Содержание

Тригонометрические уравнения для ЕГЭ

Скачать статью в PDFТригонометрические уравнения для ЕГЭ.pdf · 9.3 МБСкачать

Тригонометрическая окружность. Табличные значения углов. Область значений тригонометрических функций

$\Longrightarrow$ Тригонометрическая окружность

Задание 1.1

Посмотрите видео и заполните тригонометрическую окружность.

Задание 1.2

Вычислите $\sin t$ , $\cos t$ , $\tan t$ и $\cot t$ :

$t=0$ ;
$t=\dfrac{\pi}{2}$ ;
$t=\dfrac{3\pi}{2}$ ;
$t=\pi$ ;
$t=-2\pi$ ;
$t=-\dfrac{\pi}{2}$ ;
$t=-\dfrac{3\pi}{2}$ ;
$t=-\pi$ ;
$t=\dfrac{5\pi}{6}$ ;
$t=\dfrac{5\pi}{4}$ ;
$t=\dfrac{7\pi}{6}$ ;
$t=\dfrac{7\pi}{4}$ ;
$t=-\dfrac{7\pi}{4}$ ;
$t=-\dfrac{4\pi}{3}$ ;
$t=-\dfrac{5\pi}{6}$ ;
$t=-\dfrac{5\pi}{3}$ .

Задание 1.3

Вычислите:

$\sin \dfrac{11\pi}{6}$ ;
$\cos \left(-\dfrac{8\pi}{3}\right)$ ;
$\tan \left(-\dfrac{11\pi}{4}\right)$ ;
$\cot \dfrac{27\pi}{2}$ ;
$\sin \left(-\dfrac{55\pi}{4}\right)$ ;
$\cos \dfrac{29\pi}{6}$ ;
$\tan \left(-\dfrac{41\pi}{4}\right)$ ;
$\cot \left(-\dfrac{47\pi}{6}\right)$ ;
$\sin \dfrac{100\pi}{3}$ ;
$\cos \dfrac{123\pi}{4}$ ;
$\tan \left(-\dfrac{51\pi}{3}\right)$ ;
$\cot \dfrac{37\pi}{3}$ .

Задание 1.4

Найдите значение выражения:

$\sin{240^\circ}$ ;
$\tan{300^\circ}$ ;
$\cos{330^\circ}$ ;
$\cot{315^\circ}$ ;
$\cos{300^\circ}$ ;
$\sin{(-330^\circ)}$ ;
$\sin{210^\circ}$ ;
$\cos{(-420^\circ)}$ .

Задание 1.5

Найдите значение выражения:

$36\sqrt{6}\tan \dfrac{\pi}{6}\sin \dfrac{\pi}{4}$ ;
$4\sqrt{2}\cos \dfrac{\pi}{4}\cos \dfrac{7\pi}{3}$ ;
$\dfrac{8}{\sin\left(-\dfrac{27\pi}{4}\right)\cos \left(\dfrac{31\pi}{4}\right)}$ ;
$-4\sqrt{3}\cos(-750^\circ)$ ;
$2\sqrt{3}\tan(-300^\circ)$ ;
$-18\sqrt{2}\sin(-135^\circ)$ ;
$24\sqrt{2}\cos\left(-\dfrac{\pi}{3}\right)\sin \left(-\dfrac{\pi}{4}\right)$ ;
$12\sin150^\circ\cos120^\circ$ .

$\blacktriangleright$ Пример к заданию 1.6:

Может ли функция $y = \cos x$ принимать значения:

$-\dfrac{1}{5}$ ;
$-2$ ;
$\sqrt{3}$ ;
$\dfrac{9}{10}$ .

Решение:

Косинус угла может принимать любые значения от $-1$ до 1 включительно. Это можно понять с помощью тригонометрической окружности. Следовательно, для значений из промежутка $[-1;1]$ ответ будет «да».
А для значений, больших 1 или меньших $-1$ , ответ будет «нет».

1. Так как $-\dfrac{1}{5} \in[-1;1]$ , то $\cos{x}$ может принимать значение $-\dfrac{1}{5}$ ;

2. Так как $-2 < -1$ , то $\cos{x}$ не может принимать значение $-2$ ;

3. Так как $\sqrt{3} > 1$ , то $\cos{x}$ не может принимать значение $\sqrt{3}$ ;

4. Так как $\dfrac{9}{10} \in[-1;1]$ , то $\cos{x}$ может принимать значение $\dfrac{9}{10}$ .

Примечание:

Синус угла, так же как и косинус угла, может принимать любые значения от $-1$ до 1 включительно.
Тангенс и котангенс угла могут принимать любые значения.

Задание 1.6

1.6.1 Может ли функция $y = \cos x$ принимать значения:

$-\dfrac{2}{5}$ ;
$-\dfrac{\sqrt{10}}{5}$ ;
–2;
$\dfrac{\sqrt2}{4}$ ;
$\dfrac{5}{8}$ ;
$\sqrt1$ ;
$-\dfrac{10}{9}$ ;
0,99.

1.6.2 Может ли функция $y = \sin x$ принимать значения:

$\dfrac{2}{3}$ ;
$-\dfrac{\sqrt{24}}{5}$ ;
2;
$-\dfrac{\sqrt3}{5}$ ;
$\dfrac{15}{16}$ ;
$-\sqrt3$ ;
0,25;
$\dfrac{249}{248}$ .

1.6.3 Может ли функция $y = \tan x$ принимать значения:

$\dfrac{1}{3}$ ;
$-100$ ;
5;
$-\dfrac{\sqrt3}{2}$ ;
$\dfrac{15}{7}$ ;
$-1000$ ;
0,35;
$\dfrac{251}{248}$ .

1.6.4 Может ли функция $y = \cot x$ принимать значения:

$\dfrac{7}{3}$ ;
$-3$ ;
7;
$-\dfrac{\sqrt{144}}{5}$ ;
$\dfrac{21}{16}$ ;
$-\sqrt7$ ;
0,75;
$\dfrac{51}{32}$ .

Тригонометрические уравнения. Уровень 1

Для решения задач этого раздела вам может быть полезно следующее видео:

$\Longrightarrow$ Простейшие тригонометрические уравнения

$\blacktriangleright$ Примеры к заданию 2.1:

Решите уравнение:
$\sin{x}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}.$
Решение:

Отметим на тригонометрической окружности точки, соответствующие решению уравнения $\sin{x}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ :
Эти точки соответствуют: $\left[ \begin{gathered} x=\dfrac{\pi}{4}+2\pi n, \\ x=\dfrac{3\pi}{4}+2\pi n, \\ \end{gathered} \right. n\in\mathbb{Z}.$
Решите уравнение:
$\cos{x}=-\dfrac{1}{\sqrt{2}}.$
Решение:

Отметим на тригонометрической окружности точки, соответствующие $\cos{x}=-\dfrac{1}{\sqrt{2}}$ :
Эти точки соответствуют: $x=\pm\dfrac{3\pi}{4}+2\pi n, n\in\mathbb{Z}.$

Ответ:

$\dfrac{\pi}{4}+2\pi n,\,\,\, \dfrac{3\pi}{4}+2\pi n,\,\,\,n\in\mathbb{Z}$ ;
$\pm\dfrac{3\pi}{4}+2\pi n,\,\,\,n\in\mathbb{Z}$ .

Задание 2.1

Решите уравнения:

$\sin{x}=\dfrac{1}{2}$ ;
$\sin{x}=-\dfrac{1}{2}$ ;
$\sin{x}=-\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ ;
$\sin{x}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ ;
$\sin{x}=-\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ ;
$\sin{x}=\dfrac{1}{\sqrt{2}}$ ;
$\sin{x}=-\dfrac{1}{\sqrt{2}}$ ;
$\cos{x}=\dfrac{1}{2}$ ;
$\cos{x}=-\dfrac{1}{2}$ ;
$\cos{x}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ ;
$\cos{x}=-\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ ;
$\cos{x}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ ;
$\cos{x}=-\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ ;
$\cos{x}=\dfrac{1}{\sqrt{2}}$ .

$\blacktriangleright$ Примеры к заданию 2.2:

Решите уравнение:
$\cos{x}=1.$
Решение:
Отметим на тригонометрической окружности точки, соответствующие $\cos{x}=1$ :
Эти точки соответствуют: $x=2\pi k,\,\,\,k\in\mathbb{Z}.$
Решите уравнение:
$\sin{x}=0.$
Решение:
Отметим на тригонометрической окружности точки, соответствующие решению уравнения $\sin{x}=0$ :
Эти точки соответствуют: $\left[ \begin{gathered} x=2\pi k, \\ x=\pi+2\pi k, \\ \end{gathered} \right. k\in\mathbb{Z}.$
Две серии корней, полученные в решении, можно объединить в одну $x=\pi k,\,\,\, k\in\mathbb{Z}.$ Допустимы обе формы записи ответа, но обычно используют более короткий вариант $x=\pi k,\,\,\, k\in\mathbb{Z}.$

Ответ:

$2\pi k,\,\,\,k\in\mathbb{Z}$ ;
$\pi k,\,\,\, k\in\mathbb{Z}$ .

Задание 2.2

Решите уравнения:

$\cos{x}=0$ ;
$\cos{x}=1$ ;
$\cos{x}=2$ ;
$\cos{x}=-2$ ;
$\sin{x}=2$ ;
$\sin{x}=-2$ ;
$\sin{x}=1$ ;
$\sin{x}=-1$ .

$\blacktriangleright$ Примеры к заданию 2.3:

Решите уравнение:
$\tan{x}=-\sqrt{3}.$
Решение:
Отметим на тригонометрической окружности точки, соответствующие решению уравнения $\tan x = - \sqrt{3}.$
Зная табличные значения, поймём, что тангенс равен $-\sqrt{3}$ в точке $-\dfrac{\pi}{3}$ .
Тангенс имеет период $\pi$ . То есть, если мы будем прибавлять или вычитать из точки $-\dfrac{\pi}{3}$ любое целое количество раз число $\pi$ , то будем получать точки с таким же значением тангенса. Значит, эти точки тоже будут являться решениями нашего уравнения. Тогда наш ответ можно записать в виде:
$x=-\dfrac{\pi}{3} + \pi\cdot n,$
где $n$ – целое число, которое показывает, сколько раз мы добавим число $\pi$ к точке $-\dfrac{\pi}{3}$ , чтобы получить точку с тем же значением тангенса.
По-другому можно записать ответ с использованием $n \in \mathbb{Z}$ .
Окончательный ответ:
$x=-\dfrac{\pi}{3} + \pi n,\,\, n \in \mathbb{Z}.$
Решите уравнение:
$\cot{x}=1.$
Решение:
Отметим на тригонометрической окружности точки, соответствующие решению уравнения $\cot{x}=1$ :
Эти точки соответствуют: $\left[ \begin{gathered} x=\dfrac{\pi}{4}+2\pi n, \\ x=-\dfrac{3\pi}{4}+2\pi n, \\ \end{gathered} \right. n \in\mathbb{Z}.$
Две серии корней, полученные в решении, можно объединить в одну $x=\dfrac{\pi}{4}+\pi n,\,\,\, n\in\mathbb{Z}.$
Допустимы обе формы записи ответа, но обычно используют более короткий вариант $x=\dfrac{\pi}{4}+\pi n,\,\,\, n\in\mathbb{Z}.$

Ответ:

$-\dfrac{\pi}{3}+\pi n,\,\,\,n\in\mathbb{Z}$ ;
$\dfrac{\pi}{4}+\pi n,\,\,\, n\in\mathbb{Z}$ .

Задание 2.3

Решите уравнения:

$\tan{x}=0$ ;
$\tan{x}=\dfrac{1}{\sqrt{3}}$ ;
$\tan{x}=-\dfrac{1}{\sqrt{3}}$ ;
$\tan{x}=1$ ;
$\tan{x}=-1$ ;
$\tan{x}=\sqrt{3}$ ;
$\tan{x}=\dfrac{\sqrt{3}}{3}$ ;
$\tan{x}=-\dfrac{\sqrt{3}}{3}$ ;
$\cot{x}=\dfrac{1}{\sqrt{3}}$ ;
$\cot{x}=-\dfrac{1}{\sqrt{3}}$ ;
$\cot{x}=1$ ;
$\cot{x}=-1$ ;
$\cot{x}=\sqrt{3}$ ;
$\cot{x}=-\sqrt{3}$ ;
$\cot{x}=\dfrac{\sqrt{3}}{3}$ ;
$\cot{x}=-\dfrac{\sqrt{3}}{3}$ .

$\blacktriangleright$ Пример к заданию 2.4:

Решите уравнение:

2\cos{x}+\sqrt{3}=0.

Решение:
Перенесём $\sqrt{3}$ в правую часть равенства, а затем поделим обе части уравнения на 2. Получим следующее уравнение:

\cos{x}=-\dfrac{\sqrt{3}}{2}.

Отметим на тригонометрической окружности точки, соответствующие решению уравнения $\cos x = - \dfrac{\sqrt{3}}{2}$ :

Эти точки соответствуют: $\left[ \begin{array}{ll} x=\dfrac{5\pi}{6}+2\pi n, \\\\ x=-\dfrac{5\pi}{6}+2\pi n, \\ \end{array} \right.$

где $n$ – целое число, которое показывает, сколько раз мы добавляем число $2\pi$ к точке $\dfrac{5\pi}{6}$ или к точке $-\dfrac{5\pi}{6}$ , чтобы получить точку с тем же значением косинуса.
По-другому можно записать ответ с использованием $n \in \mathbb{Z}$ .

Окончательный ответ:

x=\pm \dfrac{5\pi}{6} + 2\pi n,\,\, n \in \mathbb{Z}.

Ответ: $\pm \dfrac{5\pi}{6} + 2\pi n,\,\, n \in \mathbb{Z}.$

Задание 2.4

Решите уравнения:

$\sin x -1 =0$ ;
$\cos x +1 =0$ ;
$1+2\sin x =0$ ;
$2\cos x -1 =0$ .

$\blacktriangleright$ Пример к заданию 2.5:

Решите уравнение:

\sqrt{12}\sin{x}+3=0.

Решение:

Перенесём 3 в правую часть равенства, а затем поделим обе части уравнения на $\sqrt{12}$ . Получим следующее уравнение:

\sin{x}=-\dfrac{3}{\sqrt{12}}, \ \sin{x}=-\dfrac{3}{2\sqrt{3}}, \ \sin{x}=-\dfrac{\sqrt{3}}{2}.

Отметим на тригонометрической окружности точки, соответствующие решению уравнения $\sin x = - \dfrac{\sqrt{3}}{2}$ :

Эти точки соответствуют: $\left[ \begin{array}{ll} x=-\dfrac{\pi}{3}+2\pi n, \\\\ x=-\dfrac{2\pi}{3}+2\pi n, \\ \end{array} \right.$
где $n$ – целое число, которое показывает, сколько раз мы добавляем число $2\pi$ к точке $-\dfrac{\pi}{3}$ или к точке $-\dfrac{2\pi}{3}$ , чтобы получить точку с тем же значением синуса.

По-другому можно записать ответ с использованием $n \in \mathbb{Z}$ .

Окончательный ответ:

\left[ \begin{array}{ll} x=-\dfrac{\pi}{3} + 2\pi n, \\\\ x=-\dfrac{2\pi}{3} + 2\pi n, \\ \end{array} \right. n \in \mathbb{Z}.

Ответ: $-\dfrac{\pi}{3} + 2\pi n,\,\,-\dfrac{2\pi}{3} + 2\pi n,\,\, n \in \mathbb{Z}.$

$\Longrightarrow$ Решение

Задание 2.5

Решите уравнения:

$10\sin x=\sqrt{25}$ ;
$\sqrt{32} \sin x + 4= 0$ ;
$4\cos x - \sqrt{8} = 0$ ;
$4\cos x =- \sqrt{12}$ .

$\blacktriangleright$ Пример к заданию 2.6:

Решите уравнение:

5\sin{x}+\sqrt{26}=0.

Решение:

5\sin{x}+\sqrt{26}=0, \ \sin{x}=-\dfrac{\sqrt{26}}{5}.

Так как $-1\leqslant \sin{x}\leqslant 1$ , а $-\dfrac{\sqrt{26}}{5}<-1$ , то данное уравнение не имеет решений.

Ответ: $\varnothing.$

$\Longrightarrow$ Решение

Задание 2.6

Решите уравнения:

$4\sin x=3\sqrt{2}$ ;
$4\sqrt{5}\sin x=-9$ ;
$7\cos x - 5\sqrt{2} = 0$ ;
$4\sqrt{3}\cos x +7=0$ .

$\blacktriangleright$ Пример к заданию 2.7

Решите уравнение:

2\sin^2{x}-\sin{x}=0.

Решение:
Вынесем общий множитель $\sin{x}$ за скобки:

\sin{x}(2\sin{x}-1)=0.

Произведение двух множителей равно нулю тогда и только тогда, когда один из них равен нулю, а другой существует:

\begin{aligned} & \left[ \begin{aligned} & \sin{x}=0, \\ & 2\sin{x}-1=0; \end{aligned} \right. \\[8pt] & \left[ \begin{aligned} & x=\pi k, \\ & \sin{x}=\dfrac{1}{2}; \end{aligned} \right. \\[8pt] & \left[ \begin{aligned} & x=\pi k, \\ & x=\dfrac{\pi}{6}+2\pi k, \\ & x=\dfrac{5\pi}{6}+2\pi k; \end{aligned} \right. \quad k\in\mathbb{Z}. \end{aligned}

Ответ: $\pi k, \dfrac{\pi}{6}+2\pi k, \dfrac{5\pi}{6}+2\pi k, k\in\mathbb{Z}.$

$\Longrightarrow$ Решение

Задание 2.7

Решите уравнения:

$2\cos^2{x}+\sqrt{3}\cos{x}=0;$
$2\sin^2{x}+\sin{x}=0.$

$\blacktriangleright$ Пример к заданию 2.8

Решите уравнение:

2\sin^2x-1=0.

Решение:

2\sin^2x-1=0;

\sin^2x=\dfrac{1}{2};

\left[ \begin{gathered} \sin{x}=\dfrac{1}{\sqrt{2}}, \\ \sin{x}=-\dfrac{1}{\sqrt{2}}; \\ \end{gathered} \right.

\left[\begin{gathered} x=\dfrac{\pi}{4}+2\pi n, \\ x=\dfrac{3\pi}{4}+2\pi n, \\ x=-\dfrac{\pi}{4}+2\pi n, \\ x=-\dfrac{3\pi}{4}+2\pi n, \\ \end{gathered} \right. n\in\mathbb{Z}.

Решение уравнения, полученное выше, состоит из 4 серий решений. Отметим их на окружности и заметим, что между соседними решениями на окружности одинаковые дуги, равные $\dfrac{\pi}{2}$ , следовательно, ответ можно записать в виде одной серии

x=\dfrac{\pi}{4}+\dfrac{\pi n}{2},\,\,\,n\in\mathbb{Z}.

Обе записи ответа верные: и с четырьмя сериями, и с одной, и имеют право на существование, но обычно записывают более короткий вариант.

Ответ: $\dfrac{\pi}{4}+\dfrac{\pi n}{2},\,\,\,n\in\mathbb{Z}.$

$\Longrightarrow$ Решение

Задание 2.8

Решите уравнения:

$4\cos^2{x}-3=0$ ;
$4\sin^2{x}-3=0$ ;
$\sin^2{x}-\dfrac{1}{4}=0$ ;
$4\cos^2{x}-2=0$ .

$\blacktriangleright$ Пример к заданию 2.9

Решите уравнение:

2\sin^2{x}-7\sin{x}+3=0.

Решение:

Пусть $\sin{x}=t$ , при этом $t\in[-1;1]$ . Тогда наше уравнение примет вид:

2t^2-7t+3=0.

Решая квадратное уравнение относительно переменной $t$ , получим следующие корни:

\left[ \begin{gathered} t=3 \,\, (\text{не подходит, так как }t\in[-1;1]), \\ t=\dfrac{1}{2}. \\ \end{gathered} \right.

Вернёмся к прежней переменной:

\sin{x}=\dfrac{1}{2},

\left[ \begin{gathered} x=\dfrac{\pi}{6}+2\pi k, \\ x=\dfrac{5\pi}{6}+2\pi k, \\ \end{gathered} \right.k\in \mathbb{Z}.

Ответ: $\dfrac{\pi}{6}+2\pi k,\,\,\, \dfrac{5\pi}{6}+2\pi k,\,\,\,k\in \mathbb{Z}.$

$\Longrightarrow$ Решение

Задание 2.9

Решите уравнения:

$\sin^2{x}-3\sin{x}+2=0$ ;
$\cos^2{x}+4\cos{x}+3=0$ .

$\blacktriangleright$ Пример к заданию 2.10

Решите уравнение:

2\cos^2{x}+5\sin{x}=5.

Решение:

Преобразуем уравнение, применив основное тригонометрическое тождество:

2(1-\sin^2{x})+5\sin{x}=5,

2\sin^2{x}-5\sin{x}+3=0.

Пусть $\sin{x}=t,\,\,\, t\in[-1;1]$ , тогда:

2t^2-5t+3=0.

Решая уравнение относительно переменной $t$ , получим следующие корни:

\left[ \begin{gathered} t=\dfrac{3}{2} \,\, (\text{не подходит, так как }t\in[-1;1]), \\ t=1. \\ \end{gathered} \right.

Вернёмся к прежней переменной:

\sin{x}=1,

x=\dfrac{\pi}{2}+2\pi k, k\in \mathbb{Z}.

Ответ: $\dfrac{\pi}{2}+2\pi k,~k\in \mathbb{Z}.$

$\Longrightarrow$ Решение

Задание 2.10

Решите уравнения:

$2\cos^2{x}+2\sin{x}=2,5$ ;
$2\cos^2{x}+5\sin{x}+1=0$ ;
$4\sin^2{x}-4\cos{x}=5$ ;
$2\sin^2{x}-5\cos{x}+1=0$ .

Нахождение корней простейшего уравнения на заданном промежутке

Для решения задач этого раздела Вам могут быть полезны следующие видео:

$\Longrightarrow$ Корни простейших тригонометрических уравнений
с помощью окружности

$\Longrightarrow$ Корни простейших тригонометрических уравнений

$\Longrightarrow$ Метод артиллериста

$\blacktriangleright$ Пример 1

Найти все корни уравнения $\cos{x}=\dfrac{\sqrt2}{2}$ , принадлежащие отрезку $[0;2\pi]$ .
Решение:
1) Решим уравнение $\cos{x}=\dfrac{\sqrt2}{2},$

\left[ \begin{gathered} x=\dfrac{\pi}{4}+2\pi n, \\ x=-\dfrac{\pi}{4}+2\pi n, \\ \end{gathered} \right. n\in\mathbb{Z}.

2) Найдём решения уравнения, принадлежащие отрезку $[0;2\pi]$ :

1.5 Способ 1. При помощи тригонометрической окружности.
Нанесём точки, соответствующие сериям $\dfrac{\pi}{4}+2\pi n$ и $-\dfrac{\pi}{4}+2\pi n$ на тригонометрическую окружность. Отметим дугой на окружности промежуток $[0;2\pi]$ , на котором мы будем искать корни. Чтобы нарисовать дугу, следует отметить начало промежутка на окружности и подписать значение угла. Далее следует вести дугу против часовой стрелки, пока не дойдём до правого конца промежутка $2\pi$ . Его тоже следует подписать.

Теперь приступаем к отбору корней. Видим, что нашему промежутку принадлежит 2 корня. Мы стартуем из точки $0$ . До ближайшей отмеченной точки нам нужно пройти дугу длины $\dfrac{\pi}{4}$ . Тогда мы попадём в точку $0+\dfrac{\pi}{4}=\dfrac{\pi}{4}$ . От второй отмеченной точки до конца отрезка $2\pi$ надо пройти так же длину дуги равную $\dfrac{\pi}{4}$ . Тогда вторая отмеченная точка: $2\pi - \dfrac{\pi}{4} = \dfrac{7\pi}{4}$ .

Нашему отрезку $[0;2\pi]$ принадлежат два корня:

x=\dfrac{\pi}{4}\text{ и } x=\dfrac{7\pi}{4}.

Способ 2. При помощи двойного неравенства.

Берём первую серию решений $x=\dfrac{\pi}{4}+2\pi n$ и заключаем её в двойное неравенство:

0\leqslant \dfrac{\pi}{4}+2\pi n\leqslant 2\pi.

Поделим каждую часть неравенства на $\pi$ :

0\leqslant \dfrac{1}{4}+2n\leqslant 2,

умножим каждую часть неравенства на $4$ :

0\leqslant 1+8n\leqslant 8,

вычтем $1$ из каждой части неравенства:

-1\leqslant 8n\leqslant 7,

поделим каждую часть неравенства на $8$ :

-\dfrac{1}{8}\leqslant n\leqslant \dfrac{7}{8}.

Найдём целые $n$ , удовлетворяющие неравенству:

n=0.

Подставляем в $x=\dfrac{\pi}{4}+2\pi n$ найденные $n$ :

x=\dfrac{\pi}{4}+2\pi\cdot 0=\dfrac{\pi}{4}.

Получаем корень, принадлежащий нашему промежутку.

Берём вторую серию решений $x=-\dfrac{\pi}{4}+2\pi n$ и заключаем её в двойное неравенство:

0\leqslant -\dfrac{\pi}{4}+2\pi n \leqslant 2\pi.

Поделим каждую часть неравенства на $\pi$ :

0\leqslant -\dfrac{1}{4}+2n\leqslant 2,

умножим каждую часть неравенства на $4$ :

0\leqslant -1+8n\leqslant 8,

прибавим $1$ к каждой части неравенства:

1\leqslant 8n\leqslant 9,

поделим каждую часть неравенства на $8$ :

\dfrac{1}{8}\leqslant n\leqslant \dfrac{9}{8}.

Найдём целые $n$ , удовлетворяющие неравенству:

n=1.

Подставляем в $x=-\dfrac{\pi}{4}+2\pi n$ найденные значения $n$ :

x=-\dfrac{\pi}{4}+2\pi \cdot 1=\dfrac{7\pi}{4}.

Получаем корень, принадлежащий нашему промежутку.

Способ 3. При помощи таблицы.
Представим наш промежуток $[0;2\pi]$ в виде $\left[0;\dfrac{8\pi}{4}\right]$ . Составим таблицу для значений $x$ при заданных значениях $n$ :

$n$

$\ldots$

$-1$

$0$

$1$

$2$

$\ldots$

$\dfrac{\pi}{4}+2\pi n$

$\ldots$

$-\dfrac{7\pi}{4}$

$\dfrac{\pi}{4}$

$\dfrac{9\pi}{4}$

$\ldots$

$-\dfrac{\pi}{4}+2\pi n$

$\ldots$

$-\dfrac{9\pi}{4}$

$-\dfrac{\pi}{4}$

$\dfrac{7\pi}{4}$

$\dfrac{15\pi}{4}$

$\ldots$

Из таблицы видим, что промежутку $[0;2\pi]$ принадлежат два корня $\dfrac{\pi}{4}$ и $\dfrac{7\pi}{4}$ . При $n>1$ , получаем, что $x\geqslant\dfrac{15\pi}{4}$ , а при $n \leqslant -1$ , получаем, что $x\leqslant-\dfrac{7\pi}{4}$ . Значит, при остальных значениях $n$ корней, принадлежащих отрезку, нет.

Ответ: $\dfrac{\pi}{4};\,\, \dfrac{7\pi}{4}.$

$\Longrightarrow$ Решение

$\blacktriangleright$ Пример 2

Найти все корни уравнения $\tan{x}=-\dfrac{\sqrt3}{3}$ , принадлежащие отрезку $\left[3\pi;\dfrac{9\pi}{2}\right]$ .
Решение:
1) Решим уравнение

\tan{x}=-\dfrac{\sqrt3}{3},

x=-\dfrac{\pi}{6}+\pi n,\,\,\, n\in\mathbb{Z}.

2) Найдём решения уравнения, принадлежащие отрезку $\left[3\pi;\dfrac{9\pi}{2}\right]$ :

1.5 Способ 1. При помощи тригонометрической окружности.
Нанесём точки, соответствующие $-\dfrac{\pi}{6}+\pi n$ на тригонометрическую окружность. Этих точек две. Отметим дугой на окружности промежуток $\left[3\pi;\dfrac{9\pi}{2}\right]$ , на котором мы будем искать корни. Чтобы нарисовать дугу, следует отметить начало промежутка на окружности и подписать значение угла. Далее следует вести дугу против часовой стрелки, пока не дойдём до правого конца промежутка $\dfrac{9\pi}{2}$ . Его тоже следует подписать.

Теперь приступаем к отбору корней. Видим, что нашему промежутку принадлежит только 1 корень. Мы стартуем из точки $3\pi$ . До ближайшей отмеченной точки нам нужно пройти дугу длины $\dfrac{5\pi}{6}$ . Тогда мы попадём в точку $3\pi+\dfrac{5\pi}{6}=\dfrac{23\pi}{6}$ .

Нашему отрезку $\left[3\pi;\dfrac{9\pi}{2}\right]$ принадлежит один корень: $x=\dfrac{23\pi}{6}$ .

Способ 2. При помощи двойного неравенства.

Берём серию решений $x=-\dfrac{\pi}{6}+\pi n$ и заключаем её в двойное неравенство: $3\pi\leqslant -\dfrac{\pi}{6}+\pi n\leqslant \dfrac{9\pi}{2}.$ Поделим каждую часть неравенства на $\pi$ : $3\leqslant -\dfrac{1}{6}+n\leqslant \dfrac{9}{2},$ умножим каждую часть неравенства на $6$ : $18\leqslant -1+6n\leqslant 27,$ прибавим $1$ к каждой части неравенства: $19\leqslant 6n\leqslant 28,$ поделим каждую часть неравенства на $6$ : $\dfrac{19}{6}\leqslant n\leqslant \dfrac{28}{6}.$ Найдём целые $n$ , удовлетворяющие неравенству: $n=4.$ Подставляем в $x=-\dfrac{\pi}{6}+\pi n$ найденное $n$ : $x=-\dfrac{\pi}{6}+\pi \cdot 4=\dfrac{23\pi}{6}.$ Получаем корень, принадлежащий нашему промежутку.

Способ 3. При помощи таблицы.
Представим наш промежуток $\left[3\pi;\dfrac{9\pi}{2}\right]$ в виде $\left[\dfrac{18\pi}{6};\dfrac{27\pi}{6}\right]$ . Составим таблицу для значений $x$ при заданных значениях $n$ :

$n$

…

$3$

$4$

$5$

…

$-\dfrac{\pi}{6}+\pi n$

…

$\dfrac{17\pi}{6}$

$\dfrac{23\pi}{6}$

$\dfrac{29\pi}{6}$

…

Из таблицы видим, что промежутку $\left[3\pi;\dfrac{9\pi}{2}\right]$ принадлежит один корень $\dfrac{23\pi}{6}$ . При $n\geqslant5$ , получаем, что $x>\dfrac{9\pi}{2}$ , а при $n\leqslant3$ , получаем, что $x<3\pi$ . Значит, при остальных значениях $n$ корней, принадлежащих отрезку, нет.

Ответ: $\dfrac{23\pi}{6}.$

$\Longrightarrow$ Решение

Задание 3.1

Найти все корни уравнений, принадлежащие отрезку, тремя способами, показанными выше:

$\cos{x}=\dfrac{1}{2}$ , $x\in$ $\Big[2\pi;\dfrac{7\pi}{2}\Big] ;$
$\sin{x}=-\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ , $x\in$ $[0;2\pi];$
$\tan{x}=\dfrac{\sqrt{3}}{3}$ , $x\in$ $\Big[2\pi; \dfrac{5\pi}{2}\Big];$
$\cot{x}=0$ , $x\in$ $\Big[3\pi; \dfrac{9\pi}{2}\Big];$
$\cos{x}=-\dfrac{1}{\sqrt{2}}$ , $x\in$ $\Big[-2\pi;-\dfrac{\pi}{2}\Big];$
$\sin{x}=-\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ , $x\in$ $\Big[\dfrac{7\pi}{2}; 5\pi\Big];$
$\tan{x}=\dfrac{1}{\sqrt{3}}$ , $x\in$ $[\pi; 4\pi];$
$\cot{x}=-1$ , $x\in$ $\Big[-\dfrac{3\pi}{2}; 0\Big].$

Тригонометрические уравнения в первой части

Для решения задач этого раздела Вам может быть полезно следующее видео:

$\Longrightarrow$ Тригонометрические уравнения первой части.

Примечание. Если вы посмотрели видео и всё поняли, то переходите сразу к заданию 4.3.

$\blacktriangleright$ Пример к заданию 4.1:

При целых значениях $n$ найдите наибольшее отрицательное и наименьшее положительное значение выражения:

5n+8.

Решение:
Заметим, что при $n=0$ :

5n+8=5\cdot 0+8=8.

Если возьмём $n$ больше, то мы получим значение больше 8.

Возьмём отрицательные $n$ :

\text{при $n=-1$: $5\cdot (-1)+8=3,$}

\text{при $n=-2$: $5\cdot (-2)+8=-2.$}

При меньших $n$ результат будет ещё меньше.

Вывод:
наибольшее отрицательное значение выражения равно $-2$ при $n=-2$ ;

наименьшее положительное значение выражения равно $3$ при $n=-1$ .

Ответ: $-2$ ; 3.

Задание 4.1

При каком целом значении $k$ выражение

$2k+3$ — принимает наибольшее отрицательное значение? Чему оно равно?
$6k-7$ — принимает наименьшее положительное значение? Чему оно равно?
$3k+5$ — принимает наименьшее положительное значение? Чему оно равно?
$4k-5$ — принимает наибольшее отрицательное значение? Чему оно равно?

$\blacktriangleright$ Пример к заданию 4.2:

Решите уравнение относительно $x$ :

\dfrac{\pi(3x-4)}{4}=\dfrac{\pi}{6}+2\pi n,\,\,\,n\in\mathbb{Z}.

Решение:
Разделим обе части уравнения на $\pi$ , а затем домножим обе части на 12:

\dfrac{\pi(3x-4)}{4}=\dfrac{\pi}{6}+2\pi n,

\dfrac{3x-4}{4}=\dfrac{1}{6}+2n,

3(3x-4)=2+24n,

9x-12=2+24n .

Теперь выразим $x$ :

9x=14+24n,

x=\dfrac{24n+14}{9}.

Ответ: $x=\dfrac{24n+14}{9},\,\,\,n\in\mathbb{Z}$ .

Задание 4.2

Решите уравнения относительно $x$ :

$x-4=5k+3,\,\,\,k\in\mathbb{Z};$
$\dfrac{x+3}{2}=6n,\,\,\,n\in\mathbb{Z};$
$\pi(x-4)=2\pi m,\,\,\,m\in\mathbb{Z};$
$\dfrac{\pi(x+1)}{4}=\dfrac{\pi}{2}+\pi t,\,\,\,t\in\mathbb{Z}.$

$\blacktriangleright$ Пример к заданию 4.3:

Найдите наибольший отрицательный и наименьший положительный корни уравнения:

\cot{\dfrac{\pi(x+8)}{18}}=\sqrt{3}.

Решение:
Сделаем замену $\dfrac{\pi(x+8)}{18}=t$ и решим полученное уравнение:

\cot{t}=\sqrt{3},

t=\dfrac{\pi}{6}+\pi n,\,\,\,n\in\mathbb{Z}.

Сделаем обратную замену и найдём $x$ :

\dfrac{\pi(x+8)}{18}=\dfrac{\pi}{6}+\pi n,

\dfrac{x+8}{18}=\dfrac{1}{6}+n ,

x+8=3+18n,

x =18n-5.

Заметим, что при $n=0$ :

18\cdot 0-5=-5.

Если возьмём $n$ меньше 0, то мы получим значение меньше $-5$ .

Возьмём положительные $n$ :

\text{при } n=1 \text{ получим: } 18\cdot 1-5=13,

\text{при }n=2 \text{ получим: } 18\cdot 2-5=31.

Вывод:
наибольший отрицательный корень уравнения равен $-5$ при $n=0$ ;
наименьший положительный корень уравнения равен $13$ при $n=1$ .

Ответ: $-5$ ; 13.

Задание 4.3

Найдите наименьший положительный корень уравнения:
$\cos{\dfrac{\pi(x-3)}{3}}=\dfrac{1}{2}.$

$\Longrightarrow$ Решение
Найдите наибольший отрицательный корень уравнения:
$\sin{\dfrac{\pi x}{12}}=-\dfrac{1}{2}.$

$\Longrightarrow$ Решение
Найдите наибольший отрицательный корень уравнения:
$\cos{\dfrac{\pi (x+7)}{4}}=\dfrac{1}{\sqrt{2}}.$
Найдите наименьший положительный корень уравнения:
$\tan{\dfrac{\pi(4x+3)}{3}}=-\sqrt{3}.$

$\Longrightarrow$ Решение
Найдите наименьший положительный корень уравнения:
$\sin{\dfrac{\pi(8x-7)}{4}}=1.$

Преобразование тригонометрических выражений. Тригонометрические тождества

Также полезно помнить, что:

1-\cos^2{\alpha}=\sin^2{\alpha};\,\,\,\, 1-\sin^2{\alpha}=\cos^2{\alpha};\,\,\,\, \tan{x}=\dfrac{1}{\cot{x}};\,\,\,\, \cot{x}=\dfrac{1}{\tan{x}}.

Напомним формулы сокращённого умножения:

Для решения задач этого раздела Вам может быть полезно следующее видео:

$\Longrightarrow$ Тригонометрические тождества

$\blacktriangleright$ Пример к заданию 5.1:

Упростите выражение:
$\dfrac{1-\cos^2 t}{1-\sin^2 t}.$
Решение:
Воспользуемся основным тригонометрическим тождеством, преобразуем наше выражение и получим ответ:
$\sin^2{t}+\cos^2{t}=1,$ $1-\sin^2{t}=\cos^2{t},$ $1-\cos^2{t}=\sin^2{t}.$
Значит:
$\dfrac{1-\cos^2 t}{1-\sin^2 t}=\dfrac{\sin^2 t}{\cos^2 t}=\tan^2 t.$
Упростите выражение:
$\dfrac{\sin^2 t - 1}{\cos^2 t -1}+\tan t \cot t.$
Решение:
Воспользуемся основным тригонометрическим тождеством и тем, что
$\tan{x}\cdot \cot{x}=\dfrac{\sin{x}}{\cos{x}}\cdot \dfrac{\cos{x}}{\sin{x}}=1.$
Преобразуем наше выражение:
$\dfrac{\sin^2 t - 1}{\cos^2 t -1}+\tan t \cot t=\dfrac{\sin^2{t}-(\sin^2{t}+\cos^2{t})}{\cos^2{t}-(\sin^2{t}+\cos^2{t})}+1=\dfrac{\sin^2{t}-\sin^2{t}-\cos^2{t}}{\cos^2{t}-\sin^2{t}-\cos^2{t}}+1=$ $=\dfrac{-\cos^2{t}}{-\sin^2{t}}++1=\dfrac{\cos^2{t}}{\sin^2{t}}+1.$
Приведём сумму выражений к одному знаменателю, снова воспользуемся основным тригонометрическим тождеством и получим ответ:
$\dfrac{\cos^2{t}}{\sin^2 {t}}+1=\dfrac{\cos^2 t+\sin^2 t}{\sin^2 t}=\dfrac{1}{\sin^2t}.$
Упростите выражение:
$\cot^2 t(\cos^2 t -1 ) +1.$
Решение:
Воспользуемся основным тригонометрическим тождеством $\sin^2{t}+\cos^2{t}=1, \ \\ \cos^2{t}-1=-\sin^2{t}$ и распишем $\cot t$ через $\sin t$ и $\cos t$ :
$\cot^2{t}(\cos^2{t}-1) +1=\dfrac{\cos^2t}{\sin^2t}(-\sin^2t)+1=-\cos^2t+1=\sin^2t.$
Упростите выражение:
$(3\sin t +4\cos t)^2 + (4\sin t-3\cos t)^2.$
Решение:
Раскроем скобки и преобразуем наше выражение:
$(3\sin t +4\cos t)^2 + (4\sin t-3\cos t)^2=9\sin^2t+24\sin{t}\cos{t}+16\cos^2t+16\sin^2t-$ $-24\sin{t}\cos{t}+9\cos^2t=25\sin^2t+25\cos^2t=25(\sin^2{t}+\cos^2{t})=25.$

Ответ: 1. $\tan^2t$ ; 2. $\dfrac{1}{\sin^2t}$ ; 3. $\sin^2t$ ; 4. $25$ .

Задание 5.1

Упростите выражения:

$1-\sin^2 t$ ;
$\cos^2 t - 1$ ;
$1-\cos^2 t$ ;
$\sin^2 t - 1$ ;
$(1-\sin t)(1+\sin t)$ ;
$\cos^2 t+ 1 -\sin^2 t$ ;
$(1-\cos t)(1+\cos t)$ ;
$\sin^2 t + 2\cos^2 t -1$ ;
$\dfrac{1}{\cos^2 t}-1$ ;
$\dfrac{1-\sin^2 t}{\cos^2 t}$ ;
$1-\dfrac{1}{\sin^2 t}$ ;
$\dfrac{(\sin t+\cos t)^2}{1+2\sin t \cos t}$ ;
$\dfrac{1-2\sin t \cos t}{(\cos t-\sin t)^2}$ ;
$\dfrac{\cos^2 t - \cot^2 t}{\sin^2 t- \tan^2 t}$ ;
$\cot^2 t - (\sin^{-2} t -1)$ ;
$\cos^2 t - \sin^2 t (\cot^2 t+1)$ ;
$\dfrac{\sin t}{1+\cos t}+\dfrac{\sin t}{1-\cos t}$ ;
$\dfrac{\cos t}{1+\sin t}+\dfrac{\cos t}{1-\sin t}$ ;
$\dfrac{\tan t+1}{1+\cot t}$ ;
$(\tan t+\cot t)^2 -(\tan t -\cot t)^2$ ;
$\sin t\cos t(\tan t+\cot t)$ ;
$\sin^2 t\cos^2 t (\tan^2 t +\cot^2 t +2)$ ;
$\dfrac{1-\sin^2 t}{1-\cos^2 t} + \tan t \cot t$ ;
$\dfrac{\cos^2 t+\tan^2 t}{\sin^2 t +\cot^2 t}$ ;
$(\sin t + \cos t)^2 - 2\sin t\cos t$ ;
$\dfrac{2-\sin^2 t -\cos^2 t}{3\sin^2 t+3\cos ^2 t}$ ;
$\sin^4 t+\cos^4 t+2\sin^2 t\cos^2 t$ ;
$\dfrac{\sin^4 t -\cos^4 t}{\sin^2 t - \cos^2 t}$ .

$\blacktriangleright$ Пример к заданию 5.2:

Докажите тождество:
$\sin^3{t}\cdot {\left(1+\cot t\right)}+\cos^3{t} \cdot{\left(1+\tan t\right)}=\sin t +\cos t.$
Решение:
Приведём левую часть тождества к виду, записанному в его правой части. Для начала воспользуемся формулами $\tan{x}=\dfrac{\sin{x}}{\cos{x}}$ и $\cot{x}=\dfrac{\cos{x}}{\sin{x}}:$
$\sin^3{t}\cdot{\left(1+\cot{t}\right)}+\cos^3{t}\cdot {\left(1+\tan{t}\right)}=\sin^3{t}\cdot {\left(1+\dfrac{\cos{t}}{\sin{t}}\right)}+\cos^3{t} \cdot {\left(1+\dfrac{\sin{t}}{\cos{t}}\right).}$
Приведём к общему знаменателю выражения в каждой скобке:
$\sin^3 t \cdot \left( \frac{\sin t + \cos t}{\sin t} \right) + \cos^3 t \cdot \left( \frac{\cos t + \sin t}{\cos t} \right).$
Сократим:
$\sin^2 t \left( \sin t + \cos t \right) + \cos^2 t \left( \cos t + \sin t \right).$
Вынесем за скобки общий множитель $(\sin{t}+\cos{t})$ , затем применим основное тригонометрическое тождество:
$(\sin{t}+\cos{t})(\sin^2t+\cos^2t)=\sin{t}+\cos{t}.$
Получили выражение, равное правой части исходного тождества. Следовательно, тождество доказано.
Докажите тождество:
$\dfrac{1-4\sin^2 t \cos^2 t}{(\sin t+\cos t)^2}+2\sin t\cos t=1.$
Решение:
Приведём левую часть тождества к виду, записанному в его правой части.

Сначала приведём выражения в левой части к общему знаменателю:
$\dfrac{1-4\sin^2 t \cos^2 t}{(\sin t+\cos t)^2}+2\sin t\cos t=\dfrac{1-4\sin^2 t \cos^2 t+2\sin t\cos t(\sin t+\cos t)^2}{(\sin t+\cos t)^2}.$
Заметим, что:
$(\sin{t}+\cos{t})^2=\sin^2{t}+2\sin{t}\cos{t}+\cos^2{t}=(\sin^2{t}+\cos^2{t})+2\sin{t}\cos{t}=1+2\sin{t}\cos{t}.$
Раскроем скобки, преобразуем выражение:
$\dfrac{1-4\sin^2 t \cos^2 t+2\sin t\cos t(\sin t+\cos t)^2}{(\sin t+\cos t)^2}=\dfrac{1-4\sin^2 t \cos^2 t+2\sin t\cos t(1+2\sin t\cos t)}{1+2\sin t\cos t}=$ $=\dfrac{1-4\sin^2 t \cos^2 t+2\sin t\cos t+4\sin^2 t\cos^2 t}{1+2\sin t\cos t}=\dfrac{1+2\sin t\cos t}{1+2\sin t\cos t}=1.$
Получили выражение, равное правой части исходного тождества. Следовательно, тождество доказано.
Докажите тождество:
$\cos^4{t}-\sin^4{t}=1-2\sin^2{t}.$
Решение:
Приведём левую часть тождества к виду, записанному в его правой части.

Распишем разность квадратов и применим основное тригонометрическое тождество:
$\cos^4{t}-\sin^4{t}=(\cos^2{t}-\sin^2{t})(\cos^2{t}+\sin^2{t})=\cos^2{t}-\sin^2{t}.$
Применим основное тригонометрическое тождество:
$\sin^2{t}+\cos^2{t}=1, \ \cos^2{t}=1-\sin^2{t}.$
Наше выражение примет вид:
$\cos^2{t}-\sin^2{t}=1-\sin^2{t}-\sin^2{t}=1-2\sin^2{t}.$
Получили выражение, равное правой части исходного тождества. Следовательно, тождество доказано.
Докажите тождество:
$\dfrac{1+\tan^2{t}}{1+\cot^2{t}}=\tan^2{t}.$
Решение:
Способ 1.
Приведём левую часть к виду, записанному в правой части.

Распишем в левой части $\tan{t}$ и $\cot t$ через $\sin t$ и $\cos t$ и применим основное тригонометрическое тождество:
$\dfrac{1+\tan^2{t}}{1+\cot^2{t}}=\dfrac{1+\frac{\sin^2t}{\cos^2t}}{1+\frac{\cos^2t}{\sin^2t}}=\dfrac{\frac{\cos^2t+\sin^2t}{\cos^2t}}{\frac{\sin^2t+\cos^2t}{\sin^2t}}=\dfrac{\frac{1}{\cos^2t}}{\frac{1}{\sin^2t}}=\dfrac{1}{\cos^2{t}}:\dfrac{1}{\sin^2{t}}=\dfrac{1}{\cos^2{t}}\cdot \dfrac{\sin^2{t}}{1}=\dfrac{\sin^2t}{\cos^2t}=\tan^2t.$
Получили выражение, равное правой части исходного тождества. Следовательно, тождество доказано.
Способ 2.
Упростим левую часть тождества, используя формулу связи $\tan{t}$ и $\cot t$ :
$\dfrac{1+\tan^2{t}}{1+\cot^2{t}}=\dfrac{1+\tan^2{t}}{1+\frac{1}{\tan^2t}}=\dfrac{{1+\tan^2{t}}}{\frac{\tan^2{t}+1}{\tan^2{t}}}=\dfrac{1+\tan^2{t}}{1}:\dfrac{\tan^2{t}+1}{\tan^2{t}}=\dfrac{1+\tan^2{t}}{1}\cdot \dfrac{\tan^2{t}}{\tan^2{t}+1}=\tan^2t.$
Получили выражение, равное правой части, как и при решении способом 1.

Задание 5.2

Докажите тождества:

$\dfrac{\cos^2 t}{1-\sin t}-\sin t=1$ ;
$\dfrac{\sin^2 t}{1+\cos t}+\cos t =1$ ;
$\dfrac{\tan t}{\tan t + \cot t}=\sin^2 t$ ;
$\dfrac{1+\tan t}{1+\cot t}=\tan t$ ;
$\dfrac{\cot t}{\tan t + \cot t}=\cos^2 t$ ;
$\dfrac{1-\cot t}{1-\tan t}=-\cot t$ ;
$1+\sin t = \dfrac{\cos t + \cot t}{\cot t}$ ;
$\dfrac{1-\sin t}{\cos t}=\dfrac{\cos t}{1+\sin t}$ ;
$1+\cos t=\dfrac{\sin t +\tan t}{\tan t}$ ;
$\dfrac{\sin t}{1-\cos t}=\dfrac{1+\cos t}{\sin t}$ ;
$\dfrac{(\sin t +\cos t )^2 - 1}{\cot t - \sin t \cos t}=2\tan^2 t$ ;
$\dfrac{(\sin t +\cos t)^2 -1}{\tan t -\sin t\cos t}=2\cot^2 t$ ;
$(1-\sin{t})(1+\sin{t})=\cos^2{t}$ ;
$\dfrac{\cos^2{t}}{1-\cos^2{t}}=\cot^2{t}$ ;
$(1+\cot^2{t})(1-\cos^2{t})=1$ ;
$(1+\tan^2{t})(1-\sin^2{t})=1$ ;
$\left(1+\tan^2{t}+\dfrac{1}{\sin^2{t}}\right)\sin^2{t}\cos^2{t}=1$ ;
$(\sin^2{t}-\cos^2{t})^2+4\sin^2{t}\cos^2{t}=1$ ;
$\dfrac{1+\cos{t}}{\sin{t}}+\dfrac{\sin{t}}{1+\cos{t}}=\dfrac{2}{\sin{t}}$ ;
$\dfrac{\cos{t}}{1-\sin{t}}+\dfrac{\cos{t}}{1+\sin{t}}=\dfrac{2}{\cos{t}}$ ;
$\tan^2{t}-\sin^2{t}=\tan^2{t}\sin^2{t}$ ;
$\cot^2{t}-\cos^2{t}=\cot^2{t}\cos^2{t}$ ;
$\dfrac{\sin^3{t}-\cos^3{t}}{\sin{t}-\cos{t}}-\sin{t}\cos{t}=1$ ;
$\dfrac{\sin^3{t}+\cos^3{t}}{\sin{t}+\cos{t}}+\sin{t}\cos{t}=1$ .

$\blacktriangleright$ Пример к заданию 5.3:

1. Найдите наименьшее и наибольшее значения функции $f(t) = \sin^2 t - \cos^2 t+1.$

Решение:

Используя основное тригонометрическое тождество, упростим заданную функцию:

f(t) = \sin^2 t - \cos^2 t+1=\sin^2 t - \cos^2 t + \sin^2 t + \cos^2 t =\sin^2 t+\sin^2 t= 2 \sin^2 t.

Наименьшее значение $\sin t$ равно $-1$ , а наибольшее $1$ . Тогда наибольшее значение $\sin^2 t$ равно $1$ , а наименьшее $0$ , так как квадрат числа всегда неотрицателен. Следовательно, наибольшее значение $2 \sin^2 t$ равно $2$ , а наименьшее $0$ .

Таким образом,

$f_{min}(t)=0$ ;
$f_{max}(t)=2$ .

2. Найдите наименьшее и наибольшее значения функции $f(t) = 5\sin^2{t} + \cos^2{t}.$

Решение:

Используя основное тригонометрическое тождество, упростим заданную функцию:

f(t) = 5\sin^2 t + \cos^2 t= 4\sin^2{t} + \sin^2 t + \cos^2 t = 4\sin^2{t}+1.

Наименьшее значение $\sin t$ равно $-1$ , а наибольшее $1$ . Тогда наибольшее значение $\sin^2 t$ равно $1$ , а наименьшее $0$ . Тогда наибольшее значение $4 \sin^2 t$ равно $4$ , а наименьшее $0$ . В свою очередь, наибольшее значение $4 \sin^2 t+1$ равно 5, а наименьшее равно 1. Таким образом,

$f_{min}(t)=1$ ;
$f_{max}(t)=5$ .

Ответ:

$0$ , $2$ ;
$1$ , $5$ .

Задание 5.3

Найдите наименьшее и наибольшее значения функций $f(t)$ , если:

$f(t) = 1-(\cos^2 t - \sin^2 t)$ ;
$f(t) = 5\cos^2t-\sin^2t$ ;
$f(t) = \dfrac{\cos^4t-1}{\cos^2t+1}$ ;
$f(t) = \sin t + 3\sin^2 t +3\cos^2 t$ .

Связь тригонометрических функций одного аргумента

Для решения задач из задания 6 Вам может быть полезно следующее видео:

$\Longrightarrow$ Как, зная одну тригонометрическую функцию,
найти остальные тригонометрические функции

$\blacktriangleright$ Примеры. По заданному значению функции найдите значения остальных тригонометрических функций:

$\sin{\alpha}=-\dfrac{20}{29},\,\, \alpha\in \left(\pi;\dfrac{3\pi}{2}\right)$ .
Решение:
Найдём значение $\cos{\alpha}$ .
Воспользуемся основным тригонометрическим тождеством: $\sin^2{\alpha}+\cos^2{\alpha}=1$ .
$\cos^2{\alpha}=1-\sin^2{\alpha}=1-\left(-\dfrac{20}{29}\right)^2=1-\dfrac{400}{841}=\dfrac{441}{841},$ $\cos{\alpha}=\pm\dfrac{21}{29}.$
Так как $\alpha \in\left(\pi;\dfrac{3\pi}{2}\right)$ , то $\cos{\alpha}<0. \text{ Выбираем } \cos{\alpha}=-\dfrac{21}{29}$ .
Найдём значение $\tan{\alpha}$ .
Мы знаем значения $\sin{\alpha}$ и $\cos{\alpha}$ , тогда:
$\tan{\alpha}=\dfrac{\sin{\alpha}}{\cos{\alpha}}=\dfrac{-\frac{20}{29}}{-\frac{21}{29}}=\dfrac{20}{21}.$
Найдём значение $\cot{\alpha}$ .
$\cot{\alpha}=\dfrac{\cos{\alpha}}{\sin{\alpha}}=\dfrac{-\frac{21}{29}}{-\frac{20}{29}}=\dfrac{21}{20}.$
$\tan{\alpha}=-\dfrac{35}{12},\,\, \alpha\in \left(\dfrac{\pi}{2}; \pi\right)$ .
Решение:
Найдём $\cot{\alpha}$ .
$\tan{\alpha}\cdot \cot{\alpha}=1,$ $\cot{\alpha}=\dfrac{1}{\tan{\alpha}}=\dfrac{1}{-\frac{35}{12}}=-\dfrac{12}{35}.$
Найдём $\cos{\alpha}$ .
$\tan^2{\alpha}+1=\dfrac{1}{\cos^2{\alpha}},$ $\left(-\dfrac{35}{12}\right)^2+1=\dfrac{1}{\cos^2{\alpha}},$ $\dfrac{1}{\cos^2{\alpha}}=\dfrac{1369}{144},$ $\cos^2{\alpha}=\dfrac{144}{1369},$ $\cos{\alpha}=\pm\dfrac{12}{37}.$
Так как $\alpha \in\left(\dfrac{\pi}{2}; \pi\right)$ , то $\cos{\alpha}<0.$ Выбираем $\cos{\alpha}=-\dfrac{12}{37}.$
Найдём $\sin{\alpha}$ .
$\sin^2{\alpha}+\cos^2{\alpha}=1,$ $\sin^2{\alpha}=1-\left(-\dfrac{12}{37}\right)^2=1-\dfrac{144}{1369}=\dfrac{1225}{1369},$ $\sin{\alpha}=\pm \dfrac{35}{37}.$
Так как $\alpha \in\left(\dfrac{\pi}{2}; \pi\right)$ , то $\sin{\alpha}>0.$ Выбираем $\sin{\alpha}=\dfrac{35}{37}.$

Задание 6

По заданному значению функции найдите значения остальных тригонометрических функций:

6.1 а) $\sin t= \dfrac{4}{5}$ , $\dfrac{\pi}{2}<t<\pi$ ;

б) $\sin t= \dfrac{5}{13}$ , $0<t<\dfrac{\pi}{2}$ ;

в) $\sin t= -0,6$ , $-\dfrac{\pi}{2}<t<0$ ;

г) $\sin t= -0,28$ , $\pi<t<\dfrac{3\pi}{2}$ .

6.2 а) $\cos t= 0,8$ , $0<t<\dfrac{\pi}{2}$ ;

б) $\cos t= -\dfrac{5}{13}$ , $\dfrac{\pi}{2}<t<\pi$ ;

в) $\cos t= 0,6$ , $\dfrac{3\pi}{2}<t<2\pi$ ;

г) $\cos t= -\dfrac{24}{25}$ , $\pi<t<\dfrac{3\pi}{2}$ .

6.3 а) $\tan t= \dfrac{3}{4}$ , $0<t<\dfrac{\pi}{2}$ ;

б) $\tan t= 2,4$ , $\pi<t<\dfrac{3\pi}{2}$ ;

в) $\tan t= -\dfrac{3}{4}$ , $\dfrac{\pi}{2}<t<\pi$ ;

г) $\tan t= -\dfrac{5}{12}$ , $\dfrac{3\pi}{2}<t<2\pi$ .

6.4 а) $\cot t= \dfrac{12}{5}$ , $3\pi<t<\dfrac{7\pi}{2}$ ;

б) $\cot t= \dfrac{7}{24}$ , $2\pi<t<\dfrac{5\pi}{2}$ ;

в) $\cot t= -\dfrac{5}{12}$ , $\dfrac{7\pi}{2}<t<4\pi$ ;

г) $\cot t= -\dfrac{8}{15}$ , $\dfrac{5\pi}{2}<t<3\pi$ .

Формулы приведения

Напомним, как выносить « $-$ » из аргументов тригонометрических функций.

Для решения задач из этого раздела Вам может быть полезно следующее видео:

$\Longrightarrow$ Формулы приведения за 20 минут

$\blacktriangleright$ Пример к заданию 7.1:

Упростите выражение:
$\cos{(2\pi-x)}.$
Решение:
Нанесём точку $2\pi$ на тригонометрической окружность. В этой точке функция не меняется на кофункцию, значит, у нас останется косинус.
Далее выбираем четверть в отрицательном направлении:
В этой четверти знак исходной функции, то есть косинуса, << $+$ >>, значит, у нас тоже будет знак << $+$ >>.
Тогда получаем, что $\cos{(2\pi-x)}=\cos{x}$ .
Упростите выражение:
$\cot{\Big(\dfrac{5\pi}{2}-x\Big)}.$
Решение:
Нанесём точку $\dfrac{5\pi}{2}$ на тригонометрической окружность. В этой точке функция меняется на кофункцию, значит у нас получится тангенс.
Далее выбираем четверть в отрицательном направлении:
В этой четверти знак исходной функции, то есть котангенса, << $+$ >>, значит, у нас тоже будет знак << $+$ >>.
Тогда получаем, что $\cot{\left(\dfrac{5\pi}{2}-x\right)=\tan{x}}$ .
Упростите выражение:
$\cos{\left(\dfrac{x}{2}-\dfrac{3\pi}{2}\right)}.$
Решение:
Нанесём точку $-\dfrac{3\pi}{2}$ на тригонометрической окружность. В этой точке функция меняется на кофункцию, значит, у нас получится синус. Далее выбираем четверть в положительном направлении:
В этой четверти знак исходной функции, то есть косинуса, << $-$ >>, значит, у нас тоже будет знак << $-$ >>.
Тогда получаем, что $\cos{\left(\dfrac{x}{2}-\dfrac{3\pi}{2}\right)}=-\sin{\dfrac{x}{2}}$ .
Упростите выражение:
$\sin{(270^\circ +x)}.$
Решение:
Нанесём точку $270^\circ$ на тригонометрической окружность. В этой точке функция меняется на кофункцию, значит, у нас получится косинус. Далее выбираем четверть в отрицательном направлении:
В этой четверти знак исходной функции, то есть синуса, << $-$ >>, значит, у нас тоже будет знак << $-$ >>.
Тогда получаем, что $\sin{(270^\circ +x)}=-\cos{x}$ .

Ответ:

$\cos{x}$ ;
$\tan{x}$ ;
$-\sin{\dfrac{x}{2}}$ ;
$-\cos{x}$ .

Задание 7.1

Упростить выражение:

$\cos{\Big(\dfrac{\pi}{2}-x\Big)};$
$\cos{\Big(\dfrac{3\pi}{2}+x\Big)};$
$\sin{(\pi+x)};$
$\sin{(\pi-x)};$
$\cos{\Big(\dfrac{\pi}{2}+x\Big)};$
$\cos{(2\pi+x)};$
$\sin{\Big(\dfrac{3\pi}{2}-x\Big)};$
$\tan{\Big(\dfrac{3\pi}{2}+x\Big)};$
$\cot{(\pi-x)};$
$\tan{(\pi+x)};$
$\cos{\left(2x-\dfrac{\pi}{2}\right)};$
$\cos{(4x-\pi)};$
$\sin{\left(2x-\dfrac{\pi}{2}\right)};$
$\sin{(4x-\pi)};$
$\sin{\left(\dfrac{x}{2}-\dfrac{3\pi}{2}\right)};$
$\tan{\left(2x-\dfrac{\pi}{2}\right)};$
$\tan{(4x-\pi)};$
$\tan{\left(\dfrac{x}{2}-\dfrac{3\pi}{2}\right)};$
$\cos{(90^\circ +x)};$
$\sin{(360^\circ -x)};$
$\cos{(180^\circ +x)};$
$\tan{(90^\circ -x)};$
$\cot{(180^\circ -x)};$
$\tan{(270^\circ +x)};$
$\cot{(360^\circ +x)}.$

Задание 7.2

Упростить выражение:

$\sin{(90^\circ-x)}+\cos{(180^\circ+x)}+\tan{(270^\circ+x)}+\cot{(360^\circ +x)};$
$\sin{\Big(\dfrac{\pi}{2}+x\Big)}-\cos{(\pi-x)}+\tan{(\pi-x)}+\cot{\Big(\dfrac{5\pi}{2}-x\Big)};$
$\sin{\left(\dfrac{\pi}{2}-x\right)}+\cos{(\pi-x)};$
$\dfrac{\sin{\left(\dfrac{\pi}{2}+x\right)}}{\cos{(\pi+x)}};$
$\sin{(\pi-x)}\tan{\left(\dfrac{3\pi}{2}+x\right)};$
$\cos{\left(\dfrac{\pi}{2}+x\right)}\cot{(\pi-x)};$
$\dfrac{\cos{(-x)\cos{(180^\circ+x)}}}{\sin{(-x)\sin{(90^\circ+x)}}};$
$\dfrac{\sin{(-x)\cot{(-x)}}}{\cos{(360^\circ-x)\tan{(180^\circ+x)}}};$
$\dfrac{\sin{(\pi+x)\cos{(2\pi-x)}}}{\tan{(\pi-x)\cos{(x-\pi)}}};$
$\dfrac{\sin{(\pi+x)\sin{(2\pi+x)}}}{\tan{(\pi+x)\cos{(1,5\pi+x)}}};$
$\dfrac{\tan{(\pi-x)\sin{\left(\dfrac{3\pi}{2}+x\right)}}}{\cos{(\pi+x)\tan{\left(\dfrac{3\pi}{2}+x\right)}}};$
$\dfrac{\sin{(\pi-x)\cot{\left(\dfrac{\pi}{2}-x\right)}\cos{(2\pi-x)}}}{\tan{(\pi+x)\tan{\left(\dfrac{\pi}{2}+x\right)}\sin{(-x)}}};$
$\tan{\left(\dfrac{\pi}{2}+x\right)}\tan{(\pi-x)};$
$\dfrac{\cot{\left(\dfrac{\pi}{2}+x\right)-\tan(\pi+x)}}{\cot{\left(\dfrac{3\pi}{2}+x\right)}};$
$\sin^2 {(\pi-x)}\tan^2 {\left(\dfrac{7\pi}{2}+x\right)};$
$\cos{\left(\dfrac{\pi}{2}+x\right)}\cot^2 {(\pi-x)}\cot {\left(\dfrac{7\pi}{2}+x\right)};$
$\dfrac{\cos{(\pi-x)}+\cos{\left(\dfrac{\pi}{2}-x\right)}}{\sin{(2\pi-x)}-\sin{\left(\dfrac{3\pi}{2}-x\right)}};$
$\dfrac{\sin^2{(\pi-x)}+\sin^2{\left(\dfrac{\pi}{2}-x\right)}}{\sin{(\pi-x)}}\cdot\tan{(\pi-x)}$ ;
$\dfrac{\tan{(\pi+x)}\sin{\left(\dfrac{5\pi}{2}-x\right)}}{\cos{(\pi-x)}\tan{\left(\dfrac{\pi}{2}+x\right)}};$
$\dfrac{\sin{(2\pi+x)}\cot{\left(\dfrac{3\pi}{2}-x\right)}\cos{(\pi-x)}}{\tan{(\pi-x)}\tan{\left(\dfrac{3\pi}{2}+x\right)}\sin{(-\pi -x)}}.$

Задание 7.3

Упростить выражение:

$\dfrac{\cos{(180^\circ+x)}\cos{(-x)}}{\sin{(-x)}\sin{(90^\circ+x)}};$
$\dfrac{\sin{(\pi-x)}\cos{(2\pi-x)}}{\tan{(\pi-x)}\cos{(\pi-x)}};$
$\dfrac{\sin{(-x)}\cot{(-x)}}{\cos{(360^\circ-x)}\tan{(180^\circ+x)}};$
$\dfrac{\sin{(\pi+x)}\sin{(2\pi+x)}}{\tan{(\pi+x)}\cos{\left(\dfrac{3\pi}{2}+x\right)}}.$

$\blacktriangleright$ Пример к заданию 7.4:

Упростить выражение:

\cos^2{(90^\circ+x)}+\sin^2{(270^\circ+x)}.

Решение:
Обратим внимание, что когда у нас тригонометрическая функция возводится в квадрат, то неважно какого знака получается результат применения формулы приведения, так как после возведения в квадрат знак все равно пропадает, даже если он был.
Тогда:
1. По формулам приведения $\cos^2{(90^\circ+x)}=(-\sin x)^2=\sin^2{x}$ .
2. По формулам приведения $\sin^2{(270^\circ+x)}=(-\cos x)^2=\cos^2{x}$ .
3. Подставим полученные результаты в начальное выражение и преобразуем его, используя основное тригонометрическое тождество:

\cos^2{(90^\circ+x)}+\sin^2{(270^\circ+x)}=\sin^2{x}+\cos^2{x}=1.

Ответ: $1$ .

Задание 7.4

Упростить выражение:

$\sin^2{(180^\circ-x)}+\sin^2{(270^\circ-x)};$
$\cos^2{(\pi+x)}+\cos^2{\left(\dfrac{\pi}{2}+x\right)};$
$\sin{(\pi-x)}\cos{\left(x-\dfrac{\pi}{2}\right)}-\sin{\left(x+\dfrac{\pi}{2}\right)}\cos{(\pi-x)};$
$\sin{(\pi+x)}\cos{\left(\dfrac{\pi}{2}+x\right)}-\cos{(2\pi+x)}\sin{\left(\dfrac{3\pi}{2}-x\right)}.$

Задание 7.5

Докажите тождество:

$\dfrac{\tan{(\pi-x)}}{\cos{(\pi+x)}}\cdot\dfrac{\sin{\left(\dfrac{3\pi}{2}+x\right)}}{\tan{\left(\dfrac{3\pi}{2}+x\right)}}=\tan^2{x};$
$\dfrac{\sin{(\pi-x)}}{\tan(\pi+x)}\cdot\dfrac{\cot{\left(\dfrac{\pi}{2}-x\right)}}{\tan{\left(\dfrac{\pi}{2}+x\right)}}\cdot\dfrac{\cos{(2\pi-x)}}{\sin(-x)}=\sin{x};$
$\dfrac{\cos^2{(\pi-x)}+\sin^2{\left(\dfrac{\pi}{2}-x\right)}+\cos{(\pi+x)}\cos{(2\pi-x)}}{\tan^2{\left(x-\dfrac{\pi}{2}\right)}\cot^2{\left(\dfrac{3\pi}{2}+x\right)}}=\cos^2{x};$
$\dfrac{\sin^2{\left(x-\dfrac{3\pi}{2}\right)}\cos{(2\pi-x)}}{\tan^2{\left(x-\dfrac{\pi}{2}\right)}\cos^2{\left(x-\dfrac{3\pi}{2}\right)}}=\cos{x}.$

Тригонометрические уравнения. Уровень 2

$\blacktriangleright$ Примеры к заданию 8.1:

Решите уравнение:
$2\cos{x}(2\sin{x}+1)=0.$
Решение:
Мы знаем, что произведение множителей равно нулю, тогда и только тогда, когда один из них равен нулю, а другой существует, то есть получаем следующее:
$2\cos{x}(2\sin{x}+1)=0,$ $\left[ \begin{array}{ll} 2\cos{x}=0, \\ \\ 2\sin{x}+1=0; \\ \end{array} \right.$ $\left[ \begin{array}{ll} \cos{x}=0, \\ \\ \sin{x}=-\dfrac{1}{2}; \\ \end{array} \right.$ $\left[ \begin{array}{ll} x=\dfrac{\pi}{2}+\pi n, \\ \\ x=-\dfrac{\pi}{6}+2\pi n, \\ \\ x=-\dfrac{5\pi}{6}+2\pi n, \end{array} \right.n\in\mathbb{Z}.$
$\Longrightarrow$ Решение
Решите уравнение:
$\left(\cos{x}+\dfrac{1}{2}\right)\left(\sin{x}-\dfrac{1}{2}\right)=0.$
Решение:
Мы знаем, что произведение двух множителей равно нулю, тогда и только тогда, когда один из них равен нулю, а другой существует, то есть получаем следующее:
$\left(\cos{x}+\dfrac{1}{2}\right)\left(\sin{x}-\dfrac{1}{2}\right)=0,$ $\left[ \begin{array}{ll} \cos{x}+\dfrac{1}{2}=0, \\ \\ \sin{x}-\dfrac{1}{2}=0; \\ \end{array} \right.$ $\left[ \begin{array}{ll} \cos{x}=-\dfrac{1}{2}, \\ \\ \sin{x}=\dfrac{1}{2}; \\ \end{array} \right.$ $\left[ \begin{array}{lll} x=\pm\dfrac{2\pi}{3}+2\pi n, \\ \\ x=\dfrac{\pi}{6}+2\pi n, \\ \\ x=\dfrac{5\pi}{6}+2\pi n, \\ \end{array} \right.n\in\mathbb{Z}.$

Ответ:

$\dfrac{\pi}{2}+\pi n,\,\,\, -\dfrac{\pi}{6}+2\pi n,\,\,\, -\dfrac{5\pi}{6}+2\pi n,\,\,\,n\in\mathbb{Z}$ ;
$\pm\dfrac{2\pi}{3}+2\pi n,\,\,\,\dfrac{\pi}{6}+2\pi n,\,\,\,\dfrac{5\pi}{6}+2\pi n\,\,\, n\in\mathbb{Z}$ .
$\Longrightarrow$ Решение

Задание 8.1

Решите уравнение:

1. $\sin t(2 \cos t+1)=0$ ;

$\Longrightarrow$ Решение

2. $(\sin t-1)(\cos t+1)=0$ ;

$\Longrightarrow$ Решение

3. $\cos t(2 \sin t+1)=0$ ;

4. $(2 \sin t-\sqrt{2})(2 \cos t+1)=0$ .

$\blacktriangleright$ Пример к заданию 8.2:

Решите уравнение:
$\sqrt{1-\cos^2{x}}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}.$
Решение:
Из основного тригонометрического тождества: $1-\cos^2{x}=\sin^2{x}$ . Как мы знаем из свойств квадратных корней: $\sqrt{x^2}=|x|$ . Тогда:
$\sqrt{1-\cos^2{x}}=\sqrt{\sin^2{x}}=|\sin{x}|.$
Наше уравнение принимает вид:
$|\sin{x}|=\dfrac{\sqrt{3}}{2}.$
Зададимся вопросом: «У каких чисел модуль равен $\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ ?»
Таких чисел два. Это $\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ и $-\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ . Значит:
$|\sin{x}|=\dfrac{\sqrt{3}}{2},$ $\left[ \begin{array}{ll} \sin{x}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}, \\ \sin{x}=-\dfrac{\sqrt{3}}{2}; \\ \end{array} \right.$ $\left[ \begin{array}{ll} x=\dfrac{\pi}{3}+2\pi k, \\ \\ x=\dfrac{2\pi}{3}+2\pi k,\\ \\ x=-\dfrac{\pi}{3}+2\pi k,\\ \\ x=-\dfrac{2\pi}{3}+2\pi k; \\ \end{array} \right.$ $\left[ \begin{array}{ll} x=\pm\dfrac{\pi}{3}+2\pi k, \\ \\ x=\pm\dfrac{2\pi}{3}+2\pi k, \\ \end{array} \right. k\in\mathbb{Z}.$
$\Longrightarrow$ Решение
Решите уравнение:
$|\cos x| =1.$
Решение:
Зададимся вопросом: «У каких чисел модуль равен $1$ ?»
Таких чисел два. Это $1$ и $-1$ . Значит:
$|\cos{x}|=1,$ $\left[ \begin{array}{ll} \cos{x}=1, \\ \cos{x}=-1; \\ \end{array} \right.$ $\left[ \begin{array}{ll} x=0+2\pi k, \\ \\ x=\pi+2\pi k. \\ \end{array} \right.$

Две серии корней, полученные в решении, можно объединить в одну $x=\pi k,\,\,\, k\in\mathbb{Z}.$
Допустимы обе формы записи ответа, но обычно используют более короткий вариант $x=\pi k,\,\,\, k\in\mathbb{Z}.$

Ответ:

$\pm\dfrac{\pi}{3}+2\pi k,\,\,\, \pm\dfrac{2\pi}{3}+2\pi k,\,\,\, k\in\mathbb{Z}$ ;
$\pi k,\,\,\, k\in\mathbb{Z}$ .

Задание 8.2

Решите уравнения:

1. $|\cos x| =\dfrac{1}{2}$ ;

$\Longrightarrow$ Решение

2. $\sqrt{1 - \cos^2 x} = 0,5$ ;

$\Longrightarrow$ Решение

3. $|\sin x| = 1$ ;

4. $\sqrt{1-\sin^2 x}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\blacktriangleright$ Пример к заданию 8.3

Решите уравнение:

\sin (\pi-t)=\dfrac{1}{2}.

Решение:

Способ 1.

Воспользуемся формулой приведения, чтобы упростить вид нашего уравнения

\sin{(\pi-t)}=\sin{t}.

\sin{t}=\dfrac{1}{2},

\left[\begin{array}{ll} t=\dfrac{\pi}{6}+2\pi k, \\ \\ t=\dfrac{5\pi}{6}+2\pi k, \\ \end{array}\right. k\in \mathbb{Z}.

Способ 2.

Сделаем замену. Пусть $(\pi-t)=x$ , тогда $\sin{x}=\dfrac{1}{2}$ .

\left[\begin{array}{ll} x=\dfrac{\pi}{6}+2\pi k, \\ \\ x=\dfrac{5\pi}{6}+2\pi k, \\ \end{array}\right. k\in \mathbb{Z}.

Вернёмся к исходной переменной.

\left[\begin{array}{ll} x=\pi-t=\dfrac{\pi}{6}+2\pi k, \\ \\ x=\pi-t=\dfrac{5\pi}{6}+2\pi k; \\ \end{array}\right.

\left[\begin{array}{ll} t=\pi -\dfrac{\pi}{6}-2\pi k, \\ \\ t=\pi -\dfrac{5\pi}{6}-2\pi k; \\ \end{array}\right.

\left[\begin{array}{ll} t=\dfrac{5\pi}{6}-2\pi k, \\ \\ t=\dfrac{\pi}{6}-2\pi k; \\ \end{array}\right.

\left[\begin{array}{ll} t=\dfrac{\pi}{6}+2\pi k, \\ \\ t=\dfrac{5\pi}{6}+2\pi k, \\ \end{array}\right. k\in \mathbb{Z}.

Ответ: $\dfrac{\pi}{6}+2\pi k,\,\, \dfrac{5\pi}{6}+2\pi k,\,\,\, k\in \mathbb{Z}$ .

$\Longrightarrow$ Решение

Задание 8.3

Решите уравнение:

1. $\cos \left(\dfrac{\pi}{2}-t\right)=1$ ;

$\Longrightarrow$ Решение

2. $\cos (t-\pi)=0$ ;

$\Longrightarrow$ Решение

3. $\sin \left(t-\dfrac{\pi}{2}\right)=1$ ;

4. $\cos{\left(\dfrac{3\pi}{2}-t\right)}=\dfrac{1}{2}$ .

$\blacktriangleright$ Примеры к заданию 8.4

Решите уравнение:
$2 \sin ^{2} t+\sin t=0.$
Решение:
Сделаем замену переменной $\sin{t}=x,$ тогда $2x^2+x=0.$
Найдём корни уравнения:
$2x^2+x=0,$ $x(2x+1)=0,$ $\left[\begin{array}{ll} x=0, \\ x=-\dfrac{1}{2}. \\ \end{array}\right.$
Вернёмся к прежней переменной:
$\left[\begin{array}{ll} \sin{t}=0, \\ \sin{t}=-\dfrac{1}{2}; \\ \end{array}\right.$ $\left[\begin{array}{ll} t=\pi k, \\\\ t=-\dfrac{5\pi}{6}+2\pi k, \\\\ t=-\dfrac{\pi}{6}+2\pi k, \end{array}\right. k\in\mathbb{Z}.$
$\Longrightarrow$ Решение
Решите уравнение:
$3-4 \cos ^{2} t=0.$
Решение:
Выразим $\cos^2t$ и решим уравнение:
$3-4 \cos ^{2} t=0 ,$ $\cos^2t=\dfrac{3}{4},$ $\left[ \begin{array}{ll} \cos{t}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}, \\ \cos{t}=-\dfrac{\sqrt{3}}{2}; \\ \end{array} \right.$ $\left[ \begin{array}{ll} t=\pm\dfrac{\pi}{6}+2\pi k, \\ \\ t=\pm\dfrac{5\pi}{6}+2\pi k, \\ \end{array} \right. k\in\mathbb{Z}.$

Ответ:

$\pi k,\,\,\, -\dfrac{5\pi}{6}+2\pi k,\,\,\, -\dfrac{\pi}{6}+2\pi k,\,\,\, k\in\mathbb{Z}$ ;
$\pm\dfrac{\pi}{6}+2\pi k,\,\,\, \pm\dfrac{5\pi}{6}+2\pi k,\,\,\, k\in\mathbb{Z}$ .

Задание 8.4

Решите уравнения:

1. $3-4 \sin ^{2} t=0$ ;

$\Longrightarrow$ Решение

2. $\sin ^{2} t-\sin t=0$ ;

$\Longrightarrow$ Решение

3. $4 \sin ^{2} t-1=0$ ;

4. $2 \cos ^{2} t-\cos t=0$ ;

5. $4 \cos ^{2} t-1=0$ ;

6. $2 \cos ^{2} t+\cos t=0$ .

$\blacktriangleright$ Пример к заданию 8.5

Решите уравнение:

2 \cos ^{2} t-5 \cos t+2=0.

Решение:

Сделаем замену переменной $\cos{t}=x,$ тогда $2x^2-5x+2=0$ .

Найдём корни уравнения:

2x^2-5x+2=0,

(2x-1)(x-2)=0,

\left[\begin{array}{ll} x=\dfrac{1}{2}, \\ \\x=2. \\ \end{array}\right.

Вернёмся к прежней переменной:

\left[\begin{array}{ll} \cos{t}=\dfrac{1}{2}, \\ \\\cos{t}=2; \\ \end{array}\right.

\left[\begin{array}{ll} t=\pm\dfrac{\pi}{3}+2\pi k, \\ \\t=\varnothing; \end{array}\right.

t=\pm\dfrac{\pi}{3}+2\pi k,\,\,\, k\in\mathbb{Z}.

Ответ: $\pm\dfrac{\pi}{3}+2\pi k,\,\,\, k\in\mathbb{Z}.$

Задание 8.5

Решите уравнения:

$2 \sin ^{2} t+3 \sin t-2=0$ ;

$\Longrightarrow$ Решение
$2 \sin ^{2} t+\sin t-1=0$ ;
$4 \cos ^{2} t+9 \cos t+5=0$ .

$\blacktriangleright$ Пример к заданию 8.6

Решите уравнение:

\sin ^{2} t+3 \cos t-3=0.

Решение:

Для того чтобы свести это уравнение к квадратному относительно $\cos{t}$ , воспользуемся основным тригонометрическим тождеством $\sin^2{t}+\cos^2t=1$ и заменим $\sin^2{t}$ на $1-\cos^2{t}$ :

\sin ^{2} t+3 \cos t-3=0 ,

1-\cos^2{t}+3\cos t-3=0.

Домножим обе части на $-1$ :

\cos^2t-3\cos t +2=0.

Сделаем замену переменной $\cos{t}=x,$ тогда $x^2-3x+2=0$ .

Найдём корни уравнения:

x^2-3x+2=0,

(x-1)(x-2)=0,

\left[\begin{array}{ll} x=1, \\ x=2. \\ \end{array}\right.

Вернёмся к прежней переменной:

\left[\begin{array}{ll} \cos{t}=1, \\ \cos{t}=2; \\ \end{array}\right.

\left[\begin{array}{ll} t=2\pi k, \\ \\t=\varnothing; \end{array}\right.

t=2\pi k,\,\,\, k\in\mathbb{Z}.

Ответ: $2\pi k,\,\,\, k\in\mathbb{Z}.$

Задание 8.6

Решите уравнения:

$2 \cos ^{2} t+\sin t+1=0$ ;

$\Longrightarrow$ Решение
$\sin ^{2} t+3 \cos t-3=0$ .

$\blacktriangleright$ Пример к заданию 8.7

Решите уравнение:

\sin (\pi+t)+\cos \left(\dfrac{\pi}{2}+t\right)=\sqrt{3}.

Решение:

Используя формулы приведения, преобразуем левую часть уравнения:

\sin (\pi+t)+\cos \left(\dfrac{\pi}{2}+t\right)=-\sin{t}-\sin{t}=-2\sin{t}.

Решим уравнение:

-2\sin{t}=\sqrt{3},

\sin{t}=-\dfrac{\sqrt{3}}{2},

\left[\begin{array}{ll} t=-\dfrac{\pi}{3}+2\pi n, \\ \\ t=-\dfrac{2\pi}{3}+2\pi n; \\ \end{array}\right. n\in\mathbb{Z}.

Ответ: $-\dfrac{\pi}{3}+2\pi n,\,\,\,-\dfrac{2\pi}{3}+2\pi n,\,\,\, n\in\mathbb{Z}$ .

$\Longrightarrow$ Решение

Задание 8.7

Решите уравнения:

$\sin \left(\dfrac{\pi}{2}+t\right)-\cos (\pi+t)=1$ ;

$\Longrightarrow$ Решение
$\sin (\pi+t)+\sin (2 \pi-t)-\cos \left(\dfrac{3 \pi}{2}+t\right)+1,5=0$ ;
$\cos \left(\dfrac{\pi}{2}-t\right)-\sin (\pi+t)=\sqrt{2}$ .

$\blacktriangleright$ Пример к заданию 8.8

Решить уравнение:

\cot{\dfrac{x}{2}}=0.

Решение:

Сделаем замену переменной $\dfrac{x}{2}=t$ , тогда уравнение примет вид:

\cot{t}=0.

Решим это уравнения:

\cot{t}=0,

t=\dfrac{\pi}{2}+\pi k, \ k\in\mathbb{Z}.

Сделаем обратную замену и решим исходное уравнение:

\dfrac{x}{2}=\dfrac{\pi}{2}+\pi k,

\ x=\pi+2\pi k,\,\,\, k\in\mathbb{Z}.

Ответ: $\pi+2\pi k,\,\,\, k\in\mathbb{Z}$ .

$\Longrightarrow$ Решение

Задание 8.8

Решите уравнения:

1. $\sin{\dfrac{x}{2}}=1$ ;

$\Longrightarrow$ Решение

2. $\tan{3x}=\sqrt{3}$ ;

3. $\cos{\left(x-\dfrac{\pi}{3}\right)}=-1$ ;

$\Longrightarrow$ Решение

4. $\tan{\left(x+\dfrac{\pi}{4}\right)}=1$ ;

5. $\cos{\left(\dfrac{x}{2}-\dfrac{\pi}{12}\right)}=0$ ;

6. $\sin{\left(2x+\dfrac{\pi}{5}\right)}=0$ .

Различные варианты записи точек на
тригонометрической окружности

Для решения задач этого раздела Вам может быть полезно следующее видео:

$\Longrightarrow$ Различные варианты записи точек
на тригонометрической окружности

$\blacktriangleright$ Пример к заданию 9.1

Дано множество точек $\dfrac{2\pi}{3}+2\pi n,\,\, n\in\mathbb{Z}$ .
a) Какое значение принимает выражение $\dfrac{2\pi}{3}+2\pi n$ при:

1)\,n=1;\,\,\,\,\,\, 2)\, n=0;\,\,\,\,\,\, 3)\,n=-3?

б) Обозначьте данное множество точек на тригонометрической окружности.

Решение:

а) Подставим в уравнение, задающее множество точек,

$n=1$ :

\dfrac{2\pi}{3}+2\pi \cdot 1=\dfrac{2\pi+6\pi}{3}=\dfrac{8\pi}{3};

$n=0$ :

\dfrac{2\pi}{3}+2\pi \cdot 0=\dfrac{2\pi}{3};

$n=-3$ :

\dfrac{2\pi}{3}+2\pi \cdot (-3)=\dfrac{2\pi}{3}-6\pi=\dfrac{2\pi-18\pi}{3}=-\dfrac{16\pi}{3}.

Ответ: $\dfrac{8\pi}{3}$ , $\dfrac{2\pi}{3}$ , $-\dfrac{16\pi}{3}$ .

б)

Задание 9.1

Дано множество точек $-\dfrac{\pi}{6}+\pi n,\,\, n\in\mathbb{Z}$ .
a) Какое значение принимает выражение $-\dfrac{\pi}{6}+\pi n$ при:
$1)\,n=1;\,\,\,\,\,\, 2)\, n=0;\,\,\,\,\,\, 3)\,n=-3?$
б) Обозначьте данное множество точек на тригонометрической окружности.
Дано множество точек $\dfrac{\pi}{4}+\pi n,\,\, n\in\mathbb{Z}$ .
a) Какое значение принимает выражение $\dfrac{\pi}{4}+\pi n$ при:
$1)\,n=1;\,\,\,\,\,\, 2)\, n=0;\,\,\,\,\,\, 3)\,n=-3?$
б) Обозначьте данное множество точек на тригонометрической окружности.
Дано множество точек $\dfrac{\pi k}{6},\,\, k\in\mathbb{Z}$ .
a) Какое значение принимает выражение $\dfrac{\pi k}{6}$ при:
$1)\,k=1;\,\,\,\,\,\, 2)\, k=0;\,\,\,\,\,\, 3)\,k=-3?$
б) Обозначьте данное множество точек на тригонометрической окружности.
Дано множество точек $\dfrac{\pi}{4}+\dfrac{\pi k}{2},\,\, k\in\mathbb{Z}$ .
a) Какое значение принимает выражение $\dfrac{\pi}{4}+\dfrac{\pi k}{2}$ при:
$1)\,k=1;\,\,\,\,\,\, 2)\, k=0;\,\,\,\,\,\, 3)\,k=-3?$
б) Обозначьте данное множество точек на тригонометрической окружности.

Задание 9.2

Выберите верные формы записи для множества точек, представленного на тригонометрической окружности.

$\left[ \begin{array}{ll} \dfrac{\pi}{2}+2\pi n, \\ \\ \pm\dfrac{\pi}{6}+2\pi n,\\ \end{array} \right. n\in\mathbb{Z}.$
$-\dfrac{\pi}{6}+\dfrac{2\pi n}{3},\,\,\,n\in\mathbb{Z}.$
$\left[ \begin{array}{ll} \dfrac{\pi}{2}+\pi n, \\ \\ -\dfrac{\pi}{6}+\pi n,\\ \end{array} \right. n\in\mathbb{Z}.$
$\left[ \begin{array}{ll} \dfrac{\pi}{2}+2\pi n, \\ \\ \dfrac{7\pi}{6}+2\pi n, \\ \\ \dfrac{11\pi}{6}+2\pi n,\\ \end{array} \right. n\in\mathbb{Z}.$
$\dfrac{\pi}{2}-\dfrac{2\pi n}{3},\,\,\,n\in\mathbb{Z}.$
$\left[ \begin{array}{ll} 2\pi n, \\ \\ (-1)^n\cdot\left(-\dfrac{\pi}{6}\right)+\pi n,\\ \end{array} \right. n\in\mathbb{Z}.$

$\blacktriangleright$ Примеры к задаче 9.3:

1. Задать одной или несколькими формулами множество точек, изображённых на тригонометрической окружности. Найти различные способы записи этих множеств, в том числе и объединяющие несколько точек на окружности. Отмеченные точки соответствуют табличным углам.

Решение:

Способ 1. (Задаём формулой каждую точку).

1. Пронумеруем точки на окружности.

2. Точка 1 совпадает с точкой $\dfrac{\pi}{3}$ на окружности. Каждая такая точка получается из предыдущей поворотом на $2\pi$ . Поэтому множество точек 1 задаётся формулой

\dfrac{\pi}{3}++2\pi n,\,\,\,n\in\mathbb{Z.}

3. Перейдём к точке 2. На окружности она совпадает с точкой $-\dfrac{2\pi}{3}$ . Каждая такая точка получается из предыдущей поворотом на $2\pi$ . Поэтому множество точек 2 задаётся формулой

-\dfrac{2\pi}{3}+2\pi n,\,\,\,n\in\mathbb{Z.}

4. Мы задали формулами и точку 1, и точку 2. Объединяя обе формулы в совокупность, запишем ответ:

\left[ \begin{array}{ll} \dfrac{\pi}{3}+2\pi n, \\ \\ -\dfrac{2\pi}{3}+2\pi n,\\ \end{array} \right. n\in\mathbb{Z}.

Способ 2. (Пытаемся записать как можно больше точек в одной серии).

1. Смотря на рисунок, заметим, что при движении по окружности из точки 1 в точку 2 мы поворачиваемся на $\pi$ . Из точки 2 в точку 1 нам тоже надо повернуть по окружности на $\pi$ . Это значит, что каждый раз прибавляя по $\pi$ , мы будем получать либо точку 1, либо точку 2.

2. Точка 1 совпадает с точкой $\dfrac{\pi}{3}$ на окружности. Учитывая сказанное в первом пункте, можем записать ответ:

\dfrac{\pi}{3}+\pi n,\,\,\, n\in\mathbb{Z}.

Замечание! Мы могли стартовать из точки 2, которая совпадает с точкой $-\dfrac{2\pi}{3}$ на окружности. Тогда ответ будет выглядеть, как:

-\dfrac{2\pi}{3}+\pi n,\,\,\, n\in\mathbb{Z}.

Мы могли бы стартовать и из точки 2, если бы задали её как $\dfrac{4\pi}{3}$ . Тогда ответ будет выглядеть, как:

\dfrac{4\pi}{3}+\pi n, \,\,\, n\in\mathbb{Z}.

2. Задать одной или несколькими формулами множество точек, изображённых на тригонометрической окружности. Найти различные способы записи этих множеств, в том числе и объединяющие несколько точек на окружности. Отмеченные точки соответствуют табличным углам.

Решение:

Способ 1. (Задаём своей формулой каждую точку).

1. Пронумеруем точки на окружности.

2. Точка 1 совпадает с точкой 0 на окружности. Каждая такая точка получается из предыдущей поворотом на $2\pi$ . Множество точек 1 задаётся формулой

2\pi n,\,\,\,n\in\mathbb{Z.}

3. Точка 2 совпадает с точкой $\dfrac{\pi}{3}$ на окружности. Каждая такая точка получается из предыдущей поворотом на $2\pi$ . Следовательно, множество точек 2 задаётся формулой

\dfrac{\pi}{3}+2\pi n,\,\,\,n\in\mathbb{Z.}

4. Точка 3 совпадает с точкой $\dfrac{2\pi}{3}$ на окружности. Каждая такая точка получается из предыдущей поворотом на $2\pi$ . Следовательно, множество точек 3 задаётся формулой

\dfrac{2\pi}{3}+2\pi n,\,\,\,n\in\mathbb{Z.}

5. Точка 4 совпадает с точкой $\pi$ на окружности. Каждая такая точка получается из предыдущей поворотом на $2\pi$ . Следовательно, множество точек 4 задаётся формулой

\pi+2\pi n,\,\,\,n\in\mathbb{Z.}

Вместо $\pi$ мы могли бы, например, взять $-\pi.$

6. Точка 5 совпадает с точкой $-\dfrac{2\pi}{3}$ на окружности. Каждая такая точка получается из предыдущей поворотом на $2\pi$ . Следовательно, множество точек 5 задаётся формулой

-\dfrac{2\pi}{3}+2\pi n,\,\,\,n\in\mathbb{Z.}

Вместо $-\dfrac{2\pi}{3}$ мы могли бы, например, взять $\dfrac{4\pi}{3}.$

7. Точка 6 совпадает с точкой $-\dfrac{\pi}{3}$ на окружности. Каждая такая точка получается из предыдущей поворотом на $2\pi$ . Следовательно, множество точек 6 задаётся формулой

-\dfrac{\pi}{3}+2\pi n,\,\,\,n\in\mathbb{Z.}

Вместо $-\dfrac{\pi}{3}$ мы могли бы, например, взять $\dfrac{5\pi}{3}.$

8. Мы задали формулами точки 1, 2, 3, 4, 5 и точку 6. Объединяя все формулы в совокупность, запишем ответ:

\left[ \begin{array}{ll} 2\pi n, \\ \\ \pm \dfrac{\pi}{3}+2\pi n, \\ \\ \pm \dfrac{2\pi}{3}+2\pi n,\\ \\ \pi+2\pi n, \\ \end{array} \right. n\in\mathbb{Z}.

Способ 2. (Пытаемся записать как можно больше точек в одной серии).

1. Заметим, что при движении по окружности из точки 1 в точку 2, из точки 2 в точку 3, из точки 3 в точку 4, из точки 4 в точку 5, из точки 5 в точку 6 и из точки 6 в точку 1 мы каждый раз осуществляем поворот на $\dfrac{\pi}{3}$ (смотри рисунок). Это значит, что, каждый раз прибавляя по $\dfrac{\pi}{3}$ , мы будем получать одну из наших 6 точек.

2. Точка 1 совпадает с точкой $0$ на окружности. Учитывая сказанное в первом пункте, можем записать ответ:

0+\dfrac{\pi n}{3}=\dfrac{\pi n}{3},\,\,\, n\in\mathbb{Z}.

Способ 3. Можно также записать ответ 3 сериями, при помощи поворотов на $\pi n$ пар точек 1 и 4, 2 и 5, 3 и 6 (смотри рисунки).

Объединяя все серии в совокупность, запишем ответ:

\left[ \begin{array}{ll} \pi n, \\ \\ \dfrac{\pi}{3}+\pi n, \\ \\ \dfrac{2\pi}{3}+\pi n,\\ \end{array} \right. n\in\mathbb{Z}.

Задание 9.3

Задать одной или несколькими формулами множество точек, изображённых на тригонометрической окружности. Найти различные способы записи этих множеств, в том числе и объединяющие несколько точек на окружности. Отмеченные точки соответствуют табличным углам.

1.	2.	3.	4.

5.	6.	7.	8.

9.	10.	11.	12.

13.	14.	15.	16.

17.	18.	19.	20.

Формулы сложения

Для решения задач этого раздела Вам может быть полезно следующее видео:

$\Longrightarrow$ Формулы сложения и лайфхак для их запоминания

$\blacktriangleright$ Примеры к заданию 10.1:

Упростите выражение:
$\sin{\left(\dfrac{\pi}{3}+\alpha\right)}-\dfrac{1}{2}\sin{\alpha}.$
Решение:
Распишем $\sin{\left(\dfrac{\pi}{3}+\alpha\right)}$ , используя формулу для синуса суммы, и подставим числовые значения $\cos{\dfrac{\pi}{3}}=\dfrac{1}{2}$ и $\sin{\dfrac{\pi}{3}}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ :
$\sin{\left(\dfrac{\pi}{3}+\alpha\right)}=\sin{\dfrac{\pi}{3}}\cos{\alpha}+\sin{\alpha}\cos{\dfrac{\pi}{3}}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}\cos{\alpha}+\dfrac{1}{2}\sin{\alpha}.$
Подставим полученное выражения для $\sin{\left(\dfrac{\pi}{3}+\alpha\right)}$ в нашу задачу и упростим:
$\sin{\left(\dfrac{\pi}{3}+\alpha\right)}-\dfrac{1}{2}\sin{\alpha}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}\cos{\alpha}+\dfrac{1}{2}\sin{\alpha}-\dfrac{1}{2}\sin{\alpha}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}\cos{\alpha}.$
Упростите выражение:
$\dfrac{\sqrt{3}}{2}\sin{\alpha}+\cos{\left(\alpha-\dfrac{5\pi}{3}\right)}.$
Решение:
Распишем $\cos{\left(\alpha-\dfrac{5\pi}{3}\right)}$ , используя формулу для косинуса разницы, и подставим числовые значения $\cos{\dfrac{5\pi}{3}}=\dfrac{1}{2}$ и $\sin{\dfrac{5\pi}{3}}=-\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ :
$\cos{\left(\alpha-\dfrac{5\pi}{3}\right)}=\cos{\alpha}\cos{\dfrac{5\pi}{3}}+\sin{\alpha}\sin{\dfrac{5\pi}{3}}=\dfrac{1}{2}\cos{\alpha}-\dfrac{\sqrt{3}}{2}\sin{\alpha}.$
Подставим полученное выражения для $\cos{\left(\alpha-\dfrac{5\pi}{3}\right)}$ в нашу задачу и упростим:
$\dfrac{\sqrt{3}}{2}\sin{\alpha}+\cos{\left(\alpha-\dfrac{5\pi}{3}\right)}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}\sin{\alpha}+\dfrac{1}{2}\cos{\alpha}-\dfrac{\sqrt{3}}{2}\sin{\alpha}=\dfrac{1}{2}\cos{\alpha}.$
Упростите выражение:
$\sin{(\alpha-30^\circ)}.$
Решение:
Распишем $\sin{(\alpha-30^\circ)}$ , используя формулу для синуса разности, и подставим числовые значения $\cos{30^\circ}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ и $\sin{30^\circ}=\dfrac{1}{2}$ :
$\sin{(\alpha-30^\circ)}=\sin{\alpha}\cos{30^\circ}-\sin{30^\circ}\cos{\alpha}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}\sin{\alpha}-\dfrac{1}{2}\cos{\alpha}.$
Упростите выражение:
$\dfrac{\sin{(\alpha-\beta)}+2\cos{\alpha}\sin{\beta}}{2\cos{\alpha}\cos{\beta}-\cos{(\alpha-\beta)}}.$
Решение:
Распишем $\sin{(\alpha-\beta)}$ и $\cos{(\alpha-\beta)}$ , воспользовавшись формулами разности:
$\sin{(\alpha-\beta)}=\sin{\alpha}\cos{\beta}-\sin{\beta}\cos{\alpha},$ $\cos{(\alpha-\beta)}=\cos{\alpha}\cos{\beta}+\sin{\alpha}\sin{\beta}.$
Таким образом, получаем:
$\dfrac{\sin{\alpha}\cos{\beta}-\sin{\beta}\cos{\alpha}+2\cos{\alpha}\sin{\beta}}{2\cos{\alpha}\cos{\beta}-\cos{\alpha}\cos{\beta}-\sin{\alpha}\sin{\beta}}=\dfrac{\sin{\alpha}\cos{\beta}+\cos{\alpha}\sin{\beta}}{\cos{\alpha}\cos{\beta}-\sin{\alpha}\sin{\beta}}=\dfrac{\sin{(\alpha+\beta)}}{\cos{(\alpha+\beta)}}=$
$=\tan{(\alpha+\beta)}.$

Ответ:

$\dfrac{\sqrt{3}}{2}\cos{\alpha}$ ;
$\dfrac{1}{2}\cos{\alpha}$ ;
$\dfrac{\sqrt{3}}{2}\sin{\alpha}-\dfrac{1}{2}\cos{\alpha}$ ;
$\tan{(\alpha+\beta)}.$

Задание 10.1

Упростите выражения:

$\sin{(\alpha+\beta)}-\sin{\alpha}\cos{\beta}$ ;
$\sin{\alpha}\sin{\beta}+\cos{(\alpha+\beta)}$ ;
$\cos{\left(\alpha+\dfrac{\pi}{4}\right)}+\dfrac{1}{\sqrt{2}}\sin{\alpha}$ ;
$\cos{(\alpha-\beta)}-\cos{\alpha}\cos{\beta}$ ;
$\sin{(\alpha+\beta)}+\sin{(\alpha-\beta)}$ ;
$\sin{\alpha}\sin{\beta}-\cos{(\alpha-\beta)}$ ;
$\cos{(\alpha-\beta)}+\cos{(\alpha+\beta)}$ ;
$\sin{\left(\dfrac{5\pi}{6}-\alpha\right)}-\dfrac{1}{2}\cos{\alpha}$ ;
$\sqrt{3}\cos{\alpha}-2\cos{\left(\alpha-\dfrac{\pi}{6}\right)}$ ;
$\sqrt{2}\sin{\left(\alpha-\dfrac{\pi}{4}\right)}-\sin{\alpha}$ ;
$\sin{(60^\circ-\beta)}$ ;
$\cos{(\beta-30^\circ)}$ ;
$\cos{(60^\circ-\alpha)}$ ;
$\dfrac{\sin{(\alpha+\beta)}-\cos{\alpha}\sin{\beta}}{\sin{(\alpha-\beta)}+\cos{\alpha}\sin{\beta}}$ ;
$\cos{\left(\dfrac{2\pi}{3}-\alpha\right)}+\cos{\left(\dfrac{\pi}{3}+\alpha\right)}$ ;
$\sin{\left(\dfrac{2\pi}{3}+\alpha\right)}-\sin{\left(\dfrac{\pi}{3}-\alpha\right)}$ ;
$\dfrac{2\cos{\alpha}\sin{\beta}+\sin{(\alpha-\beta)}}{2\cos{\alpha}\cos{\beta}-\cos{(\alpha-\beta)}}$ ;
$\dfrac{\cos{\alpha}\cos{\beta}-\cos{(\alpha+\beta)}}{\sin{\alpha}\sin{\beta}-\cos{(\alpha-\beta)}}$ .

$\blacktriangleright$ Примеры к заданию 10.2

Докажите тождество:
$\cos{2x}\cos{12x}-\sin{2x}\sin{12x}=\cos{14x}.$
Решение:

Свернём левую часть равенства, применив формулу косинуса суммы:
$\cos{2x}\cos{12x}-\sin{2x}\sin{12x}=\cos{(2x+12x)}=\cos{14x}.$
Докажите тождество:
$\cos{(\alpha+\beta)}+\sin{(-\alpha)}\sin{(-\beta)}=\cos{\beta}\cos{\alpha}.$
Решение:

Распишем косинус суммы:
$\cos{(\alpha+\beta)}+\sin{(-\alpha)}\sin{(-\beta)}=\cos{\alpha}\cos{\beta}-\sin{\alpha}\sin{\beta}+\sin{(-\alpha)}\sin{(-\beta)}.$
Заметим, что, если вынести минусы из аргументов синусов, то получим:
$\sin{(-\alpha)}\sin{(-\beta)}=(-\sin{\alpha})(-\sin{\beta})=\sin{\alpha}\sin{\beta}.$
Подставим это в левую часть и докажем тождество:
$\cos{\alpha}\cos{\beta}-\sin{\alpha}\sin{\beta}+\sin{(-\alpha)}\sin{(-\beta)}=\cos{\alpha}\cos{\beta}-\sin{\alpha}\sin{\beta}+\sin{\alpha}\sin{\beta}=\cos{\alpha}\cos{\beta}.$
Докажите тождество:
$\cos{(\alpha-\beta)}+\sin{(-\alpha)}\sin{\beta}=\cos{\alpha}\cos{\beta}.$
Решение:

Распишем косинус разности:
$\cos{(\alpha-\beta)}+\sin{(-\alpha)}\sin{\beta}=\cos{\alpha}\cos{\beta}+\sin{\alpha}\sin{\beta}+\sin{(-\alpha)}\sin{\beta}.$
Заметим, что, если вынести минус из аргумента синуса, то получим:
$\sin{(-\alpha)}\sin{\beta}=-\sin{\alpha}\sin{\beta}.$
Подставим это в левую часть и докажем тождество:
$\cos{\alpha}\cos{\beta}+\sin{\alpha}\sin{\beta}+\sin{(-\alpha)}\sin{\beta}=\cos{\alpha}\cos{\beta}+\sin{\alpha}\sin{\beta}-\sin{\alpha}\sin{\beta}=\cos{\alpha}\cos{\beta}.$
Докажите тождество:
$2\cos{\left(\dfrac{\pi}{3}+\alpha\right)}=\cos{\alpha}-\sqrt{3}\sin{\alpha}.$
Решение:

Распишем в левой части косинус суммы:
$2\cos{\left(\dfrac{\pi}{3}+\alpha\right)}=2\left(\cos{\dfrac{\pi}{3}}\cos{\alpha}-\sin{\dfrac{\pi}{3}}\sin{\alpha}\right).$
Подставим значения для $\cos{\dfrac{\pi}{3}}=\dfrac{1}{2}$ и $\sin{\dfrac{\pi}{3}}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ и раскроем скобки:
$2\left(\cos{\dfrac{\pi}{3}}\cos{\alpha}-\sin{\dfrac{\pi}{3}}\sin{\alpha}\right)=2\cdot\dfrac{1}{2}\cos{\alpha}-2\cdot\dfrac{\sqrt{3}}{2}\sin{\alpha}=\cos{\alpha}-\sqrt{3}\sin{\alpha}.$

Задание 10.2

Докажите тождества:

$\sin{5x}\cos{3x}+\cos{5x}\sin{3x}=\sin{8x}$ ;
$\cos{5x}\cos{3x}+\sin{5x}\sin{3x}=\cos{2x}$ ;
$\sin{7x}\cos{4x}+\cos{7x}\sin{4x}=\sin{11x}$ ;
$\sin 2x\sin{3x}-\cos{2x}\cos{3x}=-\cos{5x}$ ;
$\sin{(\alpha+\beta)}+\sin{(-\alpha)}\cos{(-\beta)}=\sin{\beta}\cos{\alpha}$ ;
$\sin{(30^\circ-\alpha)}-\cos{(60^\circ-\alpha)}=-\sqrt{3}\sin{\alpha}$ ;
$\sin{(\alpha-\beta)}-\cos{\alpha}\sin{(-\beta)}=\sin{\alpha}\cos{\beta}$ ;
$\sin{(30^\circ-\alpha)}+\sin{(30^\circ+\alpha)}=\cos{\alpha}$ ;
$2\sin{\left(\dfrac{\pi}{6}+\alpha\right)}=\cos{\alpha}+\sqrt{3}\sin{\alpha}$ ;
$2\cos{\left(\dfrac{\pi}{6}+\alpha\right)}=\sqrt{3}\cos{\alpha}-\sin{\alpha}$ ;
$\sqrt{2}\sin{\left(\dfrac{\pi}{4}+\alpha\right)}=\cos{\alpha}+\sin{\alpha}$ ;
$\sqrt{2}\sin{\left(\dfrac{\pi}{4}-\alpha\right)}=\cos{\alpha}-\sin{\alpha}$ ;
$2\sin{\left(\dfrac{\pi}{3}+\alpha\right)}=\sqrt{3}\cos{\alpha}+\sin{\alpha}$ ;
$\dfrac{\sqrt{3}}{2}\cos{x}+\dfrac{1}{2}\sin{x}=\sin{\left(\dfrac{\pi}{3}+x\right)}$ ;
$\dfrac{1}{2}\cos{x}-\dfrac{\sqrt{3}}{2}\sin{x}=\cos{\left(\dfrac{\pi}{3}+x\right)}$ ;
$\dfrac{\sqrt{3}}{2}\cos{x}-\dfrac{1}{2}\sin{x}=\sin{\left(\dfrac{\pi}{3}-x\right)}$ ;
$\dfrac{1}{2}\cos{x}+\dfrac{\sqrt{3}}{2}\sin{x}=\cos{\left(\dfrac{\pi}{3}-x\right)}$ .

$\blacktriangleright$ Примеры к заданию 10.3

Вычислите:
$\sin{63^\circ}\cos{27^\circ}+\cos{63^\circ}\sin{27^\circ}.$
Решение:

Преобразуем выражение, использовав формулу синуса суммы:
$\sin{63^\circ}\cos{27^\circ}+\cos{63^\circ}\sin{27^\circ}=\sin{(63^\circ+27^\circ)}=\sin{90^\circ}=1.$
Вычислите:
$\sin{\dfrac{\pi}{5}}\cos{\dfrac{\pi}{20}}+\cos{\dfrac{\pi}{5}}\sin{\dfrac{\pi}{20}}.$
Решение:

Преобразуем выражение, использовав формулу синуса суммы:
$\sin{\dfrac{\pi}{5}}\cos{\dfrac{\pi}{20}}+\cos{\dfrac{\pi}{5}}\sin{\dfrac{\pi}{20}}=\sin{\left(\dfrac{\pi}{5}+\dfrac{\pi}{20}\right)}=\sin{\dfrac{\pi}{4}}=\dfrac{1}{\sqrt{2}}.$
Вычислите:
$\cos{\dfrac{\pi}{12}}\cos{\dfrac{\pi}{4}}-\sin{\dfrac{\pi}{12}}\sin{\dfrac{\pi}{4}}.$
Решение:

Преобразуем выражение, использовав формулу косинуса суммы:
$\cos{\dfrac{\pi}{12}}\cos{\dfrac{\pi}{4}}-\sin{\dfrac{\pi}{12}}\sin{\dfrac{\pi}{4}}=\cos{\left(\dfrac{\pi}{12}+\dfrac{\pi}{4}\right)}=\cos{\dfrac{\pi}{3}}=\dfrac{1}{2}.$

Ответ:

$1$ ;
$\dfrac{1}{\sqrt{2}}$ ;
$\dfrac{1}{2}$ .

Задание 10.3

Вычислите:

$\sin{74^\circ}\cos{16^\circ}+\cos{74^\circ}\sin{16^\circ}$ ;
$\cos{23^\circ}\cos{22^\circ}-\sin{23^\circ}\sin{22^\circ}$ ;
$\sin{89^\circ}\cos{1^\circ}+\cos{89^\circ}\sin{1^\circ}$ ;
$\cos{178^\circ}\cos{2^\circ}-\sin{178^\circ}\sin{2^\circ}$ ;
$\cos{107^\circ}\cos{17^\circ}+\sin{107^\circ}\sin{17^\circ}$ ;
$\cos{36^\circ}\cos{24^\circ}-\sin{36^\circ}\sin{24^\circ}$ ;
$\sin{62^{\circ}}\sin{28^{\circ}}-\cos{28^{\circ}}\cos{62^{\circ}}$ ;
$\sin{51^\circ}\cos{21^\circ}-\cos{51^\circ}\sin{21^\circ}$ ;
$\cos{\dfrac{\pi}{20}}\sin{\dfrac{\pi}{5}}+\cos{\dfrac{\pi}{5}}\sin{\dfrac{\pi}{20}}$ ;
$\cos{\dfrac{2\pi}{7}}\cos{\dfrac{5\pi}{7}}-\sin{\dfrac{2\pi}{7}}\sin{\dfrac{5\pi}{7}}$ ;
$\sin{\dfrac{\pi}{12}}\cos{\dfrac{11\pi}{12}}+\cos{\dfrac{\pi}{12}}\sin{\dfrac{11\pi}{12}}$ ;
$\cos{\dfrac{2\pi}{15}}\cos{\dfrac{\pi}{5}}-\sin{\dfrac{2\pi}{15}}\sin{\dfrac{\pi}{5}}$ ;
$\cos{\dfrac{5\pi}{8}}\cos{\dfrac{3\pi}{8}}+\sin{\dfrac{5\pi}{8}}\sin{\dfrac{3\pi}{8}}$ ;
$\sin{\dfrac{2\pi}{15}}\cos{\dfrac{\pi}{5}}+\cos{\dfrac{2\pi}{15}}\sin{\dfrac{\pi}{5}}$ ;
$\sin{\dfrac{\pi}{12}\sin{\dfrac{\pi}{4}}}-\cos{\dfrac{\pi}{12}}\cos{\dfrac{\pi}{4}}$ ;
$\sin{\dfrac{\pi}{12}}\cos{\dfrac{\pi}{4}}-\cos{\dfrac{\pi}{12}}\sin{\dfrac{\pi}{4}}$ .

$\blacktriangleright$ Примеры к заданию 10.4

Докажите тождество:
$\dfrac{\cos{(\alpha-\beta)}}{\cos{(\alpha+\beta)}}=\dfrac{\cot{\alpha}\cot{\beta}+1}{\cot{\alpha}\cot{\beta}-1}.$
Решение:

Распишем в правой части $\cot{\alpha}=\dfrac{\cos{\alpha}}{\sin{\alpha}}$ и $\cot{\beta}=\dfrac{\cos{\beta}}{\sin{\beta}}$ :
$\dfrac{\cot{\alpha}\cot{\beta}+1}{\cot{\alpha}\cot{\beta}-1}=\left(\dfrac{\cos{\alpha}}{\sin{\alpha}}\cdot\dfrac{\cos{\beta}}{\sin{\beta}}+1\right):\left(\dfrac{\cos{\alpha}}{\sin{\alpha}}\cdot\dfrac{\cos{\beta}}{\sin{\beta}}-1\right)=$ $=\dfrac{\cos{\alpha}\cos{\beta}+\sin{\alpha}\sin{\beta}}{\sin{\alpha}\sin{\beta}}:\dfrac{\cos{\alpha}\cos{\beta}-\sin{\alpha}\sin{\beta}}{\sin{\alpha}\sin{\beta}}=\dfrac{\cos{\alpha}\cos{\beta}+\sin{\alpha}\sin{\beta}}{\cos{\alpha}\cos{\beta}-\sin{\alpha}\sin{\beta}}.$
Пользуясь формулами косинусов разности и суммы, преобразуем числитель и знаменатель:
$\dfrac{\cos{\alpha}\cos{\beta}+\sin{\alpha}\sin{\beta}}{\cos{\alpha}\cos{\beta}-\sin{\alpha}\sin{\beta}}=\dfrac{\cos{(\alpha-\beta)}}{\cos{(\alpha+\beta)}}.$
Докажите тождество:
$\cos{(\alpha-\beta)}\cos{(\alpha+\beta)}=\cos^2{\alpha}-\sin^2{\beta}.$
Решение:
Распишем множители левой части по формулам косинусов разности и суммы аргументов:
$\cos{(\alpha-\beta)}\cos{(\alpha+\beta)}=(\cos{\alpha}\cos{\beta}+\sin{\alpha}\sin{\beta})\cdot (\cos{\alpha}\cos{\beta}-\sin{\alpha}\sin{\beta}).$
Можно заметить, что произведение скобок представляет собой формулу разности квадратов $a^2-b^2=(a+b)(a-b)$ . В нашем случае
$a=\cos{\alpha}\cos{\beta},\,\, b=\sin{\alpha}\sin{\beta}.$
Тогда
$(\cos{\alpha}\cos{\beta}+\sin{\alpha}\sin{\beta})\cdot (\cos{\alpha}\cos{\beta}-\sin{\alpha}\sin{\beta})=\cos^2{\alpha}\cos^2{\beta}-\sin^2{\alpha}\sin^2{\beta}.$
Воспользуемся основным тригонометрическим тождеством:
$\cos^2{\alpha}\cos^2{\beta}-\sin^2{\alpha}\sin^2{\beta}=\cos^2{\alpha}\cos^2{\beta}-(1-\cos^2{\alpha})\sin^2{\beta}=\cos^2{\alpha}\cos^2{\beta}-\sin^2{\beta}+$ $+\cos^2{\alpha}\sin^2{\beta}=\cos^2{\alpha}(\cos^2{\beta}+\sin^2{\beta})-\sin^2{\beta}=\cos^2{\alpha}-\sin^2{\beta}.$
Докажите тождество:
$\tan{\alpha}+\tan{\beta}=\dfrac{\sin{(\alpha+\beta)}}{\cos{\alpha}\cos{\beta}}.$
Решение:
Распишем в левой части $\tan{\alpha}=\dfrac{\sin{\alpha}}{\cos{\alpha}}$ и $\tan{\beta}=\dfrac{\sin{\beta}}{\cos{\beta}}$ и приведём к общему знаменателю:
$\tan{\alpha}+\tan{\beta}=\dfrac{\sin{\alpha}}{\cos{\alpha}}+\dfrac{\sin{\beta}}{\cos{\beta}}=\dfrac{\sin{\alpha}\cos{\beta}+\sin{\beta}\cos{\alpha}}{\cos{\alpha}\cos{\beta}}.$
Заметим, что выражение в числителе есть ничто иное, как синус суммы:
$\dfrac{\sin{\alpha}\cos{\beta}+\sin{\beta}\cos{\alpha}}{\cos{\alpha}\cos{\beta}}=\dfrac{\sin{(\alpha+\beta)}}{\cos{\alpha}\cos{\beta}}.$

Задание 10.4

Докажите тождества:

$\dfrac{\sin(\alpha+\beta)}{\sin{(\alpha-\beta)}}=\dfrac{\tan{\alpha}+\tan{\beta}}{\tan{\alpha}-\tan{\beta}}$ ;
$\sin(\alpha-\beta)\sin{(\alpha+\beta)}=\sin^2{\alpha}-\sin^2{\beta}$ ;
$\dfrac{\sqrt{2}\cos{\alpha}-2\cos{\left(\dfrac{\pi}{4}-\alpha\right)}}{2\sin{\left(\dfrac{\pi}{6}+\alpha\right)}-\sqrt{3}\sin{\alpha}}=-\sqrt{2}\tan{\alpha}$ ;
$\dfrac{\cos{\alpha}-2\cos{\left(\dfrac{\pi}{3}+\alpha\right)}}{2\sin{\left(\alpha-\dfrac{\pi}{6}\right)}-\sqrt{3}\sin{\alpha}}=-\sqrt{3}\tan{\alpha}$ ;
$\tan{\alpha}-\tan{\beta}=\dfrac{\sin{(\alpha-\beta)}}{\cos{\alpha}\cos{\beta}}$ ;
$\cot{\alpha}+\cot{\beta}=\dfrac{\sin{(\alpha+\beta)}}{\sin{\alpha}\sin{\beta}}$ ;
$\cot{\alpha}-\cot{\beta}=\dfrac{\sin{(\alpha-\beta)}}{\sin{\alpha}\sin{\beta}}$ ;
$\tan{\alpha}+\cot{\beta}=\dfrac{\cos{(\alpha-\beta)}}{\cos{\alpha}\sin{\beta}}$ ;
$\cot{\alpha}-\tan{\beta}=\dfrac{\cos{(\alpha+\beta)}}{\sin{\alpha}\cos{\beta}}$ .

$\blacktriangleright$ Пример к заданию 10.5:

Зная, что $\sin{t}=-\dfrac{4}{5}$ , $-\dfrac{\pi}{2}<t<0$ , вычислите:

$\sin{\left(\dfrac{\pi}{3}+t\right)}$ ;
$\cos{\left(\dfrac{\pi}{2}+t\right)}$ ;
$\sin{\left(\dfrac{\pi}{2}+t\right)}$ ;
$\cos{\left(\dfrac{\pi}{3}+t\right)}$ .

Решение:

Нам известно значение $\sin{t}=-\dfrac{4}{5}$ , а также то, что $t\in\left[-\dfrac{\pi}{2};0 \right]$ .

Найдём $\cos{t}$ . По основному тригонометрическому тождеству:

\sin^2{t}+\cos^2{t}=1,

\dfrac{16}{25}+\cos^2{t}=1,

\cos^2{t}=\dfrac{9}{25}.

Так как $-\dfrac{\pi}{2}<t<0$ , то $\cos{t}>0$ . Отсюда:

\cos{t}=\dfrac{3}{5}.

1. Распишем наше выражение через формулу синуса суммы:

\sin{\left(\dfrac{\pi}{3}+t\right)}=\sin{\dfrac{\pi}{3}}\cos{t}+\sin{t}\cos{\dfrac{\pi}{3}}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}\cdot\dfrac{3}{5}-\dfrac{4}{5}\cdot\dfrac{1}{2}=\dfrac{3\sqrt{3}-4}{10}.

2. Распишем наше выражение через формулы косинуса суммы или формулы приведения:

\cos{\left(\dfrac{\pi}{2}+t\right)}=\cos{\dfrac{\pi}{2}}\cos{t}-\sin{\dfrac{\pi}{2}}\sin{t}=0-1\cdot\left(-\dfrac{4}{5}\right)=\dfrac{4}{5}.

3. Распишем наше выражение через формулы синуса суммы или формулы приведения:

\sin{\left(\dfrac{\pi}{2}+t\right)}=\sin{\dfrac{\pi}{2}}\cos{t}+\sin{t}\cos{\dfrac{\pi}{2}}=1\cdot\dfrac{3}{5}-0=\dfrac{3}{5}.

4. Распишем наше выражение через формулу косинуса суммы:

\cos{\left(\dfrac{\pi}{3}+t\right)}=\cos{\dfrac{\pi}{3}}\cos{t}-\sin{\dfrac{\pi}{3}}\sin{t}=\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{3}{5}-\dfrac{\sqrt{3}}{2}\cdot\left(-\dfrac{4}{5}\right)=\dfrac{3+4\sqrt{3}}{10}.

Ответ:

$\dfrac{3\sqrt{3}-4}{10}$ ;
$\dfrac{4}{5}$ ;
$\dfrac{3}{5}$ ;
$\dfrac{3+4\sqrt{3}}{10}$ .

Задание 10.5

Зная, что $\sin{t}=\dfrac{3}{5}$ , $0<t<\dfrac{\pi}{2}$ , вычислите:

$\sin{\left(\dfrac{\pi}{3}+t\right)}$ ;
$\cos{\left(\dfrac{\pi}{2}+t\right)}$ ;
$\sin{\left(\dfrac{\pi}{2}+t\right)}$ ;
$\cos{\left(\dfrac{\pi}{3}+t\right)}$ .

Задание 10.6

Зная, что $\cos{t}=-\dfrac{5}{13}$ , $\dfrac{\pi}{2}<t<\pi$ , вычислите:

$\sin{\left(t+\dfrac{\pi}{6}\right)}$ ;
$\cos{\left(t+\dfrac{3\pi}{2}\right)}$ ;
$\cos{\left(t+\dfrac{\pi}{6}\right)}$ ;
$\sin{\left(t+\dfrac{3\pi}{2}\right)}$ .

Задание 10.7

Зная, что $\sin{t}=\dfrac{5}{12}$ , $\dfrac{\pi}{2}<t<\pi$ , вычислите:

$\sin{\left(\dfrac{\pi}{3}-t\right)}$ ;
$\cos{\left(t-\dfrac{\pi}{2}\right)}$ .

Задание 10.8

Зная, что $\sin{t}=-\dfrac{3}{5}$ , $\dfrac{3\pi}{2}<t<2\pi$ , вычислите:

$\sin{\left(t-\dfrac{\pi}{6}\right)}$ ;
$\cos{\left(t-\dfrac{3\pi}{2}\right)}$ .

$\blacktriangleright$ Пример к заданию 10.9:

Зная, что $\cos{\alpha}=\dfrac{3}{5}$ , $\cos{\beta}=\dfrac{1}{2}$ , $-\dfrac{\pi}{2}<\alpha<0$ , $0<\beta<\dfrac{\pi}{2}$ , найдите значение выражения:

$\sin{\left(\alpha+\beta\right)}$ ;
$\cos{\left(\alpha+\beta\right)}$ .

Решение:

Найдём сначала $\sin{\alpha}$ и $\sin{\beta}$ :

Так как $-\dfrac{\pi}{2}<\alpha<0$ , то $\sin{\alpha}<0$ . Тогда по основному тригонометрическому тождеству:

\sin^2{\alpha}+\cos^2{\alpha}=1,

\sin^2{\alpha}+\dfrac{9}{25}=1,

\sin^2{\alpha}=\dfrac{16}{25},

\sin{\alpha}=-\dfrac{4}{5}.

Так как $0<\beta<\dfrac{\pi}{2}$ , то $\sin{\beta}>0$ . Тогда по основному тригонометрическому тождеству:

\sin^2{\beta}+\cos^2{\beta}=1,

\sin^2{\beta}+\dfrac{1}{4}=1,

\sin^2{\beta}=\dfrac{3}{4},

\sin{\beta}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}.

1. Распишем наше выражение через формулу синуса суммы:

\sin{(\alpha+\beta)}=\sin{\alpha}\cos{\beta}+\sin{\beta}\cos{\alpha}=-\dfrac{4}{5}\cdot\dfrac{1}{2}+\dfrac{\sqrt{3}}{2}\cdot\dfrac{3}{5}=\dfrac{-4+3\sqrt{3}}{10}.

2. Распишем наше выражение через формулу косинуса суммы:

\cos{(\alpha+\beta)}=\cos{\alpha}\cos{\beta}-\sin{\alpha}\sin{\beta}=\dfrac{3}{5}\cdot\dfrac{1}{2}-\left(-\dfrac{4}{5}\right)\cdot\dfrac{\sqrt{3}}{2}=\dfrac{3+4\sqrt{3}}{10}.

Задание 10.9

Зная, что $\cos{\alpha}=-\dfrac{15}{17}$ , $\cos{\beta}=-\dfrac{4}{5}$ , $\dfrac{\pi}{2}<\alpha<\pi$ , $\dfrac{\pi}{2}<\beta<\pi$ , найдите значения выражений:

$\sin{\left(\alpha+\beta\right)}$ ;
$\cos{\left(\alpha+\beta\right)}$ .

Задание 10.10

Зная, что $\sin{\alpha}=\dfrac{4}{5}$ , $\cos{\beta}=-\dfrac{15}{17}$ , $\dfrac{\pi}{2}<\alpha<\pi$ , $\dfrac{\pi}{2}<\beta<\pi$ , найдите значения выражений:

$\sin{\left(\alpha+\beta\right)}$ ;
$\cos{\left(\alpha+\beta\right)}$ .

Задание 10.11

Зная, что $\sin{\alpha}=\dfrac{4}{5}$ , $\cos{\beta}=-\dfrac{15}{17}$ , $\dfrac{\pi}{2}<\alpha<\pi$ , $\dfrac{\pi}{2}<\beta<\pi$ , найдите значения выражений:

$\sin{\left(\alpha-\beta\right)}$ ;
$\cos{\left(\alpha-\beta\right)}$ .

Задание 10.12

Зная, что $\sin{\alpha}=\dfrac{9}{41}$ , $\sin{\beta}=-\dfrac{40}{41}$ , $0<\alpha<\dfrac{\pi}{2}$ , $\dfrac{3\pi}{2}<\beta<2\pi$ , найдите значения выражений:

$\sin{\left(\alpha+\beta\right)}$ ;
$\cos{\left(\alpha+\beta\right)}$ .

Задание 10.13

Зная, что $\sin{\beta}=-\dfrac{12}{13}$ , $\cos{\alpha}=-0,8$ , $\pi<\beta<\dfrac{3\pi}{2}$ , $\dfrac{\pi}{2}<\alpha<\pi$ , найдите значения выражений:

$\sin{\left(\alpha-\beta\right)}$ ;
$\cos{\left(\alpha-\beta\right)}$ .

$\blacktriangleright$ Примеры к заданию 10.14:

Вычислить $\sin{105^\circ}$ .

Решение:

Представим $105^\circ$ как сумму $45^\circ+60^\circ$ , тогда мы можем расписать синус суммы:
$\sin{(45^\circ+60^\circ)}=\sin{45^\circ}\cos{60^\circ}+\cos{45^\circ}\sin{60^\circ}.$
Подставим значения синуса и косинуса $45^\circ$ и $60^\circ$ , получим:
$\sin{(45^\circ+60^\circ)}=\sin{45^\circ}\cos{60^\circ}+\cos{45^\circ}\sin{60^\circ}=\dfrac{1}{\sqrt{2}}\cdot\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{\sqrt{2}}\cdot\dfrac{\sqrt{3}}{2}=\dfrac{1+\sqrt{3}}{2\sqrt{2}}.$
Вычислить $\cos{135^\circ}$ .
Решение:

Представим $135^\circ$ как сумму $45^\circ+90^\circ$ , тогда мы можем расписать косинус суммы:
$\cos{(45^\circ+90^\circ)}=\cos{45^\circ}\cos{90^\circ}-\sin{45^\circ}\sin{90^\circ}.$
Подставим значения синуса и косинуса $45^\circ$ и $90^\circ$ , получим:
$\cos{(45^\circ+90^\circ)}=\cos{45^\circ}\cos{90^\circ}-\sin{45^\circ}\sin{90^\circ}=\dfrac{1}{\sqrt{2}}\cdot0-\dfrac{1}{\sqrt{2}}\cdot1=-\dfrac{1}{\sqrt{2}}.$
Или мы можем воспользоваться формулой приведения:
$\cos{135^\circ}=\cos{(45^\circ+90^\circ)}=-\sin{45^\circ}=-\dfrac{1}{\sqrt{2}}.$

Ответ:

$\dfrac{1+\sqrt{3}}{2\sqrt{2}}$ ;
$-\dfrac{1}{\sqrt{2}}$ .

Задание 10.14

Вычислить:

$\sin{75^\circ}$ ;
$\cos{75^\circ}$ ;
$\sin{105^\circ}$ ;
$\cos{105^\circ}$ .

Задание 10.15

Вычислить:

$\sin{15^\circ}$ ;
$\cos{15^\circ}$ ;
$\sin{15^\circ}\cos{15^\circ}$ ;
$\cos^2{15^\circ}-\sin^2{15^\circ}$ .

$\blacktriangleright$ Пример к заданию 10.16:

Вычислить $\sin{67^\circ}\cos{37^\circ}-\sin{23^\circ}\cos{53^\circ}$ .

Решение:

В выражении много различных углов, следовательно, для решения этой задачи нам стоит поискать связи между ними.

Заметим, что:

37^\circ=90^\circ-53^\circ,

23^\circ=90^\circ-67^\circ.

Тогда, используя формулы приведения

\cos{(90^\circ-\alpha)}=\sin{\alpha}

и

\sin{(90^\circ-\alpha)}=\cos{\alpha},

получаем:

\cos{37^\circ}=\cos{(90^\circ-53^\circ)}=\sin{53^\circ},

\sin{23^\circ}=\sin{(90^\circ-67^\circ)}=\cos{67^\circ}.

Теперь наше выражение можно переписать в следующем виде:

\sin{67^\circ}\cos{37^\circ}-\sin{23^\circ}\cos{53^\circ}=\sin{67^\circ}\sin{53^\circ}-\cos{67^\circ}\cos{53^\circ}=-(\cos{67^\circ}\cos{53^\circ}-\sin{67^\circ}\sin{53^\circ}).

Применяя к выражению в скобках формулу косинуса суммы, получаем:

-(\cos{67^\circ}\cos{53^\circ}-\sin{67^\circ}\sin{53^\circ})=-\cos{(67^\circ+53^\circ)}=-\cos{120^\circ}=-\left(-\dfrac{1}{2}\right)=\dfrac{1}{2}.

Задание 10.16

Вычислить:

$\sin{77^\circ}\cos{17^\circ}-\sin{13^\circ}\cos{73^\circ}$ ;
$\cos{125^\circ}\cos{5^\circ}+\sin{55^\circ}\cos{85^\circ}$ .

$\blacktriangleright$ Пример к заданию 10.17

Вычислить:

\dfrac{\cos{173^\circ}\cos{63^\circ}+\sin{173^\circ}\cos{27^\circ}}{\sin{203^\circ}\cos{3^\circ}+\cos{203^\circ}\sin{183^\circ}}.

Заметим, что:

63^\circ=90^\circ-27^\circ,

183^\circ=180^\circ+3^\circ.

Тогда, используя формулы приведения

\cos{(90^\circ-\alpha)}=\sin{\alpha}

и

\sin{(180^\circ+\alpha)}=-\sin{\alpha},

получаем:

\cos{63^\circ}=\cos{(90^\circ-27^\circ)}=\sin{27^\circ},

\sin{183^\circ}=\sin{(180^\circ+3^\circ)}=-\sin{3^\circ}.

Теперь наше выражение можно переписать в следующем виде:

\dfrac{\cos{173^\circ}\cos{63^\circ}+\sin{173^\circ}\cos{27^\circ}}{\sin{203^\circ}\cos{3^\circ}+\cos{203^\circ}\sin{183^\circ}}=\dfrac{\cos{173^\circ}\sin{27^\circ}+\sin{173^\circ}\cos{27^\circ}}{\sin{203^\circ}\cos{3^\circ}-\cos{203^\circ}\sin{3^\circ}}.

Применяя к числителю формулу синуса суммы, а к знаменателю формулу синуса разности мы получаем:

\dfrac{\cos{173^\circ}\sin{27^\circ}+\sin{173^\circ}\cos{27^\circ}}{\sin{203^\circ}\cos{3^\circ}-\cos{203^\circ}\sin{3^\circ}}=\dfrac{\sin{(173^\circ+27^\circ)}}{\sin{(203^\circ-3^\circ)}}=\dfrac{\sin{200^\circ}}{\sin{200^\circ}}=1.

Задание 10.17

Вычислить:

$\dfrac{\cos{105^\circ}\cos{5^\circ}+\sin{105^\circ}\cos{85^\circ}}{\sin{185^\circ}\cos{5^\circ}-\cos{185^\circ}\sin{185^\circ}}$ ;
$\dfrac{\sin{75^\circ}\cos{5^\circ}-\cos{75^\circ}\cos{85^\circ}}{\cos{375^\circ}\cos{5^\circ}-\sin{15^\circ}\sin{365^\circ}}$ .

Задание 10.18

Представив $2x$ в виде $x+x$ , докажите тождество:

$\sin{2x}=2\sin{x}\cos{x}$ ;
$\cos{2x}=\cos^2{x}-\sin^2{x}$ .

Формулы двойного угла

Для решения задач этого раздела Вам может быть полезно следующее видео:

$\Longrightarrow$ Формулы синуса и косинуса двойного угла

$\blacktriangleright$ Пример к заданию 11.1:

Вычислите $2\sin{\dfrac{\pi}{8}} \cos{\dfrac{\pi}{8}}.$
Решение:
По формуле синуса двойного угла:
$2\sin{\dfrac{\pi}{8}} \cos{\dfrac{\pi}{8}}=\sin{\left( 2\cdot \dfrac{\pi}{8} \right )}=\sin{\dfrac{\pi}{4}}=\dfrac{1}{\sqrt{2}}.$
Вычислите $\sin{\dfrac{\pi}{12}}\cos{\dfrac{\pi}{12}}+\dfrac{3}{4}.$
Решение:
Для начала попробуем понять, что нам делать с выражением $\sin{\dfrac{\pi}{12}}\cos{\dfrac{\pi}{12}}$ . Анализируя решение предыдущего примера, мы понимаем, что
$2\sin{\dfrac{\pi}{12}} \cos{\dfrac{\pi}{12}}=\sin{\left( 2\cdot \dfrac{\pi}{12} \right )}=\sin{\dfrac{\pi}{6}}=\dfrac{1}{2}.$
Тогда
$\sin{\dfrac{\pi}{12}}\cos{\dfrac{\pi}{12}}=\dfrac{2\sin{\frac{\pi}{12}}\cos{\frac{\pi}{12}}}{2}=\dfrac{\sin{\left(2\cdot \frac{\pi}{12}\right)}}{2}=\dfrac{\sin{\frac{\pi}{6}}}{2}=\dfrac{\frac{1}{2}}{2}=\dfrac{1}{4}.$ $\sin{\dfrac{\pi}{12}}\cos{\dfrac{\pi}{12}}+\dfrac{3}{4}=\dfrac{2\sin{\dfrac{\pi}{12}}\cos{\dfrac{\pi}{12}}}{2}+\dfrac{3}{4}=\dfrac{\sin{\left( 2\cdot\dfrac{\pi}{6}\right)}}{2}+\dfrac{3}{4}=\dfrac{\sin{\dfrac{\pi}{6}}}{2}+\dfrac{3}{4}=\dfrac{\dfrac{1}{2}}{2}=\dfrac{1}{4}+\dfrac{3}{4}=1.$
Вычислите $\left(\cos{\dfrac{\pi}{8}}-\sin{\dfrac{\pi}{8}}\right)^2.$
Решение:
Раскроем скобки по формуле квадрата разности $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$ и применим формулы синуса двойного угла $\sin{2\alpha}=2\sin{\alpha}\cos{\alpha}$ и основное тригонометрическое тождество $\sin^2{\alpha}+\cos^2{\alpha}=1$ :
$\left(\cos{\dfrac{\pi}{8}}-\sin{\dfrac{\pi}{8}}\right)^2=\cos^2{\dfrac{\pi}{8}}-2\sin{\dfrac{\pi}{8}}\cos{\dfrac{\pi}{8}}+\sin^2{\dfrac{\pi}{8}}=\cos^2{\dfrac{\pi}{8}}+\sin^2{\dfrac{\pi}{8}}-2\sin{\dfrac{\pi}{8}}\cos{\dfrac{\pi}{8}}=$ $=1-\sin{\left( 2\cdot \dfrac{\pi}{8} \right )}=1-\sin{\dfrac{\pi}{4}}=1-\dfrac{1}{\sqrt{2}}.$
Вычислите $\dfrac{2\tan{\dfrac{\pi}{8}}}{1-\tan^2{\dfrac{\pi}{8}}}.$
Решение:
По формуле тангенса двойного угла:
$\dfrac{2\tan{\dfrac{\pi}{8}}}{1-\tan^2{\dfrac{\pi}{8}}}=\tan{\left( 2\cdot \dfrac{\pi}{8} \right )}=\tan{\dfrac{\pi}{4}}=1.$

Задание 11.1

Вычислите:

$2\sin{15^\circ}\cos{15^\circ};$
$\cos^2{15^\circ}-\sin^2{15^\circ};$
$2\sin{\dfrac{\pi}{8}}\cos{\dfrac{\pi}{8}};$
$\cos^2{\dfrac{\pi}{8}}-\sin^2{\dfrac{\pi}{8}};$
$2\cos^2{75^\circ}-1;$
$1-2\sin^2{\dfrac{7\pi}{12}};$
$1-2\cos^2{\dfrac{5\pi}{8}};$
$2\sin^2{165^\circ}-1;$
$4\sin{75^\circ}\cos{75^\circ};$
$(\cos{75^\circ}-\sin{75^\circ})^2;$
$(\cos{15^\circ}+\sin{15^\circ})^2;$
$\Big(\cos{\dfrac{\pi}{12}}+\sin{\dfrac{\pi}{12}}\Big)^2;$
$\Big(\sin{\dfrac{7\pi}{8}}+\cos{\dfrac{7\pi}{8}}\Big)^2;$
$\dfrac{\sqrt{2}}{2}-\Big(\cos{\dfrac{\pi}{8}}+\sin{\dfrac{\pi}{8}}\Big)^2;$
$\sin{\dfrac{\pi}{8}}\cos{\dfrac{\pi}{8}}+\dfrac{1}{4};$
$\dfrac{1}{2}\sin{105^\circ}\cos{105^\circ};$
$\dfrac{2\tan{15^\circ}}{1-\tan^2{15^\circ}};$
$\dfrac{\tan{\dfrac{\pi}{8}}}{1-\tan^2{\dfrac{\pi}{8}}};$
$\dfrac{\tan{75^\circ}}{1-\tan^2{75^\circ}};$
$\dfrac{2\tan{\dfrac{\pi}{6}}}{\tan^2{\dfrac{\pi}{6}}-1}.$

$\blacktriangleright$ Пример к заданию 11.2:

Упростите выражение $\dfrac{1+\cos{2x}}{\cos{x}}$ .
Решение:

Распишем в числителе косинус двойного угла по формуле $\cos{2\gamma}=2\cos^2\gamma-1$ :
$\dfrac{1+\cos{2x}}{\cos{x}}=\dfrac{1+2\cos^2x-1}{\cos{x}}=\dfrac{2\cos^2x}{\cos{x}}=2\cos{x}.$
Упростите выражение $\dfrac{\sin{100^\circ}}{2\cos{50^\circ}}$ .
Решение:

Распишем в числителе синус двойного угла по формуле $\sin{2\gamma}=2\sin{\gamma}\cos{\gamma}$ :
\[\dfrac{\sin{100^\circ}}{2\cos{50^\circ}}=\dfrac{2\sin{50^\circ}\cos{50^\circ}}{2\cos{50^\circ}}=\sin{50^\circ}.\]
Ответ:
1. — $2\cos{x}$ ;
2. — $\sin{50^\circ}$ .

Задание 11.2

Упростите выражения:

$\dfrac{\sin{2x}}{\cos{x}};$
$\dfrac{2\sin^2{x}}{\sin{2x}};$
$\dfrac{1-\cos{2x}}{\sin{x}};$
$\cos^2{x}-\cos{2x};$
$\sin{2x}+(\sin{x}-\cos{x})^2;$
$\sin{2x}\cot{x}-1;$
$\dfrac{\sin{2x}}{\cos{x}}-\sin{x};$
$(\tan{x}+\cot{x})\sin{2x};$
$\dfrac{\cos{2x}-\cos^2{x}}{1-\cos^2{x}};$
$\dfrac{\cos{2x}-\sin{2x}}{\cos{4x}};$
$\dfrac{\cos{2x}}{\cos{x}-\sin{x}}-\sin{x};$
$\dfrac{\sin{40^\circ}}{\sin{20^\circ}};$
$\dfrac{\cos{36^\circ}+\sin^2{18^\circ}}{\cos{18^\circ}};$
$\dfrac{\cos{40^\circ+\sin^2{20^\circ}}}{\cos^2{20^\circ}};$
$\dfrac{\cos{80^\circ}}{\cos{40^\circ}+\sin{40^\circ}};$
$\dfrac{\cos{10^\circ}}{\cos{5^\circ}+\sin{5^\circ}}+\sin{5^\circ};$
$\dfrac{\sin{6x}}{\cos^2{3x}};$
$\dfrac{\sin{4x}}{\cos{2x}};$
$(\cos{3x}+\sin{3x})(\cos{3x}-\sin{3x});$
$\dfrac{\sin{x}}{2\cos^2{\dfrac{x}{2}}};$
$\dfrac{\cos{x}}{\cos{\dfrac{x}{2}}+\sin{\dfrac{x}{2}}};$
$2\sin{\dfrac{\pi+x}{2}}\cos{\dfrac{\pi+x}{2}};$
$\cos^2{\dfrac{\pi+x}{4}}-\sin^2{\dfrac{\pi+x}{4}};$
$\dfrac{2}{\tan{x}+\cot{x}};$
$\dfrac{2}{\tan{x}-\cot{x}}.$

$\blacktriangleright$ Пример к заданию 11.3:

Докажите тождество $\sin{2x}\cos{2x}=\dfrac{1}{2}\sin{4x}$ .
Решение:

Распишем $\sin{4x}$ по формуле синуса двойного угла:
$\dfrac{1}{2}\sin{4x}=\dfrac{1}{2}\cdot2\sin{2x}\cos{2x}=\sin{2x}\cos{2x}.$
Докажите тождество $\cos^4{x}-\sin^4{x}=\cos{2x}$ .
Решение:

Распишем в левой части $\cos^4{x}-\sin^4{x}$ , как разность квадратов и применим формулу косинуса двойного угла и основное тригонометрическое тождество:
$\cos^4{x}-\sin^4{x}=(\cos^2{x}+\sin^2{x})(\cos^2{x}-\sin^2{x})=1\cdot\cos{2x}=\cos{2x}.$
Докажите тождество $\sin{x}\cos^3{x}-\cos{x}\sin^3{x}=\dfrac{1}{4}\sin{4x}.$
Решение:

Домножим каждую из частей тождества на $4$ :
$4\sin{x}\cos^3{x}-4\cos{x}\sin^3{x}=\sin{4x}$
Вынесем общий множитель в левой части и воспользуемся формулой синуса и косинуса двойного угла:
$4\sin{x}\cos^3{x}-4\cos{x}\sin^3{x}=2\cdot2\sin{x}\cos{x}(\cos^2{x}-\sin^2{x})=2\sin{2x}\cos{2x}=\sin{4x}.$
Докажите тождество $\cos{(2\alpha+2\beta)}=\cos^2{(\alpha+\beta)}-\sin^2{(\alpha+\beta)}.$
Решение:

Сделаем замену $\alpha+\beta=x$ , получим формулу косинуса двойного угла:
$\cos{2x}=\cos^2{x}-\sin^2{x}.$
Тогда, очевидно, что тождество верно.

Задание 11.3

Докажите тождества:

— $(\sin{x}-\cos{x})^2=1-\sin{2x};$
— $2\cos^2{x}=1+\cos{2x};$
— $(\sin{x}+\cos{x})^2=1+\sin{2x};$
— $2\sin^2{x}=1-\cos{2x};$
— $\sin{\dfrac{x}{2}}\cos{\dfrac{x}{2}}=\dfrac{1}{2}\sin{x};$
— $\cos^2{\dfrac{x}{4}}-\sin^2{\dfrac{x}{4}}=\cos{\dfrac{x}{2}};$
— $\cos^2{\dfrac{x}{2}}-\sin^2{\dfrac{x}{2}}=\cos{x};$
— $\cos^4{x}+\sin^4{x}=1-\dfrac{1}{2}\sin^2{2x};$
— $\cot{x}-\sin{2x}=\cot{x}\cos{2x};$
— $\sin{2x}-\tan{x}=\cos{2x}\tan{x};$
— $(1+\cos{2x})\tan{x}=\sin{2x};$
— $\dfrac{\cos{2x}}{\sin{x}\cos{x}+\sin^2{x}}=\cot{x}-1;$
— $\Big(\dfrac{\cos{x}}{1+\sin{x}}+\dfrac{\cos{x}}{1-\sin{x}}\Big)\sin{2x}=4\sin{x};$
— $\dfrac{1-\cos{x}+\cos{2x}}{\sin{2x}-\sin{x}}=\cot{x};$
— $\cot{\dfrac{x}{2}}-\tan{\dfrac{x}{2}}=2\cot{x};$
— $(\cot{x}-\tan{x})\sin{2x}=2\cos{2x};$
— $\dfrac{\sin{2x}-2\cos{x}}{\sin{x}-\sin^2{x}}=-2\cot{x};$
— $\Big(\dfrac{\sin{x}}{1+\cos{x}}+\dfrac{\sin{x}}{1-\cos{x}}\Big)\sin{2x}=4\cos{x};$
— $\sin{(2\alpha+2\beta)}=2\sin{(\alpha+\beta)}\cos{(\alpha+\beta)};$
— $\dfrac{\sin{3x}}{\sin{x}}-\dfrac{\cos{3x}}{\cos{x}}=2;$
— $\sin^6{x}+\cos^6{x}=1-\dfrac{3}{4}\sin^2{2x}.$

$\blacktriangleright$ Пример к заданию 11.4:

Известно, что $\sin{x}=-\dfrac{4}{5}$ , $180^\circ<x<270^\circ$ Найдите:

$\sin{2x};$
$\cos{2x}.$

Решение:

Найдём сначала $\cos{x}$ , при $180^\circ<x<270^\circ$ оказывается, что $\cos{x}<0$ . Тогда по основному тригонометрическому тождеству:

\sin^2{x}+\cos^2{x}=1,

\dfrac{16}{25}+\cos^2{x}=1,

\cos^2{x}=\dfrac{9}{25},

\cos{x}=-\dfrac{3}{5}.

1. Распишем наше выражение по формуле синуса двойного угла:

\sin{2x}=2\sin{x}\cos{x}=2\cdot\left(-\dfrac{4}{5}\right)\cdot \left(-\dfrac{3}{5}\right)=\dfrac{2\cdot4\cdot3}{5\cdot5}=\dfrac{24}{25}.

2. Распишем наше выражение по одной из трёх формул косинуса двойного угла:

\cos{2x}=\cos^2{x}-\sin^2{x}=\dfrac{9}{25}-\dfrac{16}{25}=-\dfrac{7}{25}.

Ответ:

$\dfrac{24}{25}$ ;
$-\dfrac{7}{25}$ .

Задание 11.4

1. Известно, что $\sin{x}=\dfrac{4}{5}$ , $0^\circ<x<90^\circ$ . Найдите:

$\sin{2x};$
$\cos{2x}.$

2. Известно, что $\tan{x}=-\dfrac{5}{12}$ , $\dfrac{3\pi}{2}<x<2\pi$ . Найдите:

$\sin{2x};$
$\cos{2x}.$

3. Известно, что $\sin{x}=\dfrac{5}{13}$ , $\dfrac{\pi}{2}<x<\pi$ . Найдите:

$\sin{2x};$
$\cos{2x};$
$\tan{2x};$
$\cot{2x}.$

4. Известно, что $\cos{x}=0,8$ , $0<x<\dfrac{\pi}{2}$ . Найдите:

$\sin{2x};$
$\cos{2x};$
$\tan{2x};$
$\cot{2x}.$

$\blacktriangleright$ Примеры к заданию 11.5:

Вычислить $\sin{\dfrac{\pi}{12}}.$
Решение:
Запишем формулу косинуса двойного угла через синус $\cos{2x}=1-2\sin^2{x}$ , подставляя $\dfrac{\pi}{12};$ вместо $x$ получим соотношение, из которого мы найдём $\sin{\dfrac{\pi}{12}}$ :
$\cos{2x}=1-2\sin^2{x},$ $\cos{\left(2\cdot\dfrac{\pi}{12}\right)}=1-2\sin^2{\dfrac{\pi}{12}},$ $\sin^2{\dfrac{\pi}{12}}=\dfrac{1-\cos{\left(2\cdot\dfrac{\pi}{12}\right)}}{2}.$ $\sin^2{\dfrac{\pi}{12}}=\dfrac{1-\cos{\left(2\cdot\dfrac{\pi}{12}\right)}}{2}=\dfrac{1-\cos{\dfrac{\pi}{6}}}{2}=\dfrac{1-\dfrac{\sqrt{3}}{2}}{2}=\dfrac{2-\sqrt{3}}{4}.$
Заметим, что $\dfrac{\pi}{12}\in\left(0;\dfrac{\pi}{2}\right)$ , значит, $\sin{\dfrac{\pi}{12}}>0$ .
$\sin{\dfrac{\pi}{12}}=\dfrac{\sqrt{2-\sqrt{3}}}{2}.$
Вычислить $\cos{\dfrac{\pi}{12}}.$
Решение:
Запишем формулу косинуса двойного угла через косинус $\cos{2x}=\cos^2{x}-1$ , подставляя $\dfrac{\pi}{12};$ вместо $x$ получим соотношение, из которого мы найдём $\cos{\dfrac{\pi}{12}}$ :
$\cos{2x}=2\cos^2{x}-1,$ $\cos{\left(2\cdot\dfrac{\pi}{12}\right)}=2\cos^2{\dfrac{\pi}{12}}-1,$ $\cos^2{\dfrac{\pi}{12}}=\dfrac{\cos{\left(2\cdot\dfrac{\pi}{12}\right)}+1}{2}.$ $\cos^2{\dfrac{\pi}{12}}=\dfrac{\cos{\left(2\cdot\dfrac{\pi}{12}\right)}+1}{2}=\dfrac{\cos{\dfrac{\pi}{6}}+1}{2}=\dfrac{\dfrac{\sqrt{3}}{2}+1}{2}=\dfrac{\sqrt{3}+2}{4}.$
Заметим, что $\dfrac{\pi}{12}\in\left(0;\dfrac{\pi}{2}\right)$ , значит, $\cos{\dfrac{\pi}{12}}>0$ .
$\cos{\dfrac{\pi}{12}}=\dfrac{\sqrt{\sqrt{3}+2}}{2}.$

Ответ:

— $\dfrac{\sqrt{2-\sqrt{3}}}{2}$ ;
— $\dfrac{\sqrt{\sqrt{3}+2}}{2}$ .

Задание 11.5

Вычислить:

$\sin{\dfrac{\pi}{8}};$
$\cos{\dfrac{\pi}{8}}.$

Формулы понижения степени

Для решения задач этого раздела Вам может быть полезно следующее видео:

$\Longrightarrow$ Формулы понижения степени

$\blacktriangleright$ Примеры к заданию 12.1

Докажите тождество $2\sin^2{\dfrac{x}{2}}+\cos{x}=1$ .
Решение:
Воспользуемся формулой понижения степени:
$\sin^2{\dfrac{x}{2}}=\dfrac{1-\cos{x}}{2}.$
Тогда
$2\cdot \dfrac{1-\cos{x}}{2}+\cos{x}=1-\cos{x}+\cos{x}=1.$
Докажите тождество $2\sin^2{\left(45^\circ-\dfrac{x}{2}\right)}=1-\sin{x}$ .
Решение:
Воспользуемся формулой для понижения степени для синуса:
$\sin^2{\left(\dfrac{\pi}{4}-\dfrac{x}{2}\right)}=\dfrac{1-\cos{\left(2\cdot\left(\dfrac{\pi}{4}-\dfrac{x}{2}\right)\right)}}{2}=\dfrac{1-\cos{\left(\dfrac{\pi}{2}-x\right)}}{2}=\dfrac{1-\sin{x}}{2}.$
Тогда
$2\cdot \dfrac{1-\sin{x}}{2}=1-\sin{x}.$

Задание 12.1

Докажите тождества:

$\sin^2{2x}=\dfrac{1-\cos{4x}}{2};$
$2\sin^2{2x}=1+\sin{\Big(\dfrac{3\pi}{2}-4x\Big)};$
$2\cos^2{x}-\cos{2x}=1;$
$1+\sin{x}=2\cos^2{\Big(45^\circ-\dfrac{x}{2}\Big)};$
$2\sin^2{(45^\circ-x)}+\sin{2x}=1;$
$2\cos^2{(45^\circ+x)}+\sin{2x}=1.$

$\blacktriangleright$ Пример к заданию 12.2:

Вычислить (с помощью формул понижения степени):

\cos{\dfrac{\pi}{12}}.

Решение:
По формуле понижение степени:

\cos^2{\dfrac{\pi}{12}}=\dfrac{\cos{\left(2\cdot\dfrac{\pi}{12}\right)}+1}{2}=\dfrac{\cos{\dfrac{\pi}{6}}+1}{2}=\dfrac{\dfrac{\sqrt{3}}{2}+1}{2}=\dfrac{\frac{\sqrt{3}+2}{2}}{2}=\dfrac{\sqrt{3}+2}{4},

\cos^2{\dfrac{\pi}{12}}=\dfrac{\sqrt{3}+2}{4}.

Заметим, что $\dfrac{\pi}{12}\in\left(0;\dfrac{\pi}{2}\right)$ , значит, $\cos{\dfrac{\pi}{12}}>0$ .

\cos{\dfrac{\pi}{12}}=\dfrac{\sqrt{\sqrt{3}+2}}{2}.

Ответ: $\dfrac{\sqrt{\sqrt{3}+2}}{2}$ .

Задание 12.2

Вычислить (с помощью формул понижения степени):

$\sin{22,5^\circ};$
$\cos{22,5^\circ};$
$\sin{\dfrac{3\pi}{8}};$
$\cos{\dfrac{3\pi}{8}}.$

Уравнения. Разное

$\Longrightarrow$ Примеры решения уравнений

$\blacktriangleright$ Пример к заданию 13.1

Решите уравнение:

\sin{2x}-\sin{x}=0.

Решение:
Воспользуемся формулой двойного угла: $\sin{2x}=2\sin{x}\cos{x}$ :

2\sin{x}\cos{x}-\sin{x}=0.

Вынесем $\sin{x}$ за скобку:

\sin{x}(2\cos{x}-1)=0.

Произведение двух множителей равно $0$ , когда один из них равен $0$ , а другой при этом существует:

\left[ \begin{gathered} \sin{x}=0, \\ 2\cos{x}-1=0; \\ \end{gathered} \right.

\left[ \begin{gathered} x=\pi k, \\ \cos{x}=\dfrac{1}{2}; \\ \end{gathered} \right.

\left[ \begin{gathered} x=\pi k, \\ x=\pm \dfrac{\pi}{3}+2\pi k, \\ \end{gathered} \right. k\in\mathbb{Z}.

Ответ: $\pi k,\,\,\, \pm \dfrac{\pi}{3}+2\pi k,\,\,\, k\in\mathbb{Z}.$

$\Longrightarrow$ Решение

Задание 13.1

Решите уравнения:

1. $\sin{2x}=\sqrt{2}\sin{x};$

$\Longrightarrow$ Решение

2. $\sin{2x}+\sqrt{5}\cos{x}=0;$

3. $\sin{2x}+\sin{x}=0;$

4. $\sin{2x}+\sqrt{3}\sin{x}=0.$

$\blacktriangleright$ Пример к заданию 13.2

Решите уравнение:

\cos^2{x}-\dfrac{1}{2}\sin{2x}+\cos{x}=\sin{x}.

Решение:

Для решения данного уравнения следует раскрыть $\sin{2x}=2\sin{x}\cos{x}$ и воспользоваться методом группировки:

\cos^2{x}-\sin{x}\cos{x}+\cos{x}-\sin{x}=0 ,

\cos{x}(\cos{x}+1)-\sin{x}(\cos{x}+1)=0,

(\cos{x}-\sin{x})(\cos{x}+1)=0.

Произведение двух множителей равно $0$ , когда один из них равен $0$ , а другой при этом существует:

\begin{aligned} & \left[ \begin{aligned} & \cos{x}-\sin{x}=0, \quad |:\cos{x}\neq 0 \\ & \cos{x}=-1; \end{aligned} \right. \\[6pt] & \left[ \begin{aligned} & 1-\tan{x}=0, \\ & x=\pi+2\pi k; \end{aligned} \right. \\[6pt] & \left[ \begin{aligned} & \tan{x}=1, \\ & x=\pi+2\pi k; \end{aligned} \right. \\[6pt] & \left[ \begin{aligned} & x=\dfrac{\pi}{4}+\pi k, \\ & x=\pi+2\pi k, \end{aligned} \right. \quad k\in\mathbb{Z}. \end{aligned}

Ответ: $\dfrac{\pi}{4}+\pi k,\,\,\, \pi+2\pi k,\,\,\, k\in\mathbb{Z}.$

$\Longrightarrow$ Решение

Задание 13.2

Решите уравнения:

1. $\sin{2x}-2\cos{x}+\sqrt{2}\sin{x}-\sqrt{2}=0;$

$\Longrightarrow$ Решение

2. $2\sin{2x}+2\sqrt{3}\sin{x}=2\cos{x}+\sqrt{3};$

3. $\sin^2{x}+\dfrac{1}{2}\sin{2x}-\sin{x}=\cos{x};$

4. $\sqrt{12}\sin^2{x}+\sin{2x}=\sqrt{12}\cos^2{x}+3\sin{2x}.$

$\blacktriangleright$ Пример к заданию 13.3:

Решите уравнение:

\cos^2{x}-\sin{x}=\cos{2x}.

Решение:

Воспользуемся формулой косинуса двойного угла:

\cos{2x}=\cos^2{x}-\sin^2{x}.

Тогда

\cos^2{x}-\sin{x}=\cos^2{x}-\sin^2{x},

\sin^2{x}-\sin{x}=0,

\sin{x}(\sin{x}-1)=0.

Произведение двух множителей равно $0$ , когда один из них равен $0$ , а другой при этом существует:

\begin{aligned} & \left[ \begin{aligned} & \sin{x}=0, \\ & \sin{x}-1=0; \end{aligned} \right. \\[6pt] & \left[ \begin{aligned} & x=\pi k, \\ & \sin{x}=1; \end{aligned} \right. \\[6pt] & \left[ \begin{aligned} & x=\pi k, \\ & x=\dfrac{\pi}{2}+2\pi k, \end{aligned} \right. \quad k\in\mathbb{Z}. \end{aligned}

Ответ: $\dfrac{\pi}{2}+2\pi k,\,\,\, \pi k,\,\,\, k\in\mathbb{Z}.$

Задание 13.3

Решите уравнения:

1. $\cos{2x}-3\cos{x}+2=0$ ;

$\Longrightarrow$ Решение

2. $\cos{2x}-3\sin{x}-2=0$ ;

3. $\cos{2x}-4\sqrt{2}\cos{x}+4=0$ ;

4. $3\cos{2x}+11\sin{x}=7$ .

$\blacktriangleright$ Пример к заданию 13.4:

Решите уравнение:

2\sin^3{x}-\sqrt{2}\cos{2x}+\sin{x}=-\sqrt{2}.

Решение:

Воспользуемся формулой косинуса двойного угла:

\cos{2x}=1-2\sin^2{x}.

Тогда:

2\sin^3{x}-\sqrt{2}+2\sqrt{2}\sin^2{x}+\sin{x}+\sqrt{2}=0,

2\sin^3{x}+2\sqrt{2}\sin^2{x}+\sin{x}=0.

Пусть $t=\sin{x}$ , тогда уравнение примет вид:

2t^3+2\sqrt{2}t^2+t=0,

t(2t^2+2\sqrt{2}t+1)=0,

t(\sqrt{2}t+1)^2=0.

Произведение двух множителей равно $0$ , когда один из них равен $0$ , а другой при этом существует:

\left[ \begin{gathered} t=0, \\ (\sqrt{2}t+1)^2=0; \\ \end{gathered} \right.

\left[ \begin{gathered} t=0, \\ t=-\dfrac{1}{\sqrt{2}}=-\dfrac{\sqrt{2}}{2}. \\ \end{gathered} \right.

Вернёмся к прежней переменной:

\left[ \begin{gathered} \sin{x}=0, \\ \sin{x}=-\dfrac{\sqrt{2}}{2}; \\ \end{gathered} \right.

\left[ \begin{gathered} x=\pi k, \\ x=\dfrac{5\pi}{4}+2\pi k, \\ x=\dfrac{7\pi}{4}+2\pi k, \\ \end{gathered} \right. k\in\mathbb{Z}.

Ответ: $\pi k,\,\, \dfrac{5\pi}{4}+2\pi k,\,\, \dfrac{7\pi}{4}+2\pi k, \,\,\, k\in\mathbb{Z}.$

$\Longrightarrow$ Решение

Задание 13.4

Решите уравнения:

$2\cos{2x}-6\cos^3{x}+\cos{x}+3=0;$

$\Longrightarrow$ Решение
$\cos{2x}+4\sin^2{x}-3\sqrt{2}\cos{x}-5=0;$
$\left(1+\dfrac{1}{\sqrt{2}}\right)\cos^2{x}+\left(\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{\sqrt{2}}\right)\cos{x}-\dfrac{\cos2x}{2\sqrt{2}}=0;$
$\cos^3{x}+2\cos^2{x}-\cos{x}-1=\cos{2x}.$

$\blacktriangleright$ Пример к заданию 13.5:

Найдите все решения уравнения: $\cos{2x}+\sin^2{x}=0,25$ , удовлетворяющие условию $\sin{x}<0.$

Решение:
Воспользуемся формулой двойного угла: $\cos{2x}=\cos^2{x}-\sin^2{x}$ .
Тогда:

\cos^2{x}-\sin^2{x}+\sin^2{x}=0{,}25,

\cos^2{x}=0{,}25,

\left[ \begin{gathered} \cos{x}=\dfrac{1}{2}, \\ \cos{x}=-\dfrac{1}{2}; \\ \end{gathered} \right.

\left[ \begin{gathered} x=\pm \dfrac{\pi}{3}+2\pi k, \\ x=\pm \dfrac{2\pi}{3}+2\pi k, \\ \end{gathered} \right. k\in\mathbb{Z}.

Нам нужны корни, удовлетворяющие условию $\sin{x}<0$ . Это будут все корни из III и IV четвертей. Изобразим это:

Ответ: $\dfrac{4\pi}{3}+2\pi k ,\,\, \dfrac{5\pi}{3}+2\pi k, \,\,\, k\in\mathbb{Z}$ .

Задание 13.5

Найдите все решения уравнения:
$\cos{2x}-5\cos{x}+3=0$ , удовлетворяющие условию $\sin{x}<0.$
$\Longrightarrow$ Решение
Найдите все решения уравнения:
$\cos{2x}+\sqrt{3}\sin{x}=1$ , удовлетворяющие условию $\cos{x}>0.$
Найдите все решения уравнения:
$\cos{2x}-3\cos{x}+1=0$ , удовлетворяющие условию $\sin{x}<0.$
Найдите все решения уравнения:
$\cos{2x}+4\sin{x}=1$ , удовлетворяющие условию $\cos{x}>0.$

$\blacktriangleright$ Пример к заданию 13.6:

Найдите все решения уравнения:

\cos^2{(x+\pi)}+2\sin{\left(x+\dfrac{\pi}{2}\right)}+1=0.

Решение:

Упростим равенство, применив формулы приведения:

\cos^2{(x+\pi)}+2\sin{\left(x+\dfrac{\pi}{2}\right)}+1=0,

\cos^2{x}+2\cos{x}+1=0.

Упростим равенство, свернув в левой части полный квадрат:

\cos^2{x}+2\cos{x}+1=0,

(\cos{x}+1)^2=0.

Мы знаем, что если квадрат числа равен нулю, то это число равно нулю. Тогда:

(\cos{x}+1)^2=0,

\cos{x}+1=0.

Решим это уравнение:

\cos{x}+1=0,

\cos{x}=-1

x=\pi+2\pi k,\,\,\,k\in\mathbb{Z}.

Ответ: $\pi+2\pi k,\,\,\,k\in\mathbb{Z}.$

Задание 13.6

Решите уравнения:

1. $2\cos^2{\Big(\dfrac{3\pi}{2}+x\Big)+\sqrt{3}\sin{x}=0};$

$\Longrightarrow$ Решение

2. $2\sin^2{x}-\sqrt{3}\cos{\Big(\dfrac{\pi}{2}-x\Big)}=0;$

$\Longrightarrow$ Решение

3. $2\sin^2\Big(\dfrac{3\pi}{2}-x\Big)+5\sin\Big(\dfrac{\pi}{2}+x\Big)+2=0;$

4. $5-5\cos\Big(\dfrac{\pi}{2}+x\Big)=2\cos^2(\pi-x).$

$\blacktriangleright$ Пример к заданию 13.7:

Решите уравнение:

6\cos{\dfrac{15\pi}{4}}\cos{\dfrac{x}{2}}-\cos{x}=3.

Решение:

Заметим, что

\cos{\dfrac{15\pi}{4}}=\cos\left(4\pi-{\dfrac{\pi}{4}}\right)=\dfrac{\sqrt{2}}{2}.

Выразим $\cos{x}$ через формулу половинного угла:

\cos^2{\dfrac{x}{2}}=\dfrac{1+\cos{x}}{2},

\cos{x}=2\cos^2{\dfrac{x}{2}}-1.

Получим следующее уравнение:

6\cdot\dfrac{\sqrt{2}}{2}\cos{\dfrac{x}{2}}-\left(2\cos^2{\dfrac{x}{2}}-1\right)-3=0,

3\sqrt{2}\cos{\dfrac{x}{2}}-2\cos^2{\dfrac{x}{2}}-2=0.

Сделаем замену переменной $\cos{\dfrac{x}{2}}=y,\,\, y\in[-1;1]$ :

3\sqrt{2}y-2y^2-2=0,

2y^2-3\sqrt{2}y+2=0;

D=(-3\sqrt{2})^2-4\cdot 2 \cdot 2= 18 - 16=2;

y_1=\dfrac{3\sqrt{2}-\sqrt{2}}{2\cdot 2}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}\in [-1;1];\,\,\,\, y_2=\dfrac{3\sqrt{2}+\sqrt{2}}{2\cdot 2}=\sqrt{2}\notin [-1;1].

Вернёмся к прежней переменной:

\cos{\dfrac{x}{2}}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}, \,\,

\left[ \begin{gathered} \dfrac{x}{2}=\dfrac{\pi}{4}+2\pi k, \\ \dfrac{x}{2}=-\dfrac{\pi}{4}+2\pi k; \\ \end{gathered} \right.

\left[ \begin{gathered} x=\dfrac{\pi}{2}+4\pi k, \\ x=-\dfrac{\pi}{2}+4\pi k, \\ \end{gathered} \right.k\in\mathbb{Z}.

Ответ: $\pm \dfrac{\pi}{2}+4\pi k,\,\,\, k\in\mathbb{Z}.$

Задание 13.7

Решите уравнения:

1. $2\sin^2(\pi+3x)+\cos{3x}+1=0$ ;

$\Longrightarrow$ Решение

2. $\cos{x}+3\sqrt{3}\sin{\dfrac{x}{2}}=4$ ;

3. $2\sin^2(\pi-3x)+5\cos{3x}+1=0$ ;

4. $\cos{2x}+3\sqrt{3}\cos{x}+1=0$ .

$\blacktriangleright$ Пример к заданию 13.8:

Решите уравнение:

\cos{4x}-2\cos^2{x}+1=0.

Решение:

Преобразуем левую часть равенства по формулам $\cos{4x}=2\cos^2{2x}-1$ и $2\cos^2{x}-1=\cos{2x}$ :

\cos{4x}-2\cos^2{x}+1=0,

2\cos^2{2x}-1-\cos{2x}=0,

2\cos^2{2x}-\cos{2x}-1=0.

Решим квадратное уравнение относительно $\cos{2x}$ :

2\cos^2{2x}-\cos{2x}-1=0

\left[ \begin{gathered} \cos{2x}=1, \\ \cos{2x}=-\dfrac{1}{2}; \\ \end{gathered} \right.

\left[ \begin{gathered} 2x=2\pi k, \\ 2x=\pm\dfrac{2\pi}{3}+2\pi k; \\ \end{gathered} \right.

\left[ \begin{gathered} x=\pi k, \\ x=\pm\dfrac{\pi}{3}+\pi k, \\ \end{gathered} \right. k\in\mathbb{Z}.

Ответ: $\pi k,\,\,\,\pm\dfrac{\pi}{3}+\pi k, \,\,\,k\in\mathbb{Z}.$

Задание 13.8

Решите уравнения:

1. $\cos{4x}-6\cos^2{x}+5=0$ ;

$\Longrightarrow$ Решение

2. $\sin{4x}+2\sin^2{x}=1$ ;

3. $\sin{4x}+4\cos^2{x}=2$ ;

$\Longrightarrow$ Решение

4. $\cos{4x}+4\sin^2{x}=1+2\sin^2{2x}$ .

$\blacktriangleright$ Пример к заданию 13.9:

Решите уравнение:

\cos{x}+\sqrt{3}\sin{x}=0.

Решение:

Заметим, что если $x$ такой, что $\cos{x}=0$ , то $\sin{x}=1$ или $\sin{x}=-1$ . Действительно, $\sin^2{x}+\cos^2{x}=1$ , тогда $\sin^2{x}=1$ , а значит $\sin{x}=\pm 1$ . Тогда мы понимаем, что $x$ , при котором $\cos{x}=0$ , не может являться корнем нашего уравнения. Тогда можно считать, что $\cos{x}\neq 0$ , а, значит, мы можем разделить левую и правую части на $\cos{x}$ . В результате получаем:

1+\sqrt{3}\tan{x}=0,

\tan{x}=-\dfrac{1}{\sqrt{3}}.

Решим это уравнение:

x=-\dfrac{\pi}{6}+\pi k,\,\,\, k\in\mathbb{Z}.

Ответ: $-\dfrac{\pi}{6}+\pi k,\,\,\, k\in\mathbb{Z}.$

Задание 13.9

Решите уравнения:

1. $\cos{x}+\sin{x}=0$ ;

$\Longrightarrow$ Решение

2. $\sin{x}+\sqrt{3}\cos{x}=0$ ;

$\Longrightarrow$ Решение

3. $\cos{x}-\sin{x}=0$ ;

4. $\cos{x}-\sqrt{3}\sin{x}=0$ .

$\blacktriangleright$ Пример к заданию 13.10:

Решите уравнение:

\sin{2x}+2\sqrt{3}\sin^2{x}=0.

Решение:

Применим формулу $\sin{2x}=2\sin{x}\cos{x}$ . Затем вынесем $2\sin{x}$ за скобки:

\sin{2x}+2\sqrt{3}\sin^2{x}=0,

2\sin{x}\cos{x}+2\sqrt{3}\sin^2{x}=0,

2\sin{x}(\cos{x}+\sqrt{3}\sin{x})=0.

Мы знаем, что произведение двух множителей равно нулю тогда и только тогда, когда один из них равен нулю, а другой при этом существует. Тогда:

2\sin{x}(\cos{x}+\sqrt{3}\sin{x})=0,

\left[ \begin{gathered} 2\sin{x}=0, \\ \cos{x}+\sqrt{3}\sin{x}=0; \\ \end{gathered} \right.

\left[ \begin{gathered} \sin{x}=0,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(1) \\ \cos{x}+\sqrt{3}\sin{x}=0.\,\,\,\,\,\,\,\,(2) \\ \end{gathered} \right.

Решим (1):

\sin{x}=0,

x=\pi k,\,\,\, k\in\mathbb{Z}.

Решим (2):

\cos{x}+\sqrt{3}\sin{x}=0.

Заметим, что если $x$ такой, что $\cos{x}=0$ , то $\sin{x}=1$ или $\sin{x}=-1$ . Действительно, $\sin^2{x}+\cos^2{x}=1$ , тогда $\sin^2{x}=1$ , а значит $\sin{x}=\pm 1$ . Тогда мы понимаем, что $x$ , при котором $\cos{x}=0$ , не может являться корнем нашего уравнения. Тогда можно считать, что $\cos{x}\neq 0$ , а, значит, мы можем разделить левую и правую части на $\cos{x}$ . В результате получаем:

1+\sqrt{3}\tan{x}=0,

\tan{x}=-\dfrac{1}{\sqrt{3}}.

Решим это уравнение:

x=-\dfrac{\pi}{6}+\pi k,\,\,\, k\in\mathbb{Z}.

Тогда можем переписать нашу совокупность:

\left[ \begin{gathered} \sin{x}=0, \\ \cos{x}+\sqrt{3}\sin{x}=0; \\ \end{gathered} \right.

\left[ \begin{gathered} x=\pi k, \\ x=-\dfrac{\pi}{6}+\pi k, \\ \end{gathered} \right.k\in\mathbb{Z}.

Ответ: $\pi k,\,\,\,-\dfrac{\pi}{6}+\pi k,\,\,\,k\in\mathbb{Z}.$

Задание 13.10

Решите уравнения:

1. $\sin{2x}-2\sin^2{x}=0;$

$\Longrightarrow$ Решение

2. $\sin{2x}+\dfrac{2}{\sqrt{3}}\sin^2{x}=0;$

3. $\sin{2x}+2\sin^2{x}=0;$

4. $\sin{2x}-2\sqrt{3}\sin^2{x}=0.$

$\blacktriangleright$ Пример к заданию 13.11:

Решите уравнение:

\sin{x}+2\sin^2{x}+\sin{2x}+\cos{x}=0.

Решение:

Применим формулу $\sin{2x}=2\sin{x}\cos{x}$ . Сгруппируем слагаемые, для этого вынесем $\sin{x}$ за скобки у первых двух слагаемых и $\cos{x}$ у двух последних. Получим:

\sin{x}+2\sin^2{x}+\sin{2x}+\cos{x}=0,

\sin{x}+2\sin^2{x}+2\sin{x}\cos{x}+\cos{x}=0,

\sin{x}(1+2\sin{x})+\cos{x}(2\sin{x}+1)=0,

(2\sin{x}+1)(\sin{x}+\cos{x})=0.

(\sin{x}+\cos{x})(2\sin{x}+1)=0,

\left[ \begin{gathered} \sin{x}+\cos{x}=0,\,\,\,\,\,\,(1) \\ 2\sin{x}+1=0.\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(2) \\ \end{gathered} \right.

Решим (1):

\sin{x}+\cos{x}=0.

Заметим, что если $x$ такой, что $\cos{x}=0$ , то $\sin{x}=1$ или $\sin{x}=-1$ . Действительно, $\sin^2{x}+\cos^2{x}=1$ , тогда $\sin^2{x}=1$ , а, значит, $\sin{x}=\pm 1$ . Тогда мы понимаем, что $x$ , при котором $\cos{x}=0$ , не может являться корнем нашего уравнения. Тогда, можно считать, что $\cos{x}\neq 0$ , а, значит, мы можем разделить левую и правую части на $\cos{x}$ . В результате получаем:

\tan{x}+1=0,

\tan{x}=-1.

Решим это уравнение:

x=-\dfrac{\pi}{4}+\pi k,\,\,\, k\in\mathbb{Z}.

Решим (2):

2\sin{x}+1=0,

\sin{x}=-\dfrac{1}{2},

\left[ \begin{gathered} x=-\dfrac{\pi}{6}+2\pi k, \\ x=-\dfrac{5\pi}{6}+2\pi k, \\ \end{gathered} \right.k\in\mathbb{Z}.

Тогда можем переписать нашу совокупность:

\left[ \begin{gathered} \sin{x}+\cos{x}=0, \\ 2\sin{x}+1=0; \\ \end{gathered} \right.

\left[ \begin{gathered} x=-\dfrac{\pi}{4}+\pi k, \\ x=-\dfrac{\pi}{6}+2\pi k, \\ x=-\dfrac{5\pi}{6}+2\pi k; \\ \end{gathered} \right.k\in\mathbb{Z}.

Ответ: $-\dfrac{\pi}{4}+\pi k, -\dfrac{\pi}{6}+2\pi k,\ -\dfrac{5\pi}{6}+2\pi k,\,\,\,k\in\mathbb{Z}.$

Задание 13.11

Решите уравнения:

1. $\sin{x}+2\sin^2{x}=\sin{2x}+\cos{x};$

$\Longrightarrow$ Решение

2. $\sin{x}+\sin{2x}+\cos{x}+2\cos^2{x}=0;$

3. $\sin{x}+2\sin^2{x}+\sqrt{3}\sin{2x}+\sqrt{3}\cos{x}=0;$

4. $\sin{x}+2\cos^2{x}=\sin{2x}+\cos{x}.$

$\blacktriangleright$ Пример к заданию 13.12:

Решите уравнение:

\sqrt{3}\sin{2x}-\cos{2x}=0.

Решение:

Сделаем замену $2x=y$ , тогда уравнение примет вид:

\sqrt{3}\sin{2x}-\cos{2x}=0,

\sqrt{3}\sin{y}-\cos{y}=0.

Заметим, что если $y$ такой, что $\cos{y}=0$ , то $\sin{y}=1$ или $\sin{y}=-1$ . Действительно, $\sin^2{y}+\cos^2{y}=1$ , тогда $\sin^2{y}=1$ , а, значит, $\sin{y}=\pm 1$ . Тогда мы понимаем, что $y$ , при котором $\cos{y}=0$ , не может являться корнем нашего уравнения. Тогда, можно считать, что $\cos{y}\neq 0$ , а, значит, мы можем разделить левую и правую части на $\cos{y}$ .

В результате получаем:

\sqrt{3}\tan{y}-1=0,

\tan{y}=\dfrac{1}{\sqrt{3}}.

Решим это уравнение:

\tan{y}=\dfrac{1}{\sqrt{3}},

y=\dfrac{\pi}{6}+\pi k,\,\,\, k\in\mathbb{Z}.

Сделаем обратную замену $y=2x$ :

y=\dfrac{\pi}{6}+\pi k,

2x=\dfrac{\pi}{6}+\pi k,

x=\dfrac{\pi}{12}+\dfrac{\pi k}{2},\,\,\, k\in\mathbb{Z}.

Ответ: $\dfrac{\pi}{12}+\dfrac{\pi k}{2},\,\,\, k\in\mathbb{Z}.$

Задание 13.12

Решите уравнения:

1. $\cos{x}+\sin{x}=0;$

2. $\sqrt{3}\sin{2x}+3\cos{2x}=0;$

$\Longrightarrow$ Решение

3. $\cos{3x}-\sin{3x}=0;$

4. $\sqrt{3}\sin{4x}-3\cos{4x}=0.$

$\blacktriangleright$ Пример к заданию 13.13:

Решите уравнение:

\sin^3{x}-\cos^3{x}=-\dfrac{1}{2}\sin{2x}(\sin{x}-\cos{x}).

Решение:

Раскроем в левой части разность кубов, а в правой распишем по формуле синус двойного угла $\sin{2x}=2\sin{x}\cos{x}$ :

(\sin{x}-\cos{x})(\sin^2{x}+\sin{x}\cos{x}+\cos^2{x})=-\sin{x}\cos{x}(\sin{x}-\cos{x}).

Воспользуемся основным тригонометрическим тождеством и упростим наше равенство:

(\sin{x}-\cos{x})(1+\sin{x}\cos{x})=-\sin{x}\cos{x}(\sin{x}-\cos{x}).

Перенесём всё в левую часть и вынесем общий множитель за скобки:

(\sin{x}-\cos{x})(1+\sin{x}\cos{x})+\sin{x}\cos{x}(\sin{x}-\cos{x})=0,

(\sin{x}-\cos{x})(1+2\sin{x}\cos{x})=0.

Упростим наше выражение, применив формулу $2\sin{x}\cos{x}=\sin{2x}$ :

(\sin{x}-\cos{x})(1+2\sin{x}\cos{x})=0,

(\sin{x}-\cos{x})(1+\sin{2x})=0.

Мы знаем, что произведение двух множителей равно нулю тогда и только тогда, когда один из них равен нулю, а другой при этом существует. Тогда

(\sin{x}-\cos{x})(1+\sin{2x})=0,

\left[ \begin{gathered} \sin{x}-\cos{x}=0,\,\,\,\,\,\,(1) \\ 1+\sin{2x}=0.\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(2) \\ \end{gathered} \right.

Решим (1): $\sin{x}-\cos{x}=0.$
Заметим, что, если $x$ такой, что $\cos{x}=0$ , то $\sin{x}=1$ или $\sin{x}=-1$ . Действительно, $\sin^2{x}+\cos^2{x}=1$ , тогда $\sin^2{x}=1$ , а, значит, $\sin{x}=\pm 1$ . Тогда мы понимаем, что $x$ , при котором $\cos{x}=0$ , не может являться корнем нашего уравнения. Тогда, можно считать, что $\cos{x}\neq 0$ , а, значит, мы можем разделить левую и правую части на $\cos{x}$ . В результате получаем:

\tan{x}-1=0,

\tan{x}=1.

Решим это уравнение:

\tan{x}=1,

x=\dfrac{\pi}{4}+\pi k,\,\,\, k\in\mathbb{Z}.

Решим (2):

1+\sin{2x}=0,

\sin{2x}=-1,

2x=-\dfrac{\pi}{2}+2\pi k,

x=-\dfrac{\pi}{4}+\pi k,\,\,\, k\in\mathbb{Z}.

Тогда можем переписать нашу совокупность:

\left[ \begin{gathered} \sin{x}-\cos{x}=0, \\ 1+\sin{2x}=0; \\ \end{gathered} \right.

\left[ \begin{gathered} x=\dfrac{\pi}{4}+\pi k, \\ x=-\dfrac{\pi}{4}+\pi k; \\ \end{gathered} \right.

x=\dfrac{\pi}{4}+\dfrac{\pi k}{2},\,\,\, k\in\mathbb{Z}.

Ответ: $\dfrac{\pi}{4}+\dfrac{\pi k}{2},\,\,\, k\in\mathbb{Z}.$

Задание 13.13

Решите уравнение:

$2(\sin^3{x}+\cos^3{x})=\sin{2x}(\sin{x}+\cos{x}).$

$\Longrightarrow$ Решение

$\blacktriangleright$ Пример к заданию 13.14:

Решите уравнение:

3\cos^2{x}-\sin^2{x}-2=\cos{2x}-\sin{2x}.

Решение:

Применим в правой части формулы синуса и косинуса двойного угла $\sin{2x}=2\sin{x}\cos{x}$ и $\cos{2x}=\cos^2{x}-\sin^2{x}$ . Получим:

3\cos^2{x}-\sin^2{x}-2=\cos^2{x}-\sin^2{x}-2\sin{x}\cos{x}.

Перенесём все слагаемые влево и приведём подобные слагаемые:

2\cos^2{x}-2+2\sin{x}\cos{x}=0.

Разделим уравнение на 2 и заменим 1 по основному тригонометрическому тождеству $1=\cos^2{x}+\sin^2{x}$ . Получим:

\cos^2{x}-1+\sin{x}\cos{x}=0,

\cos^2{x}-\cos^2{x}-\sin^2{x}+\sin{x}\cos{x}=0,

-\sin^2{x}+\sin{x}\cos{x}=0.

Разложим левую часть уравнения на множители:

-\sin{x}(\sin{x}-\cos{x})=0.

\sin{x}(\sin{x}-\cos{x})=0,

\left[ \begin{gathered} \sin{x}-\cos{x}=0,\,\,\,\,\,\,(1) \\ \sin{x}=0.\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(2) \\ \end{gathered} \right.

Решим (1):

\sin{x}-\cos{x}=0.

Заметим, что, если $x$ такой, что $\cos{x}=0$ , то $\sin{x}=1$ или $\sin{x}=-1$ . Действительно, $\sin^2{x}+\cos^2{x}=1$ , тогда $\sin^2{x}=1$ , а, значит, $\sin{x}=\pm 1$ . Тогда мы понимаем, что $x$ , при котором $\cos{x}=0$ , не может являться корнем нашего уравнения. Тогда, можно считать, что $\cos{x}\neq 0$ , а, значит, мы можем разделить левую и правую части на $\cos{x}$ . В результате получаем:

\tan{x}-1=0,

\tan{x}=1.

Решим это уравнение:

\tan{x}=1,

x=\dfrac{\pi}{4}+\pi k,\,\,\, k\in\mathbb{Z}.

Решим (2):

\sin{x}=0,

x=\pi k,\,\,\, k\in\mathbb{Z}.

Тогда можем переписать нашу совокупность:

\left[ \begin{gathered} \sin{x}-\cos{x}=0, \\ \sin{x}=0; \\ \end{gathered} \right.

\left[ \begin{gathered} x=\dfrac{\pi}{4}+\pi k, \\ x=\pi k, \\ \end{gathered} \right. \,\,\, k\in\mathbb{Z}.

Ответ: $\pi k,\,\,\,\dfrac{\pi}{4}+\pi k,\,\,\, k\in\mathbb{Z}.$

Задание 13.14

Решите уравнение:

$\sin^2{x}-5\cos^2{x}+1=\sin{2x}-2\cos{2x}.$

Задания из ЕГЭ

Задания 1 части

Задание 1. Непосредственное вычисление значений

$\blacktriangleright$ Пример. Найдите значение выражения $\dfrac{8}{\sin (-\frac{27\pi }{4})\cos (\frac{31\pi }{4})}$ .

Решение:

Заметим, что $-\dfrac{27\pi}{4} = -6\pi - \dfrac{3\pi}{4}$ и $\dfrac{31\pi}{4} = 7\pi + \dfrac{3\pi}{4}$ . Тогда мы получаем, что

\sin\left(-\dfrac{27\pi}{4}\right) = \sin\left(-6\pi - \dfrac{3\pi}{4}\right) = \sin\left(-\dfrac{3\pi}{4}\right) = -\dfrac{\sqrt{2}}{2},

\cos\left(\dfrac{31\pi}{4}\right) = \cos\left(7\pi + \dfrac{3\pi}{4}\right) =- \cos\left(\dfrac{3\pi}{4}\right) = \dfrac{\sqrt{2}}{2}.

Наконец, можем найти значение нашего выражения:

\dfrac{8}{\sin (-\frac{27\pi }{4})\cos (\frac{31\pi }{4})} = \dfrac{8}{-\dfrac{\sqrt{2}}{2}\cdot \dfrac{\sqrt{2}}{2}} = -16.

$\Longrightarrow$ Решение задачи

Задачи для самостоятельного решения

Найдите значение выражения $36\sqrt{6}\tan \dfrac{\pi }{6}\sin \dfrac{\pi }{4}$ .
$\Longrightarrow$ Решение задачи
Найдите значение выражения $4\sqrt{2}\cos \dfrac{\pi }{4}\cos \dfrac{7\pi }{3}$ .
$\Longrightarrow$ Решение задачи
Найдите значение выражения $12 \sin 150^{\circ} \cdot \cos 120^{\circ}$ .
$\Longrightarrow$ Решение задачи
Найдите значение выражения $28\sqrt{6}\cos\left(-\dfrac{\pi}{6}\right)\sin\left(-\dfrac{\pi}{4}\right)$ .
$\Longrightarrow$ Решение задачи
Найдите значение выражения $2\sqrt{6}\cos{\dfrac{\pi}{4}}\sin{\dfrac{7\pi}{6}}\tan{\left(-\dfrac{2\pi}{3}\right)}$ .
$\Longrightarrow$ Решение задачи
Найдите значение выражения $-4\sqrt{3}\cos (-750{}^\circ )$ .
Найдите значение выражения $2\sqrt{3}\tan (-300{}^\circ )$ .
Найдите значение выражения $-18\sqrt{2}\sin (-135{}^\circ )$ .
Найдите значение выражения $24\sqrt{2}\cos \left(-\dfrac{\pi }{3}\right)\sin \left(-\dfrac{\pi }{4}\right)$ .

Задание 2. Нахождение неизвестного значения функции по известному значению

$\blacktriangleright$ Пример 1. По заданному значению функции найдите значения остальных тригонометрических функций:

$\sin{\alpha}=-\dfrac{20}{29},\,\, \alpha\in \left(\pi;\dfrac{3\pi}{2}\right)$ .

Решение:

Найдём значение $\cos{\alpha}$ .

Воспользуемся основным тригонометрическим тождеством: $\sin^2{\alpha}+\cos^2{\alpha}=1$ .

\cos^2{\alpha}=1-\sin^2{\alpha}=1-\left(-\dfrac{20}{29}\right)^2=1-\dfrac{400}{841}=\dfrac{441}{841},

\cos{\alpha}=\pm\dfrac{21}{29}.

Так как $\alpha \in\left(\pi;\dfrac{3\pi}{2}\right)$ , то $\cos{\alpha}<0,$ выбираем $\cos{\alpha}=-\dfrac{21}{29}$ .

Найдём значение $\tan{\alpha}$ .

Мы знаем значения $\sin{\alpha}$ и $\cos{\alpha}$ , тогда:

\tan{\alpha}=\dfrac{\sin{\alpha}}{\cos{\alpha}}=\dfrac{-\frac{20}{29}}{-\frac{21}{29}}=\dfrac{20}{21}.

Найдём значение $\cot{\alpha}$ .

\cot{\alpha}=\dfrac{\cos{\alpha}}{\sin{\alpha}}=\dfrac{-\frac{21}{29}}{-\frac{20}{29}}=\dfrac{21}{20}.

$\blacktriangleright$ Пример 2. По заданному значению функции найдите значения остальных тригонометрических функций: $\tan{\alpha}=-\dfrac{35}{12},\,\, \alpha\in \left(\dfrac{\pi}{2}; \pi\right)$ .

Решение:

Найдём $\cot{\alpha}$ .

\tan{\alpha}\cdot \cot{\alpha}=1,

\cot{\alpha}=\dfrac{1}{\tan{\alpha}}=\dfrac{1}{-\frac{35}{12}}=-\dfrac{12}{35}.

Найдём $\cos{\alpha}$ .

\tan^2{\alpha}+1=\dfrac{1}{\cos^2{\alpha}},

\left(-\dfrac{35}{12}\right)^2+1=\dfrac{1}{\cos^2{\alpha}},

\dfrac{1}{\cos^2{\alpha}}=\dfrac{1369}{144},

\cos^2{\alpha}=\dfrac{144}{1369},

\cos{\alpha}=\pm\dfrac{12}{37}.

Так как $\alpha \in\left(\dfrac{\pi}{2}; \pi\right)$ , то $\cos{\alpha}<0,$ выбираем $\cos{\alpha}=-\dfrac{12}{37}.$
Найдём $\sin{\alpha}$ .

\sin^2{\alpha}+\cos^2{\alpha}=1,

\sin^2{\alpha}=1-\left(-\dfrac{12}{37}\right)^2=1-\dfrac{144}{1369}=\dfrac{1225}{1369},

\sin{\alpha}=\pm \dfrac{35}{37}.

Так как $\alpha \in\left(\dfrac{\pi}{2}; \pi\right)$ , то $\sin{\alpha}>0$ выбираем $\sin{\alpha}=\dfrac{35}{37}.$

Задачи для самостоятельного решения

Найдите значение выражения $\cos{\alpha}$ , если $\tan{\alpha}=-\dfrac{\sqrt{21}}{2}$ и $\alpha \in \left(\dfrac{3\pi}{2};2\pi\right)$ .
$\Longrightarrow$ Решение задачи
Найдите $\tan{\alpha}$ , если $\sin{\alpha}=\dfrac{3}{\sqrt{13}}$ и $\alpha \in \left(0;\dfrac{\pi}{2}\right)$ .
$\Longrightarrow$ Решение задачи
Найдите значение выражения $\cos{\alpha}$ , если $\tan{\alpha}=-\dfrac{\sqrt{91}}{3}$ и $\alpha \in \left(\pi;\dfrac{3\pi}{2}\right)$ .
$\Longrightarrow$ Решение задачи
Найдите $\tan \alpha$ , если $\cos \alpha =\dfrac{\sqrt{10}}{10}$ и $\alpha \in \left(\dfrac{3\pi }{2};\,2\pi \right)$ .
Найдите $\tan \alpha$ , если $\sin \alpha =-\dfrac{5}{\sqrt{26}}$ и $\alpha \in \left(\pi ;\,\dfrac{3\pi }{2}\right)$ .
Найдите $3\cos \alpha$ , если $\sin \alpha =-\dfrac{2\sqrt{2}}{3}$ и $\alpha \in \left(\dfrac{3\pi }{2};\,2\pi \right)$ .
Найдите $5\sin \alpha$ , если $\cos \alpha =\dfrac{2\sqrt{6}}{5}$ и $\alpha \in \left(\dfrac{3\pi }{2};\,2\pi \right)$ .

Задание 3. Вычисление значений с помощью формул приведения

$\blacktriangleright$ Пример 1. Найдите значение выражения

\dfrac{5\sin{(3\pi-\alpha)}+7\cos{\bigg(\dfrac{\pi}{2}-\alpha}\bigg)}{2\sin{(\pi-\alpha)}}.

Решение: По формулам приведения получаем:

\sin(3\pi - \alpha) = \sin\alpha;\;\;\; \cos{\bigg(\dfrac{\pi}{2}-\alpha}\bigg) = \sin\alpha;\;\;\; \sin(\pi - \alpha) = \sin\alpha.

Теперь мы легко можем найти значение нашего выражения:

\dfrac{5\sin{(3\pi-\alpha)}+7\cos{\bigg(\dfrac{\pi}{2}-\alpha}\bigg)}{2\sin{(\pi-\alpha)}} = \dfrac{5\sin{\alpha} + 7\sin{\alpha}}{2\sin{\alpha}} = \dfrac{12\sin{\alpha}}{2\sin{\alpha}} = 6.

$\Longrightarrow$ Решение задачи

$\blacktriangleright$ Пример 2. Найдите значение $13\cos\bigg(\dfrac{\pi}{2}-\alpha\bigg)$ , если $\cos{\alpha}=-\dfrac{12}{13}$ и $\alpha\in\bigg(\dfrac{\pi}{2};\pi\bigg)$ .

Решение: По формуле приведения получаем, что

13\cos\bigg(\dfrac{\pi}{2}-\alpha\bigg) = 13\sin{\alpha}.

Далее воспользуемся основным тригонометрическим тождеством:

\sin^2{\alpha} + \cos^2{\alpha} = 1,

\sin^2{\alpha} = 1 - \left(-\dfrac{12}{13}\right)^2 = \dfrac{25}{169}.

Так как угол $\alpha$ лежит во второй четверти, то $\sin{\alpha} = \dfrac{5}{13}$ . Значит,

13\cos\bigg(\dfrac{\pi}{2}-\alpha\bigg) = 13\cdot\dfrac{5}{13} = 5.

$\Longrightarrow$ Решение задачи

Задачи для самостоятельного решения

Найдите значение выражения $\dfrac{2\sin (\alpha -7\pi )+\cos \left(\dfrac{3\pi }{2}+\alpha \right)}{\sin (\alpha +\pi )}$ .
$\Longrightarrow$ Решение задачи
Найдите значение выражения $\dfrac{\sin(\alpha-\pi)-3\cos\bigg(-\dfrac{3\pi}{2}+\alpha\bigg)}{\sin{(\alpha-3\pi)}}$ .
$\Longrightarrow$ Решение задачи
Найдите значение выражения $\dfrac{4\sin(\alpha-3\pi)-\cos\left(\dfrac{3\pi}{2}+\alpha\right)}{5\sin(\alpha-\pi)}$ .
$\Longrightarrow$ Решение задачи
Найдите значение выражения $\dfrac{3\cos (\pi -\beta )+\sin \left(\dfrac{\pi }{2}+\beta \right)}{\cos \left(\beta +3\pi\right )}$ .
Найдите значение выражения $7\cos{(\pi+\beta)}-2\sin{\bigg(\dfrac{\pi}{2}+\beta\bigg)}$ , если $\cos\beta=-\dfrac{1}{3}$ .
$\Longrightarrow$ Решение задачи
Найдите значение выражения $5\sin (\alpha -7\pi )-11\cos \left(\dfrac{3\pi }{2}+\alpha \right)$ , если $\sin \alpha =-0,25$ .
$\Longrightarrow$ Решение задачи
Найдите $\sin{\bigg(\dfrac{7\pi}{2}-\alpha\bigg)}$ , если $\sin\alpha=0,8$ и $\alpha\in\bigg(\dfrac{\pi}{2};\pi\bigg)$ .
$\Longrightarrow$ Решение задачи
Найдите $26\cos\bigg(\dfrac{3\pi}{2}+\alpha\bigg)$ , если $\cos\alpha=-\dfrac{5}{13}$ и $\alpha\in(\pi;1,5\pi)$ .
$\Longrightarrow$ Решение задачи
Найдите значение выражения $5\tan (5\pi -\gamma )-\tan(-\gamma )$ , если $\tan \gamma =7$ .
Найдите $26\cos \left(\dfrac{3\pi }{2}+\alpha \right)$ , если $\cos \alpha =\dfrac{12}{13}$ и $\alpha \in \left(\dfrac{3\pi }{2};\,2\,\pi \right)$ .
Найдите $\tan \left(\alpha +\dfrac{5\pi }{2}\right)$ , если $\tan \alpha =0,4$ .

Задание 4. Приведение к функциям одного угла

$\blacktriangleright$ Пример. Найдите значение выражения $\dfrac{4\cos{121^{\circ}}}{\cos{59^{\circ}}}$ .

Решение: Заметим, что $121^{\circ} = 180^{\circ} - 59^{\circ}$ , значит, по формулам приведения получаем:

\cos{121^{\circ}} = \cos(180^{\circ} - 59^{\circ}) = -\cos{59^{\circ}}.

Найдём значение нашего выражения:

\dfrac{4\cos{121^{\circ}}}{\cos{59^{\circ}}} = - \dfrac{4\cos{59^{\circ}}}{\cos{59^{\circ}}} = -4.

$\Longrightarrow$ Решение задачи

Задачи для самостоятельного решения

Найдите значение выражения $\dfrac{14\sin 19{}^\circ }{\sin 341{}^\circ }$ .
$\Longrightarrow$ Решение задачи
Найдите значение выражения $\dfrac{5\tan 163{}^\circ }{\tan 17{}^\circ }$ .
$\Longrightarrow$ Решение задачи
Найдите значение выражения $\dfrac{5\sin{61^{\circ}}}{\sin{299^{\circ}}}$ .
$\Longrightarrow$ Решение задачи
Найдите значение выражения $\dfrac{-8\sin422^{\circ}}{\sin62^{\circ}}$ .
$\Longrightarrow$ Решение задачи
Найдите значение выражения $\dfrac{4\cos 146{}^\circ }{\cos 34{}^\circ }$ .
Найдите значение выражения $\dfrac{5\cos 29{}^\circ }{\sin 61{}^\circ }$ .
Найдите значение выражения $\dfrac{14\sin 409^\circ }{\sin 49^\circ }$ .
Найдите значение выражения $5\tan 17{}^\circ \cdot \tan 107{}^\circ$ .
$\Longrightarrow$ Решение задачи
Найдите значение выражения $7\tan 13{}^\circ \cdot \tan 77{}^\circ$ .

Задание 5. Применение основного тригонометрического тождества

$\blacktriangleright$ Пример. Найдите значение выражения $\dfrac{\sin^2{20^{\circ}}+\sin^2{70^{\circ}}}{2\sin{(180^{\circ}+\alpha)}}$ , если $\sin{\alpha}=\dfrac{1}{3}$ .

Решение: Заметим, что $70^{\circ} = 90^{\circ} - 20^{\circ}$ . Значит, по формулам приведения получаем:

\sin{70^{\circ}} = \sin{(90^{\circ} - 20^{\circ})} = \cos{20^{\circ}}.

Тогда по основному тригонометрическому тождеству имеем:

\sin^2{20^{\circ}}+\sin^2{70^{\circ}} = \sin^2{20^{\circ}}+\cos{20^{\circ}} = 1.

Для преобразования знаменателя вновь воспользуемся формулами приведения:

\sin{(180^{\circ}+\alpha)} = -\sin{\alpha} = -\dfrac{1}{3}.

Найдем значение выражения:

\dfrac{\sin^2{20^{\circ}}+\sin^2{70^{\circ}}}{2\sin{(180^{\circ}+\alpha)}} = \dfrac{1}{-\dfrac{2}{3}} = -1,5.

$\Longrightarrow$ Решение задачи

Задачи для самостоятельного решения

Найдите значение выражения $-\dfrac{22}{\cos^2{34^{\circ}}+\cos^2{124^{\circ}}}$ .
$\Longrightarrow$ Решение задачи
Найдите значение выражения $\dfrac{12}{{{\sin }^{2}}{{37}^{\circ }}+{{\sin }^{2}}{{127}^{\circ }}}$ .
$\Longrightarrow$ Решение задачи
Найдите значение выражения $\dfrac{12}{{{\sin }^{2}}{{27}^{\circ }}+{{\cos }^{2}}{{207}^{\circ }}}$ .
$\Longrightarrow$ Решение задачи
Найдите значение выражения $\dfrac{6}{{{\cos }^{2}}{{23}^{\circ }}+{{\cos }^{2}}{{113}^{\circ }}}$ .

Задание 6. Преобразования с помощью тангенса и котангенса

$\blacktriangleright$ Пример 1. Найдите $\dfrac{3\cos{\alpha}-2\sin{\alpha}}{4\sin{\alpha}+5\cos{\alpha}}$ , если $\cot{\alpha}=-3$ .

Решение: Мы знаем, что $\cot{\alpha}=\dfrac{\cos{\alpha}}{\sin{\alpha}}$ , следовательно, так как $\cot{\alpha}=-3$ , то $\dfrac{\cos{\alpha}}{\sin{\alpha}}=-3$ .

Умножим полученное равенство на $\sin{\alpha}$ , получим $\cos{\alpha}=-3 \sin{\alpha}$ .
А теперь заменим в искомом выражении все косинусы на $-3 \sin{\alpha}$ и упростим полученную дробь:

\dfrac{3\cos{\alpha}-2\sin{\alpha}}{4\sin{\alpha}+5\cos{\alpha}} = \dfrac{3(-3 \sin{\alpha})-2\sin{\alpha}}{4\sin{\alpha}+5(-3 \sin{\alpha})}=\dfrac{-9 \sin{\alpha}-2\sin{\alpha}}{4\sin{\alpha}-15 \sin{\alpha}}=\dfrac{-11 \sin{\alpha}}{-11 \sin{\alpha}}=1.

$\Longrightarrow$ Решение задачи

$\blacktriangleright$ Пример 2. Найдите $\tan \alpha$ , если $\dfrac{3\sin \alpha -5\cos \alpha +2}{\sin \alpha +3\cos \alpha +6}=\dfrac{1}{3}$ .

Решение: Умножим наше равенство на $3\cdot(\sin \alpha +3\cos \alpha +6)$ :

3(3\sin \alpha -5\cos \alpha +2) = \sin \alpha +3\cos \alpha +6,

9\sin \alpha -15\cos \alpha +6 = \sin \alpha +3\cos \alpha +6,

8\sin{\alpha} = 18\cos{\alpha}.

Поделим полученное выражение на $8\cos{\alpha}$ :

\dfrac{\sin{\alpha}}{\cos{\alpha}} = \dfrac{18}{8},

\tan{\alpha} = 2{,}25.

$\Longrightarrow$ Решение задачи

Задачи для самостоятельного решения

Найдите значение выражения $\dfrac{13\sin{\alpha}+14\cos{\alpha}}{15\sin{\alpha}-16\cos{\alpha}}$ , если $\cot{\alpha}=\dfrac{7}{8}$ .
$\Longrightarrow$ Решение задачи
Найдите $\dfrac{10\cos \alpha +4\sin \alpha +15}{2\sin \alpha +5\cos \alpha +3}$ , если $\tan \alpha =-2,5$ .
Найдите $\dfrac{3\cos \alpha -4\sin \alpha }{2\sin \alpha -5\cos \alpha }$ , если $\tan \alpha =3$ .
Найдите $\tan^2\alpha$ , если $5{{\sin }^{2}}\alpha +13{{\cos }^{2}}\alpha =6$ .
$\Longrightarrow$ Решение задачи
Найдите $\tan\alpha$ , если $\dfrac{5\sin\alpha-4\cos{\alpha}-2}{5\sin\alpha+\cos{\alpha}-3}=\dfrac{2}{3}$ .
$\Longrightarrow$ Решение задачи
Найдите $\tan \alpha$ , если $\dfrac{7\sin \alpha +13\cos \alpha }{5\sin \alpha -17\cos \alpha }=3$ .
Найдите $\sin{2\alpha}$ , если $\dfrac{5\sin\alpha-6\cos{\alpha}}{6\sin\alpha-10\cos{\alpha}}=\tan{\alpha}$ .
$\Longrightarrow$ Решение задачи

Задание 7. Синус двойного угла

$\blacktriangleright$ Пример. Найдите значение выражения $\dfrac{12\sin 11{}^\circ \cdot \cos 11{}^\circ}{\sin 22{}^\circ }$ .

Решение: Воспользуемся формулой для синуса двойного угла:

12\sin 11{}^\circ \cdot \cos 11{}^\circ = 6\cdot( 2\sin 11{}^\circ \cdot \cos 11{}^\circ) = 6\cdot\sin{22^{\circ}}.

Тогда получаем:

\dfrac{12\sin 11{}^\circ \cdot \cos 11{}^\circ}{\sin 22{}^\circ} = \dfrac{6\cdot\sin{22^{\circ}}}{\sin{22^{\circ}}} = 6.

$\Longrightarrow$ Решение задачи

Задачи для самостоятельного решения

Найдите значение выражения $8\sin{\dfrac{5\pi}{12}}\cdot\cos{\dfrac{5\pi}{12}}$ .
$\Longrightarrow$ Решение задачи
Найдите значение выражения $\dfrac{5\sin98^{\circ}}{\sin49^{\circ}\cdot \sin41^{\circ}}$ .
$\Longrightarrow$ Решение задачи
Найдите значение выражения $\dfrac{5\sin74^{\circ}}{\cos37^{\circ}\cdot \cos53^{\circ}}$ .
$\Longrightarrow$ Решение задачи
Найдите значение выражения $\dfrac{\sin{126^{\circ}}}{4\sin{63^{\circ}}\sin{27^{\circ}}}$ .
$\Longrightarrow$ Решение задачи
Найдите значение выражения $\dfrac{2\cos20^{\circ}\cdot\cos70^{\circ}}{5\sin40^{\circ}}$ .
$\Longrightarrow$ Решение задачи
Найдите $\dfrac{10\sin 6\alpha }{3\cos 3\alpha }$ , если $\sin 3\alpha =0,6$ .

Задание 8. Косинус двойного угла

$\blacktriangleright$ Пример 1. Найдите $98\cos{2\alpha}$ , если $\cos\alpha=\dfrac{4}{7}$ .

Решение: Воспользуемся формулой для нахождения косинуса двойного угла:

98\cos{2\alpha} = 98(2\cos^2{\alpha} - 1) = 98\left(2 \cdot \dfrac{16}{49} - 1\right) = \dfrac{98 \cdot (-17)}{49} =-34.

$\Longrightarrow$ Решение задачи

$\blacktriangleright$ Пример 2. Найдите значение выражения $\sqrt{3}\cos^2{\dfrac{5\pi}{12}}-\sqrt{3}\sin^2{\dfrac{5\pi}{12}}$ .

Решение: Воспользуемся формулой для нахождения косинуса двойного угла:

\sqrt{3}\left(\cos^2{\dfrac{5\pi}{12}} - \sin^2{\dfrac{5\pi}{12}}\right) = \sqrt{3}\left(\cos{\left(2\cdot \dfrac{5\pi}{12}\right)}\right) = \sqrt{3}\cdot \cos{\dfrac{5\pi}{6}} = \sqrt{3}\cdot\left(-\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right) = -1{,}5.

$\Longrightarrow$ Решение задачи

$\blacktriangleright$ Пример 3. Найдите значение выражения $\sqrt{48}\cos^2\dfrac{19\pi}{12}-\sqrt{12}$ .

Решение: Вынесем за скобки общий числовой множитель $\sqrt{12}=2\sqrt{3}$ , получим:

\sqrt{48}\cos^2\dfrac{19\pi}{12}-\sqrt{12}=\sqrt{12}\cdot\left(\sqrt{4}\cos^2\dfrac{19\pi}{12}-1\right)=2\sqrt{3}\cdot\left(2\cos^2\dfrac{19\pi}{12}-1\right).

Выражение, полученное в скобках, свернём по формуле косинуса двойного угла
$\cos{2x}=2\cos^2{x}-1$ и вычислим полученную функцию:

2\sqrt{3}\cdot\left(2\cos^2\dfrac{19\pi}{12}-1\right)=2\sqrt{3}\cdot\cos\dfrac{19\pi}{6}=2\sqrt{3}\cdot\cos\left(3\pi+\dfrac{\pi}{6}\right)=-2\sqrt{3}\cdot\cos\dfrac{\pi}{6}=-2\sqrt{3}\cdot\dfrac{\sqrt{3}}{2}=-3.

$\Longrightarrow$ Решение задачи

Задачи для самостоятельного решения

Найдите $24\cos 2\alpha$ , если $\sin \alpha =-0,2$ .
$\Longrightarrow$ Решение задачи
Найдите $-20\cos2\alpha$ , если $\sin\alpha=-0,8$ .
$\Longrightarrow$ Решение задачи
Найдите $9\cos 2\alpha$ , если $\cos \alpha =\dfrac{1}{3}$ .
Найдите $-47 \cos 2 \alpha$ , если $\cos \alpha = -0,4$ .
Найдите $\sqrt{5}\cdot\cot{2\alpha}$ , если $\sin{\bigg(\alpha-\dfrac{\pi}{2}\bigg)}=-\dfrac{2}{3}$ и $\dfrac{3\pi}{2}<\alpha<2\pi$ .
$\Longrightarrow$ Решение задачи
Найдите значение выражения $4\cos{4\alpha}$ , если $\sin{2\alpha}=-0,4$ .
$\Longrightarrow$ Решение задачи
Найдите значение выражения $\sqrt{75}\cos^2{\dfrac{7\pi}{12}}-\sqrt{75}\sin^2{\dfrac{7\pi}{12}}$ .
$\Longrightarrow$ Решение задачи
Найдите значение выражения $\sqrt{3}-\sqrt{12}\sin^2{\dfrac{5\pi}{12}}$ .
$\Longrightarrow$ Решение задачи
Найдите значение выражения $\sqrt{12}\cos^2\dfrac{5\pi}{12}-\sqrt{3}$ .
$\Longrightarrow$ Решение задачи
Найдите значение выражения $2\sqrt{2}\cos^2\dfrac{3\pi}{8}-\sqrt{2}$ .
$\Longrightarrow$ Решение задачи
Найдите значение выражения $2\sqrt{2}-4\sqrt{2}\sin^2\dfrac{5\pi}{8}$ .
$\Longrightarrow$ Решение задачи
Найдите значение выражения $\dfrac{24({{\sin }^{2}}17{}^\circ -{{\cos }^{2}}17{}^\circ )}{\cos 34{}^\circ }$ .
$\Longrightarrow$ Решение задачи
Найдите значение выражения $\dfrac{18(\sin^224^{\circ}-\cos^224^{\circ})}{\cos48^{\circ}}$ .
$\Longrightarrow$ Решение задачи
Найдите значение выражения $\dfrac{6\cos^2{34^{\circ}}-3}{\cos{169^{\circ}}\cdot\cos{79^{\circ}}}$ .
$\Longrightarrow$ Решение задачи

Задание 9. Тригонометрические уравнения 1 части

$\blacktriangleright$ Пример 1. Решите уравнение и в ответе запишите его наибольший отрицательный корень:

\cos{\dfrac{\pi(x-1)}{3}} = \dfrac{1}{2}.

Решение: С помощью тригонометрической окружности разберемся, при каких значениях угла, его косинус равен $\dfrac{1}{2}$ . Для этого:

— Найдем на горизонтальной оси косинусов точку $\dfrac{1}{2}$ .
— Проведем через эту точку вертикальную прямую и найдем точки пересечения этой прямой с окружностью.
— Выявим значения углов, косинус которых равен $\dfrac{1}{2}$ .

Таким образом, искомые значения – это $\dfrac{\pi}{3}$ и $-\dfrac{\pi}{3}$ .

Учтём, что, пройдя любое целое количество целых оборотов по окружности относительно точек $\dfrac{\pi}{3}$ и $-\dfrac{\pi}{3}$ , мы будем попадать в точки, косинус которых тоже равен $\dfrac{1}{2}$ , а, значит, они являются решениями нашего уравнения. Множество всех таких точек мы запишем с помощью периода. Один полный оборот по окружности равен $2\pi$ . Пусть количество оборотов равно некоторому целому числу $k$ . Тогда множество решений нашего уравнения можно записать как $\dfrac{\pi}{3} + 2\pi k$ и $-\dfrac{\pi}{3} + 2\pi k$ . Итого, сделаем следующий переход:

\cos{\dfrac{\pi(x-1)}{3}} = \dfrac{1}{2},

\left[ \begin{gathered} \dfrac{\pi(x-1)}{3}=\dfrac{\pi}{3} + 2\pi k, \\ \dfrac{\pi(x-1)}{3}= - \dfrac{\pi}{3} + 2\pi k. \end{gathered} \right.

Разделим обе части каждого уравнения в совокупности на $\dfrac{\pi}{3}$ .

\left[ \begin{gathered} x-1= 1 + 6 k, \\ x-1= -1 + 6 k; \end{gathered} \right.

\left[ \begin{gathered} x = 2 + 6 k, \\ x = 6 k. \end{gathered} \right.

Найдём наибольший отрицательный корень нашего уравнения. Вспомним, что $k$ – целое число. Заметим, что $x$ может быть отрицательным только при $k$ < 0, причем, чем меньше $k$ , тем меньше $x$ . Таким образом, нам нужно брать $k$ как можно больше, но так, чтобы $k < 0$ . Делаем вывод, что нам подойдёт $k = -1$ . Подставим это значение $k$ в верхнее и нижнее уравнение и получим:

\text{при } k = -\text{1:} \,\,\,\,\,\,\, \left[ \begin{gathered} x = 2 + 6\cdot(-1) = -4, \\ x = 6\cdot(-1) = -6. \end{gathered} \right.

Из этих двух значений больше $-4$ . Это число и будет являться нашим ответом.

$\blacktriangleright$ Пример 2.

Найдите наибольший отрицательный и наименьший положительный корень уравнения:

\cot{\dfrac{\pi(x+8)}{18}}=\sqrt{3}.

Решение:
Сделаем замену $\dfrac{\pi(x+8)}{18}=t$ и решим полученное уравнение:

\cot{t}=\sqrt{3},

t=\dfrac{\pi}{6}+\pi n,\,\,\,n\in\mathbb{Z}.

Сделаем обратную замену и найдём $x$ :

\dfrac{\pi(x+8)}{18}=\dfrac{\pi}{6}+\pi n,

\dfrac{x+8}{18}=\dfrac{1}{6}+n,

x+8=3+18n,

x =18n-5.

Заметим, что при $n=0$ :

18\cdot 0-5=-5.

Если брать $n$ меньше, то мы получим значение меньше $-5$ .

Будем брать положительные $n$ :

n=1\text{:}\,\, 18\cdot 1-5=13,

n=2\text{:}\,\, 18\cdot 2-5=31.

Вывод:
Наибольший отрицательный корень нашего уравнения достигается при $n=0$ и равен $-5$ .
Наименьший положительный корень нашего уравнения достигается при $n=1$ и равен $13$ .

Задачи для самостоятельного решения

Решите уравнение ${\tan \dfrac{\pi x}{4}=-1}$ . В ответе запишите наибольший отрицательный корень.
$\Longrightarrow$ Решение задачи
Найдите наибольший отрицательный корень уравнения: $\sin{\dfrac{\pi x}{12}}=-\dfrac{1}{2}.$
$\Longrightarrow$ Решение задачи
Решите уравнение ${\sin \dfrac{\pi x}{3}=0,5}$ . В ответе запишите наименьший положительный корень.
Решите уравнение ${\cos\dfrac{\pi\left(x-7\right)}{3}=\dfrac12}$ . В ответе запишите наибольший отрицательный корень.
$\Longrightarrow$ Решение задачи
Найдите наименьший положительный корень уравнения: $\cos{\dfrac{\pi(x-3)}{3}}=\dfrac{1}{2}.$
$\Longrightarrow$ Решение задачи
Найдите наибольший отрицательный корень уравнения: $\cos{\dfrac{\pi (x+7)}{4}}=\dfrac{1}{\sqrt{2}}.$
Найдите наименьший положительный корень уравнения:
$\tan{\dfrac{\pi(4x+3)}{3}}=-\sqrt{3};$

$\Longrightarrow$ Решение задачи
Найдите наименьший положительный корень уравнения: $\sin{\dfrac{\pi(8x-7)}{4}}=1.$

Задания 2 части

Задание 1

a) Pешите уравнение: $2\cos^2{\left(\dfrac{3\pi}{2}+x\right)}=\sqrt{3}\sin x$ .

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[ -3 \pi; -\dfrac{3\pi}{2} \right]$ .

$\Longrightarrow$ Решение

Задание 2

а) Решите уравнение: $2\sin^2{\left(\dfrac{3\pi}{2}+x\right)}= \sqrt{3}\cos x$ .

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[-\dfrac{7\pi}{2}; -2\pi \right]$ .

Задание 3

a) Решите уравнение: $\cos ^2(\pi-x)-\sin \left(x+\dfrac{3 \pi}{2}\right)=0$ .

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[\dfrac{5\pi}{2}; 4\pi \right]$ .

Задание 4

a) Решите уравнение: $2 \sin (\pi+x) \cdot \sin \left(\dfrac{\pi}{2}+x\right)=\sin x$ .

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[ 3\pi; \dfrac{9\pi}{2}\right]$ .

$\Longrightarrow$ Решение

Задание 5

а) Решите уравнение: $\cos{2x}-\sqrt{2}\cos{\left(\dfrac{3\pi}{2}+x\right)}-1=0$ .

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[\dfrac{3\pi}{2};3\pi\right]$ .

$\Longrightarrow$ Решение

Задание 6

а) Решите уравнение: $\cos{2x}-\sqrt{2}\cos{\left(\dfrac{\pi}{2}+x\right)}+1=0$ .

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[-5\pi;-\dfrac{7\pi}{2}\right]$ .

Задание 7

а) Решите уравнение: $\cos \left(2 x-\dfrac{3 \pi}{2}\right)=\sqrt{2} \sin x$ .

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[\dfrac{\pi}{2} ; 2 \pi\right]$ .

Задание 8

a) Решите уравнение: $2 \cos 2 x+4\sqrt{3}\cos x-7=0$ .

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[ \dfrac{5\pi}{2}; 4\pi \right]$ .

Задание 9

а) Решите уравнение: $2\sin^2{x}-3\sqrt{3}\sin{\left(\dfrac{\pi}{2}+x\right)}-5=0$ .

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[-\dfrac{5\pi}{2};-\pi\right]$ .

$\Longrightarrow$ Решение

Задание 10

а) Решите уравнение: $\cos 2 x+\sin (-x)-1=0$ .

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[\dfrac{\pi}{2} ; 2 \pi\right]$ .

Задание 11

a) Решите уравнение: $\sin 2 x+2 \sin (-x)+\cos (-x)-1=0$ .

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[2 \pi ; \dfrac{7 \pi}{2}\right]$ .

$\Longrightarrow$ Решение

Задание 12

a) Pешите уравнение: $2 \cos ^2 x-3 \sin (-x)-3=0$ .

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[\dfrac{5 \pi}{2} ; 4 \pi\right]$ .

Задание 13

а) Решите уравнение: $\sin{2x}-2\sin{(-x)}=1+\cos{(-x)}$ .

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[-\dfrac{7\pi}{2};-2\pi \right]$ .

$\Longrightarrow$ Решение

Задание 14

а) Решите уравнение: $2\sin^2{x}-3\cos{(-x)}-3=0$ .

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[2\pi;\dfrac{7\pi}{2}\right]$ .

$\Longrightarrow$ Решение

Задание 15

а) Решите уравнение: $4\sin^3{x}= 3\cos{\left(x - \dfrac{\pi}{2}\right)}$ .

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[\dfrac{7\pi}{2}; \dfrac{9\pi}{2} \right]$ .

Задание 16

а) Решите уравнение: $2\cos^3{(x-\pi)}=\sin{\left(\dfrac{3\pi}{2}+x\right)}$ .

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[\dfrac{9\pi}{2};\dfrac{11\pi}{2}\right]$ .

$\Longrightarrow$ Решение

Задание 17

а) Решите уравнение: $2\sin^3{(\pi+x)}=\dfrac{1}{2}\cos{\left(x-\dfrac{3\pi}{2}\right)}$ .

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[-\dfrac{7\pi}{2};-\dfrac{5\pi}{2}\right]$ .

Задание 18

а) Решите уравнение: $\sin ^3 x+\cos 2 x+\sin x=1$ .

б) Найдите корни этого уравнения, принадлежащие промежутку $\left[\dfrac{3 \pi}{2} ; 3 \pi\right]$ .

$\Longrightarrow$ Решение

Задание 19

а) Решите уравнение: $\dfrac{7}{1-\cos ^2 x}+\dfrac{9}{\sin x}=10$ .

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[-3 \pi ;-\dfrac{3 \pi}{2}\right]$ .

$\Longrightarrow$ Решение

Задание 20

а) Решите уравнение: $\dfrac{4}{\sin ^2\left(\frac{7 \pi}{2}-x\right)}-\dfrac{11}{\cos x}+6=0$ .

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку $\left[2 \pi ; \dfrac{7 \pi}{2}\right]$ .

$\Longrightarrow$ Решение

Задание 21

a) Решите уравнение: $16 \sin ^4 x+8 \cos 2 x-7=0$ .

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[\dfrac{\pi}{2} ; 2 \pi\right]$ .

Задание 22

a) Решите уравнение: $4\cos ^4 x+9 \cos 2 x-1=0$ .

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[3\pi ; \dfrac{9\pi}{2}\right]$ .

Задание 23

а) Решите уравнение: $2\cos^4{x}+3\sin^2{x}-2=0$ .

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[-\dfrac{7\pi}{2};-\dfrac{5\pi}{2}\right]$ .

$\Longrightarrow$ Решение

Задание 24

а) Решите уравнение: $4\sin^4{x}+7\cos^2{x}-4=0$ .

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $[-5\pi;-4\pi]$ .

Задание 25

a) Решите уравнение: $2\cos ^3 x+\sqrt{3}\cos^2 x + 2 \cos x + \sqrt{3}=0$ .

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[-2\pi ; -\dfrac{\pi}{2}\right]$ .

Задание 26

а) Решите уравнение: $\cos{2x}-\sin{2x}=\cos{x}+\sin{x}+1$ .

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[-\dfrac{5\pi}{2};-\pi\right]$ .

$\Longrightarrow$ Решение

Задание 27

а) Решите уравнение: $\sin2 x+\sqrt{2} \sin x=2\cos x + \sqrt{2}$ .

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[ \pi; \dfrac{5 \pi}{2}\right]$ .

Задание 28

а) Решите уравнение: $\cos^2{x}-\dfrac{1}{2}\sin 2x + \cos x= \sin x$ .

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[\dfrac{\pi}{2}; 2\pi \right]$ .

$\Longrightarrow$ Решение

Задание 29

а) Решите уравнение: $4 \cos ^3 x-2 \sqrt{3} \cos 2 x+3 \cos x=2 \sqrt{3}$ .

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[2 \pi ; \dfrac{7 \pi}{2}\right]$ .

Задание 30

а) Решите уравнение: $2 \sin ^3 x-\sqrt{2} \cos 2 x+\sin x=-\sqrt{2}$ .

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[\dfrac{3 \pi}{2} ; 3 \pi\right]$ .

$\Longrightarrow$ Решение

Задание 31

a) Решите уравнение: $2 \cos ^3 x-\cos ^2 x+2 \cos x-1=0$ .

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[{2\pi}; \dfrac{7\pi}{2} \right]$ .

Задание 32

a) Решите уравнение: $2 \sin 2 x=4 \cos x-\sin x+1$ .

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[\dfrac{\pi}{2}; \dfrac{3\pi}{2} \right]$ .

Задание 33

a) Решите уравнение: $\sin 2 x-2 \sqrt{3} \cos ^2 x-4 \sin x+4 \sqrt{3} \cos x=0$ .

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[\pi; \dfrac{5\pi}{2}\right]$ .

$\Longrightarrow$ Решение

Задание 34

а) Решите уравнение: $2 \sin 2 x+2 \sin (-x)-2 \cos (-x)+1=0$ .

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[\dfrac{5 \pi}{2} ; 4 \pi\right]$ .

Задание 35

а) Решите уравнение: $4 \sin ^3 x+4 \sqrt{3} \cos ^2 x+3 \sin x=4 \sqrt{3}$ .

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[\pi ; \dfrac{5 \pi}{2}\right]$ .

$\Longrightarrow$ Решение

Задание 36

a) Решите уравнение: $\sqrt{2} \sin ^3 x-\sqrt{2} \sin x+\cos ^2 x=0$ .

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[-\dfrac{5\pi}{2} ; - \pi\right]$ .

Задание 37

a) Решите уравнение: $2 \cos x-\sqrt{3} \sin ^2 x=2 \cos ^3 x$ .

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[-\dfrac{7\pi}{2} ; -2 \pi\right]$ .

Задание 38

а) Решите уравнение: $2 \sin ^3 x+\sqrt{2} \cos 2 x+\sin x=\sqrt{2}$ .

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[-\dfrac{7 \pi}{2} ;-2 \pi\right]$ .

Задание 39

а) Решите уравнение: $2 \sin ^3 x+\sin x+2 \sqrt{2}=2 \sqrt{2} \cos ^2 x$ .

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[-\dfrac{5 \pi}{2} ;-\pi\right]$ .

Задание 40

а) Решите уравнение: $7 \sin \left(\dfrac{\pi}{2}+x\right)+4 \sqrt{3} \sin x \cos x=4 \cos ^3 x$ .

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[-\dfrac{5 \pi}{2} ;-\pi\right]$ .

Задание 41

а) Решите уравнение: $5\sin{x}-4\sin^3{x}=2\sin{2x}$ .

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[-\dfrac{7\pi}{2};-2\pi\right]$ .

$\Longrightarrow$ Решение

Задание 42

а) Решите уравнение: $7\cos{x}-4\cos^3{x}=2\sqrt{3}\sin{2x}$ .

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[-4\pi;-3\pi\right]$ .

Задание 43

a) Решите уравнение: $2\sin{\left(x+\dfrac{\pi}{3}\right)}+\cos 2 x=\sqrt{3} \cos x+1$ .

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[ -3 \pi; -\dfrac{3\pi}{2} \right]$ .

$\Longrightarrow$ Решение

Задание 44

а) Решите уравнение: $\cos x+2 \sin \left(2 x+\dfrac{\pi}{6}\right)+1=\sqrt{3} \sin 2 x$ .

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[4 \pi ; \dfrac{11 \pi}{2}\right]$ .

$\Longrightarrow$ Решение

Задание 45

a) Решите уравнение: $2 \sin ^2 x+\sqrt{2} \sin \left(x+\dfrac{\pi}{4}\right)=\cos x$ .

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[-2\pi; -\dfrac{\pi}{2} \right]$ .

$\Longrightarrow$ Решение

Задание 46

a) Решите уравнение: $\sin x+2 \sin \left(2 x+\dfrac{\pi}{6}\right)=\sqrt{3} \sin 2 x+1$ .

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[-\dfrac{7\pi}{2} ; -2 \pi\right]$ .

$\Longrightarrow$ Решение

Задание 47

а) Решите уравнение: $\sin x+\left(\cos \frac{x}{2}-\sin \frac{x}{2}\right)\left(\cos \frac{x}{2}+\sin \frac{x}{2}\right)=0$ .

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие промежутку $\left[\pi, \frac{5 \pi}{2}\right]$ .

$\Longrightarrow$ Решение

Задание 48

a) Решите уравнение: $\cos ^2 \dfrac{x}{2}-\sin ^2 \dfrac{x}{2}=\sin \left(\dfrac{\pi}{2}-2 x\right)$ .

б) Укажите корни уравнения, принадлежащие отрезку $\left[\pi, \dfrac{5 \pi}{2}\right]$ .

Задание 49

а) Решите уравнение: $\sin{\dfrac{5x}{2}}\cos{\dfrac{3x}{2}}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}\sin 2x + \sin{\dfrac{3x}{2}}\cos{\dfrac{5x}{2}}$ .

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[-\dfrac{5\pi}{2} ; -2\pi\right]$ .

Задание 50

a) Решите уравнение: $\dfrac{\sin x}{\sin^2{\frac{x}{2}}}=4\cos^2{\dfrac{x}{2}}$ .

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[-\dfrac{9\pi}{2}; -3\pi \right]$ .

$\Longrightarrow$ Решение

Задание 51

а) Решите уравнение: $\sin^4{\frac{x}{4}}-\cos^4{\frac{x}{4}}=\cos\left(x-\frac{\pi}{2}\right)$ .

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[-\dfrac{3\pi}{2};\pi\right]$ .

Задание 52

а) Решите уравнение: $8 \sin ^2\left(\frac{7 \pi}{12}+x\right)-2 \sqrt{3} \cos 2 x=5$ .

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[-\frac{7 \pi}{2} ;-\frac{5 \pi}{2}\right]$ .

$\Longrightarrow$ Решение

Задание 53

а) Решите уравнение: $1-4 \cos ^2\left(x-\frac{5 \pi}{12}\right)=\sqrt{3} \cos 2 x$ .

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[-\frac{9 \pi}{2} ;-3 \pi\right]$ .

$\Longrightarrow$ Решение

Задание 54

а) Решите уравнение: $\sqrt{2} \sin 2 x+4 \cos ^2\left(\frac{3 \pi}{8}+x\right)=2+\sqrt{2}$ .

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[\pi ; \frac{5 \pi}{2}\right]$ .

Задание 55

a) Решите уравнение: $\sqrt{3}\sin 2 x+3\cos 2x=0$ .

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[ \dfrac{3\pi}{2}; 3\pi \right]$ .

Задание 56

a) Решите уравнение: $2\sin^2{x}-\sqrt{3}\sin 2 x=0$ .

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[ \dfrac{3 \pi}{2}; 3\pi \right]$ .

Задание 57

а) Решите уравнение: $\sin{2x}+\cos{2x}=1$ .

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[-\dfrac{7\pi}{2};-2\pi\right]$ .

$\Longrightarrow$ Решение

Задание 58

а) Решите уравнение: $\sin{2x}+\cos{2x}+1=0$ .

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[3\pi;\dfrac{9\pi}{2}\right]$ .

Задание 59

a) Решите уравнение: $2\cos ^2{\left(\dfrac{3\pi}{2}+x\right)} = \sin 2x$ .

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[-\dfrac{9\pi}{2} ; -3\pi \right]$ .

Задание 60

а) Решите уравнение: $2\sin^2{(\frac{\pi}{2}-x)}+\sin{2x}=0$ .

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[3\pi;\dfrac{9\pi}{2}\right]$ .

Задание 61

а) Решите уравнение: $5^{2 \sin 2 x}=\left(\dfrac{1}{25}\right)^{\cos \left(\frac{3 \pi}{2}+x\right)}$ .

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[\dfrac{3 \pi}{2} ; 3 \pi\right]$ .

$\Longrightarrow$ Решение

Задание 62

а) Решите уравнение: $36^{\sin 2 x}=6^{2 \sin x}$ .

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[-\dfrac{7 \pi}{2} ;-\dfrac{5 \pi}{2}\right]$ .

Задание 63

а) Решите уравнение: $\left(\dfrac{1}{81}\right)^{\cos x}=9^{2 \sin 2 x \text {. }}$ .

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $[-3 \pi,-2 \pi]$ .

Задание 64

a) Решите уравнение: $15^{\cos x}=3^{\cos x} \cdot 5^{\sin x}$ .

б) Найдите его корни, принадлежащие отрезку $\left[5\pi;\dfrac{13\pi}{2}\right]$ .

Задание 65

a) Решите уравнение: $\left(32^{\cos x}\right)^{\sin x}=4 \sqrt{2}$ .

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[-\dfrac{9 \pi}{2} ;-3 \pi\right]$ .

$\Longrightarrow$ Решение

Задание 66

a) Решите уравнение: $\left(27^{\cos x}\right)^{\sin x}=3^{\frac{3 \cos x}{2}}$ .

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[-\pi, \dfrac{\pi}{2}\right]$ .

Задание 67

a) Решите уравнение: $\left(\dfrac{4}{9}\right)^{\cos x} + 2 \cdot \left(\dfrac{2}{3}\right)^{\cos x} -3 = 0$ .

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[\pi ; 4\pi\right]$ .

Задание 68

a) Решите уравнение: $4^{\sin x} + 4^{\sin {\left(x + \pi \right)}} = \dfrac{5}{2}$ .

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[\dfrac{5\pi}{2} ; 4\pi\right]$ .

$\Longrightarrow$ Решение

Задание 69

a) Решите уравнение: $9^{\sin x}+9^{-\sin x}=\frac{10}{3}$ .

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[-\dfrac{7 \pi}{2},-2 \pi\right]$ .

Задание 70

а) Решите уравнение: $\left(\dfrac{2}{5}\right)^{\cos x}+\left(\dfrac{5}{2}\right)^{\cos x}=2$ .

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[-3 \pi,-\dfrac{3 \pi}{2}\right]$ .

Задание 71

a) Решите уравнение: $16^{\sin x} - 1,5 \cdot 4^{\sin x + 1} + 8 =0$ .

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[-5\pi ; -\dfrac{7\pi}{2}\right]$ .

Задание 72

а) Решите уравнение: $2^{4 \cos x}+3 \cdot 2^{2 \cos x}-10=0$ .

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащего отрезку $\left[\pi ; \dfrac{5 \pi}{2}\right]$ .

Задание 73

a) Решите уравнение: $2^{\sin{\left(\frac{\pi}{2} - x\right)}} - 2 \cdot \left(\dfrac{1}{2}\right)^{2\cos^2 x} = 0$ .

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[3\pi ; \dfrac{9\pi}{2}\right]$ .

$\Longrightarrow$ Решение

Задание 74

a) Решите уравнение: $2 \log _3^2(2 \cos x)-5 \log _3(2 \cos x)+2=0$ .

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[\pi ; \dfrac{5 \pi}{2}\right]$ .

$\Longrightarrow$ Решение

Задание 75

a) Решите уравнение: $2 \log _2^2(2 \cos x)-9 \log _2(2 \cos x)+4=0$ .

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[-2 \pi ;-\dfrac{\pi}{2}\right]$ .

Задание 76

a) Решите уравнение: $2 \log _{0,5}^2(2 \sin x)+7 \log _{0,5}(2 \sin x)+3=0$ .

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[-\dfrac{3 \pi}{2} ; 0\right]$ .

Задание 77

а) Решите уравнение: $\log_{\frac{1}{3}}(2\sin^2{x}-3\cos{2x}+6)=-2$ .

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[-\dfrac{7\pi}{2};-2\pi\right]$ .

Задание 78

а) Решите уравнение: $\log_{\frac{1}{2}}(3\cos{2x}-2\cos^2{x}+5)=-2$ .

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[5\pi;\dfrac{13\pi}{2}\right]$ .

Задание 79

а) Решите уравнение: $\log _4\left(2^{2 x}-\sqrt{3} \cos x-\sin 2 x\right)=x$ .

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[-\dfrac{\pi}{2} ; \dfrac{3 \pi}{2}\right]$ .

$\Longrightarrow$ Решение

Задание 80

a) Pешите уравнение: $\log _{4}(2 ^ {2x} - \sqrt{3}\cos x - \sin{2x}) = x$ .

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[\pi ; \dfrac{7\pi}{2}\right]$ .

Задание 81

а) Решите уравнение: $\dfrac{2 \sin ^2 x-\sin x}{\log _7(\cos x)}=0$ .

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[-5 \pi ;-\dfrac{7 \pi}{2}\right]$ .

$\Longrightarrow$ Решение

Задание 82

a) Решите уравнение: $\dfrac{2 \sin ^2 x-\sin x-1}{\log_2{(\cos x)}}=0$ .

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[ \pi;\dfrac{5\pi}{2} \right]$ .

Задание 83

a) Решите уравнение: $\log_{\sin x}{(\cos 2x - \sin x + 1)} = 2$ .

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[\dfrac{\pi}{2} ; 2\pi\right]$ .

Задание 84

а) Решите уравнение: $\dfrac{\log _2^2(\sin x)+\log _2(\sin x)}{2 \cos x-\sqrt{3}}=0$ .

б) Найдите все его корни, принадлежащие отрезку $\left[\dfrac{\pi}{2} ; 2 \pi\right]$ .

Задание 85

а) Решите уравнение: $\dfrac{3^{\cos ^2 x}+3^{\sin ^2 x}-4}{\sin x+1}=0$ .

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[\dfrac{11 \pi}{2} ; 7 \pi\right]$ .

Задание 86

a) Решите уравнение: $\dfrac{3\tan^2{x}-1}{2\sin x+1}=0$ .

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[2 \pi; \dfrac{7 \pi}{2} \right]$ .

Задание 87

a) Решите уравнение: $\dfrac{\cos 2 x+\sqrt{3}\sin x-1}{\tan x-\sqrt{3}}=0$ .

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[2 \pi; \dfrac{7 \pi}{2} \right]$ .

$\Longrightarrow$ Решение

Задание 88

a) Решите уравнение: $\dfrac{2 \sin ^2 x-\sin x}{2 \cos x-\sqrt{3}}=0$ .

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[\dfrac{3 \pi}{2} ; 3 \pi\right]$ .

Задание 89

a) Решите уравнение: $\dfrac{2 \sin ^2 x-3\sin x+1}{\tan x}=0$ .

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[- \pi;\dfrac{\pi}{2} \right]$ .

Задание 90

a) Решите уравнение: $(2\sin x + \sqrt{3})\cdot \sqrt{\cos x} = 0$ .

б) Найдите его корни, принадлежащие отрезку $\left[\dfrac{3\pi}{2};\dfrac{7\pi}{2}\right]$ .

Задание 91

а) Решите уравнение: $\dfrac{9^{\sin 2 x}-3^{2 \sqrt{2}\sin x} }{\sqrt{11 \sin x}}=0$ .

б) Найдите все его корни, принадлежащие отрезку $\left[\dfrac{7 \pi}{2} ; 5 \pi\right]$ .

Задание 92

а) Решите уравнение: $\dfrac{4^{\sin 2x}- 2^{2\sqrt{3}\sin x}}{\sqrt{7\sin x}}=0$ .

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[-\dfrac{13 \pi}{2} ; -5\pi\right]$ .

Задание 93

a) Решите уравнение: $\left(\tan^2 x-1\right) \sqrt{13 \cos x}=0$ .

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[-3 \pi ;-\dfrac{3 \pi}{2}\right]$ .

Задание 94

a) Решите уравнение: $\left(2 \cos ^2 x+\sin x-2\right) \sqrt{5 \tan x}=0$ .

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[\pi ; \dfrac{5 \pi}{2}\right]$ .

Задание 95

а) Решите уравнение: $(2 \cos x+1)(\sqrt{-\sin x}-1)=0$ .

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[0 ; \dfrac{3 \pi}{2}\right]$ .

Задание 96

a) Решите уравнение: $(2 \sin x-1)(\sqrt{-\cos x}+1)=0$ .

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[\dfrac{3 \pi}{2} ; 3 \pi\right]$ .

Задание 97

а) Решите уравнение: $\left(\tan^2 x-3\right) \sqrt{11 \cos x}=0$ .

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[-\dfrac{5 \pi}{2} ;-\pi\right]$ .

Задание 98

а) Решите уравнение: $(\cos x-1)(\tan x+\sqrt{3}) \sqrt{\cos x}=0$ .

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[3 \pi ; \dfrac{9 \pi}{2}\right]$ .

Задание 99

а) Решите уравнение: $\left(\sqrt{2} \sin ^2 x+\cos x-\sqrt{2}\right) \sqrt{-6 \sin x}=0$ .

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[2 \pi ; \dfrac{7 \pi}{2}\right]$ .

Задание 100

а) Решите уравнение: $\left(6 \sin ^2 x+5 \sin x-4\right) \cdot \sqrt{-7 \cos x}=0$ .

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[-\dfrac{5 \pi}{2},-\pi\right]$ .

Задание 101

a) Решите уравнение: $\dfrac{1 + 2 \sin ^2 x-3\sqrt{2}\sin x+\sin 2x}{2\sin x \cos x-1}=1$ .

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[-\dfrac{7 \pi}{2} ; - \pi\right]$ .

Задание 102

a) Решите уравнение: $\sqrt{\tan x -1}\cdot(3\cos x + \cos 2x + 2)=0$ .

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[\dfrac{\pi}{2}; \dfrac{3 \pi}{2} \right]$ .

Задание 103

a) Решите уравнение: $2^{4\sin^2{x}+1}+2^{4\cos^2{x}}=18$ .

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[2\pi ; \dfrac{7 \pi}{2} \right]$ .

Задание 104

a) Решите уравнение: $\sin 2 x+2 \cos ^2 x+\cos 2 x=0$ .

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[-\dfrac{9 \pi}{2} ;-3 \pi\right]$ .

Задание 105

a) Решите уравнение: $\cos{\left(x+\dfrac{\pi}{3}\right)}\cdot \cos{\left(x-\dfrac{\pi}{3}\right)} = - \dfrac{1}{2}$ .

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[-\dfrac{\pi}{2} ; 2\pi \right]$ .

Ответы

Тригонометрическая окружность. Табличные значения углов. Область значений синуса и косинуса

Задание 1.1

Задание 1.2

$\sin t = 0$ , $\cos t = 1$ , $\tan t = 0$ , $\cot t \in \varnothing$ ;
$\sin t = 1$ , $\cos t = 0$ , $\tan t \in \varnothing$ , $\cot t = 0$ ;
$\sin t = -1$ , $\cos t = 0$ , $\tan t \in \varnothing$ , $\cot t = 0$ ;
$\sin t = 0$ , $\cos t = -1$ , $\tan t = 0$ , $\cot t \in \varnothing$ ;
$\sin t = 0$ , $\cos t = 1$ , $\tan t = 0$ , $\cot t \in \varnothing$ ;
$\sin t = -1$ , $\cos t = 0$ , $\tan t \in \varnothing$ , $\cot t = 0$ ;
$\sin t = 1$ , $\cos t = 0$ , $\tan t \in \varnothing$ , $\cot t = 0$ ;
$\sin t = 0$ , $\cos t = -1$ , $\tan t = 0$ , $\cot t \in \varnothing$ ;
$\sin t =\dfrac{1}{2}$ , $\cos t = -\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ , $\tan t = -\dfrac{\sqrt{3}}{3}$ , $\cot t = - \sqrt{3}$ ;
$\sin t = -\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ , $\cos t = -\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ , $\tan t = 1$ , $\cot t = 1$ ;
$\sin t = -\dfrac{1}{2}$ , $\cos t = -\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ , $\tan t = \dfrac{\sqrt{3}}{3}$ , $\cot t = \sqrt{3}$ ;
$\sin t = -\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ , $\cos t = \dfrac{\sqrt{2}}{2}$ , $\tan t = -1$ , $\cot t = -1$ ;
$\sin t = \dfrac{\sqrt{2}}{2}$ , $\cos t = \dfrac{\sqrt{2}}{2}$ , $\tan t = 1$ , $\cot t = 1$ ;
$\sin t = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$ , $\cos t = -\dfrac{1}{2}$ , $\tan t = - \sqrt{3}$ , $\cot t = -\dfrac{\sqrt{3}}{3}$ ;
$\sin t = -\dfrac{1}{2}$ , $\cos t = -\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ , $\tan t = \dfrac{\sqrt{3}}{3}$ , $\cot t = \sqrt{3}$ ;
$\sin t = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$ , $\cos t = \dfrac{1}{2}$ , $\tan t = \sqrt{3}$ , $\cot t = \dfrac{\sqrt{3}}{3}$ .

Задание 1.3

$-\dfrac{1}{2}$ ;
$-\dfrac{1}{2}$ ;
1;
0;
$\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ ;
$-\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ ;
$-1;$
$\sqrt{3}$ ;
$-\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ ;
$-\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ ;
0;
$\dfrac{\sqrt{3}}{3}$ .

Задание 1.4

$-\dfrac{\sqrt{3}}{2};$
$-\sqrt{3};$
$\dfrac{\sqrt{3}}{2};$
$-1;$
$\dfrac{1}{2};$
$\dfrac{1}{2};$
$-\dfrac{1}{2};$
$\dfrac{1}{2}.$

Задание 1.5

36;
2;
$-16;$
$-6;$
6;
18;
$-12;$
$-3.$

Задание 1.6

1.6.1

да;
да;
нет;
да;
да;
да;
нет;
да.

1.6.2

да;
да;
нет;
да;
да;
нет;
да;
нет.

1.6.3

да;
да;
да;
да;
да;
да;
да;
да.

1.6.4

да;
да;
да;
да;
да;
да;
да;
да.

Тригонометрические уравнения. Уровень 1

Задание 2.1

$\left\{\dfrac{\pi}{6}+2\pi k,\,\,\,\dfrac{5\pi}{6}+2\pi k,\,\,\, k\in\mathbb{Z} \right \}$ ;
$\left\{-\dfrac{\pi}{6}+2\pi k,\,\,\,-\dfrac{5\pi}{6}+2\pi k,\,\,\, k\in\mathbb{Z} \right \}$ ;
$\left\{-\dfrac{\pi}{4}+2\pi k,\,\,\,-\dfrac{3\pi}{4}+2\pi k,\,\,\, k\in\mathbb{Z} \right \}$ ;
$\left\{\dfrac{\pi}{3}+2\pi k,\,\,\,\dfrac{2\pi}{3}+2\pi k,\,\,\, k\in\mathbb{Z} \right \}$ ;
$\left\{-\dfrac{\pi}{3}+2\pi k,\,\,\,-\dfrac{2\pi}{3}+2\pi k,\,\,\, k\in\mathbb{Z} \right \}$ ;
$\left\{\dfrac{\pi}{4}+2\pi k,\,\,\,\dfrac{3\pi}{4}+2\pi k,\,\,\, k\in\mathbb{Z} \right \}$ ;
$\left\{-\dfrac{\pi}{4}+2\pi k,\,\,\,-\dfrac{3\pi}{4}+2\pi k,\,\,\, k\in\mathbb{Z} \right \}$ ;
$\left\{\pm\dfrac{\pi}{3}+2\pi k,\,\,\, k\in\mathbb{Z} \right \}$ ;
$\left\{\pm\dfrac{2\pi}{3}+2\pi k,\,\,\, k\in\mathbb{Z} \right \}$ ;
$\left\{\pm\dfrac{\pi}{4}+2\pi k,\,\,\, k\in\mathbb{Z}\right \}$ ;
$\left\{\pm\dfrac{3\pi}{4}+2\pi k,\,\,\, k\in\mathbb{Z}\right \}$ ;
$\left\{\pm\dfrac{\pi}{6}+2\pi k,\,\,\, k\in\mathbb{Z}\right \}$ ;
$\left\{\pm\dfrac{5\pi}{6}+2\pi k,\,\,\, k\in\mathbb{Z} \right \}$ ;
$\left\{\pm\dfrac{\pi}{4}+2\pi k,\,\,\, k\in\mathbb{Z} \right \}$ .

Задание 2.2

$\left\{\dfrac{\pi}{2}+\pi k,\,\,\, k\in\mathbb{Z} \right \}$ ;
$\left\{2\pi k ,\,\,\, k\in\mathbb{Z}\right \}$ ;
$\varnothing$ ;
$\varnothing$ ;
$\varnothing$ ;
$\varnothing$ ;
$\left\{\dfrac{\pi}{2}+2\pi k,\,\,\, k\in\mathbb{Z} \right \}$ ;
$\left\{-\dfrac{\pi}{2}+2\pi k,\,\,\, k\in\mathbb{Z} \right \}$ .

Задание 2.3

$\left\{\pi k,\,\,\, k\in\mathbb{Z} \right \}$ ;
$\left\{\dfrac{\pi}{6}+\pi k,\,\,\, k\in\mathbb{Z} \right \}$ ;
$\left\{\dfrac{5\pi}{6}+\pi k,\,\,\, k\in\mathbb{Z} \right \}$ ;
$\left\{\dfrac{\pi}{4}+\pi k,\,\,\, k\in\mathbb{Z} \right \}$ ;
$\left\{\dfrac{3\pi}{4}+\pi k,\,\,\, k\in\mathbb{Z} \right \}$ ;
$\left\{\dfrac{\pi}{3}+\pi k,\,\,\, k\in\mathbb{Z} \right \}$ ;
$\left\{\dfrac{\pi}{6}+\pi k,\,\,\, k\in\mathbb{Z} \right \}$ ;
$\left\{\dfrac{5\pi}{6}+\pi k,\,\,\, k\in\mathbb{Z} \right \}$ ;
$\left\{\dfrac{\pi}{3}+\pi k,\,\,\, k\in\mathbb{Z} \right \}$ ;
$\left\{\dfrac{2\pi}{3}+\pi k,\,\,\, k\in\mathbb{Z}\right \}$ ;
$\left\{\dfrac{\pi}{4}+\pi k,\,\,\, k\in\mathbb{Z} \right \}$ ;
$\left\{\dfrac{3\pi}{4}+\pi k,\,\,\, k\in\mathbb{Z} \right \}$ ;
$\left\{\dfrac{\pi}{6}+\pi k,\,\,\, k\in\mathbb{Z} \right \}$ ;
$\left\{\dfrac{5\pi}{6}+\pi k,\,\,\, k\in\mathbb{Z} \right \}$ ;
$\left\{\dfrac{\pi}{3}+\pi k,\,\,\, k\in\mathbb{Z} \right \}$ ;
$\left\{\dfrac{2\pi}{3}+\pi k,\,\,\, k\in\mathbb{Z} \right \}$ .

Задание 2.4

$\left\{\dfrac{\pi}{2}+2\pi k,\,\,\, k\in\mathbb{Z}\right \};$
$\left\{\pi+2\pi k,\,\,\, k\in\mathbb{Z}\right \};$
$\left\{-\dfrac{\pi}{6}+2\pi k,\,\, -\dfrac{5\pi}{6}+2\pi k,\,\,\, k\in\mathbb{Z}\right \};$
$\left\{\pm\dfrac{\pi}{3}+2\pi k,\,\,\, k\in\mathbb{Z}\right \}.$

Задание 2.5

$\left\{\dfrac{\pi}{6}+2\pi k,\,\, \dfrac{5\pi}{6}+2\pi k,\,\,\, k\in\mathbb{Z}\right \};$
$\left\{-\dfrac{\pi}{4}+2\pi k,\,\, -\dfrac{3\pi}{4}+2\pi k,\,\,\, k\in\mathbb{Z}\right \};$
$\left\{\pm\dfrac{\pi}{4}+2\pi k,\,\,\, k\in\mathbb{Z}\right \};$
$\left\{\pm\dfrac{5\pi}{6}+2\pi k,\,\,\, k\in\mathbb{Z}\right \}.$

Задание 2.6

$\varnothing;$
$\varnothing;$
$\varnothing;$
$\varnothing.$

Задание 2.7

$\left\{\dfrac{\pi}{2}+\pi k,\,\,\,\pm\dfrac{5\pi}{6}+2\pi k,\,\,\, k\in\mathbb{Z}\right \};$
$\left\{\pi k,\,\,\,-\dfrac{\pi}{6}+2\pi k,\,\,\, -\dfrac{5\pi}{6}+2\pi k,\,\,\, k\in\mathbb{Z}\right \}.$

Задание 2.8

$\left\{\pm \dfrac{\pi}{6}+2\pi k,\,\,\, \pm \dfrac{5\pi}{6}+2\pi k,\,\,\, k\in\mathbb{Z} \right \}$
или $\left\{\dfrac{\pi}{6}+\pi k,\,\,\, \dfrac{5\pi}{6}+\pi k,\,\,\, k\in\mathbb{Z} \right \}$ ;
$\left\{\pm \dfrac{\pi}{3}+2\pi k,\,\,\, \pm \dfrac{2\pi}{3}+2\pi k,\,\,\, k\in\mathbb{Z}\right \}$
или $\left\{\dfrac{\pi}{3}+\pi k,\,\,\, \dfrac{2\pi}{3}+\pi k,\,\,\, k\in\mathbb{Z}\right \}$ ;
$\left\{\pm \dfrac{\pi}{6}+2\pi k,\,\,\, \pm \dfrac{5\pi}{6}+2\pi k,\,\,\, k\in\mathbb{Z} \right \}$
или $\left\{\dfrac{\pi}{6}+\pi k,\,\,\, \dfrac{5\pi}{6}+\pi k,\,\,\, k\in\mathbb{Z} \right \}$ ;
$\left\{\pm\dfrac{\pi}{4}+2\pi k,\,\,\,\pm\dfrac{3\pi}{4}+2\pi k,\,\,\, k\in\mathbb{Z}\right \}$
или $\left\{\dfrac{\pi}{4}+\dfrac{\pi k}{2},\,\,\, k\in\mathbb{Z} \right \}$ .

Задание 2.9

$\left\{\dfrac{\pi}{2}+2\pi k,\,\,\, k\in\mathbb{Z}\right \};$
$\left\{\pi+2\pi k,\,\,\, k\in\mathbb{Z}\right \}.$

Задание 2.10

$\left\{\dfrac{\pi}{6}+2\pi k,\,\,\,\dfrac{5\pi}{6}+2\pi k,\,\,\, k\in\mathbb{Z}\right \};$
$\left\{-\dfrac{\pi}{6}+2\pi k,\,\,\, -\dfrac{5\pi}{6}+2\pi k,\,\,\, k\in\mathbb{Z}\right \};$
$\left\{\pm\dfrac{2\pi}{3}+2\pi k,\,\,\, k\in\mathbb{Z}\right \};$
$\left\{\pm\dfrac{\pi}{3}+2\pi k,\,\,\, k\in\mathbb{Z}\right \}.$

Нахождение корней простейшего уравнения на заданном промежутке

Задание 3.1

$\dfrac{7\pi}{3}$ ;
$\dfrac{5\pi}{4},\,\,\dfrac{7\pi}{4}$ ;
$\dfrac{13\pi}{6}$ ;
$\dfrac{7\pi}{2},\,\, \dfrac{9\pi}{2}$ ;
$-\dfrac{5\pi}{4},\,\, -\dfrac{3\pi}{4}$ ;
$\dfrac{11\pi}{3}$ ;
$\dfrac{7\pi}{6},\,\,\dfrac{13\pi}{6},\,\,\dfrac{19\pi}{6}$ ;
$-\dfrac{\pi}{4} ,\,\, -\dfrac{5\pi}{4}$ .

Тригонометрические уравнения в задаче №1

Задание 4.1

$-1, \text{ при } k=-2;$
$5, \text{ при } k=2;$
$2, \text{ при } k=-1;$
$-1,\text{ при } k=1.$

Задание 4.2

$5k+7,\,\,\, k\in\mathbb{Z};$
$x=12n-3,\,\,\, n\in\mathbb{Z};$
$2m+4,\,\,\, m\in\mathbb{Z} ;$
$1+4t,\,\,\, t\in\mathbb{Z}.$

Задание 4.3

$2;$
$-2;$
$-6;$
$0,5;$
$0,125.$

Преобразование тригонометрических выражений. Уровень 1

Задание 5.1

$\cos^2 t$ ;
$-\sin^2 t$ ;
$\sin^2 t$ ;
$-\cos^2 t$ ;
$\cos^2 t$ ;
$2\cos^2 t$ ;
$\sin^2 t$ ;
$\cos^2 t$ ;
$\tan^2 t$ ;
1;
$-\cot^2 t$ ;
1;
1;
$\cot^6 x$ ;
0;
$-\sin^2 t$ ;
$\dfrac{2}{\sin t}$ ;
$\dfrac{2}{\cos t}$ ;
$\tan t$ ;
4;
1;
1;
$\dfrac{1}{\sin^2 t}$ ;
$\tan^2 t$ ;
1;
$\dfrac{1}{3}$ ;
1;
1.

Задание 5.3

$f_{\text{min}}(t)=0,\,\, f_{\text{max}}(t)=2$ ;
$f_{\text{min}}(t)=-1,\,\, f_{\text{max}}(t)=5$ ;
$f_{\text{min}}(t)=-1,\,\, f_{\text{max}}(t)=0$ ;
$f_{\text{min}}(t)=2,\,\, f_{\text{max}}(t)=4$ .

Связь тригонометрических функций одного аргумента

Задание 6.1

а) — $\cos t = -\dfrac{3}{5}$ ; $\tan t = -\dfrac{4}{3}$ ; $\cot t = -\dfrac{3}{4}$ .
б) — $\cos t = \dfrac{12}{13}$ ; $\tan t = \dfrac{5}{12}$ ; $\cot t = \dfrac{12}{5}$ .
в) — $\cos t = 0,8$ ; $\tan t = -\dfrac{3}{4}$ ; $\cot t = -\dfrac{4}{3}$ .
г) — $\cos t = -0,96$ ; $\tan t = \dfrac{7}{24}$ ; $\cot t = \dfrac{24}{7}$ .

Задание 5.2

а) — $\sin t = 0,6$ ; $\tan t = \dfrac{3}{4}$ ; $\cot t = \dfrac{4}{3}$ .
б) — $\sin t = \dfrac{12}{13}$ ; $\tan t = -\dfrac{12}{5}$ ; $\cot t = -\dfrac{5}{12}$ .
в) — $\sin t =-0,8$ ; $\tan t = -\dfrac{4}{3}$ ; $\cot t = -\dfrac{3}{4}$ .
г) — $\sin t = -\dfrac{7}{25}$ ; $\tan t = \dfrac{7}{24}$ ; $\cot t = \dfrac{24}{7}$ .

Задание 6.3

а) — $\sin t = \dfrac{3}{5}$ ; $\cos t = \dfrac{4}{5}$ ; $\cot t = \dfrac{4}{3}$ .
б) — $\sin t = -\dfrac{12}{13}$ ; $\cos t = -\dfrac{5}{13}$ ; $\cot t = \dfrac{5}{12}$ .
в) — $\sin t =\dfrac{3}{5}$ ; $\cos t = -\dfrac{4}{5}$ ; $\cot t = -\dfrac{4}{3}$ .
г) — $\sin t = -\dfrac{5}{13}$ ; $\cos t = \dfrac{12}{13}$ ; $\cot t = -\dfrac{12}{5}$ .

Задание 6.4

а) — $\sin t = -\dfrac{5}{13}$ ; $\cos t = -\dfrac{12}{13}$ ; $\tan t = \dfrac{5}{12}$ .
б) — $\sin t = \dfrac{24}{25}$ ; $\cos t = \dfrac{7}{25}$ ; $\tan t = \dfrac{24}{7}$ .
в) — $\sin t =-\dfrac{12}{13}$ ; $\cos t = \dfrac{5}{13}$ ; $\tan t = -\dfrac{12}{5}$ .
г) — $\sin t = \dfrac{15}{17}$ ; $\cos t = -\dfrac{8}{17}$ ; $\tan t = -\dfrac{15}{8}$ .

Формулы приведения

Задание 7.1

$\sin{x};$
$\sin{x};$
$-\sin{x};$
$\sin{x};$
$-\sin{x};$
$\cos{x};$
$-\cos{x};$
$-\cot{x};$
$-\cot{x};$
$\tan{x};$
$\sin{2x};$
$-\cos{4x};$
$-\cos{2x};$
$-\sin{4x};$
$\cos{\frac{x}{2}};$
$-\cot{2x};$
$\tan{4x};$
$-\cot{\frac{x}{2}};$
$-\sin{x};$
$-\sin{x};$
$-\cos{x};$
$\cot{x};$
$-\cot{x};$
$-\cot{x};$
$\cot{x}.$

Задание 7.2

$0;$
$2\cos{x};$
$0;$
$-1;$
$-\cos{x};$
$\cos{x};$
$\cot{x};$
$\cot{x};$
$-\cos{x};$
$-\cos{x};$
$\tan^2{x};$
$\sin{x};$
$1;$
$2;$
$\cos^2 {x};$
$\cos{x};$
$-1;$
$-\frac{1}{\cos{x}};$
$\tan^2{x};$
$-\sin{x}.$

Задание 7.3

$\cot{x};$
$\cos{x};$
$\cot{x};$
$-\cos{x}.$

Задание 7.4

$1;$
$1;$
$1;$
$1.$

Тригонометрические уравнения. Уровень 2

Задание 8.1

$\left\{\pm \dfrac{2\pi }{3}+2 \pi k,\,\,\, \pi k,\,\,\, k\in\mathbb{Z}\right \};$
$\left\{\dfrac{\pi}{2}+2\pi k,\,\,\, \pi+2\pi k,\,\,\, k\in\mathbb{Z}\right \};$
$\left\{\dfrac{\pi}{2}+\pi k,\,\,\, -\dfrac{\pi}{6}+2\pi k,\,\,\, -\dfrac{5\pi}{6}+2\pi k ,\,\,\, k\in\mathbb{Z}\right \};$
$\left\{\dfrac{\pi}{4}+2\pi k,\,\,\, \dfrac{3\pi}{4}+2\pi k,\,\,\, \pm\dfrac{2\pi}{3}+2\pi k,\,\,\, k\in\mathbb{Z}\right \}.$

Задание 8.2

$\left\{\pm \dfrac{\pi}{3}+2\pi k,\,\,\, \pm \dfrac{2\pi}{3}+2\pi k,\,\,\, k\in\mathbb{Z} \right \};$
$\left\{\pm\dfrac{\pi}{6}+2\pi k,\,\,\, \pm\dfrac{5\pi}{6}+2\pi k,\,\,\, k\in\mathbb{Z}\right \};$
$\left\{\pm\dfrac{\pi}{2}+2\pi k,\,\,\, k\in\mathbb{Z}\right \};$
$\left\{\pm\dfrac{\pi}{6}+2\pi k,\,\,\, \pm\dfrac{5\pi}{6}+2\pi k,\,\,\, k\in\mathbb{Z}\right \}.$

Задание 8.3

$\left\{\dfrac{\pi}{2}+2\pi k,\,\,\, k\in\mathbb{Z}\right \};$
$\left\{\dfrac{\pi}{2}+\pi k,\,\,\, k\in\mathbb{Z}\right \};$
$\left\{\pi+2\pi k,\,\,\, k\in\mathbb{Z}\right \};$
$\left\{-\dfrac{\pi}{6} +2\pi k,\,\, -\dfrac{5\pi}{6}+2\pi k,\,\,\, k\in\mathbb{Z}\right \}.$

Задание 8.4

$\left\{\pm \dfrac{\pi}{3}+2\pi k,\,\,\, \pm \dfrac{2\pi}{3}+2\pi k,\,\,\, k\in\mathbb{Z}\right \}$
или $\left\{\dfrac{\pi}{3}+\pi k,\,\,\, \dfrac{2\pi}{3}+\pi k,\,\,\, k\in\mathbb{Z}\right \}$ ;
$\left\{\pi k,\,\,\, \dfrac{\pi}{2}+2\pi k,\,\,\, k\in\mathbb{Z}\right \};$
$\left\{\pm \dfrac{\pi}{6}+2\pi k,\,\,\, \pm \dfrac{5\pi}{6}+2\pi k,\,\,\, k\in\mathbb{Z} \right \}$
или $\left\{\dfrac{\pi}{6}+\pi k,\,\,\, \dfrac{5\pi}{6}+\pi k,\,\,\, k\in\mathbb{Z} \right \}$ ;
$\left\{\dfrac{\pi}{2}+\pi k,\,\,\, \pm\dfrac{\pi}{3}+2\pi k,\,\,\, k\in\mathbb{Z} \right \};$
$\left\{\pm \dfrac{\pi}{3}+2\pi k,\,\,\, \pm \dfrac{2\pi}{3}+2\pi k,\,\,\, k\in\mathbb{Z}\right \}$
или $\left\{\dfrac{\pi}{3}+\pi k,\,\,\, \dfrac{2\pi}{3}+\pi k,\,\,\, k\in\mathbb{Z}\right \}$ ;
$\left\{\dfrac{\pi}{2}+\pi k,\,\,\, \pm\dfrac{2\pi}{3}+2\pi k,\,\,\, k\in\mathbb{Z}\right \} .$

Задание 8.5

$\left\{\dfrac{\pi}{6}+2\pi k,\,\,\, \dfrac{5\pi}{6}+2\pi k,\,\,\, k\in\mathbb{Z}\right \};$
$\left\{ \dfrac{3\pi}{2}+2\pi k,\,\,\, \dfrac{\pi}{6}+2\pi k,\,\,\, \dfrac{5\pi}{6}+2\pi k,\,\,\, k\in\mathbb{Z}\right \}$ или $\left\{\dfrac{\pi}{6}+\dfrac{2\pi k}{3} ,\,\,\, k\in\mathbb{Z}\right \}$ ;
$\left\{\pi+2\pi k,\,\,\, k\in\mathbb{Z}\right \} .$

Задание 8.6

$\left\{\dfrac{3\pi}{2}+2\pi k,\,\,\, k\in\mathbb{Z}\right \} ;$
$\left\{2\pi k,\,\,\, k\in\mathbb{Z}\right \}.$

Задание 8.7

$\left\{\pm\dfrac{\pi}{3}+2\pi k,\,\,\, k\in\mathbb{Z}\right \};$
$\left\{\dfrac{\pi}{6}+2\pi k,\,\,\, \dfrac{5\pi}{6}+2\pi k,\,\,\, k\in\mathbb{Z}\right \} ;$
$\left\{\dfrac{\pi}{4}+2\pi k,\,\,\, \dfrac{3\pi}{4}+2\pi k,\,\,\, k\in\mathbb{Z}\right \}.$

Задание 8.8

$\left\{\pi+4\pi k,\,\,\, k\in\mathbb{Z}\right \};$
$\left\{\dfrac{\pi}{9}+\dfrac{\pi k}{3},\,\,\, k\in\mathbb{Z}\right \}$ ;
$\left\{\dfrac{4\pi}{3}+2\pi k,\,\,\, k\in\mathbb{Z}\right \};$
$\left\{\pi k,\,\,\, k\in\mathbb{Z}\right \};$
$\left\{\dfrac{7\pi}{6}+2\pi k,\,\,\, k\in\mathbb{Z}\right \};$
$\left\{\dfrac{2\pi}{5}+\dfrac{\pi k}{2},\,\,\, k\in\mathbb{Z}\right \}.$

Различные варианты записи точек на тригонометрической окружности

Задание 9.1

а)

t]l 1) $\dfrac{5\pi}{6};$

2) $-\dfrac{\pi}{6};$

3) $-\dfrac{19\pi}{6}.$

б) $x=-\dfrac{\pi}{6}+\pi n, \ n \in\mathbb{Z}.$

а)

t]l 1) $\dfrac{5\pi}{4};$

2) $\dfrac{\pi}{4};$

3) $-\dfrac{11\pi}{4}.$

б) $x=\dfrac{\pi}{4}+\pi n, \ n \in\mathbb{Z.}$

а)

t]l 1) $\dfrac{\pi}{6};$

2) $0;$

3) $-\dfrac{\pi}{2}.$

б) $x=\dfrac{\pi k}{6}, \ k \in\mathbb{Z.}$

а)

t]l 1) $\dfrac{3\pi}{4};$

2) $\dfrac{\pi}{4};$

3) $-\dfrac{5\pi}{4}.$

б) $x=\dfrac{\pi}{4}+ \dfrac{\pi k}{2}, \ k \in\mathbb{Z.}$

Задание 9.2

2, 4, 5.

Задание 9.3

$\left\{\pi n,\,\,\, n\in\mathbb{Z}\right \};$

$\left\{2\pi k,\,\,\,\pi+2\pi k,\,\,\, k\in\mathbb{Z}\right \}.$
$\left\{\dfrac{\pi}{2}+\pi n,\,\,\, n\in\mathbb{Z}\right \};$

$\left\{\dfrac{\pi}{2}+2\pi k,\,\,\,-\dfrac{\pi}{2}+2\pi k,\,\,\, k\in\mathbb{Z}\right \}$ .
$\left\{\dfrac{\pi n}{2},\,\,\, n\in\mathbb{Z}\right \};$

$\left\{\pi k,\,\,\,\dfrac{\pi}{2}+\pi k,\,\,\, k\in\mathbb{Z}\right \};$

$\left\{\pi m,\,\,\,\pm\dfrac{\pi}{2}+2\pi m,\,\,\, m\in\mathbb{Z}\right \};$

$\left\{2\pi p,\,\,\,\pm\dfrac{\pi}{2}+2\pi p,\,\,\,\pi+2\pi p,\,\,\, p\in\mathbb{Z}\right \};$

$\left\{2\pi q,\,\,\,\dfrac{\pi}{2}+2\pi q,\,\,\,-\dfrac{\pi}{2}+2\pi q,\,\,\,\pi+2\pi q,\,\,\, q\in\mathbb{Z}\right \}.$
$\left\{\dfrac{\pi}{4}+\pi n,\,\,\, n\in\mathbb{Z}\right \};$

$\left\{\dfrac{\pi}{4}+2\pi k,\,\,\,-\dfrac{3\pi}{4}+2\pi k,\,\,\, k\in\mathbb{Z}\right \}.$
$\left\{\dfrac{\pi}{4}+\dfrac{\pi n}{2},\,\,\, n\in\mathbb{Z}\right \};$

$\left\{\pm\dfrac{\pi}{4}+\pi k,\,\,\, k\in\mathbb{Z}\right \};$

$\left\{\pm\dfrac{\pi}{4}+2\pi m,\,\,\,\pm\dfrac{3\pi}{4}+2\pi m,\,\,\, m\in\mathbb{Z}\right \};$

$\left\{\dfrac{\pi}{4}+\pi p,\,\,\,-\dfrac{\pi}{4}+\pi p,\,\,\, p\in\mathbb{Z}\right \};$

$\left\{\dfrac{\pi}{4}+2\pi q,\,\,\,\dfrac{3\pi}{4}+2\pi q,\,\,\,-\dfrac{\pi}{4}+2\pi q,\,\,\,\\ \\-\dfrac{3\pi}{4}+2\pi q,\,\,\, q\in\mathbb{Z}\right \}.$
$\left\{\pm\dfrac{\pi}{3}+2\pi n,\,\,\, n\in\mathbb{Z}\right \};$

$\left\{\dfrac{\pi}{3}+2\pi k,\,\,\,-\dfrac{\pi}{3}+2\pi k,\,\,\, k\in\mathbb{Z}\right \}.$
$\left\{-\dfrac{\pi}{4}+\pi n,\,\,\, n\in\mathbb{Z}\right \};$

$\left\{\dfrac{3\pi}{4}+2\pi k,\,\,\,-\dfrac{\pi}{4}+2\pi k,\,\,\, k\in\mathbb{Z}\right \}.$
$\left\{\dfrac{\pi}{3}+2\pi n,\,\,\,\dfrac{2\pi}{3}+2\pi n,\,\,\, n\in\mathbb{Z}\right \}.$
$\left\{\dfrac{2\pi n}{3},\,\,\, n\in\mathbb{Z}\right \};$

$\left\{2\pi k,\,\,\,\pm\dfrac{2\pi}{3}+2\pi k,\,\,\, k\in\mathbb{Z}\right \};$

$\left\{2\pi m,\,\,\,\dfrac{2\pi}{3}+2\pi m,\,\,\,-\dfrac{2\pi}{3}+2\pi m,\,\,\, m\in\mathbb{Z}\right \}.$
$\left\{-\dfrac{\pi}{6}+2\pi n,\,\,\, -\dfrac{5\pi}{6}+2\pi n,\,\,\, n\in\mathbb{Z}\right \}.$
$\left\{\dfrac{\pi}{6}+\pi n,\,\,\, n\in\mathbb{Z}\right \};$

$\left\{\dfrac{\pi}{6}+2\pi k,\,\,\,-\dfrac{5\pi}{6}+2\pi k,\,\,\, k\in\mathbb{Z}\right \}.$
$\left\{\dfrac{\pi}{6}+\dfrac{2\pi n}{3},\,\,\, n\in\mathbb{Z}\right \};$

$\left\{\dfrac{\pi}{6}+2\pi k,\,\,\,\dfrac{5\pi}{6}+2\pi k,\,\,\,-\dfrac{\pi}{2}+2\pi k,\,\,\, k\in\mathbb{Z}\right \}.$
$\left\{\pm\dfrac{\pi}{6}+\pi n,\,\,\, n\in\mathbb{Z}\right \};$

$\left\{\dfrac{\pi}{6}+\pi k,\,\,\,-\dfrac{\pi}{6}+\pi k,\,\,\, k\in\mathbb{Z}\right \};$

$\left\{\pm\dfrac{\pi}{6}+2\pi m,\,\,\,\pm\dfrac{5\pi}{6}+2\pi m,\,\,\, m\in\mathbb{Z}\right \};$

$\left\{\dfrac{\pi}{6}+2\pi p,\,\,\,\dfrac{5\pi}{6}+2\pi p,\,\,\,-\dfrac{\pi}{6}+2\pi p,\,\,\,\\ \\-\dfrac{5\pi}{6}+2\pi p,\,\,\, p\in\mathbb{Z}\right \}.$
$\left\{\pm\dfrac{\pi}{3}+\pi n,\,\,\, n\in\mathbb{Z}\right \};$

$\left\{\dfrac{\pi}{3}+\pi k,\,\,\,-\dfrac{\pi}{3}+\pi k,\,\,\, k\in\mathbb{Z}\right \};$

$\left\{\pm\dfrac{\pi}{3}+2\pi m,\,\,\,\pm\dfrac{2\pi}{3}+2\pi m,\,\,\, m\in\mathbb{Z}\right \};$

$\left\{\dfrac{\pi}{3}+2\pi p,\,\,\,\dfrac{2\pi}{3}+2\pi p,\,\,\,-\dfrac{\pi}{3}+2\pi p,\,\,\,\\ \\-\dfrac{2\pi}{3}+2\pi p,\,\,\, p\in\mathbb{Z}\right \}.$
$\left\{\dfrac{\pi}{6}+\dfrac{\pi n}{3},\,\,\, n\in\mathbb{Z}\right \};$

$\left\{\pm\dfrac{\pi}{6}+\pi k,\,\,\,\pm\dfrac{\pi}{2}+2\pi k,\,\,\, k\in\mathbb{Z}\right \};$

$\left\{\dfrac{\pi}{6}+\pi m,\,\,\,-\dfrac{\pi}{6}+\pi m,\,\,\,\dfrac{\pi}{2}+\pi m,\,\,\, m\in\mathbb{Z}\right \};$

$\left\{\pm\dfrac{\pi}{6}+2\pi p,\,\,\,\pm\dfrac{5\pi}{6}+2\pi p,\,\,\,\dfrac{\pi}{2}+\pi p,\,\,\, p\in\mathbb{Z}\right \};$

$\left\{\dfrac{\pi}{6}+2\pi q,\,\,\,\dfrac{5\pi}{6}+2\pi q,\,\,\,-\dfrac{\pi}{6}+2\pi q,\,\,\,-\dfrac{5\pi}{6}+2\pi q,\,\,\,\dfrac{\pi}{2}+2\pi q,\,\,\,-\dfrac{\pi}{2}+2\pi q,\,\,\, q\in\mathbb{Z}\right \}.$
$\left\{\dfrac{\pi}{2}+\pi n,\,\,\, \pi+2\pi n,\,\,\, n\in\mathbb{Z}\right \};$

$\left\{\pm\dfrac{\pi}{2}+2\pi k,\,\,\, \pi+2\pi k,\,\,\, k\in\mathbb{Z}\right \};$

$\left\{\dfrac{\pi}{2}+2\pi m,\,\,\, \pi+2\pi m,\,\,\,-\dfrac{\pi}{2}+2\pi m,\,\,\, m\in\mathbb{Z}\right \}.$
$\left\{\dfrac{\pi}{3}+2\pi n,\,\,\, -\dfrac{\pi}{6}+2\pi n, \,\,\, -\dfrac{5\pi}{6}+2\pi n,\,\,\, n\in\mathbb{Z}\right \}$ .
$\left\{-\dfrac{\pi}{4}+\pi n,\,\,\, -\dfrac{\pi}{2}+2\pi n,\,\,\, n\in\mathbb{Z}\right \};$

$\left\{\dfrac{3\pi}{4}+2\pi k,\,\,\,-\dfrac{\pi}{4}+2\pi k,\,\,\, -\dfrac{\pi}{2}+2\pi k,\,\,\, k\in\mathbb{Z}\right \}.$
$\left\{\dfrac{\pi}{3}+\dfrac{2\pi n}{3},\,\,\, n\in\mathbb{Z}\right \};$

$\left\{\pm\dfrac{\pi}{3}+2\pi k,\,\,\,\pi+2\pi k,\,\,\, k\in\mathbb{Z}\right \};$

$\left\{\dfrac{\pi}{3}+2\pi m,\,\,\,\pi+2\pi m, -\dfrac{\pi}{3}+2\pi m,\,\,\, m\in\mathbb{Z}\right \}.$
$\left\{\dfrac{\pi}{2}+2\pi n, \,\,\, -\dfrac{\pi}{3}+2\pi n,\,\,\, -\dfrac{2\pi}{3}+2\pi n,\,\,\, n\in\mathbb{Z}\right \}$ .

Формулы сложения

Задание 10.1

$\cos{\alpha}\sin{\beta};$
$\cos{\alpha}\cos{\beta};$
$\dfrac{\cos{\alpha}}{\sqrt{2}};$
$\sin{\alpha}\sin{\beta};$
$2\sin{\alpha}\cos{\beta};$
$-\cos{\alpha}\cos{\beta};$
$2\cos{\alpha}\cos{\beta};$
$\dfrac{\sqrt{3}\sin{\alpha}}{2};$
$-\sin{\alpha};$
$-\cos{\alpha};$
$\dfrac{\sqrt{3}\cos{\beta}-\sin{\beta}}{2};$
$\dfrac{\sqrt{3}\cos{\beta}+\sin{\beta}}{2};$
$\dfrac{\sqrt{3}\sin{\alpha}+\cos{\alpha}}{2};$
$1;$
$0;$
$0;$
$\tan{(\alpha+\beta)};$
$-\tan{\alpha}\tan{\beta}.$

Задание 10.3

1;
$\dfrac{1}{\sqrt{2}};$
$1;$
$-1;$
$0;$
$0,5;$
$0;$
$0,5;$
$\dfrac{1}{\sqrt{2}};$
$-1;$
$0;$
$0,5;$
$\dfrac{1}{\sqrt{2}};$
$\dfrac{\sqrt{3}}{2};$
$-0,5;$
$-0,5.$

Задание 10.5

$\dfrac{2\sqrt{3}}{5}+\dfrac{3}{10}$ ;
$-\dfrac{3}{5};$
$\dfrac{4}{5};$
$\dfrac{2}{5}-\dfrac{3\sqrt{3}}{10}.$

Задание 10.6

$\dfrac{12\sqrt{3}-5}{26};$
$\dfrac{12}{13};$
$\dfrac{-5\sqrt{3}-12}{26};$
$\dfrac{5}{13}.$

Задание 10.7

$-\dfrac{\sqrt{357}+5}{24}$ ;
$\dfrac{5}{12}$ .

Задание 10.8

$-\dfrac{3\sqrt{3}+4}{10};$
$\dfrac{3}{5}.$

Задание 10.9

$-\dfrac{77}{85};$
$\dfrac{36}{85}.$

Задание 10.10

$-\dfrac{84}{85};$
$\dfrac{13}{85}.$

Задание 10.11

$-\dfrac{36}{85};$
$\dfrac{77}{85}.$

Задание 10.12

$-\dfrac{1519}{1681};$
$\dfrac{720}{1681}.$

Задание 10.13

$-\dfrac{63}{65};$
$-\dfrac{16}{65}.$

Задание 10.14

$\dfrac{\sqrt{2}+\sqrt{6}}{4};$
$\dfrac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4};$
$\dfrac{\sqrt{2}+\sqrt{6}}{4};$
$\dfrac{\sqrt{2}-\sqrt{6}}{4}.$

Задание 10.15

$\dfrac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4};$
$\dfrac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4};$
$\dfrac{1}{4};$
$\dfrac{\sqrt{3}}{2}.$

Задание 10.16

$\dfrac{\sqrt{3}}{2};$
$-\dfrac{1}{2}.$

Задание 10.17

$1;$
$1.$

Формулы двойного угла

Задание 11.1

$\dfrac{1}{2};$
$\dfrac{\sqrt{3}}{2};$
$\dfrac{1}{\sqrt{2}};$
$\dfrac{1}{\sqrt{2}};$
$-\dfrac{\sqrt{3}}{2};$
$-\dfrac{\sqrt{3}}{2};$
$\dfrac{\sqrt{2}}{2};$
$-\dfrac{\sqrt{3}}{2};$
$1;$
$\dfrac{1}{2};$
$\dfrac{3}{2};$
$\dfrac{3}{2};$
$1-\dfrac{1}{\sqrt{2}};$
$-1;$
$\dfrac{1+\sqrt{2}}{4};$
$-\dfrac{1}{8};$
$\dfrac{1}{\sqrt{3}};$
$\dfrac{1}{2};$
$-\dfrac{1}{2\sqrt{3}};$
$-\sqrt{3}.$

Задание 11.2

$2\sin{x};$
$\tan{x};$
$2\sin{x};$
$\sin^2{x};$
$1;$
$\cos{2x};$
$\sin{x};$
$2;$
$-1;$
$\dfrac{1}{\cos{2x}+\sin{2x}};$
$\cos{x};$
$2\cos{20^\circ};$
$\cos{18^\circ};$
$1;$
$\cos{40^{\circ}}-\sin{40^{\circ}};$
$\cos{5^\circ};$
$2\tan{3x};$
$2\sin{2x};$
$\cos{6x};$
$\tan{\dfrac{x}{2}};$
$\cos{\dfrac{x}{2}}-\sin{\dfrac{x}{2}};$
$-\sin{x};$
$-\sin{\dfrac{x}{2}};$
$\sin{2x};$
$-\tan{2x}.$

Задание 11.4

$\dfrac{24}{25}$ ;
$-\dfrac{7}{25}$ .

$-\dfrac{120}{169}$ ;
$\dfrac{119}{169}$ .

$-\dfrac{120}{169}$ ;
$\dfrac{119}{169}$ ;
$-\dfrac{120}{119}$ ;
$-\dfrac{119}{120}$ .

$\dfrac{24}{25}$ ;
$\dfrac{7}{25}$ ;
$\dfrac{24}{7}$ ;
$\dfrac{7}{24}$ .

Задание 11.5

$\dfrac{\sqrt{2-\sqrt{2}}}{2}$ ;
$\dfrac{\sqrt{2+\sqrt{2}}}{2}$ .

Формулы понижения степени

Задание 12.2

$\dfrac{\sqrt{2-\sqrt{2}}}{2};$
$\dfrac{\sqrt{2+\sqrt{2}}}{2};$
$\dfrac{\sqrt{2+\sqrt{2}}}{2};$
$\dfrac{\sqrt{2-\sqrt{2}}}{2}.$

Уравнения.Разное

Задание 13.1

$\left\{ \pi k,\,\, \pm \dfrac{\pi}{4}+2\pi k,\,\,\, k\in\mathbb{Z}\right \};$
$\left\{\dfrac{\pi}{2}+\pi k,\,\,\, k\in\mathbb{Z}\right \}$ ;
$\left\{\pi k,\,\,\, \pm \dfrac{2\pi}{3}+2\pi k,\,\,\, k\in\mathbb{Z}\right \}$
или $\left\{\dfrac{2\pi k}{3},\,\, \pi k,\,\,\, k\in\mathbb{Z}\right \}$ ;
$\left\{\pi k,\,\, \pm \dfrac{5\pi}{6}+2\pi k,\,\,\, k\in\mathbb{Z}\right \}$ .

Задание 13.2

$\left\{\pm \dfrac{3\pi}{4}+2\pi k,\,\, \dfrac{\pi}{2}+2\pi k,\,\,\, k\in\mathbb{Z}\right \}$ ;
$\left\{\dfrac{\pi}{6}+2\pi k,\,\,\, \pm \dfrac{5\pi}{6}+2\pi k,\,\,\, k\in\mathbb{Z}\right \}$ или $\left\{\dfrac{\pi}{6}+\pi k,\,\, \dfrac{5\pi}{6}+2\pi k,\,\,\, k\in\mathbb{Z}\right \}$ ;
$\left\{-\dfrac{\pi}{4}+2\pi k,\,\,\, \dfrac{3\pi}{4}+2\pi k,\,\, \dfrac{\pi}{2}+2\pi k,\,\,\, k\in\mathbb{Z}\right \}$ или $\left\{\dfrac{3\pi}{4}+\pi k,\,\, \dfrac{\pi}{2}+2\pi k,\,\,\, k\in\mathbb{Z}\right \}$ ;
$\left\{-\dfrac{\pi}{6}+2\pi k,\,\,\, \dfrac{\pi}{3}+2\pi k,\,\,\, \dfrac{5\pi}{6}+2\pi k,\,\,\, \dfrac{4\pi}{3}+2\pi k,\,\,\, k\in\mathbb{Z}\right \}$ или $\left\{\dfrac{\pi}{3}+\dfrac{\pi k}{2},\,\,\, k\in\mathbb{Z}\right \}$ или $\left\{-\dfrac{\pi}{6}+\dfrac{\pi k}{2},\,\,\, k\in\mathbb{Z}\right \}$ .

Задание 13.3

$\left\{\pm \dfrac{\pi}{3}+2\pi k,\,\, 2\pi k,\,\,\, k\in\mathbb{Z}\right \}$ ;
$\left\{\dfrac{3\pi}{2}+2\pi k,\,\, \dfrac{7 \pi}{6}+2\pi k,\,\, \dfrac{11\pi}{6}+2\pi k,\,\,\, k\in\mathbb{Z}\right \}$ ;
$\left\{\pm \dfrac{\pi}{4}+2\pi k,\,\,\, k\in\mathbb{Z}\right \}$ ;
$\left\{\dfrac{\pi}{6}+2\pi k,\,\, \dfrac{5\pi}{6}+2\pi k,\,\,\, k\in\mathbb{Z}\right \}$ .

Задание 13.4

$\left\{2\pi k,\,\,\, k\in\mathbb{Z}\right \};$
$\left\{-\dfrac{3\pi}{4}+2\pi k,\,\, \dfrac{3\pi}{4}+2\pi k,\,\,\, k\in\mathbb{Z}\right \};$
$\left\{\pm \dfrac{2\pi}{3}+2\pi k,\,\, \pm\dfrac{3\pi}{4}+2\pi k,\,\,\, k\in\mathbb{Z}\right \};$
$\left\{\pm \dfrac{\pi}{2}+2\pi k,\,\,\, \pi k,\,\,\, k\in\mathbb{Z}\right \}$ или $\left\{\dfrac{\pi k}{2},\,\,\, k\in\mathbb{Z}\right \}$ .

Задание 13.5

$\left\{\dfrac{5\pi}{3}+2\pi k,\,\,\, k\in\mathbb{Z}\right \};$
$\left\{\dfrac{\pi}{3}+2\pi k,\,\, 2\pi k,\,\,\, k\in\mathbb{Z}\right \};$
$\left\{-\dfrac{\pi}{2}+2\pi k,\,\,\, k\in\mathbb{Z}\right \};$
$\left\{2\pi k,\,\,\, k\in\mathbb{Z}\right \}$ .

Задание 13.6

$\left\{\pi k,\,\, \dfrac{4\pi}{3}+2\pi k,\,\, \dfrac{5\pi}{3}+2\pi k,\,\,\, k\in\mathbb{Z}\right \};$
$\left\{\pi k,\,\, \dfrac{\pi}{3}+2\pi k,\,\, \dfrac{2\pi}{3}+2\pi k,\,\,\, k\in\mathbb{Z}\right \};$
$\left\{\dfrac{2\pi}{3}+2\pi k,\,\, \dfrac{4\pi}{3}+2\pi k,\,\,\, k\in\mathbb{Z}\right \};$
$\left\{\dfrac{3\pi}{2}+2\pi k,\,\,\, k\in\mathbb{Z}\right \}$ .

Задание 13.7

$\left\{\dfrac{\pi}{3}+\dfrac{2\pi k}{3},\,\,\, k\in\mathbb{Z}\right \};$
$\left\{\dfrac{4\pi}{3}+4\pi k,\,\, \dfrac{2\pi}{3}+4\pi k,\,\,\, k\in\mathbb{Z}\right \};$
$\left\{\dfrac{2\pi}{9}+\dfrac{2\pi k}{3},\,\, \dfrac{4\pi}{9}+\dfrac{2\pi k}{3},\,\,\, k\in\mathbb{Z}\right \};$
$\left\{\pm \dfrac{\pi}{2}+2\pi k,\,\,\, k\in\mathbb{Z}\right \}$ или $\left\{\dfrac{\pi}{2}+\pi k,\,\,\, k\in\mathbb{Z}\right \}$ .

Задание 13.8

$\left\{\pi k,\,\, \pm \dfrac{5\pi}{6}+2\pi k,\,\, \pm \dfrac{\pi}{6}+2\pi k,\,\,\, k\in\mathbb{Z}\right \}$ ;
$\left\{\dfrac{\pi}{12}+\pi k,\,\, \dfrac{5\pi}{12}+\pi k,\,\, \dfrac{\pi}{4}+\dfrac{\pi k}{2},\,\,\, k\in\mathbb{Z}\right \}$ ;
$\left\{\dfrac{\pi}{4}+\dfrac{\pi k}{2},\,\,\, k\in\mathbb{Z}\right \}$ ;
$\left\{\pi k,\,\, \pm \dfrac{\pi}{3}+\pi k,\,\,\, k\in\mathbb{Z}\right \}$ .

Задание 13.9

$\left\{\dfrac{3\pi}{4}+\pi k,\,\,\, k\in\mathbb{Z}\right \}$ или
$\left\{-\dfrac{\pi}{4}+2\pi k,\,\, \dfrac{3\pi}{4}+2\pi k,\,\,\, k\in\mathbb{Z}\right \}$ ;
$\left\{\dfrac{2\pi}{3}+\pi k,\,\,\, k\in\mathbb{Z}\right \}$ или
$\left\{-\dfrac{\pi}{3}+2\pi k,\,\, \dfrac{2\pi}{3}+2\pi k,\,\,\, k\in\mathbb{Z}\right \}$ ;
$\left\{\dfrac{\pi}{4}+\pi k,\,\,\, k\in\mathbb{Z}\right \}$ или
$\left\{\dfrac{\pi}{4}+2\pi k,\,\, -\dfrac{3\pi}{4}+2\pi k,\,\,\, k\in\mathbb{Z}\right \}$ ;
$\left\{\dfrac{\pi}{6}+\pi k,\,\,\, k\in\mathbb{Z}\right \}$ или
$\left\{\dfrac{\pi}{6}+2\pi k,\,\, -\dfrac{5\pi}{6}+2\pi k,\,\,\, k\in\mathbb{Z}\right \}$ .

Задание 13.10

$\left\{\pi k,\,\, \dfrac{\pi}{4}+\pi k,\,\,\, k\in\mathbb{Z}\right \}$ или
$\left\{\pi k,\,\, \dfrac{\pi}{4}+2\pi k,\,\, -\dfrac{3\pi}{4}+2\pi k,\,\,\, k\in\mathbb{Z}\right \}$ ;
$\left\{\pi k,\,\, \dfrac{2\pi}{3}+\pi k,\,\,\, k\in\mathbb{Z}\right \}$ или
$\left\{\pi k,\,\, -\dfrac{\pi}{3}+2\pi k,\,\, \dfrac{2\pi}{3}+2\pi k,\,\,\, k\in\mathbb{Z}\right \}$ ;
$\left\{\pi k,\,\, \dfrac{3\pi}{4}+\pi k,\,\,\, k\in\mathbb{Z}\right \}$ или
$\left\{\pi k,\,\, -\dfrac{\pi}{4}+2\pi k,\,\, \dfrac{3\pi}{4}+2\pi k,\,\,\, k\in\mathbb{Z}\right \}$ ;
$\left\{\pi k,\,\, \dfrac{\pi}{6}+\pi k,\,\,\, k\in\mathbb{Z}\right \}$ или
$\left\{\pi k,\,\, \dfrac{\pi}{6}+2\pi k,\,\, -\dfrac{5\pi}{6}+2\pi k,\,\,\, k\in\mathbb{Z}\right \}$ .

Задание 13.11

$\left\{\dfrac{7\pi}{6}+2\pi k,\,\, \dfrac{11 \pi}{6}+2\pi k,\,\, \dfrac{\pi}{4}+2\pi k, -\dfrac{3\pi}{4}+2\pi k,\,\,\, k\in\mathbb{Z}\right \}$ ;
$\left\{\pm \dfrac{2\pi}{3}+2\pi k,\,\, -\dfrac{\pi}{4}+2\pi k,\,\, \dfrac{3\pi}{4}+2\pi k,\,\,\, k\in\mathbb{Z}\right \};$
$\left\{-\dfrac{5\pi}{6}+2\pi k,\,\, -\dfrac{\pi}{6}+2\pi k,\,\, -\dfrac{\pi}{3}+2\pi k, \dfrac{2\pi}{3}+2\pi k,\,\,\, k\in\mathbb{Z}\right \};$
$\left\{\pm \dfrac{\pi}{3}+2\pi k,\,\, \dfrac{\pi}{4}+2\pi k,\,\, -\dfrac{3\pi}{4}+2\pi k,\,\,\, k\in\mathbb{Z}\right \}.$

Задание 13.12

$\left\{\dfrac{3\pi}{4}+\pi k,\,\,\, k\in\mathbb{Z}\right \}$ ;
$\left\{\dfrac{\pi}{3}+\dfrac{\pi k}{2},\,\,\, k\in\mathbb{Z}\right \}$ ;
$\left\{\dfrac{\pi}{12}+\dfrac{\pi k}{3},\,\,\, k\in\mathbb{Z}\right \}$ ;
$\left\{\dfrac{\pi}{12}+\dfrac{\pi k}{4},\,\,\, k\in\mathbb{Z}\right \}$ .

Задание 13.13

$\left\{\pm \dfrac{\pi}{4}+2\pi k,\,\, \pm \dfrac{3\pi}{4}+2\pi k,\,\,\, k\in\mathbb{Z}\right \}$ или $\left\{\dfrac{\pi}{4}+\dfrac{\pi k}{2},\,\,\, k\in\mathbb{Z}\right \}$ .

Задание 13.14

$\left\{\pm \dfrac{\pi}{2}+2\pi k,\,\, -\dfrac{\pi}{4}+2\pi k,\,\, \dfrac{3\pi}{4}+2\pi k,\,\,\, k\in\mathbb{Z}\right \}$ или $\left\{\dfrac{\pi}{2}+\pi k,\,\, -\dfrac{\pi}{4}+\pi k,\,\,\, k\in\mathbb{Z}\right \}$ .

Задачи из ЕГЭ

Задания 1 части

Задание 1. Непосредственное вычисление значений

$36;$
$2;$
$-3;$
$-42;$
$-3;$
$-6;$
$6;$
$18;$
$-12$ .

Задание 2. Нахождение неизвестного значения функции по известному значению

$0,4;$
$1,5;$
$-0,3;$
$-3;$
$5;$
$1;$
$-1.$

Задание 3. Вычисление значений с помощью формул приведения

$1;$
$-2;$
$1;$
$2;$
$3;$
$4;$
$0,6;$
$-24;$
$-28;$
$-10;$
$-2,5$ .

Задание 4. Приведение к функциям одного угла

$-14;$
$-5;$
$-5;$
$-8;$
$-4;$
$5;$
$14;$
$-5;$
$7$ .

Задание 5. Применение основного тригонометрического тождества

$-22;$
$12;$
$12;$
$6$ .

Задание 6. Преобразования с помощью тангенса и котангенса

$25,25;$
$5;$
$5;$
$7;$
$2,8;$
$8;$
$0,8$ .

Задание 7. Синус двойного угла

$2;$
$10;$
$10;$
$0,5;$
$0,2;$
$12$ .

Задание 8. Косинус двойного угла

$22,08;$
$5,6;$
$-7;$
$31,96;$
$0,25;$
$2,72;$
$-7,5;$
$-1,5;$
$-1,5;$
$-1;$
$-2;$
$-24;$
$-18;$
$-6$ .

Задание 9. Тригонометрические уравнения 1 части

$-1;$
$-2;$
$0,5;$
$-4;$
$2;$
$-6;$
$0,5;$
$0,125$ .

Задания 2 части

Задание 1

а) $\left\{\dfrac{\pi}{3}+2\pi k,\,\, \dfrac{2\pi}{3}+2\pi k,\,\, \pi k, k \in \mathbb{Z}\right\},$

б) $-3\pi,\,\, -2\pi,\,\, -\dfrac{5\pi}{3}$ .

Задание 2

а) $\left\{\pm\dfrac{\pi}{6}+2\pi k,\,\, \dfrac{\pi}{2}+\pi k, k \in \mathbb{Z}\right\},$

б) $-\dfrac{7\pi}{2},\,\, -\dfrac{5\pi}{2},\,\, -\dfrac{13\pi}{6}$ .

Задание 3

а) $\left\{\pi+2\pi k,\,\, \dfrac{\pi}{2}+\pi k, k \in \mathbb{Z}\right\},$

б) $\dfrac{5\pi}{2},\,\, 3\pi,\,\, \dfrac{7\pi}{2}$ .

Задание 4

а) $\left\{\pm\dfrac{2\pi}{3} + 2\pi k,\,\, \pi k, k \in \mathbb{Z}\right\},$

б) $3\pi,\,\, 4\pi,\,\, \dfrac{10\pi}{3}$ .

Задание 5

а) $\left\{\pi k,\,\, -\dfrac{\pi}{4}+2\pi k,\,\, -\dfrac{3\pi}{4}+2\pi k, k \in \mathbb{Z}\right\},$

б) $\dfrac{7\pi}{4},\,\, 2\pi,\,\, 3\pi$ .

Задание 6

а) $\left\{-\dfrac{\pi}{4}+2\pi k,\,\, -\dfrac{3\pi}{4}+2\pi k, k \in \mathbb{Z}\right\},$

б) $-\dfrac{19\pi}{4},\,\, -\dfrac{17\pi}{4}$ .

Задание 7

а) $\left\{\pi k,\,\, \pm\dfrac{3\pi}{4}+2\pi k, k \in \mathbb{Z}\right\},$

б) $\dfrac{3\pi}{4},\,\, \pi,\,\, \dfrac{5\pi}{4},\,\, 2\pi$ .

Задание 8

а) $\left\{\pm\dfrac{\pi}{6}+2\pi k, k \in \mathbb{Z}\right\},$

б) $\dfrac{23\pi}{6}$ .

Задание 9

а) $\left\{\pm\dfrac{5\pi}{6}+2\pi k, k \in \mathbb{Z}\right\},$

б) $-\dfrac{7\pi}{6}$ .

Задание 10

а) $\left\{-\dfrac{\pi}{6}+2\pi k,\,\, -\dfrac{5\pi}{6}+2\pi k,\,\, \pi k,\,\, k \in \mathbb{Z}\right\},$

б) $\pi,\,\, \dfrac{7\pi}{6},\,\, \dfrac{11\pi}{6},\,\, 2\pi$ .

Задание 11

а) $\left\{-\dfrac{\pi}{6}+2\pi k,\,\, -\dfrac{5\pi}{6}+2\pi k,\,\, 2\pi k,\,\, k \in \mathbb{Z}\right\},$

б) $2\pi,\,\, \dfrac{19\pi}{6}$ .

Задание 12

а) $\left\{\dfrac{\pi}{6}+2\pi k,\,\, \dfrac{5\pi}{6}+2\pi k,\,\, \dfrac{\pi}{2}+2\pi k,\,\, k \in \mathbb{Z}\right\},$

б) $\dfrac{5\pi}{2},\,\, \dfrac{17\pi}{6}$ .

Задание 13

а) $\left\{\dfrac{\pi}{6}+2\pi k,\,\, \dfrac{5\pi}{6}+2\pi k,\,\, \pi+2\pi k,\,\, k \in \mathbb{Z}\right\},$

б) $-\dfrac{19\pi}{6},\,\, -3\pi$ .

Задание 14

а) $\left\{\pm \dfrac{2\pi}{3}+2\pi k,\,\, \pi+2\pi k,\,\, k \in \mathbb{Z}\right\},$

б) $\dfrac{8\pi}{3},\,\, 3\pi,\,\, \dfrac{10\pi}{3}$ .

Задание 15

а) $\left\{\pi k,\,\, \pm \dfrac{\pi}{3}+2\pi k,\,\, \pm \dfrac{2\pi}{3}+2\pi k,\,\, k \in \mathbb{Z}\right\}$ или $\left\{\dfrac{\pi k}{3},\,\, k \in \mathbb{Z}\right\}$ ,

б) $\dfrac{11\pi}{3},\,\, 4\pi,\,\, \dfrac{13\pi}{3}$ .

Задание 16

а) $\left\{\pm \dfrac{\pi}{2}+2\pi k,\,\, \pm \dfrac{\pi}{4}+2\pi k,\,\, \pm \dfrac{3\pi}{4}+2\pi k,\,\, k \in \mathbb{Z}\right\}$ или $\left\{\dfrac{\pi}{2}+\pi k,\,\, \dfrac{\pi}{4}+\dfrac{\pi k}{2},\,\, k \in \mathbb{Z}\right\},$

б) $\dfrac{9\pi}{2},\,\, \dfrac{11\pi}{2},\,\, \dfrac{19\pi}{4},\,\, \dfrac{21\pi}{4}$ .

Задание 17

а) $\left\{\pi k,\,\, \pm \dfrac{\pi}{6}+2\pi k,\,\, \pm \dfrac{5\pi}{6}+2\pi k,\,\, k \in \mathbb{Z}\right\}$ или $\left\{\pi k,\,\, \dfrac{\pi}{6}+\pi k,\,\, \dfrac{5\pi}{6}+\pi k,\,\, k \in \mathbb{Z}\right\},$

б) $-\dfrac{19\pi}{6},\,\, -3\pi,\,\, -\dfrac{17\pi}{6}$ .

Задание 18

а) $\left\{\pi k,\,\, \dfrac{\pi}{2}+2\pi k,\,\, k \in \mathbb{Z}\right\},$

б) $\dfrac{5\pi}{2},\,\, 2\pi,\,\, 3\pi$ .

Задание 19

а) $\left\{-\dfrac{\pi}{6}+2\pi k,\,\, -\dfrac{5\pi}{6}+2\pi k,\,\, k \in \mathbb{Z}\right\},$

б) $-\dfrac{17\pi}{6},\,\, -\dfrac{13\pi}{6}$ .

Задание 20

а) $\left\{\pm\dfrac{\pi}{3}+2\pi k,\,\, k \in \mathbb{Z}\right\},$

б) $\dfrac{7\pi}{3}$ .

Задание 21

а) $\left\{\dfrac{\pi}{12}+\dfrac{\pi k}{2},\,\, \dfrac{5\pi}{12}+\dfrac{\pi k}{2},\,\, k \in \mathbb{Z}\right\},$

б) $\dfrac{7\pi}{12},\,\, \dfrac{11\pi}{12},\,\, \dfrac{13\pi}{12},\,\, \dfrac{17\pi}{12},\,\, \dfrac{19\pi}{12},\,\, \dfrac{23\pi}{12}$ .

Задание 22

а) $\left\{\pm \dfrac{\pi}{4}+2\pi k,\,\, \pm \dfrac{3\pi}{4}+2\pi k,\,\, k \in \mathbb{Z}\right\}$ или $\left\{\dfrac{\pi}{4}+\dfrac{\pi k}{2},\,\, k \in \mathbb{Z}\right\},$

б) $\dfrac{13\pi}{4},\,\, \dfrac{15\pi}{4},\,\, \dfrac{17\pi}{4}$ .

Задание 23

а) $\left\{\pi k,\,\, \pm \dfrac{\pi}{4}+2\pi k,\,\, \pm \dfrac{3\pi}{4}+2\pi k,\,\, k \in \mathbb{Z}\right\}$ или $\left\{\pi k,\,\, \dfrac{\pi}{4}+\dfrac{\pi k}{2},\,\, k \in \mathbb{Z}\right\},$

б) $-\dfrac{11\pi}{4},\,\, -3\pi,\,\, -\dfrac{13\pi}{4}$ .

Задание 24

а) $\left\{\pm \dfrac{\pi}{3}+2\pi k,\,\, \pm \dfrac{\pi}{2}+2\pi k,\,\, \pm \dfrac{2\pi}{3}+2\pi k,\,\, k \in \mathbb{Z}\right\}$ или $\left\{\dfrac{\pi}{3}+\pi k,\,\, \dfrac{\pi}{2}+\pi k,\,\, \dfrac{2\pi}{3}+\pi k,\,\, k \in \mathbb{Z}\right\},$

б) $-\dfrac{14\pi}{3},\,\, -\dfrac{9\pi}{2},\,\, -\dfrac{13\pi}{3}$ .

Задание 25

а) $\left\{\pm\dfrac{5\pi}{6}+2\pi k,\,\, k \in \mathbb{Z}\right\},$

б) $-\dfrac{7\pi}{6},\,\, -\dfrac{5\pi}{6}$ .

Задание 26

а) $\left\{-\dfrac{\pi}{4}+2\pi k,\,\, \dfrac{3\pi}{4}+2\pi k,\,\, -\dfrac{\pi}{6}+2\pi k,\,\, -\dfrac{5\pi}{6}+2\pi k,\,\, k \in \mathbb{Z}\right\}$
или $\left\{-\dfrac{\pi}{4}+\pi k,\,\, -\dfrac{\pi}{6}+2\pi k,\,\, -\dfrac{5\pi}{6}+2\pi k,\,\, k \in \mathbb{Z}\right\},$

б) $-\dfrac{5\pi}{4},\,\, -\dfrac{9\pi}{4},\,\, -\dfrac{13\pi}{6}$ .

Задание 27

а) $\left\{\pm\dfrac{3\pi}{4}+2\pi k,\,\, \dfrac{\pi}{2}+2\pi k,\,\, k \in \mathbb{Z}\right\},$

б) $\dfrac{5\pi}{4},\,\, \dfrac{5\pi}{2}$ .

Задание 28

а) $\left\{\dfrac{\pi}{4}+2\pi k,\,\, -\dfrac{3\pi}{4}+2\pi k,\,\, \pi+2\pi k,\,\, k \in \mathbb{Z}\right\}$ или $\left\{\dfrac{\pi}{4}+\pi k,\,\, \pi+2\pi k,\,\, k \in \mathbb{Z}\right\},$

б) $\pi,\,\, \dfrac{5\pi}{4}$ .

Задание 29

а) $\left\{\dfrac{\pi}{2}+\pi k,\,\, \pm\dfrac{\pi}{6}+2\pi k,\,\, k \in \mathbb{Z}\right\},$

б) $\dfrac{13\pi}{6},\,\, \dfrac{5\pi}{2},\,\, \dfrac{7\pi}{2}$ .

Задание 30

а) $\left\{\pi k,\,\, -\dfrac{\pi}{4}+2\pi k,\,\, -\dfrac{3\pi}{4}+2\pi k,\,\, k \in \mathbb{Z}\right\},$

б) $\dfrac{7\pi}{4},\,\, 2\pi,\,\, 3\pi$ .

Задание 31

а) $\left\{\pm\dfrac{\pi}{3}+2\pi k,\,\, k \in \mathbb{Z}\right\},$

б) $\dfrac{7\pi}{3}$ .

Задание 32

а) $\left\{\dfrac{\pi}{2}+2\pi k,\,\, \pi\pm\arccos{\dfrac{1}{4}}+2\pi k,\,\, k \in \mathbb{Z}\right\},$

б) $\dfrac{\pi}{2},\,\, \pi\pm\arccos{\dfrac{1}{4}}$ .

Задание 33

а) $\left\{\dfrac{\pi}{3}+2\pi k,\,\, -\dfrac{2\pi}{3}+2\pi k,\,\, k \in \mathbb{Z}\right\}$ или $\left\{\dfrac{\pi}{3}+\pi k,\,\, k \in \mathbb{Z}\right\},$

б) $\dfrac{4\pi}{3},\,\, \dfrac{7\pi}{3}$ .

Задание 34

а) $\left\{\pm\dfrac{\pi}{3}+2\pi k,\,\, \dfrac{\pi}{6}+2\pi k,\,\, \dfrac{5\pi}{6}+2\pi k,\,\, k \in \mathbb{Z}\right\},$

б) $\dfrac{17\pi}{6},\,\, \dfrac{11\pi}{3}$ .

Задание 35

а) $\left\{\pi k,\,\, \dfrac{\pi}{3}+2\pi k,\,\, \dfrac{2\pi}{3}+2\pi k,\,\, k \in \mathbb{Z}\right\},$

б) $\pi,\,\, 2\pi,\,\, \dfrac{7\pi}{3}$ .

Задание 36

а) $\left\{\dfrac{\pi}{2}+\pi k,\,\, \dfrac{\pi}{4}+2\pi k,\,\, \dfrac{3\pi}{4}+2\pi k,\,\, k \in \mathbb{Z}\right\},$

б) $-\dfrac{5\pi}{2},\,\, -\dfrac{7\pi}{4},\,\, -\dfrac{3\pi}{2},\,\, -\dfrac{5\pi}{4}$ .

Задание 37

а) $\left\{\pi k,\,\, \pm\dfrac{\pi}{6}+2\pi k,\,\, k \in \mathbb{Z}\right\},$

б) $-3\pi,\,\, -\dfrac{13\pi}{6},\,\, -2\pi$ .

Задание 38

а) $\left\{\pi k,\,\, \dfrac{\pi}{4}+2\pi k,\,\, \dfrac{3\pi}{4}+2\pi k,\,\, k \in \mathbb{Z}\right\},$

б) $-\dfrac{13\pi}{4},\,\, -3\pi,\,\, -2\pi$ .

Задание 39

а) $\left\{\pi k,\,\, -\dfrac{\pi}{4}+2\pi k,\,\, -\dfrac{3\pi}{4}+2\pi k,\,\, k \in \mathbb{Z}\right\},$

б) $-\pi,\,\, -2\pi,\,\, -\dfrac{9\pi}{4}$ .

Задание 40

а) $\left\{\dfrac{\pi}{2}+\pi k,\,\, -\dfrac{\pi}{3}+2\pi k,\,\, -\dfrac{2\pi}{3}+2\pi k,\,\, k \in \mathbb{Z}\right\},$

б) $-\dfrac{5\pi}{2},\,\, -\dfrac{7\pi}{3},\,\, -\dfrac{3\pi}{2}$ .

Задание 41

а) $\left\{\pi k,\,\, \pm\dfrac{\pi}{3}+2\pi k,\,\, k \in \mathbb{Z}\right\},$

б) $-2\pi,\,\, -3\pi,\,\, -\dfrac{7\pi}{3}$ .

Задание 42

а) $\left\{\dfrac{\pi}{2}+\pi k,\,\, \dfrac{\pi}{3}+2\pi k,\,\, \dfrac{2\pi}{3}+2\pi k,\,\, k \in \mathbb{Z}\right\},$

б) $-\dfrac{11\pi}{3},\,\, -\dfrac{7\pi}{2},\,\, -\dfrac{10\pi}{3}$ .

Задание 43

а) $\left\{\pi k,\,\, \dfrac{\pi}{6}+2\pi k,\,\, \dfrac{5\pi}{6}+2\pi k,\,\, k \in \mathbb{Z}\right\},$

б) $-\dfrac{11\pi}{6},\,\, -2\pi,\,\, -3\pi$ .

Задание 44

а) $\left\{\dfrac{\pi}{2}+\pi k,\,\, \pm\dfrac{2\pi}{3}+2\pi k,\,\, k \in \mathbb{Z}\right\},$

б) $\dfrac{9\pi}{2},\,\, \dfrac{14\pi}{3},\,\, \dfrac{16\pi}{3},\,\, \dfrac{11\pi}{2}$ .

Задание 45

а) $\left\{\pi k,\,\, -\dfrac{\pi}{6}+2\pi k,\,\, -\dfrac{5\pi}{6}+2\pi k,\,\, k \in \mathbb{Z}\right\},$

б) $-2\pi,\,\, -\pi,\,\, -\dfrac{5\pi}{6}$ .

Задание 46

а) $\left\{\pi k,\,\, \dfrac{\pi}{6}+2\pi k,\,\, \dfrac{5\pi}{6}+2\pi k,\,\, k \in \mathbb{Z}\right\},$

б) $-\dfrac{19\pi}{6},\,\, -3\pi,\,\, -2\pi$ .

Задание 47

а) $\left\{-\dfrac{\pi}{4}+2\pi k,\,\, \dfrac{3\pi}{4}+2\pi k,\,\, k \in \mathbb{Z}\right\}$ или $\left\{-\dfrac{\pi}{4}+\pi k,\,\, k \in \mathbb{Z}\right\},$

б) $\dfrac{7\pi}{4}$ .

Задание 48

а) $\left\{2\pi k,\,\, \pm \dfrac{2\pi}{3}+2\pi k,\,\, k \in \mathbb{Z}\right\}$ или $\left\{\dfrac{2\pi k}{3},\,\, k \in \mathbb{Z}\right\}$ ,

б) $\dfrac{4\pi}{3},\,\, 2\pi$ .

Задание 49

а) $\left\{\pi k,\,\, \pm\dfrac{\pi}{4}+2\pi k,\,\, k \in \mathbb{Z}\right\},$

б) $-\dfrac{9\pi}{4},\,\, -2\pi$ .

Задание 50

а) $\left\{\pi+2\pi k,\,\, \dfrac{\pi}{2}+2\pi k,\,\, k \in \mathbb{Z}\right\},$

б) $-3\pi,\,\, -\dfrac{7\pi}{2}$ .

Задание 51

а) $\left\{\pi+2\pi k,\,\, -\dfrac{\pi}{3}+4\pi k,\,\, -\dfrac{5\pi}{3}+4\pi k,\,\, k \in \mathbb{Z}\right\},$

б) $-\pi,\,\,-\dfrac{\pi}{3},\,\, \pi$ .

Задание 52

а) $\left\{-\dfrac{\pi}{12}+\pi k,\,\, -\dfrac{5\pi}{12}+\pi k,\,\, k \in \mathbb{Z}\right\},$

б) $-\dfrac{37\pi}{12},\,\, -\dfrac{41\pi}{12}$ .

Задание 53

а) $\left\{-\dfrac{\pi}{4}+2\pi k,\,\, \dfrac{3\pi}{4}+2\pi k,\,\, k \in \mathbb{Z}\right\}$ или $\left\{-\dfrac{\pi}{4}+\pi k,\,\, k \in \mathbb{Z}\right\},$

б) $-\dfrac{13\pi}{4},\,\, -\dfrac{17\pi}{4}$ .

Задание 54

а) $\left\{\dfrac{\pi}{2}+\pi k,\,\, k \in \mathbb{Z}\right\},$

б) $\dfrac{3\pi}{2},\,\, \dfrac{5\pi}{2}$ .

Задание 55

а) $\left\{\dfrac{\pi}{3}+2\pi k,\,\, \dfrac{5\pi}{6}+2\pi k,\,\, \dfrac{4\pi}{3}+2\pi k,\,\, -\dfrac{\pi}{6}+2\pi k,\,\, k \in \mathbb{Z}\right\}$ или $\left\{\dfrac{\pi}{3}+\dfrac{\pi k}{2},\,\, k \in \mathbb{Z}\right\},$

б) $\dfrac{11\pi}{6},\,\, \dfrac{7\pi}{3},\,\, \dfrac{17\pi}{6}$ .

Задание 56

а) $\left\{\pi k,\,\, \dfrac{\pi}{3}+2\pi k,\,\, \dfrac{4\pi}{3}+2\pi k,\,\, k \in \mathbb{Z}\right\}$ или $\left\{\pi k,\,\, \dfrac{\pi}{3}+\pi k,\,\, k \in \mathbb{Z}\right\},$

б) $2\pi,\,\, \dfrac{7\pi}{3},\,\, 3\pi$ .

Задание 57

а) $\left\{\pi k,\,\, \dfrac{\pi}{4}+2\pi k,\,\, \dfrac{5\pi}{4}+2\pi k,\,\, k \in \mathbb{Z}\right\}$ или $\left\{\pi k,\,\, \dfrac{\pi}{4}+\pi k,\,\, k \in \mathbb{Z}\right\},$

б) $-2\pi,\,\, -3\pi,\,\, -\dfrac{11\pi}{4}$ .

Задание 58

а) $\left\{\pm \dfrac{\pi}{2}+2\pi k,\,\, \dfrac{3\pi}{4}+2\pi k,\,\, -\dfrac{\pi}{4}+2\pi k,\,\, k \in \mathbb{Z}\right\}$ или $\left\{\dfrac{\pi}{2}+\pi k,\,\, \dfrac{3\pi}{4}+\pi k,\,\, k \in \mathbb{Z}\right\},$

б) $\dfrac{7\pi}{2},\,\, \dfrac{15\pi}{4},\,\, \dfrac{9\pi}{2}$ .

Задание 59

а) $\left\{\pi k,\,\, \dfrac{\pi}{4}+2\pi k,\,\, \dfrac{5\pi}{4}+2\pi k,\,\, k \in \mathbb{Z}\right\}$ или $\left\{\pi k,\,\, \dfrac{\pi}{4}+\pi k,\,\, k \in \mathbb{Z}\right\},$

б) $-3\pi,\,\, -\dfrac{15\pi}{4},\,\, -4\pi$ .

Задание 60

б) $\dfrac{7\pi}{2},\,\, \dfrac{15\pi}{4},\,\, \dfrac{9\pi}{2}$ .

Задание 61

а) $\left\{\pi k,\,\, \pm\dfrac{2\pi}{3}+2\pi k,\,\, k \in \mathbb{Z}\right\},$

б) $2\pi,\,\, \dfrac{8\pi}{3},\,\, 3\pi$ .

Задание 62

а) $\left\{\pm \dfrac{\pi}{3}+2\pi k,\,\, \pi k,\,\, k \in \mathbb{Z}\right\}$ или $\left\{\dfrac{\pi}{3}+\dfrac{2\pi k}{3},\,\, \pi k,\,\, k \in \mathbb{Z}\right\},$

б) $-3\pi$ .

Задание 63

а) $\left\{\pm \dfrac{\pi}{2}+2\pi k,\,\, -\dfrac{5\pi}{6}+2\pi k,\,\, -\dfrac{\pi}{6}+2\pi k,\,\, k \in \mathbb{Z}\right\}$ или $\left\{\dfrac{\pi}{2}+\dfrac{2\pi k}{3},\,\, \dfrac{\pi}{2}+\pi k,\,\, k \in \mathbb{Z}\right\},$

б) $-\dfrac{17\pi}{6},\,\, -\dfrac{5\pi}{2},\,\, -\dfrac{13\pi}{6}$ .

Задание 64

а) $\left\{\dfrac{\pi}{4}+2\pi k,\,\, \dfrac{5\pi}{4}+2\pi k,\,\, k \in \mathbb{Z}\right\}$ или $\left\{\dfrac{\pi}{4}+\pi k,\,\, k \in \mathbb{Z}\right\},$

б) $\dfrac{21\pi}{4},\,\, \dfrac{25\pi}{4}$ .

Задание 65

а) $\left\{\dfrac{\pi}{4}+2\pi k,\,\, \dfrac{5\pi}{4}+2\pi k,\,\, k \in \mathbb{Z}\right\}$ или $\left\{\dfrac{\pi}{4}+\pi k,\,\, k \in \mathbb{Z}\right\},$

б) $-\dfrac{15\pi}{4}$ .

Задание 66

а) $\left\{\dfrac{\pi}{6}+2\pi k,\,\, \dfrac{5\pi}{6}+2\pi k,\,\, \pm \dfrac{\pi}{2}+2\pi k,\,\, k \in \mathbb{Z}\right\}$ или $\left\{\dfrac{\pi}{6}+\dfrac{2\pi k}{3},\,\, \dfrac{\pi}{2}+\pi k,\,\, k \in \mathbb{Z}\right\},$

б) $-\dfrac{\pi}{2},\,\, \dfrac{\pi}{6},\,\, \dfrac{\pi}{2}$ .

Задание 67

а) $\left\{\dfrac{\pi}{2}+\pi k,\,\, k \in \mathbb{Z}\right\},$

б) $\dfrac{3\pi}{2},\,\, \dfrac{5\pi}{2},\,\, \dfrac{7\pi}{2}$ .

Задание 68

а) $\left\{\pm\dfrac{\pi}{6}+2\pi k,\,\, \pm\dfrac{5\pi}{6}+2\pi k,\,\, k \in \mathbb{Z}\right\}$ или $\left\{\pm\dfrac{\pi}{6}+\pi k,\,\, k \in \mathbb{Z}\right\},$

б) $\dfrac{17\pi}{6},\,\, \dfrac{19\pi}{6},\,\, \dfrac{23\pi}{6}$ .

Задание 69

а) $\left\{\pm\dfrac{\pi}{6}+2\pi k,\,\, \pm\dfrac{5\pi}{6}+2\pi k,\,\, k \in \mathbb{Z}\right\}$ или $\left\{\pm\dfrac{\pi}{6}+\pi k,\,\, k \in \mathbb{Z}\right\},$

б) $-\dfrac{13\pi}{6},\,\, -\dfrac{17\pi}{6},\,\, -\dfrac{19\pi}{6}$ .

Задание 70

а) $\left\{\dfrac{\pi}{2}+\pi k,\,\, k \in \mathbb{Z}\right\},$

б) $-\dfrac{5\pi}{2},\,\, -\dfrac{3\pi}{2}$ .

Задание 71

а) $\left\{\dfrac{\pi}{6}+2\pi k,\,\, \dfrac{5\pi}{6}+2\pi k,\,\, \dfrac{\pi}{2}+2\pi k,\,\, k \in \mathbb{Z}\right\},$

б) $-\dfrac{23\pi}{6},\,\, -\dfrac{7\pi}{2}$ .

Задание 72

а) $\left\{\pm\dfrac{\pi}{3}+2\pi k,\,\, k \in \mathbb{Z}\right\},$

б) $\dfrac{5\pi}{3},\,\, \dfrac{7\pi}{3}.$

Задание 73

а) $\left\{\pi+2\pi k,\,\, \pm\dfrac{\pi}{3}+2\pi k,\,\, k \in \mathbb{Z}\right\},$

б) $3\pi,\,\, \dfrac{11\pi}{3},\,\, \dfrac{13\pi}{3}$ .

Задание 74

а) $\left\{\pm\dfrac{\pi}{6}+2\pi k,\,\, k \in \mathbb{Z}\right\},$

б) $\dfrac{11\pi}{6},\,\, \dfrac{13\pi}{6}$ .

Задание 75

а) $\left\{\pm \dfrac{\pi}{4}+2\pi k,\,\, k \in \mathbb{Z}\right\},$

б) $-\dfrac{7\pi}{4}$ .

Задание 76

а) $\left\{\dfrac{\pi}{4}+2\pi k,\,\, \dfrac{3\pi}{4}+2\pi k,\,\, k \in \mathbb{Z}\right\},$

б) $-\dfrac{5\pi}{4}$ .

Задание 77

а) $\left\{\pm \dfrac{\pi}{3}+2\pi k,\,\, \pm \dfrac{2\pi}{3}+2\pi k,\,\, k \in \mathbb{Z}\right\}$ или $\left\{\dfrac{\pi}{3}+\pi k,\,\, \dfrac{2\pi}{3}+\pi k,\,\, k \in \mathbb{Z}\right\},$

б) $-\dfrac{10\pi}{3},\,\, -\dfrac{8\pi}{3},\,\, -\dfrac{7\pi}{3}$ .

Задание 78

а) $\left\{\pm \dfrac{\pi}{4}+2\pi k,\,\, \pm \dfrac{3\pi}{4}+2\pi k,\,\, k \in \mathbb{Z}\right\}$ или $\left\{\dfrac{\pi}{4}+\dfrac{\pi k}{2},\,\, k \in \mathbb{Z}\right\},$

б) $\dfrac{21\pi}{4},\,\, \dfrac{23\pi}{4},\,\, \dfrac{25\pi}{4}$ .

Задание 79

а) $\left\{\dfrac{\pi}{2}+\pi k,\,\, -\dfrac{\pi}{3}+2\pi k,\,\, -\dfrac{2\pi}{3}+2\pi k,\,\, k \in \mathbb{Z}\right\},$

б) $-\dfrac{\pi}{2},\,\, -\dfrac{\pi}{3},\,\, \dfrac{\pi}{2},\,\, \dfrac{4\pi}{3},\,\, \dfrac{3\pi}{2}$ .

Задание 80

а) $\left\{\dfrac{\pi}{2}+\pi k,\,\, -\dfrac{\pi}{3}+2\pi k,\,\, -\dfrac{2\pi}{3}+2\pi k,\,\, k \in \mathbb{Z}\right\},$

б) $\dfrac{4\pi}{3},\,\, \dfrac{3\pi}{2},\,\, \dfrac{5\pi}{3},\,\, \dfrac{5\pi}{2},\,\, \dfrac{10\pi}{3},\,\, \dfrac{7\pi}{2}$ .

Задание 81

а) $\left\{\dfrac{\pi}{6}+2\pi k,\,\, k \in \mathbb{Z}\right\},$

б) $-\dfrac{23\pi}{6}$ .

Задание 82

а) $\left\{-\dfrac{\pi}{6}+2\pi k,\,\, k \in \mathbb{Z}\right\},$

б) $\dfrac{11\pi}{6}$ .

Задание 83

а) $\left\{\arcsin{\dfrac{2}{3}}+2\pi k,\,\, \pi - \arcsin{\dfrac{2}{3}}+2\pi k,\,\, k \in \mathbb{Z}\right\},$

б) $\pi - \arcsin{\dfrac{2}{3}}$ .

Задание 84

а) $\left\{\dfrac{\pi}{2}+2\pi k,\,\, \dfrac{5\pi}{6}+2\pi k,\,\, k \in \mathbb{Z}\right\},$

б) $\dfrac{5\pi}{6},\,\, \dfrac{\pi}{2}$ .

Задание 85

а) $\left\{\pi k,\,\, \dfrac{\pi}{2}+2\pi k,\,\, k \in \mathbb{Z}\right\},$

б) $6\pi,\,\, \dfrac{13\pi}{2},\,\, 7\pi$ .

Задание 86

а) $\left\{\dfrac{\pi}{6}+2\pi k,\,\, \dfrac{5\pi}{6}+2\pi k,\,\, k \in \mathbb{Z}\right\},$

б) $\dfrac{13\pi}{6},\,\, \dfrac{17\pi}{6}$ .

Задание 87

а) $\left\{\pi k,\,\, \dfrac{2\pi}{3}+2\pi k,\,\, k \in \mathbb{Z}\right\},$

б) $2\pi,\,\, \dfrac{8\pi}{3},\,\, 3\pi$ .

Задание 88

а) $\left\{\pi k,\,\, \dfrac{5\pi}{6}+2\pi k,\,\, k \in \mathbb{Z}\right\},$

б) $2\pi,\,\, \dfrac{17\pi}{6},\,\, 3\pi$ .

Задание 89

а) $\left\{\dfrac{\pi}{6}+2\pi k,\,\, \dfrac{5\pi}{6}+2\pi k,\,\, k \in \mathbb{Z}\right\},$

б) $\dfrac{\pi}{6}$ .

Задание 90

а) $\left\{\dfrac{\pi}{2}+\pi k,\,\, -\dfrac{\pi}{3}+2\pi k,\,\, k \in \mathbb{Z}\right\},$

б) $\dfrac{3\pi}{2},\,\, \dfrac{5\pi}{3},\,\, \dfrac{5\pi}{2},\,\, \dfrac{7\pi}{2}$ .

Задание 91

а) $\left\{\dfrac{\pi}{4}+2\pi k,\,\, k \in \mathbb{Z}\right\},$

б) $\dfrac{17\pi}{4}$ .

Задание 92

а) $\left\{\dfrac{\pi}{6}+2\pi k,\,\, k \in \mathbb{Z}\right\},$

б) $-\dfrac{35\pi}{6}$ .

Задание 93

а) $\left\{\pm\dfrac{\pi}{4}+2\pi k,\,\, k \in \mathbb{Z}\right\},$

б) $-\dfrac{7\pi}{4},\,\, -\dfrac{9\pi}{4}$ .

Задание 94

а) $\left\{\pi k,\,\, \dfrac{\pi}{6}+2\pi k,\,\, k \in \mathbb{Z}\right\},$

б) $\pi,\,\, 2\pi,\,\, \dfrac{13\pi}{6}$ .

Задание 95

а) $\left\{\dfrac{4\pi}{3}+2\pi k,\,\, \dfrac{3\pi}{2}+2\pi k,\,\, k \in \mathbb{Z}\right\},$

б) $\dfrac{4\pi}{3},\,\, \dfrac{3\pi}{2}$ .

Задание 96

а) $\left\{\dfrac{5\pi}{6}+2\pi k,\,\, k \in \mathbb{Z}\right\},$

б) $\dfrac{17\pi}{6}$ .

Задание 97

а) $\left\{\pm\dfrac{\pi}{3}+2\pi k,\,\, k \in \mathbb{Z}\right\},$

б) $-\dfrac{7\pi}{3},\,\, -\dfrac{5\pi}{3}$ .

Задание 98

а) $\left\{2\pi k,\,\, -\dfrac{\pi}{3}+2\pi k,\,\, k \in \mathbb{Z}\right\},$

б) $\dfrac{11\pi}{3},\,\, 4\pi$ .

Задание 99

а) $\left\{-\dfrac{\pi}{2}+2\pi k,\,\, -\dfrac{\pi}{4}+2\pi k,\,\, \pi k,\,\, k \in \mathbb{Z}\right\},$

б) $2\pi,\,\, 3\pi,\,\, \dfrac{7\pi}{2}$ .

Задание 100

а) $\left\{\dfrac{5\pi}{6}+2\pi k,\,\, \dfrac{\pi}{2}+\pi k,\,\, k \in \mathbb{Z}\right\},$

б) $-\dfrac{5\pi}{2},\,\, -\dfrac{3\pi}{2},\,\, -\dfrac{7\pi}{6}$ .

Задание 101

а) $\left\{\dfrac{3\pi}{4}+2\pi k,\,\, k \in \mathbb{Z}\right\},$

б) $-\dfrac{5\pi}{4},\,\, -\dfrac{13\pi}{4}$ .

Задание 102

а) $\left\{-\dfrac{2\pi}{3}+2\pi k,\,\, \dfrac{\pi}{4}+\pi k,\,\, k \in \mathbb{Z}\right\},$

б) $\dfrac{5\pi}{4},\,\, \dfrac{4\pi}{3}$ .

Задание 103

а) $\left\{\pm\dfrac{\pi}{3}+2\pi k,\,\, \pm\dfrac{2\pi}{3}+2\pi k,\,\, \pi k,\,\, k \in \mathbb{Z}\right\}$ или $\left\{\dfrac{\pi k}{3},\,\, k \in \mathbb{Z}\right\},$

б) $2\pi,\,\, \dfrac{7\pi}{3},\,\, \dfrac{8\pi}{3},\,\, 3\pi,\,\, \dfrac{10\pi}{3}$ .

Задание 104

а) $\left\{-\dfrac{\pi}{4}+\pi k,\,\, \arctan{3}+\pi k,\,\, k \in \mathbb{Z}\right\},$

б) $-\dfrac{17\pi}{4},\,\, -\dfrac{13\pi}{4},\,\, -4\pi + \arctan{3}$ .

Задание 105

а) $\left\{\pm\dfrac{\pi}{3}+2\pi k,\,\, \pm\dfrac{2\pi}{3}+2\pi k,\,\, k \in \mathbb{Z}\right\}$ или $\left\{\pm\dfrac{\pi}{3}+\pi k,\,\, k \in \mathbb{Z}\right\},$

б) $-\dfrac{\pi}{3},\,\, \dfrac{5\pi}{3},\,\, \dfrac{\pi}{3},\,\, \dfrac{2\pi}{3},\,\, \dfrac{4\pi}{3}$ .

	$\sin^2{x}+\cos^2{x}=1;$	$\tan{x}=\dfrac{\sin{x}}{\cos{x}};$	$\tan^2{x}+1=\dfrac{1}{\cos^2{x}};$
	$\tan{x}\cdot\cot{x}=1;$	$\cot{x}=\dfrac{\cos{x}}{\sin{x}};$	$\cot^2{x}+1=\dfrac{1}{\sin^2{x}}.$

$(a\pm b)^2=a^2\pm2ab+b^2,$		$(a\pm b)^3=a^3\pm3a^2b+3ab^2\pm b^3,$
$a^2-b^2=(a-b)(a+b),$		$a^3\pm b^3=(a\pm b)(a^2\mp ab+b^2).$

	$\sin{(-x)}=-\sin{x};$	$\tan{(-x)}=-\tan{x};$
	$\cos{(-x)}=\cos{x};$	$\cot{(-x)}=-\cot{x}.$

	$\sin{(x+y)}=\sin{x}\cos{y}+\sin{y}\cos{x};$	$\cos{(x+y)}=\cos{x}\cos{y}-\sin{x}\sin{y};$
	$\sin{(x-y)}=\sin{x}\cos{y}-\sin{y}\cos{x};$	$\cos{(x-y)}=\cos{x}\cos{y}+\sin{x}\sin{y}.$

	$\sin{2x}=2\sin{x}\cos{x};$	$\cos{2x}=2\cos^2{x}-1;$
	$\cos{2x}=\cos^2{x}-\sin^2{x};$	$\cos{2x}=1-2\sin^2{x};$
	$\tan{2x}=\dfrac{2\tan{x}}{1-\tan^2x};$	$\cot{2x}=\dfrac{\cot^2x-1}{2\cot{x}}.$