13 Уравнения. Разное

Уравнения. Разное

$\Longrightarrow$ Примеры решения уравнений

$\blacktriangleright$ Пример к заданию 13.1

Решите уравнение:

\sin{2x}-\sin{x}=0.

Решение:
Воспользуемся формулой двойного угла: $\sin{2x}=2\sin{x}\cos{x}$ :

2\sin{x}\cos{x}-\sin{x}=0.

Вынесем $\sin{x}$ за скобку:

\sin{x}(2\cos{x}-1)=0.

Произведение двух множителей равно $0$ , когда один из них равен $0$ , а другой при этом существует:

\left[ \begin{gathered} \sin{x}=0, \\ 2\cos{x}-1=0; \\ \end{gathered} \right.

\left[ \begin{gathered} x=\pi k, \\ \cos{x}=\dfrac{1}{2}; \\ \end{gathered} \right.

\left[ \begin{gathered} x=\pi k, \\ x=\pm \dfrac{\pi}{3}+2\pi k, \\ \end{gathered} \right. k\in\mathbb{Z}.

Ответ: $\pi k,\,\,\, \pm \dfrac{\pi}{3}+2\pi k,\,\,\, k\in\mathbb{Z}.$

$\Longrightarrow$ Решение

Задание 13.1

Решите уравнения:

1. $\sin{2x}=\sqrt{2}\sin{x};$

$\Longrightarrow$ Решение

2. $\sin{2x}+\sqrt{5}\cos{x}=0;$

3. $\sin{2x}+\sin{x}=0;$

4. $\sin{2x}+\sqrt{3}\sin{x}=0.$

$\blacktriangleright$ Пример к заданию 13.2

Решите уравнение:

\cos^2{x}-\dfrac{1}{2}\sin{2x}+\cos{x}=\sin{x}.

Решение:

Для решения данного уравнения следует раскрыть $\sin{2x}=2\sin{x}\cos{x}$ и воспользоваться методом группировки:

\cos^2{x}-\sin{x}\cos{x}+\cos{x}-\sin{x}=0 ,

\cos{x}(\cos{x}+1)-\sin{x}(\cos{x}+1)=0,

(\cos{x}-\sin{x})(\cos{x}+1)=0.

Произведение двух множителей равно $0$ , когда один из них равен $0$ , а другой при этом существует:

\begin{aligned} & \left[ \begin{aligned} & \cos{x}-\sin{x}=0, \quad |:\cos{x}\neq 0 \\ & \cos{x}=-1; \end{aligned} \right. \\[6pt] & \left[ \begin{aligned} & 1-\tan{x}=0, \\ & x=\pi+2\pi k; \end{aligned} \right. \\[6pt] & \left[ \begin{aligned} & \tan{x}=1, \\ & x=\pi+2\pi k; \end{aligned} \right. \\[6pt] & \left[ \begin{aligned} & x=\dfrac{\pi}{4}+\pi k, \\ & x=\pi+2\pi k, \end{aligned} \right. \quad k\in\mathbb{Z}. \end{aligned}

Ответ: $\dfrac{\pi}{4}+\pi k,\,\,\, \pi+2\pi k,\,\,\, k\in\mathbb{Z}.$

$\Longrightarrow$ Решение

Задание 13.2

Решите уравнения:

1. $\sin{2x}-2\cos{x}+\sqrt{2}\sin{x}-\sqrt{2}=0;$

$\Longrightarrow$ Решение

2. $2\sin{2x}+2\sqrt{3}\sin{x}=2\cos{x}+\sqrt{3};$

3. $\sin^2{x}+\dfrac{1}{2}\sin{2x}-\sin{x}=\cos{x};$

4. $\sqrt{12}\sin^2{x}+\sin{2x}=\sqrt{12}\cos^2{x}+3\sin{2x}.$

$\blacktriangleright$ Пример к заданию 13.3:

Решите уравнение:

\cos^2{x}-\sin{x}=\cos{2x}.

Решение:

Воспользуемся формулой косинуса двойного угла:

\cos{2x}=\cos^2{x}-\sin^2{x}.

Тогда

\cos^2{x}-\sin{x}=\cos^2{x}-\sin^2{x},

\sin^2{x}-\sin{x}=0,

\sin{x}(\sin{x}-1)=0.

Произведение двух множителей равно $0$ , когда один из них равен $0$ , а другой при этом существует:

\begin{aligned} & \left[ \begin{aligned} & \sin{x}=0, \\ & \sin{x}-1=0; \end{aligned} \right. \\[6pt] & \left[ \begin{aligned} & x=\pi k, \\ & \sin{x}=1; \end{aligned} \right. \\[6pt] & \left[ \begin{aligned} & x=\pi k, \\ & x=\dfrac{\pi}{2}+2\pi k, \end{aligned} \right. \quad k\in\mathbb{Z}. \end{aligned}

Ответ: $\dfrac{\pi}{2}+2\pi k,\,\,\, \pi k,\,\,\, k\in\mathbb{Z}.$

Задание 13.3

Решите уравнения:

1. $\cos{2x}-3\cos{x}+2=0$ ;

$\Longrightarrow$ Решение

2. $\cos{2x}-3\sin{x}-2=0$ ;

3. $\cos{2x}-4\sqrt{2}\cos{x}+4=0$ ;

4. $3\cos{2x}+11\sin{x}=7$ .

$\blacktriangleright$ Пример к заданию 13.4:

Решите уравнение:

2\sin^3{x}-\sqrt{2}\cos{2x}+\sin{x}=-\sqrt{2}.

Решение:

Воспользуемся формулой косинуса двойного угла:

\cos{2x}=1-2\sin^2{x}.

Тогда:

2\sin^3{x}-\sqrt{2}+2\sqrt{2}\sin^2{x}+\sin{x}+\sqrt{2}=0,

2\sin^3{x}+2\sqrt{2}\sin^2{x}+\sin{x}=0.

Пусть $t=\sin{x}$ , тогда уравнение примет вид:

2t^3+2\sqrt{2}t^2+t=0,

t(2t^2+2\sqrt{2}t+1)=0,

t(\sqrt{2}t+1)^2=0.

Произведение двух множителей равно $0$ , когда один из них равен $0$ , а другой при этом существует:

\left[ \begin{gathered} t=0, \\ (\sqrt{2}t+1)^2=0; \\ \end{gathered} \right.

\left[ \begin{gathered} t=0, \\ t=-\dfrac{1}{\sqrt{2}}=-\dfrac{\sqrt{2}}{2}. \\ \end{gathered} \right.

Вернёмся к прежней переменной:

\left[ \begin{gathered} \sin{x}=0, \\ \sin{x}=-\dfrac{\sqrt{2}}{2}; \\ \end{gathered} \right.

\left[ \begin{gathered} x=\pi k, \\ x=\dfrac{5\pi}{4}+2\pi k, \\ x=\dfrac{7\pi}{4}+2\pi k, \\ \end{gathered} \right. k\in\mathbb{Z}.

Ответ: $\pi k,\,\, \dfrac{5\pi}{4}+2\pi k,\,\, \dfrac{7\pi}{4}+2\pi k, \,\,\, k\in\mathbb{Z}.$

$\Longrightarrow$ Решение

Задание 13.4

Решите уравнения:

$2\cos{2x}-6\cos^3{x}+\cos{x}+3=0;$

$\Longrightarrow$ Решение
$\cos{2x}+4\sin^2{x}-3\sqrt{2}\cos{x}-5=0;$
$\left(1+\dfrac{1}{\sqrt{2}}\right)\cos^2{x}+\left(\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{\sqrt{2}}\right)\cos{x}-\dfrac{\cos2x}{2\sqrt{2}}=0;$
$\cos^3{x}+2\cos^2{x}-\cos{x}-1=\cos{2x}.$

$\blacktriangleright$ Пример к заданию 13.5:

Найдите все решения уравнения: $\cos{2x}+\sin^2{x}=0,25$ , удовлетворяющие условию $\sin{x}<0.$

Решение:
Воспользуемся формулой двойного угла: $\cos{2x}=\cos^2{x}-\sin^2{x}$ .
Тогда:

\cos^2{x}-\sin^2{x}+\sin^2{x}=0{,}25,

\cos^2{x}=0{,}25,

\left[ \begin{gathered} \cos{x}=\dfrac{1}{2}, \\ \cos{x}=-\dfrac{1}{2}; \\ \end{gathered} \right.

\left[ \begin{gathered} x=\pm \dfrac{\pi}{3}+2\pi k, \\ x=\pm \dfrac{2\pi}{3}+2\pi k, \\ \end{gathered} \right. k\in\mathbb{Z}.

Нам нужны корни, удовлетворяющие условию $\sin{x}<0$ . Это будут все корни из III и IV четвертей. Изобразим это:

Ответ: $\dfrac{4\pi}{3}+2\pi k ,\,\, \dfrac{5\pi}{3}+2\pi k, \,\,\, k\in\mathbb{Z}$ .

Задание 13.5

Найдите все решения уравнения:
$\cos{2x}-5\cos{x}+3=0$ , удовлетворяющие условию $\sin{x}<0.$
$\Longrightarrow$ Решение
Найдите все решения уравнения:
$\cos{2x}+\sqrt{3}\sin{x}=1$ , удовлетворяющие условию $\cos{x}>0.$
Найдите все решения уравнения:
$\cos{2x}-3\cos{x}+1=0$ , удовлетворяющие условию $\sin{x}<0.$
Найдите все решения уравнения:
$\cos{2x}+4\sin{x}=1$ , удовлетворяющие условию $\cos{x}>0.$

$\blacktriangleright$ Пример к заданию 13.6:

Найдите все решения уравнения:

\cos^2{(x+\pi)}+2\sin{\left(x+\dfrac{\pi}{2}\right)}+1=0.

Решение:

Упростим равенство, применив формулы приведения:

\cos^2{(x+\pi)}+2\sin{\left(x+\dfrac{\pi}{2}\right)}+1=0,

\cos^2{x}+2\cos{x}+1=0.

Упростим равенство, свернув в левой части полный квадрат:

\cos^2{x}+2\cos{x}+1=0,

(\cos{x}+1)^2=0.

Мы знаем, что если квадрат числа равен нулю, то это число равно нулю. Тогда:

(\cos{x}+1)^2=0,

\cos{x}+1=0.

Решим это уравнение:

\cos{x}+1=0,

\cos{x}=-1

x=\pi+2\pi k,\,\,\,k\in\mathbb{Z}.

Ответ: $\pi+2\pi k,\,\,\,k\in\mathbb{Z}.$

Задание 13.6

Решите уравнения:

1. $2\cos^2{\Big(\dfrac{3\pi}{2}+x\Big)+\sqrt{3}\sin{x}=0};$

$\Longrightarrow$ Решение

2. $2\sin^2{x}-\sqrt{3}\cos{\Big(\dfrac{\pi}{2}-x\Big)}=0;$

$\Longrightarrow$ Решение

3. $2\sin^2\Big(\dfrac{3\pi}{2}-x\Big)+5\sin\Big(\dfrac{\pi}{2}+x\Big)+2=0;$

4. $5-5\cos\Big(\dfrac{\pi}{2}+x\Big)=2\cos^2(\pi-x).$

$\blacktriangleright$ Пример к заданию 13.7:

Решите уравнение:

6\cos{\dfrac{15\pi}{4}}\cos{\dfrac{x}{2}}-\cos{x}=3.

Решение:

Заметим, что

\cos{\dfrac{15\pi}{4}}=\cos\left(4\pi-{\dfrac{\pi}{4}}\right)=\dfrac{\sqrt{2}}{2}.

Выразим $\cos{x}$ через формулу половинного угла:

\cos^2{\dfrac{x}{2}}=\dfrac{1+\cos{x}}{2},

\cos{x}=2\cos^2{\dfrac{x}{2}}-1.

Получим следующее уравнение:

6\cdot\dfrac{\sqrt{2}}{2}\cos{\dfrac{x}{2}}-\left(2\cos^2{\dfrac{x}{2}}-1\right)-3=0,

3\sqrt{2}\cos{\dfrac{x}{2}}-2\cos^2{\dfrac{x}{2}}-2=0.

Сделаем замену переменной $\cos{\dfrac{x}{2}}=y,\,\, y\in[-1;1]$ :

3\sqrt{2}y-2y^2-2=0,

2y^2-3\sqrt{2}y+2=0;

D=(-3\sqrt{2})^2-4\cdot 2 \cdot 2= 18 - 16=2;

y_1=\dfrac{3\sqrt{2}-\sqrt{2}}{2\cdot 2}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}\in [-1;1];\,\,\,\, y_2=\dfrac{3\sqrt{2}+\sqrt{2}}{2\cdot 2}=\sqrt{2}\notin [-1;1].

Вернёмся к прежней переменной:

\cos{\dfrac{x}{2}}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}, \,\,

\left[ \begin{gathered} \dfrac{x}{2}=\dfrac{\pi}{4}+2\pi k, \\ \dfrac{x}{2}=-\dfrac{\pi}{4}+2\pi k; \\ \end{gathered} \right.

\left[ \begin{gathered} x=\dfrac{\pi}{2}+4\pi k, \\ x=-\dfrac{\pi}{2}+4\pi k, \\ \end{gathered} \right.k\in\mathbb{Z}.

Ответ: $\pm \dfrac{\pi}{2}+4\pi k,\,\,\, k\in\mathbb{Z}.$

Задание 13.7

Решите уравнения:

1. $2\sin^2(\pi+3x)+\cos{3x}+1=0$ ;

$\Longrightarrow$ Решение

2. $\cos{x}+3\sqrt{3}\sin{\dfrac{x}{2}}=4$ ;

3. $2\sin^2(\pi-3x)+5\cos{3x}+1=0$ ;

4. $\cos{2x}+3\sqrt{3}\cos{x}+1=0$ .

$\blacktriangleright$ Пример к заданию 13.8:

Решите уравнение:

\cos{4x}-2\cos^2{x}+1=0.

Решение:

Преобразуем левую часть равенства по формулам $\cos{4x}=2\cos^2{2x}-1$ и $2\cos^2{x}-1=\cos{2x}$ :

\cos{4x}-2\cos^2{x}+1=0,

2\cos^2{2x}-1-\cos{2x}=0,

2\cos^2{2x}-\cos{2x}-1=0.

Решим квадратное уравнение относительно $\cos{2x}$ :

2\cos^2{2x}-\cos{2x}-1=0

\left[ \begin{gathered} \cos{2x}=1, \\ \cos{2x}=-\dfrac{1}{2}; \\ \end{gathered} \right.

\left[ \begin{gathered} 2x=2\pi k, \\ 2x=\pm\dfrac{2\pi}{3}+2\pi k; \\ \end{gathered} \right.

\left[ \begin{gathered} x=\pi k, \\ x=\pm\dfrac{\pi}{3}+\pi k, \\ \end{gathered} \right. k\in\mathbb{Z}.

Ответ: $\pi k,\,\,\,\pm\dfrac{\pi}{3}+\pi k, \,\,\,k\in\mathbb{Z}.$

Задание 13.8

Решите уравнения:

1. $\cos{4x}-6\cos^2{x}+5=0$ ;

$\Longrightarrow$ Решение

2. $\sin{4x}+2\sin^2{x}=1$ ;

3. $\sin{4x}+4\cos^2{x}=2$ ;

$\Longrightarrow$ Решение

4. $\cos{4x}+4\sin^2{x}=1+2\sin^2{2x}$ .

$\blacktriangleright$ Пример к заданию 13.9:

Решите уравнение:

\cos{x}+\sqrt{3}\sin{x}=0.

Решение:

Заметим, что если $x$ такой, что $\cos{x}=0$ , то $\sin{x}=1$ или $\sin{x}=-1$ . Действительно, $\sin^2{x}+\cos^2{x}=1$ , тогда $\sin^2{x}=1$ , а значит $\sin{x}=\pm 1$ . Тогда мы понимаем, что $x$ , при котором $\cos{x}=0$ , не может являться корнем нашего уравнения. Тогда можно считать, что $\cos{x}\neq 0$ , а, значит, мы можем разделить левую и правую части на $\cos{x}$ . В результате получаем:

1+\sqrt{3}\tan{x}=0,

\tan{x}=-\dfrac{1}{\sqrt{3}}.

Решим это уравнение:

x=-\dfrac{\pi}{6}+\pi k,\,\,\, k\in\mathbb{Z}.

Ответ: $-\dfrac{\pi}{6}+\pi k,\,\,\, k\in\mathbb{Z}.$

Задание 13.9

Решите уравнения:

1. $\cos{x}+\sin{x}=0$ ;

$\Longrightarrow$ Решение

2. $\sin{x}+\sqrt{3}\cos{x}=0$ ;

$\Longrightarrow$ Решение

3. $\cos{x}-\sin{x}=0$ ;

4. $\cos{x}-\sqrt{3}\sin{x}=0$ .

$\blacktriangleright$ Пример к заданию 13.10:

Решите уравнение:

\sin{2x}+2\sqrt{3}\sin^2{x}=0.

Решение:

Применим формулу $\sin{2x}=2\sin{x}\cos{x}$ . Затем вынесем $2\sin{x}$ за скобки:

\sin{2x}+2\sqrt{3}\sin^2{x}=0,

2\sin{x}\cos{x}+2\sqrt{3}\sin^2{x}=0,

2\sin{x}(\cos{x}+\sqrt{3}\sin{x})=0.

Мы знаем, что произведение двух множителей равно нулю тогда и только тогда, когда один из них равен нулю, а другой при этом существует. Тогда:

2\sin{x}(\cos{x}+\sqrt{3}\sin{x})=0,

\left[ \begin{gathered} 2\sin{x}=0, \\ \cos{x}+\sqrt{3}\sin{x}=0; \\ \end{gathered} \right.

\left[ \begin{gathered} \sin{x}=0,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(1) \\ \cos{x}+\sqrt{3}\sin{x}=0.\,\,\,\,\,\,\,\,(2) \\ \end{gathered} \right.

Решим (1):

\sin{x}=0,

x=\pi k,\,\,\, k\in\mathbb{Z}.

Решим (2):

\cos{x}+\sqrt{3}\sin{x}=0.

Заметим, что если $x$ такой, что $\cos{x}=0$ , то $\sin{x}=1$ или $\sin{x}=-1$ . Действительно, $\sin^2{x}+\cos^2{x}=1$ , тогда $\sin^2{x}=1$ , а значит $\sin{x}=\pm 1$ . Тогда мы понимаем, что $x$ , при котором $\cos{x}=0$ , не может являться корнем нашего уравнения. Тогда можно считать, что $\cos{x}\neq 0$ , а, значит, мы можем разделить левую и правую части на $\cos{x}$ . В результате получаем:

1+\sqrt{3}\tan{x}=0,

\tan{x}=-\dfrac{1}{\sqrt{3}}.

Решим это уравнение:

x=-\dfrac{\pi}{6}+\pi k,\,\,\, k\in\mathbb{Z}.

Тогда можем переписать нашу совокупность:

\left[ \begin{gathered} \sin{x}=0, \\ \cos{x}+\sqrt{3}\sin{x}=0; \\ \end{gathered} \right.

\left[ \begin{gathered} x=\pi k, \\ x=-\dfrac{\pi}{6}+\pi k, \\ \end{gathered} \right.k\in\mathbb{Z}.

Ответ: $\pi k,\,\,\,-\dfrac{\pi}{6}+\pi k,\,\,\,k\in\mathbb{Z}.$

Задание 13.10

Решите уравнения:

1. $\sin{2x}-2\sin^2{x}=0;$

$\Longrightarrow$ Решение

2. $\sin{2x}+\dfrac{2}{\sqrt{3}}\sin^2{x}=0;$

3. $\sin{2x}+2\sin^2{x}=0;$

4. $\sin{2x}-2\sqrt{3}\sin^2{x}=0.$

$\blacktriangleright$ Пример к заданию 13.11:

Решите уравнение:

\sin{x}+2\sin^2{x}+\sin{2x}+\cos{x}=0.

Решение:

Применим формулу $\sin{2x}=2\sin{x}\cos{x}$ . Сгруппируем слагаемые, для этого вынесем $\sin{x}$ за скобки у первых двух слагаемых и $\cos{x}$ у двух последних. Получим:

\sin{x}+2\sin^2{x}+\sin{2x}+\cos{x}=0,

\sin{x}+2\sin^2{x}+2\sin{x}\cos{x}+\cos{x}=0,

\sin{x}(1+2\sin{x})+\cos{x}(2\sin{x}+1)=0,

(2\sin{x}+1)(\sin{x}+\cos{x})=0.

(\sin{x}+\cos{x})(2\sin{x}+1)=0,

\left[ \begin{gathered} \sin{x}+\cos{x}=0,\,\,\,\,\,\,(1) \\ 2\sin{x}+1=0.\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(2) \\ \end{gathered} \right.

Решим (1):

\sin{x}+\cos{x}=0.

Заметим, что если $x$ такой, что $\cos{x}=0$ , то $\sin{x}=1$ или $\sin{x}=-1$ . Действительно, $\sin^2{x}+\cos^2{x}=1$ , тогда $\sin^2{x}=1$ , а, значит, $\sin{x}=\pm 1$ . Тогда мы понимаем, что $x$ , при котором $\cos{x}=0$ , не может являться корнем нашего уравнения. Тогда, можно считать, что $\cos{x}\neq 0$ , а, значит, мы можем разделить левую и правую части на $\cos{x}$ . В результате получаем:

\tan{x}+1=0,

\tan{x}=-1.

Решим это уравнение:

x=-\dfrac{\pi}{4}+\pi k,\,\,\, k\in\mathbb{Z}.

Решим (2):

2\sin{x}+1=0,

\sin{x}=-\dfrac{1}{2},

\left[ \begin{gathered} x=-\dfrac{\pi}{6}+2\pi k, \\ x=-\dfrac{5\pi}{6}+2\pi k, \\ \end{gathered} \right.k\in\mathbb{Z}.

Тогда можем переписать нашу совокупность:

\left[ \begin{gathered} \sin{x}+\cos{x}=0, \\ 2\sin{x}+1=0; \\ \end{gathered} \right.

\left[ \begin{gathered} x=-\dfrac{\pi}{4}+\pi k, \\ x=-\dfrac{\pi}{6}+2\pi k, \\ x=-\dfrac{5\pi}{6}+2\pi k; \\ \end{gathered} \right.k\in\mathbb{Z}.

Ответ: $-\dfrac{\pi}{4}+\pi k, -\dfrac{\pi}{6}+2\pi k,\ -\dfrac{5\pi}{6}+2\pi k,\,\,\,k\in\mathbb{Z}.$

Задание 13.11

Решите уравнения:

1. $\sin{x}+2\sin^2{x}=\sin{2x}+\cos{x};$

$\Longrightarrow$ Решение

2. $\sin{x}+\sin{2x}+\cos{x}+2\cos^2{x}=0;$

3. $\sin{x}+2\sin^2{x}+\sqrt{3}\sin{2x}+\sqrt{3}\cos{x}=0;$

4. $\sin{x}+2\cos^2{x}=\sin{2x}+\cos{x}.$

$\blacktriangleright$ Пример к заданию 13.12:

Решите уравнение:

\sqrt{3}\sin{2x}-\cos{2x}=0.

Решение:

Сделаем замену $2x=y$ , тогда уравнение примет вид:

\sqrt{3}\sin{2x}-\cos{2x}=0,

\sqrt{3}\sin{y}-\cos{y}=0.

Заметим, что если $y$ такой, что $\cos{y}=0$ , то $\sin{y}=1$ или $\sin{y}=-1$ . Действительно, $\sin^2{y}+\cos^2{y}=1$ , тогда $\sin^2{y}=1$ , а, значит, $\sin{y}=\pm 1$ . Тогда мы понимаем, что $y$ , при котором $\cos{y}=0$ , не может являться корнем нашего уравнения. Тогда, можно считать, что $\cos{y}\neq 0$ , а, значит, мы можем разделить левую и правую части на $\cos{y}$ .

В результате получаем:

\sqrt{3}\tan{y}-1=0,

\tan{y}=\dfrac{1}{\sqrt{3}}.

Решим это уравнение:

\tan{y}=\dfrac{1}{\sqrt{3}},

y=\dfrac{\pi}{6}+\pi k,\,\,\, k\in\mathbb{Z}.

Сделаем обратную замену $y=2x$ :

y=\dfrac{\pi}{6}+\pi k,

2x=\dfrac{\pi}{6}+\pi k,

x=\dfrac{\pi}{12}+\dfrac{\pi k}{2},\,\,\, k\in\mathbb{Z}.

Ответ: $\dfrac{\pi}{12}+\dfrac{\pi k}{2},\,\,\, k\in\mathbb{Z}.$

Задание 13.12

Решите уравнения:

1. $\cos{x}+\sin{x}=0;$

2. $\sqrt{3}\sin{2x}+3\cos{2x}=0;$

$\Longrightarrow$ Решение

3. $\cos{3x}-\sin{3x}=0;$

4. $\sqrt{3}\sin{4x}-3\cos{4x}=0.$

$\blacktriangleright$ Пример к заданию 13.13:

Решите уравнение:

\sin^3{x}-\cos^3{x}=-\dfrac{1}{2}\sin{2x}(\sin{x}-\cos{x}).

Решение:

Раскроем в левой части разность кубов, а в правой распишем по формуле синус двойного угла $\sin{2x}=2\sin{x}\cos{x}$ :

(\sin{x}-\cos{x})(\sin^2{x}+\sin{x}\cos{x}+\cos^2{x})=-\sin{x}\cos{x}(\sin{x}-\cos{x}).

Воспользуемся основным тригонометрическим тождеством и упростим наше равенство:

(\sin{x}-\cos{x})(1+\sin{x}\cos{x})=-\sin{x}\cos{x}(\sin{x}-\cos{x}).

Перенесём всё в левую часть и вынесем общий множитель за скобки:

(\sin{x}-\cos{x})(1+\sin{x}\cos{x})+\sin{x}\cos{x}(\sin{x}-\cos{x})=0,

(\sin{x}-\cos{x})(1+2\sin{x}\cos{x})=0.

Упростим наше выражение, применив формулу $2\sin{x}\cos{x}=\sin{2x}$ :

(\sin{x}-\cos{x})(1+2\sin{x}\cos{x})=0,

(\sin{x}-\cos{x})(1+\sin{2x})=0.

Мы знаем, что произведение двух множителей равно нулю тогда и только тогда, когда один из них равен нулю, а другой при этом существует. Тогда

(\sin{x}-\cos{x})(1+\sin{2x})=0,

\left[ \begin{gathered} \sin{x}-\cos{x}=0,\,\,\,\,\,\,(1) \\ 1+\sin{2x}=0.\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(2) \\ \end{gathered} \right.

Решим (1): $\sin{x}-\cos{x}=0.$
Заметим, что, если $x$ такой, что $\cos{x}=0$ , то $\sin{x}=1$ или $\sin{x}=-1$ . Действительно, $\sin^2{x}+\cos^2{x}=1$ , тогда $\sin^2{x}=1$ , а, значит, $\sin{x}=\pm 1$ . Тогда мы понимаем, что $x$ , при котором $\cos{x}=0$ , не может являться корнем нашего уравнения. Тогда, можно считать, что $\cos{x}\neq 0$ , а, значит, мы можем разделить левую и правую части на $\cos{x}$ . В результате получаем:

\tan{x}-1=0,

\tan{x}=1.

Решим это уравнение:

\tan{x}=1,

x=\dfrac{\pi}{4}+\pi k,\,\,\, k\in\mathbb{Z}.

Решим (2):

1+\sin{2x}=0,

\sin{2x}=-1,

2x=-\dfrac{\pi}{2}+2\pi k,

x=-\dfrac{\pi}{4}+\pi k,\,\,\, k\in\mathbb{Z}.

Тогда можем переписать нашу совокупность:

\left[ \begin{gathered} \sin{x}-\cos{x}=0, \\ 1+\sin{2x}=0; \\ \end{gathered} \right.

\left[ \begin{gathered} x=\dfrac{\pi}{4}+\pi k, \\ x=-\dfrac{\pi}{4}+\pi k; \\ \end{gathered} \right.

x=\dfrac{\pi}{4}+\dfrac{\pi k}{2},\,\,\, k\in\mathbb{Z}.

Ответ: $\dfrac{\pi}{4}+\dfrac{\pi k}{2},\,\,\, k\in\mathbb{Z}.$

Задание 13.13

Решите уравнение:

$2(\sin^3{x}+\cos^3{x})=\sin{2x}(\sin{x}+\cos{x}).$

$\Longrightarrow$ Решение

$\blacktriangleright$ Пример к заданию 13.14:

Решите уравнение:

3\cos^2{x}-\sin^2{x}-2=\cos{2x}-\sin{2x}.

Решение:

Применим в правой части формулы синуса и косинуса двойного угла $\sin{2x}=2\sin{x}\cos{x}$ и $\cos{2x}=\cos^2{x}-\sin^2{x}$ . Получим:

3\cos^2{x}-\sin^2{x}-2=\cos^2{x}-\sin^2{x}-2\sin{x}\cos{x}.

Перенесём все слагаемые влево и приведём подобные слагаемые:

2\cos^2{x}-2+2\sin{x}\cos{x}=0.

Разделим уравнение на 2 и заменим 1 по основному тригонометрическому тождеству $1=\cos^2{x}+\sin^2{x}$ . Получим:

\cos^2{x}-1+\sin{x}\cos{x}=0,

\cos^2{x}-\cos^2{x}-\sin^2{x}+\sin{x}\cos{x}=0,

-\sin^2{x}+\sin{x}\cos{x}=0.

Разложим левую часть уравнения на множители:

-\sin{x}(\sin{x}-\cos{x})=0.

\sin{x}(\sin{x}-\cos{x})=0,

\left[ \begin{gathered} \sin{x}-\cos{x}=0,\,\,\,\,\,\,(1) \\ \sin{x}=0.\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(2) \\ \end{gathered} \right.

Решим (1):

\sin{x}-\cos{x}=0.

Заметим, что, если $x$ такой, что $\cos{x}=0$ , то $\sin{x}=1$ или $\sin{x}=-1$ . Действительно, $\sin^2{x}+\cos^2{x}=1$ , тогда $\sin^2{x}=1$ , а, значит, $\sin{x}=\pm 1$ . Тогда мы понимаем, что $x$ , при котором $\cos{x}=0$ , не может являться корнем нашего уравнения. Тогда, можно считать, что $\cos{x}\neq 0$ , а, значит, мы можем разделить левую и правую части на $\cos{x}$ . В результате получаем:

\tan{x}-1=0,

\tan{x}=1.

Решим это уравнение:

\tan{x}=1,

x=\dfrac{\pi}{4}+\pi k,\,\,\, k\in\mathbb{Z}.

Решим (2):

\sin{x}=0,

x=\pi k,\,\,\, k\in\mathbb{Z}.

Тогда можем переписать нашу совокупность:

\left[ \begin{gathered} \sin{x}-\cos{x}=0, \\ \sin{x}=0; \\ \end{gathered} \right.

\left[ \begin{gathered} x=\dfrac{\pi}{4}+\pi k, \\ x=\pi k, \\ \end{gathered} \right. \,\,\, k\in\mathbb{Z}.

Ответ: $\pi k,\,\,\,\dfrac{\pi}{4}+\pi k,\,\,\, k\in\mathbb{Z}.$

Задание 13.14

Решите уравнение:

$\sin^2{x}-5\cos^2{x}+1=\sin{2x}-2\cos{2x}.$

Уравнения.Разное

Задание 13.1

$\left\{ \pi k,\,\, \pm \dfrac{\pi}{4}+2\pi k,\,\,\, k\in\mathbb{Z}\right \};$
$\left\{\dfrac{\pi}{2}+\pi k,\,\,\, k\in\mathbb{Z}\right \}$ ;
$\left\{\pi k,\,\,\, \pm \dfrac{2\pi}{3}+2\pi k,\,\,\, k\in\mathbb{Z}\right \}$
или $\left\{\dfrac{2\pi k}{3},\,\, \pi k,\,\,\, k\in\mathbb{Z}\right \}$ ;
$\left\{\pi k,\,\, \pm \dfrac{5\pi}{6}+2\pi k,\,\,\, k\in\mathbb{Z}\right \}$ .

Задание 13.2

$\left\{\pm \dfrac{3\pi}{4}+2\pi k,\,\, \dfrac{\pi}{2}+2\pi k,\,\,\, k\in\mathbb{Z}\right \}$ ;
$\left\{\dfrac{\pi}{6}+2\pi k,\,\,\, \pm \dfrac{5\pi}{6}+2\pi k,\,\,\, k\in\mathbb{Z}\right \}$ или $\left\{\dfrac{\pi}{6}+\pi k,\,\, \dfrac{5\pi}{6}+2\pi k,\,\,\, k\in\mathbb{Z}\right \}$ ;
$\left\{-\dfrac{\pi}{4}+2\pi k,\,\,\, \dfrac{3\pi}{4}+2\pi k,\,\, \dfrac{\pi}{2}+2\pi k,\,\,\, k\in\mathbb{Z}\right \}$ или $\left\{\dfrac{3\pi}{4}+\pi k,\,\, \dfrac{\pi}{2}+2\pi k,\,\,\, k\in\mathbb{Z}\right \}$ ;
$\left\{-\dfrac{\pi}{6}+2\pi k,\,\,\, \dfrac{\pi}{3}+2\pi k,\,\,\, \dfrac{5\pi}{6}+2\pi k,\,\,\, \dfrac{4\pi}{3}+2\pi k,\,\,\, k\in\mathbb{Z}\right \}$ или $\left\{\dfrac{\pi}{3}+\dfrac{\pi k}{2},\,\,\, k\in\mathbb{Z}\right \}$ или $\left\{-\dfrac{\pi}{6}+\dfrac{\pi k}{2},\,\,\, k\in\mathbb{Z}\right \}$ .

Задание 13.3

$\left\{\pm \dfrac{\pi}{3}+2\pi k,\,\, 2\pi k,\,\,\, k\in\mathbb{Z}\right \}$ ;
$\left\{\dfrac{3\pi}{2}+2\pi k,\,\, \dfrac{7 \pi}{6}+2\pi k,\,\, \dfrac{11\pi}{6}+2\pi k,\,\,\, k\in\mathbb{Z}\right \}$ ;
$\left\{\pm \dfrac{\pi}{4}+2\pi k,\,\,\, k\in\mathbb{Z}\right \}$ ;
$\left\{\dfrac{\pi}{6}+2\pi k,\,\, \dfrac{5\pi}{6}+2\pi k,\,\,\, k\in\mathbb{Z}\right \}$ .

Задание 13.4

$\left\{2\pi k,\,\,\, k\in\mathbb{Z}\right \};$
$\left\{-\dfrac{3\pi}{4}+2\pi k,\,\, \dfrac{3\pi}{4}+2\pi k,\,\,\, k\in\mathbb{Z}\right \};$
$\left\{\pm \dfrac{2\pi}{3}+2\pi k,\,\, \pm\dfrac{3\pi}{4}+2\pi k,\,\,\, k\in\mathbb{Z}\right \};$
$\left\{\pm \dfrac{\pi}{2}+2\pi k,\,\,\, \pi k,\,\,\, k\in\mathbb{Z}\right \}$ или $\left\{\dfrac{\pi k}{2},\,\,\, k\in\mathbb{Z}\right \}$ .

Задание 13.5

$\left\{\dfrac{5\pi}{3}+2\pi k,\,\,\, k\in\mathbb{Z}\right \};$
$\left\{\dfrac{\pi}{3}+2\pi k,\,\, 2\pi k,\,\,\, k\in\mathbb{Z}\right \};$
$\left\{-\dfrac{\pi}{2}+2\pi k,\,\,\, k\in\mathbb{Z}\right \};$
$\left\{2\pi k,\,\,\, k\in\mathbb{Z}\right \}$ .

Задание 13.6

$\left\{\pi k,\,\, \dfrac{4\pi}{3}+2\pi k,\,\, \dfrac{5\pi}{3}+2\pi k,\,\,\, k\in\mathbb{Z}\right \};$
$\left\{\pi k,\,\, \dfrac{\pi}{3}+2\pi k,\,\, \dfrac{2\pi}{3}+2\pi k,\,\,\, k\in\mathbb{Z}\right \};$
$\left\{\dfrac{2\pi}{3}+2\pi k,\,\, \dfrac{4\pi}{3}+2\pi k,\,\,\, k\in\mathbb{Z}\right \};$
$\left\{\dfrac{3\pi}{2}+2\pi k,\,\,\, k\in\mathbb{Z}\right \}$ .

Задание 13.7

$\left\{\dfrac{\pi}{3}+\dfrac{2\pi k}{3},\,\,\, k\in\mathbb{Z}\right \};$
$\left\{\dfrac{4\pi}{3}+4\pi k,\,\, \dfrac{2\pi}{3}+4\pi k,\,\,\, k\in\mathbb{Z}\right \};$
$\left\{\dfrac{2\pi}{9}+\dfrac{2\pi k}{3},\,\, \dfrac{4\pi}{9}+\dfrac{2\pi k}{3},\,\,\, k\in\mathbb{Z}\right \};$
$\left\{\pm \dfrac{\pi}{2}+2\pi k,\,\,\, k\in\mathbb{Z}\right \}$ или $\left\{\dfrac{\pi}{2}+\pi k,\,\,\, k\in\mathbb{Z}\right \}$ .

Задание 13.8

$\left\{\pi k,\,\, \pm \dfrac{5\pi}{6}+2\pi k,\,\, \pm \dfrac{\pi}{6}+2\pi k,\,\,\, k\in\mathbb{Z}\right \}$ ;
$\left\{\dfrac{\pi}{12}+\pi k,\,\, \dfrac{5\pi}{12}+\pi k,\,\, \dfrac{\pi}{4}+\dfrac{\pi k}{2},\,\,\, k\in\mathbb{Z}\right \}$ ;
$\left\{\dfrac{\pi}{4}+\dfrac{\pi k}{2},\,\,\, k\in\mathbb{Z}\right \}$ ;
$\left\{\pi k,\,\, \pm \dfrac{\pi}{3}+\pi k,\,\,\, k\in\mathbb{Z}\right \}$ .

Задание 13.9

$\left\{\dfrac{3\pi}{4}+\pi k,\,\,\, k\in\mathbb{Z}\right \}$ или
$\left\{-\dfrac{\pi}{4}+2\pi k,\,\, \dfrac{3\pi}{4}+2\pi k,\,\,\, k\in\mathbb{Z}\right \}$ ;
$\left\{\dfrac{2\pi}{3}+\pi k,\,\,\, k\in\mathbb{Z}\right \}$ или
$\left\{-\dfrac{\pi}{3}+2\pi k,\,\, \dfrac{2\pi}{3}+2\pi k,\,\,\, k\in\mathbb{Z}\right \}$ ;
$\left\{\dfrac{\pi}{4}+\pi k,\,\,\, k\in\mathbb{Z}\right \}$ или
$\left\{\dfrac{\pi}{4}+2\pi k,\,\, -\dfrac{3\pi}{4}+2\pi k,\,\,\, k\in\mathbb{Z}\right \}$ ;
$\left\{\dfrac{\pi}{6}+\pi k,\,\,\, k\in\mathbb{Z}\right \}$ или
$\left\{\dfrac{\pi}{6}+2\pi k,\,\, -\dfrac{5\pi}{6}+2\pi k,\,\,\, k\in\mathbb{Z}\right \}$ .

Задание 13.10

$\left\{\pi k,\,\, \dfrac{\pi}{4}+\pi k,\,\,\, k\in\mathbb{Z}\right \}$ или
$\left\{\pi k,\,\, \dfrac{\pi}{4}+2\pi k,\,\, -\dfrac{3\pi}{4}+2\pi k,\,\,\, k\in\mathbb{Z}\right \}$ ;
$\left\{\pi k,\,\, \dfrac{2\pi}{3}+\pi k,\,\,\, k\in\mathbb{Z}\right \}$ или
$\left\{\pi k,\,\, -\dfrac{\pi}{3}+2\pi k,\,\, \dfrac{2\pi}{3}+2\pi k,\,\,\, k\in\mathbb{Z}\right \}$ ;
$\left\{\pi k,\,\, \dfrac{3\pi}{4}+\pi k,\,\,\, k\in\mathbb{Z}\right \}$ или
$\left\{\pi k,\,\, -\dfrac{\pi}{4}+2\pi k,\,\, \dfrac{3\pi}{4}+2\pi k,\,\,\, k\in\mathbb{Z}\right \}$ ;
$\left\{\pi k,\,\, \dfrac{\pi}{6}+\pi k,\,\,\, k\in\mathbb{Z}\right \}$ или
$\left\{\pi k,\,\, \dfrac{\pi}{6}+2\pi k,\,\, -\dfrac{5\pi}{6}+2\pi k,\,\,\, k\in\mathbb{Z}\right \}$ .

Задание 13.11

$\left\{\dfrac{7\pi}{6}+2\pi k,\,\, \dfrac{11 \pi}{6}+2\pi k,\,\, \dfrac{\pi}{4}+2\pi k, -\dfrac{3\pi}{4}+2\pi k,\,\,\, k\in\mathbb{Z}\right \}$ ;
$\left\{\pm \dfrac{2\pi}{3}+2\pi k,\,\, -\dfrac{\pi}{4}+2\pi k,\,\, \dfrac{3\pi}{4}+2\pi k,\,\,\, k\in\mathbb{Z}\right \};$
$\left\{-\dfrac{5\pi}{6}+2\pi k,\,\, -\dfrac{\pi}{6}+2\pi k,\,\, -\dfrac{\pi}{3}+2\pi k, \dfrac{2\pi}{3}+2\pi k,\,\,\, k\in\mathbb{Z}\right \};$
$\left\{\pm \dfrac{\pi}{3}+2\pi k,\,\, \dfrac{\pi}{4}+2\pi k,\,\, -\dfrac{3\pi}{4}+2\pi k,\,\,\, k\in\mathbb{Z}\right \}.$

Задание 13.12

$\left\{\dfrac{3\pi}{4}+\pi k,\,\,\, k\in\mathbb{Z}\right \}$ ;
$\left\{\dfrac{\pi}{3}+\dfrac{\pi k}{2},\,\,\, k\in\mathbb{Z}\right \}$ ;
$\left\{\dfrac{\pi}{12}+\dfrac{\pi k}{3},\,\,\, k\in\mathbb{Z}\right \}$ ;
$\left\{\dfrac{\pi}{12}+\dfrac{\pi k}{4},\,\,\, k\in\mathbb{Z}\right \}$ .

Задание 13.13

$\left\{\pm \dfrac{\pi}{4}+2\pi k,\,\, \pm \dfrac{3\pi}{4}+2\pi k,\,\,\, k\in\mathbb{Z}\right \}$ или $\left\{\dfrac{\pi}{4}+\dfrac{\pi k}{2},\,\,\, k\in\mathbb{Z}\right \}$ .

Задание 13.14

$\left\{\pm \dfrac{\pi}{2}+2\pi k,\,\, -\dfrac{\pi}{4}+2\pi k,\,\, \dfrac{3\pi}{4}+2\pi k,\,\,\, k\in\mathbb{Z}\right \}$ или $\left\{\dfrac{\pi}{2}+\pi k,\,\, -\dfrac{\pi}{4}+\pi k,\,\,\, k\in\mathbb{Z}\right \}$ .