14 Задания 1 части

Задания 1 части

Задание 1. Непосредственное вычисление значений

\(\blacktriangleright\) Пример. Найдите значение выражения \(\dfrac{8}{\sin (-\frac{27\pi }{4})\cos (\frac{31\pi }{4})}\).

Решение:

Заметим, что \(-\dfrac{27\pi}{4} = -6\pi - \dfrac{3\pi}{4}\) и \(\dfrac{31\pi}{4} = 7\pi + \dfrac{3\pi}{4}\). Тогда мы получаем, что

\[\sin\left(-\dfrac{27\pi}{4}\right) = \sin\left(-6\pi - \dfrac{3\pi}{4}\right) = \sin\left(-\dfrac{3\pi}{4}\right) = -\dfrac{\sqrt{2}}{2},\]
\[\cos\left(\dfrac{31\pi}{4}\right) = \cos\left(7\pi + \dfrac{3\pi}{4}\right) =- \cos\left(\dfrac{3\pi}{4}\right) = \dfrac{\sqrt{2}}{2}.\]

Наконец, можем найти значение нашего выражения:

\[\dfrac{8}{\sin (-\frac{27\pi }{4})\cos (\frac{31\pi }{4})} = \dfrac{8}{-\dfrac{\sqrt{2}}{2}\cdot \dfrac{\sqrt{2}}{2}} = -16.\]

\(\Longrightarrow\) Решение задачи

Задачи для самостоятельного решения

  1. Найдите значение выражения \(36\sqrt{6}\tan \dfrac{\pi }{6}\sin \dfrac{\pi }{4}\).

    \(\Longrightarrow\) Решение задачи

  2. Найдите значение выражения \(4\sqrt{2}\cos \dfrac{\pi }{4}\cos \dfrac{7\pi }{3}\).

    \(\Longrightarrow\) Решение задачи

  3. Найдите значение выражения \(12 \sin 150^{\circ} \cdot \cos 120^{\circ}\).

    \(\Longrightarrow\) Решение задачи

  4. Найдите значение выражения \(28\sqrt{6}\cos\left(-\dfrac{\pi}{6}\right)\sin\left(-\dfrac{\pi}{4}\right)\).

    \(\Longrightarrow\) Решение задачи

  5. Найдите значение выражения \(2\sqrt{6}\cos{\dfrac{\pi}{4}}\sin{\dfrac{7\pi}{6}}\tan{\left(-\dfrac{2\pi}{3}\right)}\).

    \(\Longrightarrow\) Решение задачи

  6. Найдите значение выражения \(-4\sqrt{3}\cos (-750{}^\circ )\).

  7. Найдите значение выражения \(2\sqrt{3}\tan (-300{}^\circ )\).

  8. Найдите значение выражения \(-18\sqrt{2}\sin (-135{}^\circ )\).

  9. Найдите значение выражения \(24\sqrt{2}\cos \left(-\dfrac{\pi }{3}\right)\sin \left(-\dfrac{\pi }{4}\right)\).

Задание 2. Нахождение неизвестного значения функции по известному значению

\(\blacktriangleright\) Пример 1. По заданному значению функции найдите значения остальных тригонометрических функций:

\(\sin{\alpha}=-\dfrac{20}{29},\,\, \alpha\in \left(\pi;\dfrac{3\pi}{2}\right)\).

Решение:

Найдём значение \(\cos{\alpha}\).

Воспользуемся основным тригонометрическим тождеством: \(\sin^2{\alpha}+\cos^2{\alpha}=1\).

\[\cos^2{\alpha}=1-\sin^2{\alpha}=1-\left(-\dfrac{20}{29}\right)^2=1-\dfrac{400}{841}=\dfrac{441}{841},\]
\[\cos{\alpha}=\pm\dfrac{21}{29}.\]

Так как \(\alpha \in\left(\pi;\dfrac{3\pi}{2}\right)\), то \(\cos{\alpha}<0,\) выбираем \(\cos{\alpha}=-\dfrac{21}{29}\).

Найдём значение \(\tan{\alpha}\).

Мы знаем значения \(\sin{\alpha}\) и \(\cos{\alpha}\), тогда:

\[\tan{\alpha}=\dfrac{\sin{\alpha}}{\cos{\alpha}}=\dfrac{-\frac{20}{29}}{-\frac{21}{29}}=\dfrac{20}{21}.\]

Найдём значение \(\cot{\alpha}\).

\[\cot{\alpha}=\dfrac{\cos{\alpha}}{\sin{\alpha}}=\dfrac{-\frac{21}{29}}{-\frac{20}{29}}=\dfrac{21}{20}.\]

\(\blacktriangleright\) Пример 2. По заданному значению функции найдите значения остальных тригонометрических функций: \(\tan{\alpha}=-\dfrac{35}{12},\,\, \alpha\in \left(\dfrac{\pi}{2}; \pi\right)\).

Решение:

Найдём \(\cot{\alpha}\).

\[\tan{\alpha}\cdot \cot{\alpha}=1,\]
\[\cot{\alpha}=\dfrac{1}{\tan{\alpha}}=\dfrac{1}{-\frac{35}{12}}=-\dfrac{12}{35}.\]

Найдём \(\cos{\alpha}\).

\[\tan^2{\alpha}+1=\dfrac{1}{\cos^2{\alpha}},\]
\[\left(-\dfrac{35}{12}\right)^2+1=\dfrac{1}{\cos^2{\alpha}},\]
\[\dfrac{1}{\cos^2{\alpha}}=\dfrac{1369}{144},\]
\[\cos^2{\alpha}=\dfrac{144}{1369},\]
\[\cos{\alpha}=\pm\dfrac{12}{37}.\]

Так как \(\alpha \in\left(\dfrac{\pi}{2}; \pi\right)\), то \(\cos{\alpha}<0,\) выбираем \(\cos{\alpha}=-\dfrac{12}{37}.\)
Найдём \(\sin{\alpha}\).

\[\sin^2{\alpha}+\cos^2{\alpha}=1,\]
\[\sin^2{\alpha}=1-\left(-\dfrac{12}{37}\right)^2=1-\dfrac{144}{1369}=\dfrac{1225}{1369},\]
\[\sin{\alpha}=\pm \dfrac{35}{37}.\]

Так как \(\alpha \in\left(\dfrac{\pi}{2}; \pi\right)\), то \(\sin{\alpha}>0\) выбираем \(\sin{\alpha}=\dfrac{35}{37}.\)

Задачи для самостоятельного решения

  1. Найдите значение выражения \(\cos{\alpha}\), если \(\tan{\alpha}=-\dfrac{\sqrt{21}}{2}\) и \(\alpha \in \left(\dfrac{3\pi}{2};2\pi\right)\).

    \(\Longrightarrow\) Решение задачи

  2. Найдите \(\tan{\alpha}\), если \(\sin{\alpha}=\dfrac{3}{\sqrt{13}}\) и \(\alpha \in \left(0;\dfrac{\pi}{2}\right)\).

    \(\Longrightarrow\) Решение задачи

  3. Найдите значение выражения \(\cos{\alpha}\), если \(\tan{\alpha}=-\dfrac{\sqrt{91}}{3}\) и \(\alpha \in \left(\pi;\dfrac{3\pi}{2}\right)\).

    \(\Longrightarrow\) Решение задачи

  4. Найдите \(\tan \alpha\), если \(\cos \alpha =\dfrac{\sqrt{10}}{10}\) и \(\alpha \in \left(\dfrac{3\pi }{2};\,2\pi \right)\).

  5. Найдите \(\tan \alpha\), если \(\sin \alpha =-\dfrac{5}{\sqrt{26}}\) и \(\alpha \in \left(\pi ;\,\dfrac{3\pi }{2}\right)\).

  6. Найдите \(3\cos \alpha\), если \(\sin \alpha =-\dfrac{2\sqrt{2}}{3}\) и \(\alpha \in \left(\dfrac{3\pi }{2};\,2\pi \right)\).

  7. Найдите \(5\sin \alpha\), если \(\cos \alpha =\dfrac{2\sqrt{6}}{5}\) и \(\alpha \in \left(\dfrac{3\pi }{2};\,2\pi \right)\).

Задание 3. Вычисление значений с помощью формул приведения

\(\blacktriangleright\) Пример 1. Найдите значение выражения

\[\dfrac{5\sin{(3\pi-\alpha)}+7\cos{\bigg(\dfrac{\pi}{2}-\alpha}\bigg)}{2\sin{(\pi-\alpha)}}.\]

Решение: По формулам приведения получаем:

\[\sin(3\pi - \alpha) = \sin\alpha;\;\;\; \cos{\bigg(\dfrac{\pi}{2}-\alpha}\bigg) = \sin\alpha;\;\;\; \sin(\pi - \alpha) = \sin\alpha.\]

Теперь мы легко можем найти значение нашего выражения:

\[\dfrac{5\sin{(3\pi-\alpha)}+7\cos{\bigg(\dfrac{\pi}{2}-\alpha}\bigg)}{2\sin{(\pi-\alpha)}} = \dfrac{5\sin{\alpha} + 7\sin{\alpha}}{2\sin{\alpha}} = \dfrac{12\sin{\alpha}}{2\sin{\alpha}} = 6.\]

\(\Longrightarrow\) Решение задачи

\(\blacktriangleright\) Пример 2. Найдите значение \(13\cos\bigg(\dfrac{\pi}{2}-\alpha\bigg)\), если \(\cos{\alpha}=-\dfrac{12}{13}\) и \(\alpha\in\bigg(\dfrac{\pi}{2};\pi\bigg)\).

Решение: По формуле приведения получаем, что

\[13\cos\bigg(\dfrac{\pi}{2}-\alpha\bigg) = 13\sin{\alpha}.\]

Далее воспользуемся основным тригонометрическим тождеством:

\[\sin^2{\alpha} + \cos^2{\alpha} = 1,\]
\[\sin^2{\alpha} = 1 - \left(-\dfrac{12}{13}\right)^2 = \dfrac{25}{169}.\]

Так как угол \(\alpha\) лежит во второй четверти, то \(\sin{\alpha} = \dfrac{5}{13}\). Значит,

\[13\cos\bigg(\dfrac{\pi}{2}-\alpha\bigg) = 13\cdot\dfrac{5}{13} = 5.\]

\(\Longrightarrow\) Решение задачи

Задачи для самостоятельного решения

  1. Найдите значение выражения \(\dfrac{2\sin (\alpha -7\pi )+\cos \left(\dfrac{3\pi }{2}+\alpha \right)}{\sin (\alpha +\pi )}\).

    \(\Longrightarrow\) Решение задачи

  2. Найдите значение выражения \(\dfrac{\sin(\alpha-\pi)-3\cos\bigg(-\dfrac{3\pi}{2}+\alpha\bigg)}{\sin{(\alpha-3\pi)}}\).

    \(\Longrightarrow\) Решение задачи

  3. Найдите значение выражения \(\dfrac{4\sin(\alpha-3\pi)-\cos\left(\dfrac{3\pi}{2}+\alpha\right)}{5\sin(\alpha-\pi)}\).

    \(\Longrightarrow\) Решение задачи

  4. Найдите значение выражения \(\dfrac{3\cos (\pi -\beta )+\sin \left(\dfrac{\pi }{2}+\beta \right)}{\cos \left(\beta +3\pi\right )}\).

  5. Найдите значение выражения \(7\cos{(\pi+\beta)}-2\sin{\bigg(\dfrac{\pi}{2}+\beta\bigg)}\), если \(\cos\beta=-\dfrac{1}{3}\).

    \(\Longrightarrow\) Решение задачи

  6. Найдите значение выражения \(5\sin (\alpha -7\pi )-11\cos \left(\dfrac{3\pi }{2}+\alpha \right)\), если \(\sin \alpha =-0,25\).

    \(\Longrightarrow\) Решение задачи

  7. Найдите \(\sin{\bigg(\dfrac{7\pi}{2}-\alpha\bigg)}\), если \(\sin\alpha=0,8\) и \(\alpha\in\bigg(\dfrac{\pi}{2};\pi\bigg)\).

    \(\Longrightarrow\) Решение задачи

  8. Найдите \(26\cos\bigg(\dfrac{3\pi}{2}+\alpha\bigg)\), если \(\cos\alpha=-\dfrac{5}{13}\) и \(\alpha\in(\pi;1,5\pi)\).

    \(\Longrightarrow\) Решение задачи

  9. Найдите значение выражения \(5\tan (5\pi -\gamma )-\tan(-\gamma )\), если \(\tan \gamma =7\).

  10. Найдите \(26\cos \left(\dfrac{3\pi }{2}+\alpha \right)\), если \(\cos \alpha =\dfrac{12}{13}\) и \(\alpha \in \left(\dfrac{3\pi }{2};\,2\,\pi \right)\).

  11. Найдите \(\tan \left(\alpha +\dfrac{5\pi }{2}\right)\), если \(\tan \alpha =0,4\).

Задание 4. Приведение к функциям одного угла

\(\blacktriangleright\) Пример. Найдите значение выражения \(\dfrac{4\cos{121^{\circ}}}{\cos{59^{\circ}}}\).

Решение: Заметим, что \(121^{\circ} = 180^{\circ} - 59^{\circ}\), значит, по формулам приведения получаем:

\[\cos{121^{\circ}} = \cos(180^{\circ} - 59^{\circ}) = -\cos{59^{\circ}}.\]

Найдём значение нашего выражения:

\[\dfrac{4\cos{121^{\circ}}}{\cos{59^{\circ}}} = - \dfrac{4\cos{59^{\circ}}}{\cos{59^{\circ}}} = -4.\]

\(\Longrightarrow\) Решение задачи

Задачи для самостоятельного решения

  1. Найдите значение выражения \(\dfrac{14\sin 19{}^\circ }{\sin 341{}^\circ }\).

    \(\Longrightarrow\) Решение задачи

  2. Найдите значение выражения \(\dfrac{5\tan 163{}^\circ }{\tan 17{}^\circ }\).

    \(\Longrightarrow\) Решение задачи

  3. Найдите значение выражения \(\dfrac{5\sin{61^{\circ}}}{\sin{299^{\circ}}}\).

    \(\Longrightarrow\) Решение задачи

  4. Найдите значение выражения \(\dfrac{-8\sin422^{\circ}}{\sin62^{\circ}}\).

    \(\Longrightarrow\) Решение задачи

  5. Найдите значение выражения \(\dfrac{4\cos 146{}^\circ }{\cos 34{}^\circ }\).

  6. Найдите значение выражения \(\dfrac{5\cos 29{}^\circ }{\sin 61{}^\circ }\).

  7. Найдите значение выражения \(\dfrac{14\sin 409^\circ }{\sin 49^\circ }\).

  8. Найдите значение выражения \(5\tan 17{}^\circ \cdot \tan 107{}^\circ\).

    \(\Longrightarrow\) Решение задачи

  9. Найдите значение выражения \(7\tan 13{}^\circ \cdot \tan 77{}^\circ\).

Задание 5. Применение основного тригонометрического тождества

\(\blacktriangleright\) Пример. Найдите значение выражения \(\dfrac{\sin^2{20^{\circ}}+\sin^2{70^{\circ}}}{2\sin{(180^{\circ}+\alpha)}}\), если \(\sin{\alpha}=\dfrac{1}{3}\).

Решение: Заметим, что \(70^{\circ} = 90^{\circ} - 20^{\circ}\). Значит, по формулам приведения получаем:

\[\sin{70^{\circ}} = \sin{(90^{\circ} - 20^{\circ})} = \cos{20^{\circ}}.\]

Тогда по основному тригонометрическому тождеству имеем:

\[\sin^2{20^{\circ}}+\sin^2{70^{\circ}} = \sin^2{20^{\circ}}+\cos{20^{\circ}} = 1.\]

Для преобразования знаменателя вновь воспользуемся формулами приведения:

\[\sin{(180^{\circ}+\alpha)} = -\sin{\alpha} = -\dfrac{1}{3}.\]

Найдем значение выражения:

\[\dfrac{\sin^2{20^{\circ}}+\sin^2{70^{\circ}}}{2\sin{(180^{\circ}+\alpha)}} = \dfrac{1}{-\dfrac{2}{3}} = -1,5.\]

\(\Longrightarrow\) Решение задачи

Задачи для самостоятельного решения

  1. Найдите значение выражения \(-\dfrac{22}{\cos^2{34^{\circ}}+\cos^2{124^{\circ}}}\).

    \(\Longrightarrow\) Решение задачи

  2. Найдите значение выражения \(\dfrac{12}{{{\sin }^{2}}{{37}^{\circ }}+{{\sin }^{2}}{{127}^{\circ }}}\).

    \(\Longrightarrow\) Решение задачи

  3. Найдите значение выражения \(\dfrac{12}{{{\sin }^{2}}{{27}^{\circ }}+{{\cos }^{2}}{{207}^{\circ }}}\).

    \(\Longrightarrow\) Решение задачи

  4. Найдите значение выражения \(\dfrac{6}{{{\cos }^{2}}{{23}^{\circ }}+{{\cos }^{2}}{{113}^{\circ }}}\).

Задание 6. Преобразования с помощью тангенса и котангенса

\(\blacktriangleright\) Пример 1. Найдите \(\dfrac{3\cos{\alpha}-2\sin{\alpha}}{4\sin{\alpha}+5\cos{\alpha}}\), если \(\cot{\alpha}=-3\).

Решение: Мы знаем, что \(\cot{\alpha}=\dfrac{\cos{\alpha}}{\sin{\alpha}}\), следовательно, так как \(\cot{\alpha}=-3\), то \(\dfrac{\cos{\alpha}}{\sin{\alpha}}=-3\).

Умножим полученное равенство на \(\sin{\alpha}\), получим \(\cos{\alpha}=-3 \sin{\alpha}\).
А теперь заменим в искомом выражении все косинусы на \(-3 \sin{\alpha}\) и упростим полученную дробь:

\[\dfrac{3\cos{\alpha}-2\sin{\alpha}}{4\sin{\alpha}+5\cos{\alpha}} = \dfrac{3(-3 \sin{\alpha})-2\sin{\alpha}}{4\sin{\alpha}+5(-3 \sin{\alpha})}=\dfrac{-9 \sin{\alpha}-2\sin{\alpha}}{4\sin{\alpha}-15 \sin{\alpha}}=\dfrac{-11 \sin{\alpha}}{-11 \sin{\alpha}}=1.\]

\(\Longrightarrow\) Решение задачи

\(\blacktriangleright\) Пример 2. Найдите \(\tan \alpha\), если \(\dfrac{3\sin \alpha -5\cos \alpha +2}{\sin \alpha +3\cos \alpha +6}=\dfrac{1}{3}\).

Решение: Умножим наше равенство на \(3\cdot(\sin \alpha +3\cos \alpha +6)\):

\[3(3\sin \alpha -5\cos \alpha +2) = \sin \alpha +3\cos \alpha +6,\]
\[9\sin \alpha -15\cos \alpha +6 = \sin \alpha +3\cos \alpha +6,\]
\[8\sin{\alpha} = 18\cos{\alpha}.\]

Поделим полученное выражение на \(8\cos{\alpha}\):

\[\dfrac{\sin{\alpha}}{\cos{\alpha}} = \dfrac{18}{8},\]
\[\tan{\alpha} = 2{,}25.\]

\(\Longrightarrow\) Решение задачи

Задачи для самостоятельного решения

  1. Найдите значение выражения \(\dfrac{13\sin{\alpha}+14\cos{\alpha}}{15\sin{\alpha}-16\cos{\alpha}}\), если \(\cot{\alpha}=\dfrac{7}{8}\).

    \(\Longrightarrow\) Решение задачи

  2. Найдите \(\dfrac{10\cos \alpha +4\sin \alpha +15}{2\sin \alpha +5\cos \alpha +3}\), если \(\tan \alpha =-2,5\).

  3. Найдите \(\dfrac{3\cos \alpha -4\sin \alpha }{2\sin \alpha -5\cos \alpha }\), если \(\tan \alpha =3\).

  4. Найдите \(\tan^2\alpha\), если \(5{{\sin }^{2}}\alpha +13{{\cos }^{2}}\alpha =6\).

    \(\Longrightarrow\) Решение задачи

  5. Найдите \(\tan\alpha\), если \(\dfrac{5\sin\alpha-4\cos{\alpha}-2}{5\sin\alpha+\cos{\alpha}-3}=\dfrac{2}{3}\).

    \(\Longrightarrow\) Решение задачи

  6. Найдите \(\tan \alpha\), если \(\dfrac{7\sin \alpha +13\cos \alpha }{5\sin \alpha -17\cos \alpha }=3\).

  7. Найдите \(\sin{2\alpha}\), если \(\dfrac{5\sin\alpha-6\cos{\alpha}}{6\sin\alpha-10\cos{\alpha}}=\tan{\alpha}\).

    \(\Longrightarrow\) Решение задачи

Задание 7. Синус двойного угла

\(\blacktriangleright\) Пример. Найдите значение выражения \(\dfrac{12\sin 11{}^\circ \cdot \cos 11{}^\circ}{\sin 22{}^\circ }\).

Решение: Воспользуемся формулой для синуса двойного угла:

\[12\sin 11{}^\circ \cdot \cos 11{}^\circ = 6\cdot( 2\sin 11{}^\circ \cdot \cos 11{}^\circ) = 6\cdot\sin{22^{\circ}}.\]

Тогда получаем:

\[\dfrac{12\sin 11{}^\circ \cdot \cos 11{}^\circ}{\sin 22{}^\circ} = \dfrac{6\cdot\sin{22^{\circ}}}{\sin{22^{\circ}}} = 6.\]

\(\Longrightarrow\) Решение задачи

Задачи для самостоятельного решения

  1. Найдите значение выражения \(8\sin{\dfrac{5\pi}{12}}\cdot\cos{\dfrac{5\pi}{12}}\).

    \(\Longrightarrow\) Решение задачи

  2. Найдите значение выражения \(\dfrac{5\sin98^{\circ}}{\sin49^{\circ}\cdot \sin41^{\circ}}\).

    \(\Longrightarrow\) Решение задачи

  3. Найдите значение выражения \(\dfrac{5\sin74^{\circ}}{\cos37^{\circ}\cdot \cos53^{\circ}}\).

    \(\Longrightarrow\) Решение задачи

  4. Найдите значение выражения \(\dfrac{\sin{126^{\circ}}}{4\sin{63^{\circ}}\sin{27^{\circ}}}\).

    \(\Longrightarrow\) Решение задачи

  5. Найдите значение выражения \(\dfrac{2\cos20^{\circ}\cdot\cos70^{\circ}}{5\sin40^{\circ}}\).

    \(\Longrightarrow\) Решение задачи

  6. Найдите \(\dfrac{10\sin 6\alpha }{3\cos 3\alpha }\), если \(\sin 3\alpha =0,6\).

Задание 8. Косинус двойного угла

\(\blacktriangleright\) Пример 1. Найдите \(98\cos{2\alpha}\), если \(\cos\alpha=\dfrac{4}{7}\).

Решение: Воспользуемся формулой для нахождения косинуса двойного угла:

\[98\cos{2\alpha} = 98(2\cos^2{\alpha} - 1) = 98\left(2 \cdot \dfrac{16}{49} - 1\right) = \dfrac{98 \cdot (-17)}{49} =-34.\]

\(\Longrightarrow\) Решение задачи

\(\blacktriangleright\) Пример 2. Найдите значение выражения \(\sqrt{3}\cos^2{\dfrac{5\pi}{12}}-\sqrt{3}\sin^2{\dfrac{5\pi}{12}}\).

Решение: Воспользуемся формулой для нахождения косинуса двойного угла:

\[\sqrt{3}\left(\cos^2{\dfrac{5\pi}{12}} - \sin^2{\dfrac{5\pi}{12}}\right) = \sqrt{3}\left(\cos{\left(2\cdot \dfrac{5\pi}{12}\right)}\right) = \sqrt{3}\cdot \cos{\dfrac{5\pi}{6}} = \sqrt{3}\cdot\left(-\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right) = -1{,}5.\]

\(\Longrightarrow\) Решение задачи

\(\blacktriangleright\) Пример 3. Найдите значение выражения \(\sqrt{48}\cos^2\dfrac{19\pi}{12}-\sqrt{12}\).

Решение: Вынесем за скобки общий числовой множитель \(\sqrt{12}=2\sqrt{3}\), получим:

\[\sqrt{48}\cos^2\dfrac{19\pi}{12}-\sqrt{12}=\sqrt{12}\cdot\left(\sqrt{4}\cos^2\dfrac{19\pi}{12}-1\right)=2\sqrt{3}\cdot\left(2\cos^2\dfrac{19\pi}{12}-1\right).\]

Выражение, полученное в скобках, свернём по формуле косинуса двойного угла
\(\cos{2x}=2\cos^2{x}-1\) и вычислим полученную функцию:

\[2\sqrt{3}\cdot\left(2\cos^2\dfrac{19\pi}{12}-1\right)=2\sqrt{3}\cdot\cos\dfrac{19\pi}{6}=2\sqrt{3}\cdot\cos\left(3\pi+\dfrac{\pi}{6}\right)=-2\sqrt{3}\cdot\cos\dfrac{\pi}{6}=-2\sqrt{3}\cdot\dfrac{\sqrt{3}}{2}=-3.\]

\(\Longrightarrow\) Решение задачи

Задачи для самостоятельного решения

  1. Найдите \(24\cos 2\alpha\), если \(\sin \alpha =-0,2\).

    \(\Longrightarrow\) Решение задачи

  2. Найдите \(-20\cos2\alpha\), если \(\sin\alpha=-0,8\).

    \(\Longrightarrow\) Решение задачи

  3. Найдите \(9\cos 2\alpha\), если \(\cos \alpha =\dfrac{1}{3}\).

  4. Найдите \(-47 \cos 2 \alpha\), если \(\cos \alpha = -0,4\).

  5. Найдите \(\sqrt{5}\cdot\cot{2\alpha}\), если \(\sin{\bigg(\alpha-\dfrac{\pi}{2}\bigg)}=-\dfrac{2}{3}\) и \(\dfrac{3\pi}{2}<\alpha<2\pi\).

    \(\Longrightarrow\) Решение задачи

  6. Найдите значение выражения \(4\cos{4\alpha}\), если \(\sin{2\alpha}=-0,4\).

    \(\Longrightarrow\) Решение задачи

  7. Найдите значение выражения \(\sqrt{75}\cos^2{\dfrac{7\pi}{12}}-\sqrt{75}\sin^2{\dfrac{7\pi}{12}}\).

    \(\Longrightarrow\) Решение задачи

  8. Найдите значение выражения \(\sqrt{3}-\sqrt{12}\sin^2{\dfrac{5\pi}{12}}\).

    \(\Longrightarrow\) Решение задачи

  9. Найдите значение выражения \(\sqrt{12}\cos^2\dfrac{5\pi}{12}-\sqrt{3}\).

    \(\Longrightarrow\) Решение задачи

  10. Найдите значение выражения \(2\sqrt{2}\cos^2\dfrac{3\pi}{8}-\sqrt{2}\).

    \(\Longrightarrow\) Решение задачи

  11. Найдите значение выражения \(2\sqrt{2}-4\sqrt{2}\sin^2\dfrac{5\pi}{8}\).

    \(\Longrightarrow\) Решение задачи

  12. Найдите значение выражения \(\dfrac{24({{\sin }^{2}}17{}^\circ -{{\cos }^{2}}17{}^\circ )}{\cos 34{}^\circ }\).

    \(\Longrightarrow\) Решение задачи

  13. Найдите значение выражения \(\dfrac{18(\sin^224^{\circ}-\cos^224^{\circ})}{\cos48^{\circ}}\).

    \(\Longrightarrow\) Решение задачи

  14. Найдите значение выражения \(\dfrac{6\cos^2{34^{\circ}}-3}{\cos{169^{\circ}}\cdot\cos{79^{\circ}}}\).

    \(\Longrightarrow\) Решение задачи

Задание 9. Тригонометрические уравнения 1 части

\(\blacktriangleright\) Пример 1. Решите уравнение и в ответе запишите его наибольший отрицательный корень:

\[\cos{\dfrac{\pi(x-1)}{3}} = \dfrac{1}{2}.\]

Решение: С помощью тригонометрической окружности разберемся, при каких значениях угла, его косинус равен \(\dfrac{1}{2}\). Для этого:

  1. — Найдем на горизонтальной оси косинусов точку \(\dfrac{1}{2}\).

  2. — Проведем через эту точку вертикальную прямую и найдем точки пересечения этой прямой с окружностью.

  3. — Выявим значения углов, косинус которых равен \(\dfrac{1}{2}\).

pic_46

Таким образом, искомые значения – это \(\dfrac{\pi}{3}\) и \(-\dfrac{\pi}{3}\).

Учтём, что, пройдя любое целое количество целых оборотов по окружности относительно точек \(\dfrac{\pi}{3}\) и \(-\dfrac{\pi}{3}\), мы будем попадать в точки, косинус которых тоже равен \(\dfrac{1}{2}\), а, значит, они являются решениями нашего уравнения. Множество всех таких точек мы запишем с помощью периода. Один полный оборот по окружности равен \(2\pi\). Пусть количество оборотов равно некоторому целому числу \(k\). Тогда множество решений нашего уравнения можно записать как \(\dfrac{\pi}{3} + 2\pi k\) и \(-\dfrac{\pi}{3} + 2\pi k\). Итого, сделаем следующий переход:

\[\cos{\dfrac{\pi(x-1)}{3}} = \dfrac{1}{2},\]
\[\left[ \begin{gathered} \dfrac{\pi(x-1)}{3}=\dfrac{\pi}{3} + 2\pi k, \\ \dfrac{\pi(x-1)}{3}= - \dfrac{\pi}{3} + 2\pi k. \end{gathered} \right.\]

Разделим обе части каждого уравнения в совокупности на \(\dfrac{\pi}{3}\).

\[\left[ \begin{gathered} x-1= 1 + 6 k, \\ x-1= -1 + 6 k; \end{gathered} \right.\]
\[\left[ \begin{gathered} x = 2 + 6 k, \\ x = 6 k. \end{gathered} \right.\]

Найдём наибольший отрицательный корень нашего уравнения. Вспомним, что \(k\) – целое число. Заметим, что \(x\) может быть отрицательным только при \(k\) < 0, причем, чем меньше \(k\), тем меньше \(x\). Таким образом, нам нужно брать \(k\) как можно больше, но так, чтобы \(k < 0\). Делаем вывод, что нам подойдёт \(k = -1\). Подставим это значение \(k\) в верхнее и нижнее уравнение и получим:

\[\text{при } k = -\text{1:} \,\,\,\,\,\,\, \left[ \begin{gathered} x = 2 + 6\cdot(-1) = -4, \\ x = 6\cdot(-1) = -6. \end{gathered} \right.\]

Из этих двух значений больше \(-4\). Это число и будет являться нашим ответом.

\(\blacktriangleright\) Пример 2.

Найдите наибольший отрицательный и наименьший положительный корень уравнения:

\[\cot{\dfrac{\pi(x+8)}{18}}=\sqrt{3}.\]

Решение:
Сделаем замену \(\dfrac{\pi(x+8)}{18}=t\) и решим полученное уравнение:

\[\cot{t}=\sqrt{3},\]
\[t=\dfrac{\pi}{6}+\pi n,\,\,\,n\in\mathbb{Z}.\]

Сделаем обратную замену и найдём \(x\):

\[\dfrac{\pi(x+8)}{18}=\dfrac{\pi}{6}+\pi n,\]
\[\dfrac{x+8}{18}=\dfrac{1}{6}+n,\]
\[x+8=3+18n,\]
\[x =18n-5.\]

Заметим, что при \(n=0\):

\[18\cdot 0-5=-5.\]

Если брать \(n\) меньше, то мы получим значение меньше \(-5\).

Будем брать положительные \(n\):

\[n=1\text{:}\,\, 18\cdot 1-5=13,\]
\[n=2\text{:}\,\, 18\cdot 2-5=31.\]

Вывод:
Наибольший отрицательный корень нашего уравнения достигается при \(n=0\) и равен \(-5\).
Наименьший положительный корень нашего уравнения достигается при \(n=1\) и равен \(13\).

Задачи для самостоятельного решения

  1. Решите уравнение \({\tan \dfrac{\pi x}{4}=-1}\). В ответе запишите наибольший отрицательный корень.

    \(\Longrightarrow\) Решение задачи

  2. Найдите наибольший отрицательный корень уравнения: \(\sin{\dfrac{\pi x}{12}}=-\dfrac{1}{2}.\)

    \(\Longrightarrow\) Решение задачи

  3. Решите уравнение \({\sin \dfrac{\pi x}{3}=0,5}\). В ответе запишите наименьший положительный корень.

  4. Решите уравнение \({\cos\dfrac{\pi\left(x-7\right)}{3}=\dfrac12}\). В ответе запишите наибольший отрицательный корень.

    \(\Longrightarrow\) Решение задачи

  5. Найдите наименьший положительный корень уравнения: \(\cos{\dfrac{\pi(x-3)}{3}}=\dfrac{1}{2}.\)

    \(\Longrightarrow\) Решение задачи


  6. Найдите наибольший отрицательный корень уравнения: \(\cos{\dfrac{\pi (x+7)}{4}}=\dfrac{1}{\sqrt{2}}.\)

  7. Найдите наименьший положительный корень уравнения:

    \[\tan{\dfrac{\pi(4x+3)}{3}}=-\sqrt{3};\]


    \(\Longrightarrow\) Решение задачи


  8. Найдите наименьший положительный корень уравнения: \(\sin{\dfrac{\pi(8x-7)}{4}}=1.\)

Задания 1 части

Задание 1. Непосредственное вычисление значений

  1. \(36;\)

  2. \(2;\)

  3. \(-3;\)

  4. \(-42;\)

  5. \(-3;\)

  6. \(-6;\)

  7. \(6;\)

  8. \(18;\)

  9. \(-12\).

Задание 2. Нахождение неизвестного значения функции по известному значению

  1. \(0,4;\)

  2. \(1,5;\)

  3. \(-0,3;\)

  4. \(-3;\)

  5. \(5;\)

  6. \(1;\)

  7. \(-1.\)

Задание 3. Вычисление значений с помощью формул приведения

  1. \(1;\)

  2. \(-2;\)

  3. \(1;\)

  4. \(2;\)

  5. \(3;\)

  6. \(4;\)

  7. \(0,6;\)

  8. \(-24;\)

  9. \(-28;\)

  10. \(-10;\)

  11. \(-2,5\).

Задание 4. Приведение к функциям одного угла

  1. \(-14;\)

  2. \(-5;\)

  3. \(-5;\)

  4. \(-8;\)

  5. \(-4;\)

  6. \(5;\)

  7. \(14;\)

  8. \(-5;\)

  9. \(7\).

Задание 5. Применение основного тригонометрического тождества

  1. \(-22;\)

  2. \(12;\)

  3. \(12;\)

  4. \(6\).

Задание 6. Преобразования с помощью тангенса и котангенса

  1. \(25,25;\)

  2. \(5;\)

  3. \(5;\)

  4. \(7;\)

  5. \(2,8;\)

  6. \(8;\)

  7. \(0,8\).

Задание 7. Синус двойного угла

  1. \(2;\)

  2. \(10;\)

  3. \(10;\)

  4. \(0,5;\)

  5. \(0,2;\)

  6. \(12\).

Задание 8. Косинус двойного угла

  1. \(22,08;\)

  2. \(5,6;\)

  3. \(-7;\)

  4. \(31,96;\)

  5. \(0,25;\)

  6. \(2,72;\)

  7. \(-7,5;\)

  8. \(-1,5;\)

  9. \(-1,5;\)

  10. \(-1;\)

  11. \(-2;\)

  12. \(-24;\)

  13. \(-18;\)

  14. \(-6\).

Задание 9. Тригонометрические уравнения 1 части

  1. \(-1;\)

  2. \(-2;\)

  3. \(0,5;\)

  4. \(-4;\)

  5. \(2;\)

  6. \(-6;\)

  7. \(0,5;\)

  8. \(0,125\).