{t}$ :

\sin ^{2} t+3 \cos t-3=0 ,

1-\cos^2{t}+3\cos t-3=0.

Домножим обе части на $-1$ :

\cos^2t-3\cos t +2=0.

Сделаем замену переменной $\cos{t}=x,$ тогда $x^2-3x+2=0$ .

Найдём корни уравнения:

x^2-3x+2=0,

(x-1)(x-2)=0,

\left[\begin{array}{ll} x=1, \\ x=2. \\ \end{array}\right.

Вернёмся к прежней переменной:

\left[\begin{array}{ll} \cos{t}=1, \\ \cos{t}=2; \\ \end{array}\right.

\left[\begin{array}{ll} t=2\pi k, \\ \\t=\varnothing; \end{array}\right.

t=2\pi k,\,\,\, k\in\mathbb{Z}.

Ответ: $2\pi k,\,\,\, k\in\mathbb{Z}.$

Задание 8.6

Решите уравнения:

$2 \cos ^{2} t+\sin t+1=0$ ;

$\Longrightarrow$ Решение
$\sin ^{2} t+3 \cos t-3=0$ .

$\blacktriangleright$ Пример к заданию 8.7

Решите уравнение:

\sin (\pi+t)+\cos \left(\dfrac{\pi}{2}+t\right)=\sqrt{3}.

Решение:

Используя формулы приведения, преобразуем левую часть уравнения:

\sin (\pi+t)+\cos \left(\dfrac{\pi}{2}+t\right)=-\sin{t}-\sin{t}=-2\sin{t}.

Решим уравнение:

-2\sin{t}=\sqrt{3},

\sin{t}=-\dfrac{\sqrt{3}}{2},

\left[\begin{array}{ll} t=-\dfrac{\pi}{3}+2\pi n, \\ \\ t=-\dfrac{2\pi}{3}+2\pi n; \\ \end{array}\right. n\in\mathbb{Z}.

Ответ: $-\dfrac{\pi}{3}+2\pi n,\,\,\,-\dfrac{2\pi}{3}+2\pi n,\,\,\, n\in\mathbb{Z}$ .

$\Longrightarrow$ Решение

Задание 8.7

Решите уравнения:

$\sin \left(\dfrac{\pi}{2}+t\right)-\cos (\pi+t)=1$ ;

$\Longrightarrow$ Решение
$\sin (\pi+t)+\sin (2 \pi-t)-\cos \left(\dfrac{3 \pi}{2}+t\right)+1,5=0$ ;
$\cos \left(\dfrac{\pi}{2}-t\right)-\sin (\pi+t)=\sqrt{2}$ .

$\blacktriangleright$ Пример к заданию 8.8

Решить уравнение:

\cot{\dfrac{x}{2}}=0.

Решение:

Сделаем замену переменной $\dfrac{x}{2}=t$ , тогда уравнение примет вид:

\cot{t}=0.

Решим это уравнения:

\cot{t}=0,

t=\dfrac{\pi}{2}+\pi k, \ k\in\mathbb{Z}.

Сделаем обратную замену и решим исходное уравнение:

\dfrac{x}{2}=\dfrac{\pi}{2}+\pi k,

\ x=\pi+2\pi k,\,\,\, k\in\mathbb{Z}.

Ответ: $\pi+2\pi k,\,\,\, k\in\mathbb{Z}$ .

$\Longrightarrow$ Решение

Задание 8.8

Решите уравнения:

1. $\sin{\dfrac{x}{2}}=1$ ;

$\Longrightarrow$ Решение

2. $\tan{3x}=\sqrt{3}$ ;

3. $\cos{\left(x-\dfrac{\pi}{3}\right)}=-1$ ;

$\Longrightarrow$ Решение

4. $\tan{\left(x+\dfrac{\pi}{4}\right)}=1$ ;

5. $\cos{\left(\dfrac{x}{2}-\dfrac{\pi}{12}\right)}=0$ ;

6. $\sin{\left(2x+\dfrac{\pi}{5}\right)}=0$ .

Тригонометрические уравнения. Уровень 2

Задание 8.1

$\left\{\pm \dfrac{2\pi }{3}+2 \pi k,\,\,\, \pi k,\,\,\, k\in\mathbb{Z}\right \};$
$\left\{\dfrac{\pi}{2}+2\pi k,\,\,\, \pi+2\pi k,\,\,\, k\in\mathbb{Z}\right \};$
$\left\{\dfrac{\pi}{2}+\pi k,\,\,\, -\dfrac{\pi}{6}+2\pi k,\,\,\, -\dfrac{5\pi}{6}+2\pi k ,\,\,\, k\in\mathbb{Z}\right \};$
$\left\{\dfrac{\pi}{4}+2\pi k,\,\,\, \dfrac{3\pi}{4}+2\pi k,\,\,\, \pm\dfrac{2\pi}{3}+2\pi k,\,\,\, k\in\mathbb{Z}\right \}.$

Задание 8.2

$\left\{\pm \dfrac{\pi}{3}+2\pi k,\,\,\, \pm \dfrac{2\pi}{3}+2\pi k,\,\,\, k\in\mathbb{Z} \right \};$
$\left\{\pm\dfrac{\pi}{6}+2\pi k,\,\,\, \pm\dfrac{5\pi}{6}+2\pi k,\,\,\, k\in\mathbb{Z}\right \};$
$\left\{\pm\dfrac{\pi}{2}+2\pi k,\,\,\, k\in\mathbb{Z}\right \};$
$\left\{\pm\dfrac{\pi}{6}+2\pi k,\,\,\, \pm\dfrac{5\pi}{6}+2\pi k,\,\,\, k\in\mathbb{Z}\right \}.$

Задание 8.3

$\left\{\dfrac{\pi}{2}+2\pi k,\,\,\, k\in\mathbb{Z}\right \};$
$\left\{\dfrac{\pi}{2}+\pi k,\,\,\, k\in\mathbb{Z}\right \};$
$\left\{\pi+2\pi k,\,\,\, k\in\mathbb{Z}\right \};$
$\left\{-\dfrac{\pi}{6} +2\pi k,\,\, -\dfrac{5\pi}{6}+2\pi k,\,\,\, k\in\mathbb{Z}\right \}.$

Задание 8.4

$\left\{\pm \dfrac{\pi}{3}+2\pi k,\,\,\, \pm \dfrac{2\pi}{3}+2\pi k,\,\,\, k\in\mathbb{Z}\right \}$
или $\left\{\dfrac{\pi}{3}+\pi k,\,\,\, \dfrac{2\pi}{3}+\pi k,\,\,\, k\in\mathbb{Z}\right \}$ ;
$\left\{\pi k,\,\,\, \dfrac{\pi}{2}+2\pi k,\,\,\, k\in\mathbb{Z}\right \};$
$\left\{\pm \dfrac{\pi}{6}+2\pi k,\,\,\, \pm \dfrac{5\pi}{6}+2\pi k,\,\,\, k\in\mathbb{Z} \right \}$
или $\left\{\dfrac{\pi}{6}+\pi k,\,\,\, \dfrac{5\pi}{6}+\pi k,\,\,\, k\in\mathbb{Z} \right \}$ ;
$\left\{\dfrac{\pi}{2}+\pi k,\,\,\, \pm\dfrac{\pi}{3}+2\pi k,\,\,\, k\in\mathbb{Z} \right \};$
$\left\{\pm \dfrac{\pi}{3}+2\pi k,\,\,\, \pm \dfrac{2\pi}{3}+2\pi k,\,\,\, k\in\mathbb{Z}\right \}$
или $\left\{\dfrac{\pi}{3}+\pi k,\,\,\, \dfrac{2\pi}{3}+\pi k,\,\,\, k\in\mathbb{Z}\right \}$ ;
$\left\{\dfrac{\pi}{2}+\pi k,\,\,\, \pm\dfrac{2\pi}{3}+2\pi k,\,\,\, k\in\mathbb{Z}\right \} .$

Задание 8.5

$\left\{\dfrac{\pi}{6}+2\pi k,\,\,\, \dfrac{5\pi}{6}+2\pi k,\,\,\, k\in\mathbb{Z}\right \};$
$\left\{ \dfrac{3\pi}{2}+2\pi k,\,\,\, \dfrac{\pi}{6}+2\pi k,\,\,\, \dfrac{5\pi}{6}+2\pi k,\,\,\, k\in\mathbb{Z}\right \}$ или $\left\{\dfrac{\pi}{6}+\dfrac{2\pi k}{3} ,\,\,\, k\in\mathbb{Z}\right \}$ ;
$\left\{\pi+2\pi k,\,\,\, k\in\mathbb{Z}\right \} .$

Задание 8.6

$\left\{\dfrac{3\pi}{2}+2\pi k,\,\,\, k\in\mathbb{Z}\right \} ;$
$\left\{2\pi k,\,\,\, k\in\mathbb{Z}\right \}.$

Задание 8.7

$\left\{\pm\dfrac{\pi}{3}+2\pi k,\,\,\, k\in\mathbb{Z}\right \};$
$\left\{\dfrac{\pi}{6}+2\pi k,\,\,\, \dfrac{5\pi}{6}+2\pi k,\,\,\, k\in\mathbb{Z}\right \} ;$
$\left\{\dfrac{\pi}{4}+2\pi k,\,\,\, \dfrac{3\pi}{4}+2\pi k,\,\,\, k\in\mathbb{Z}\right \}.$

Задание 8.8

$\left\{\pi+4\pi k,\,\,\, k\in\mathbb{Z}\right \};$
$\left\{\dfrac{\pi}{9}+\dfrac{\pi k}{3},\,\,\, k\in\mathbb{Z}\right \}$ ;
$\left\{\dfrac{4\pi}{3}+2\pi k,\,\,\, k\in\mathbb{Z}\right \};$
$\left\{\pi k,\,\,\, k\in\mathbb{Z}\right \};$
$\left\{\dfrac{7\pi}{6}+2\pi k,\,\,\, k\in\mathbb{Z}\right \};$
$\left\{\dfrac{2\pi}{5}+\dfrac{\pi k}{2},\,\,\, k\in\mathbb{Z}\right \}.$