12 Тригонометрическая функция

Тригонометрическая функция

Теоретическая справка

$\blacktriangleright$ Пример 1.

Найдите точку максимума функции $f(x)=(2x-1)\cos{x}-2\sin{x}+2$ на интервале $\bigg(0;\dfrac{\pi}{2} \bigg)$ .
Решение

Действуем по алгоритму:

1. Найдём область определения функции $f(x)$ .

Функция $f(x)$ определена при всех значениях $x$ .

2. Считаем производную $f'(x)$ функции $f(x)$ :

$f'(x)=((2x-1)\cos{x}-2\sin{x}+2)'=((2x-1)\cos{x})'-(2\sin{x})'+(2)'=(2x-1)'\cos{x}+\\ \\+ (2x-1)(\cos{x})'-(2\sin{x})'+(2)'=2\cos{x}+(2x-1)(-\sin{x})-2\cos{x}=-(2x-1)\sin{x}= \\ \\= (1-2x)\sin{x}$ .

3. На заданном промежутке (первая четверть без граничных точек) синус не обращается в ноль и принимает только положительные значения.

f'(x)=0 \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} \left[ \begin{gathered} 1-2x=0, \\ \sin{x}=0, \\ \end{gathered} \right. \\ x\in\bigg(0 ;\dfrac{\pi}{2}\bigg). \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} \left[ \begin{gathered} x=\dfrac{1}{2}, \\ x=\pi k, \\ \end{gathered} \right. \\ x\in\bigg(0 ;\dfrac{\pi}{2}\bigg). \end{gathered} \right. \Leftrightarrow x=0.5.

4. Наносим критические точки на числовую прямую и расставляем знаки $f'(x)$ .

Определим знаки $f'(x)=(1-2x)\sin{x}$ :

Вспомним, что на интервале $\bigg(0;\dfrac{\pi}{2} \bigg)$ функция $\sin{x}$ принимает положительные значения.
Так же важно понимать, что $\pi=3,14...$ , а тогда $\dfrac{\pi}{2}=1,57...$ . Поэтому полезно воспринимать наш интервал как $x\in(0; 1,57...)$ .
Возьмём произвольную точку из интервала $x\in(0; 0,5)$ и определим знак производной $f'(x)$ в этой точке: $x=\dfrac{1}{4}\Rightarrow \Big(1-2\cdot \dfrac{1}{4}\Big)\sin{\dfrac{1}{4}} = \dfrac{1}{2}\sin\dfrac{1}{4} > \dfrac{1}{2}\sin 0 = 0.$
Производная $f'(x)$ положительна, следовательно функция возрастает. На числовой прямой ставим над промежутком знак << $+$ >>.
Возьмём произвольную точку из интервала $x\in\bigg(0,5; \dfrac{\pi}{2}\bigg)$ и определим знак производной $f'(x)$ в этой точке : $x=1\Rightarrow (1-2\cdot 1)\sin{1}=-1\cdot \sin{1}=-\sin{1}< -\sin 0 = 0$ .
Производная $f'(x)$ отрицательна, следовательно функция убывает. На числовой прямой ставим над промежутком знак << $-$ >>.

5. Определим искомую точку максимума:

Искомая точка максимума $x=0,5$ , так как до неё функция возрастает, а после убывает.

Ответ: 0,5.

$\Longrightarrow$ Решение задачи

$\blacktriangleright$ Пример 2.

Найдите точку минимума функции $f(x)=(6-4x)\cos{x}+4\sin{x}+13$ на интервале $\bigg(0;\dfrac{\pi}{2} \bigg).$
Решение

Действуем по алгоритму:

1. Найдём область определения функции $f(x)$ .

Функция $f(x)$ определена при всех значениях $x$ .

2. Считаем производную $f'(x)$ функции $f(x)$ :

$f'(x)=((6-4x)\cos{x}+4\sin{x}+13)'=((6-4x)\cos{x})'+(4\sin{x})'+(13)'=(6-4x)'\cos{x}+\\ \\+(6-4x)(\cos{x})'+4(\sin{x})'+(13)'=-4\cos{x}+(6-4x)(-\sin{x})+4\cos{x}=-(6-4x)\sin{x}=\\ \\=(4x-6)\sin{x}$ .

3. Решаем уравнение $f'(x)=0$ . Корни уравнения это критические точки:

\left\{ \begin{gathered} (4x-6)\sin{x}=0, \\ 0< x < \dfrac{\pi}{2}. \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} \left[ \begin{gathered} x=\dfrac{3}{2}, \\ x=\pi k,\, k\in\mathbb{Z}, \\ \end{gathered} \right. \\ 0< x < \dfrac{\pi}{2}. \end{gathered} \right. \Leftrightarrow x=\dfrac{3}{2}.

4. Наносим критические точки на числовую прямую и расставляем знаки $f'(x)$

Определим знаки $f'(x)=(4x-6)\sin{x}$ :

Вспомним, что на интервале $\bigg(0;\dfrac{\pi}{2} \bigg)$ функция $\sin{x}$ принимает положительные значения.
Так же важно понимать, что $\pi=3,14...$ , а тогда $\dfrac{\pi}{2}=1,57...$ . Поэтому полезно воспринимать наш интервал как $x\in(0; 1,57...)$ .

Возьмём произвольную точку из интервала $x\in\bigg(0; \dfrac{3}{2}\bigg)$ и определим знак производной $f'(x)$ в этой точке: $x=\dfrac{1}{2}\Rightarrow \bigg(4\cdot \dfrac{1}{2}-6\bigg)\sin{\dfrac{1}{2}}=(2-6)\sin{\dfrac{1}{2}}=-4\sin{\dfrac{1}{2}}<0.$
Производная $f'(x)$ отрицательна, следовательно функция убывает. На числовой прямой ставим над промежутком знак << $-$ >>.

Возьмём произвольную точку из интервала $x\in\bigg(\dfrac{3}{2}; \dfrac{\pi}{2}\bigg)$ и определим знак производной $f'(x)$ в этой точке: $x=1,55\Rightarrow (4\cdot 1,55-6)\sin{1,55}=(6,2-6)\sin{1,55}=0,2\sin{1,55}>0$ .
Производная $f'(x)$ положительна, следовательно функция возрастает. На числовой прямой ставим над промежутком знак << $+$ >>.

5. Определим искомую точку минимума:

Искомая точка минимума $x=1,5$ , так как до неё функция убывает, а после возрастает.

Ответ: $1,5$ .

$\Longrightarrow$ Решение задачи

$\blacktriangleright$ Пример 3.

Найдите наименьшее значение функции $f(x)=3+\dfrac{5\pi}{4}-5x-5\sqrt{2}\cos{x}$ на отрезке $\bigg[0; \dfrac{\pi}{2}\bigg]$ .
Решение

Вариант 1:

Действуем по алгоритму:

1. Найдём область определения функции $f(x)$ .

Функция $f(x)$ определена при всех значениях $x$ .

2. Считаем производную $f'(x)$ функции $f(x)$ :

$f'(x)=\bigg(3+\dfrac{5\pi}{4}-5x-5\sqrt{2}\cos{x}\bigg)'=(3)'+\bigg(\dfrac{5\pi}{4}\bigg)'-(5x)'-(5\sqrt{2}\cos{x})'=0+0-5- \\ -5\sqrt{2}\cdot(-\sin{x})$ $=-5+5\sqrt{2}\sin{x}$ .

3. Решаем уравнение $f'(x)=0$ . Корни уравнения это критические точки:

\left\{ \begin{gathered} -5+5\sqrt{2}\sin{x}=0, \\ 0\leqslant x \leqslant \dfrac{\pi}{2}. \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} \sin{x}=\dfrac{1}{\sqrt{2}}, \\ 0\leqslant x \leqslant \dfrac{\pi}{2}. \end{gathered} \right. \Leftrightarrow x=\dfrac{\pi}{4}.

4. Наносим критические точки на числовую прямую и расставляем знаки $f'(x)$ .

Определим знаки $f'(x)=-5+5\sqrt{2}\sin{x}$ :

Возьмём произвольную точку из промежутка $x\in\bigg[0; \dfrac{\pi}{4}\bigg)$ и определим знак производной $f'(x)$ в этой точке: $x=0 \Rightarrow -5+5\sqrt{2}\sin{0}=-5<0$ .
Производная $f'(x)$ отрицательна, следовательно функция убывает. На числовой прямой ставим над промежутком знак << $-$ >>.
Возьмём произвольную точку из промежутка $x\in\bigg(\dfrac{\pi}{4}; \dfrac{\pi}{2}\bigg]$ и определим знак производной $f'(x)$ в этой точке: $x=\dfrac{\pi}{2}\Rightarrow -5+5\sqrt{2}\sin{\dfrac{\pi}{2}}=-5+5\sqrt{2}>0$ .
Производная $f'(x)$ положительна, следовательно функция возрастает. На числовой прямой ставим над промежутком знак << $+$ >>.
Мы могли взять вместо точек $0$ и $\dfrac{\pi}{2}$ , допустим $\dfrac{\pi}{3}$ и $\dfrac{\pi}{6}$ и получить такие же знаки.

5. В точке $x=\dfrac{\pi}{4}$ заданная функция достигает своего наименьшего значения.

6. Найдем это наименьшее значение:

f\bigg(\dfrac{\pi}{4}\bigg)=3+\dfrac{5\pi}{4}-\dfrac{5\pi}{4}-5\sqrt{2}\cos{\dfrac{\pi}{4}}=-2.

Ответ: $-2$ .

Вариант 2:

Нас просят найти значение функции.

Это значит, что мы должны будем некоторое значение $x$ , подставить в функцию

f(x)=3+\dfrac{5\pi}{4}-5x-5\sqrt{2}\cos{x},

вычислить значение этой функции и записать значение в ответ.

Мы так же помним, что ответ в первой части ЕГЭ может быть только целым числом или обыкнивенной десятичной дробью.

Итак, нам надо поставить вместо $x$ какое-то значение и получить <<нормальный>> ответ.

Можем заметить, что у нас есть слагаемое $\dfrac{5\pi}{4}$ , которое должно куда-то пропасть.

Убрать его может либо слагаемое $5x$ , либо слагаемое $-5\sqrt{2}\cos{x}$ , но мы не знаем таких значений $x$ при которых слагаемое $-5\sqrt{2}\cos{x}$ принимает значения содержащие $\pi$ .

Поэтому мы хотим подобрать $х$ такой, что $5x=\dfrac{5\pi}{4}$ , то есть $x=\dfrac{\pi}{4}$ .

Это единственная точка, которую мы можем подставить и получить <<нормальный>> ответ. Поставляем:

f\bigg(\dfrac{\pi}{4}\bigg)=3+\dfrac{5\pi}{4}-5\cdot \dfrac{\pi}{4}-5\sqrt{2}\cos{\dfrac{\pi}{4}}=3-5\sqrt{2}\cdot\dfrac{\sqrt{2}}{2}=3-\dfrac{10}{2}=3-5=-2.

Ответ: $-2$ .

$\Longrightarrow$ Решение задачи

Задачи для самостоятельного решения

1. Найдите наибольшее значение функции $f(x)=12\cos{x}+ 6\sqrt{3}x -2\sqrt{3}\pi+6$ на отрезке $\bigg[0; \dfrac{\pi}{2}\bigg]$

$\Longrightarrow$ Решение задачи

2. Найдите наименьшее значение функции $f(x)=3+\dfrac{5\pi}{4}-5x-5\sqrt{2}\cos{x}$ на отрезке $\bigg[0; \dfrac{\pi}{2}\bigg]$
3. Найдите наибольшее значение функции $f(x)=3\tan{x}-3x+5$ на отрезке $\bigg[-\dfrac{\pi}{4};0\bigg]$

4. Найдите наименьшее значение функции $f(x)=5\tan{x}-5x+6$ на отрезке $\bigg[0;\dfrac{\pi}{4}\bigg]$

5. Найдите наибольшее значение функции $f(x)=16\tan{x}-16x+4\pi-5$ на отрезке

$\bigg[-\dfrac{\pi}{4};\dfrac{\pi}{4}\bigg]$

6. Найдите наименьшее значение функции $f(x)=4\tan{x}-4x-\pi+5$ на отрезке

$\bigg[-\dfrac{\pi}{4};\dfrac{\pi}{4}\bigg]$

7. Найдите наибольшее значение функции $f(x)=3x-3\tan{x}-5$ на отрезке $\bigg[0;\dfrac{\pi}{4}\bigg]$

8. Найдите наименьшее значение функции $f(x)=4x-4\tan{x}+12$ на отрезке $\bigg[-\dfrac{\pi}{4};0\bigg]$

9. Найдите наименьшее значение функции $f(x)=2\tan{x}-4x+\pi-3$ на отрезке

$\bigg[-\dfrac{\pi}{3};\dfrac{\pi}{3}\bigg]$

$\Longrightarrow$ Решение задачи

10. Найдите наибольшее значение функции $f(x)=14x-7\tan{x}-3,5\pi+11$ на отрезке $\bigg[-\dfrac{\pi}{3};\dfrac{\pi}{3}\bigg]$

11. Найдите точку максимума функции $f(x)=(2x-3)\cos{x}-2\sin{x}+5$ принадлежащую промежутку $\bigg(0;\dfrac{\pi}{2}\bigg)$

$\Longrightarrow$ Решение задачи

12. Найдите точку минимума функции $f(x)=(0,5-x)\cos{x}+\sin{x}$ принадлежащую

промежутку $\bigg(0;\dfrac{\pi}{2}\bigg)$

$\Longrightarrow$ Решение задачи

13. Найдите наибольшее значение функции $f(x)=-2\tan{x}+4x-\pi-3$ на отрезке

$\bigg[-\dfrac{\pi}{3};\dfrac{\pi}{3}\bigg]$

$\Longrightarrow$ Решение задачи

14. Найдите наименьшее значение функции $f(x)=-14x+7\tan{x}+\dfrac{7\pi}{2}+11$ на отрезке $\bigg[-\dfrac{\pi}{3};\dfrac{\pi}{3}\bigg]$

$\Longrightarrow$ Решение задачи

15. Найдите наибольшее значение функции $f(x)=12\sin{x}-6\sqrt{3}x+\sqrt{3}\pi+6$ на отрезке $\bigg[0;\dfrac{\pi}{2}\bigg]$

16. Найдите наименьшее значение функции $f(x)=3-\dfrac{5\pi}{4}+5x-5\sqrt{2}\sin{x}$ на отрезке $\bigg[0;\dfrac{\pi}{2}\bigg]$

Обратите внимание:

$\Longrightarrow$ Приемы, рассказанные в данном видео, могут здорово
упростить решение некоторых задач это раздела

Тригонометрия

$12$ ;
$-2$ ;
$5$ ;
$6$ ;
$11$ ;
$1$ ;
$-5$ ;
$12$ ;
$-1$ ;
$4$ ;
$1,5$ ;
$0,5$ ;
$-5$ ;
$18$ ;
$12$ ;
$-2$ .