13 Тригонометрическая функция, производная которой не обращается в ноль

Тригонометрическая функция, производная которой не обращается в ноль

Теоретическая справка

$\Longrightarrow$ Алгоритм решения задач этого раздела

$\blacktriangleright$ Пример 1.

Найдите наименьшее значение функции: $f(x)=6\cos{x}+\dfrac{24}{\pi}x+5$ на отрезке $\bigg[-\dfrac{2\pi}{3}; 0\bigg]$ .

Решение

Вариант 1:

Действуем по алгоритму:

1. Найдём область определения функции $f(x)$ .

Функция $f(x)$ определена при всех значениях $x$ .

2. Считаем производную $f'(x)$ функции $f(x)$ :

$f^\prime(x)=\bigg(6\cos{x}+\dfrac{24}{\pi}x+5\bigg)'=(6\cos{x})'+\bigg(\dfrac{24}{\pi}x\bigg)'+(5)'=6(\cos{x})'+\dfrac{24}{\pi}(x)'+(5)'=$ $=-6\sin{x}+\dfrac{24}{\pi}.$

3. Решаем уравнение $f'(x)=0$ . Корни уравнения это критические точки.

Уравнение $f'(x)=0$ не имеет решений, т.к. $\dfrac{24}{3,1415...}>7$ , а $-6 \leqslant -6\sin{x} \leqslant 6$ , поэтому $f'(x)=\dfrac{24}{\pi}-6\sin{x}>7-6=1>0$ производная положительна при всех значениях переменной, следовательно функция $f(x)$ является возрастающей.

4. Так как функция возрастает, то чем больше мы будем брать $x$ , тем больше будет её значение.
Значит наименьшее значение будет достигаться при самом маленьком значении $x$ . В нашем случае это $x=-\dfrac{2\pi}{3}$ .

5. Найдём это наименьшее значение:

f\bigg(-\dfrac{2\pi}{3}\bigg)=6\cos\bigg(-\dfrac{2\pi}{3}\bigg)-\dfrac{24}{\pi}\cdot\dfrac{2\pi}{3}+5=-6\bigg(\dfrac{1}{2}\bigg)-16+5=-14.

Ответ: $-14$ .

Вариант 2:

В данной задаче можно угадать ответ. Проведём следующие подготовительные рассуждения.

В нашей задаче надо получить нормальный ответ, значит, нам надо, чтобы $\cos{x}$ принимал значения без корней. Такие значения $\cos{x}$ принимает в точках $0,\, -\dfrac{2\pi}{3}, \, -\dfrac{\pi}{2},\, -\dfrac{\pi}{3}$ .

Подставим каждое из значений и убедимся в этом:

\cos{0}=1,

\cos{\bigg(-\dfrac{2\pi}{3}\bigg)}=-\dfrac{1}{2},

\cos{\bigg(-\dfrac{\pi}{2}\bigg)}=0,

\cos{\bigg(-\dfrac{\pi}{3}\bigg)}=\dfrac{1}{2}.

Видим, что наименьшее значение $\cos{x}$ примет при $x=-\dfrac{2\pi}{3}$ .

Тогда найдём это наименьшее значение:

f\bigg(-\dfrac{2\pi}{3}\bigg)=6\cos\bigg(-\dfrac{2\pi}{3}\bigg)-\dfrac{24}{\pi}\cdot\dfrac{2\pi}{3}+5=-6\bigg(\dfrac{1}{2}\bigg)-16+5=-14.

Ответ: $-14$ .

$\Longrightarrow$ Решение задачи

$\blacktriangleright$ Пример 2.

Найдите наибольшее значение функции: $f(x)=7\cos{x}-13x+26$ на отрезке $\bigg[0;\dfrac{3\pi}{2}\bigg].$

Решение

Вариант 1:

Действуем по алгоритму:

1. Найдём область определения функции $f(x)$ .

Функция $f(x)$ определена при всех значениях $x$ .

2. Считаем производную $f'(x)$ функции $f(x)$ :

f^\prime(x)=(7\cos{x}-13x+26)'=(7\cos{x})'-(13x)'+(26)'=-7\sin{x}-13.

3. Решаем уравнение $f'(x)=0$ . Корни уравнения это критические точки.

Уравнение $f'(x)=0$ не имеет решений, т.к. $-7\sin{x}-13=0 \Leftrightarrow \sin{x}=-\dfrac{13}{7}<-1$ . Теперь можно заметить, что $f'(x)=-7\sin{x}-13\leqslant 7-13 = -6 <0$ . Следовательно производная отрицательна при всех значениях переменной, поэтому заданная функция является убывающей.

4. Так как функция убывает, то чем больше мы будем брать $x$ , тем меньше будет её значение. Значит наибольшее значение будет достигаться при самом маленьком значении $x$ . В нашем случае это $x=0$ .

5. Найдём это наибольшее значение:

f(0)=7\cos{0}-13\cdot 0 +26=7+26=33.

Ответ: $33$ .

Вариант 2: Нас просят найти значение функции.

Это значит, что мы должны будем некоторое значение $x$ подставить в исходную функцию $f(x)=7\cos{x}-13x+26$ , вычислить значение этой функции и записать его в ответ.

Мы также помним, что ответ в первой части ЕГЭ может быть только целым числом или десятичной дробью.

Итак, нам надо поставить вместо $x$ какое-то значение и получить <<нормальный>> ответ.

Можем заметить, что у нас есть слагаемое $x$ , и слагаемое $\cos{x}$ . Нам не подходят значения $x$ , содержащие $\pi$ , и не подходят значения при которых мы не можем вычислить точное значение $\cos{x}$ , поэтому единственная точка, которая нам подходит – это точка $x = 0$ . $f(0) = 7\cos{0} - 13\cdot 0 + 26 = 7 + 26 = 33$ .

Ответ: $33$ .

$\Longrightarrow$ Решение задачи

$\blacktriangleright$ Пример 3.

Найдите наибольшее значение функции: $f(x)=16\tan{x}-16x+4\pi-5$ на отрезке $\bigg[-\dfrac{\pi}{4};\dfrac{\pi}{4}\bigg]$ .

Решение

Действуем по алгоритму:

1. Найдём область определения функции $f(x)$ .

Областью определения являются те $x$ при которых верно, что $\cos{x}\neq 0$ , так как $\tan{x}=\dfrac{\sin{x}}{\cos{x}}$ . Тогда: $x\neq \dfrac{\pi}{2}+\pi k,$ где $k -$ целое число.

2. Считаем производную $f'(x)$ функции $f(x)$ :

$f^\prime(x)=(16\tan{x}-16x+4\pi-5)'=16(\tan{x})'-16(x)'+(4\pi)'-(5)'=\dfrac{16}{\cos^{2}{x}}-16=\dfrac{16-16\cos^2{x}}{\cos^2{x}}=\dfrac{16(1-\cos^2{x})}{\cos^2{x}}=\dfrac{16\sin^2{x}}{\cos^2{x}}=16\tan^{2}{x}.$

3. Решаем уравнение $f'(x)=0$ . Корни уравнения это критические точки.

16\tan^2{x}=0 \Leftrightarrow \tan^2{x}=0 \Leftrightarrow \tan{x}=0 \Leftrightarrow x=0+\pi k \Leftrightarrow x=\pi k.

Мы могли бы нанести эти точки на числовую прямую и расставить знаки в полученных промежутках, но вместо этого внимательно проанализируем нашу производную:
функция $f'(x)=16\tan^2{x}$ $\geqslant 0$ на области определения $\Rightarrow$ функция $f(x)$ возрастает.

4. Так как функция непрерывна на отрезке и возрастает, то чем больше мы будем брать $x$ , тем больше будет её значение на этом отрезке. Значит наибольшее значение будет достигаться при самом большом значении $x$ . В нашем случае это $x=\dfrac{\pi}{4}$ .

5. Найдём это наибольшее значение:

f\bigg(\dfrac{\pi}{4}\bigg)=16\tan{\dfrac{\pi}{4}}-16\cdot\dfrac{\pi}{4}+4\pi-5=11.

Ответ: $11$ .

$\Longrightarrow$ Решение задачи

Задачи для самостоятельного решения

1. Найдите наименьшее значение функции $f(x)=5\cos{x}-6x+4$ на отрезке $\bigg[-\dfrac{3\pi}{2};0\bigg]$

$\Longrightarrow$ Решение задачи

2. Найдите наибольшее значение функции $f(x)=15x-3\sin{x}+5$ на отрезке $\bigg[-\dfrac{\pi}{2};0 \bigg]$

$\Longrightarrow$ Решение задачи

3. Найдите наименьшее значение функции $f(x)=9\cos{x}+14x+7$ на отрезке $\bigg[0;\dfrac{3\pi}{2}\bigg]$

4. Найдите наименьшее значение функции $f(x)=7\sin{x}-8x+9$ на отрезке $\bigg[-\dfrac{3\pi}{2};0\bigg]$

5. Найдите наименьшее значение функции $f(x)=6\cos{x}-\dfrac{36}{\pi}x+5$ на отрезке $\bigg[-\dfrac{2\pi}{3};0\bigg]$

6. Найдите наибольшее значение функции $f(x)=10\sin{x}-\dfrac{36}{\pi}x+7$ на отрезке

$\bigg[-\dfrac{5\pi}{6};0\bigg]$

7. Найдите наибольшее значение функции $f(x)=2\cos{x}-\dfrac{18}{\pi}x+4$ на отрезке $\bigg[-\dfrac{2\pi}{3};0 \bigg]$

8. Найдите наименьшее значение функции $f(x)=5\sin{x}-\dfrac{24}{\pi}x+6$ на отрезке $\bigg[-\dfrac{5\pi}{6};0\bigg]$

9. Найдите наибольшее значение функции $f(x)=7\cos{x}+16x-2$ на отрезке $\bigg[-\dfrac{3\pi}{2};0 \bigg]$

10. Найдите наименьшее значение функции $f(x)=13x-9\sin{x}+9$ на отрезке

$\bigg[0;\dfrac{\pi}{2} \bigg]$

11. Найдите наибольшее значение функции $f(x)=4\cos{x}-20x+7$ на отрезке

$\bigg[0;\dfrac{3\pi}{2}\bigg]$

12. Найдите наибольшее значение функции $f(x)=5\sin{x}-6x+3$ на отрезке $\bigg[0;\dfrac{\pi}{2}\bigg]$

Обратите внимание:

$\Longrightarrow$ Приемы, рассказанные в данном видео, могут здорово
упростить решение некоторых задач это раздела

Тригонометрическая функция, производная которой не обращается в 0

$9$ ;
$5$ ;
$16$ ;
$9$ ;
$11$ ;
$32$ ;
$15$ ;
$6$ ;
$5$ ;
$9$ ;
$11$ ;
$3$ .