Содержание

Производная для ЕГЭ

Скачать статью в PDFПроизводная для ЕГЭ.pdf · 3.4 МБСкачать

Определения

Пусть дана функция $y=f(x)$ .

Важно понимать, что

1. если точка является точкой максимума (минимума) функции, то значение функции в этой точке больше (меньше), чем во всех достаточно близких к ней точках;

2. у функции может быть несколько точек минимума и максимума;

3. максимальное и минимальное значения функции не обязательно достигаются в точках максимума или минимума, они могут приходиться на концы отрезка, на котором осуществляется поиск.

Итого получаем:

Достаточное условие монотонности функции

Если функция $f(x)$ дифференцируема на интервале $(a; b)$ и $f'(x)>0$ в каждой точке этого интервала, то функция $f(x)$ возрастает на этом интервале.

Если функция $f(x)$ дифференцируема на интервале $(a,b)$ и $f'(x)<0$ в каждой точке этого интервала $(a; b)$ , то функция $f(x)$ убывает на этом интервале.

Необходимое условие экстремума

Если $x_0$ $-$ точка экстремума дифференцируемой функции $f(x)\Rightarrow f'(x_0)=0$ .

То есть, во всех точках, где $f(x)$ достигает локального $\min/\max$ , производная равна 0.

Достаточное условие экстремума

Пусть $x_0$ $-$ критическая точка функции $f(x)$ .

Если производная при переходе через точку $x_0$ меняет свой знак с плюса на минус, то $x_0$ $-$ точка максимума.

Если производная при переходе через точку $x_0$ меняет свой знак с минуса на плюс, то $x_0$ $-$ точка минимума.

Алгоритм поиска точек ${min/max}$ функции ${y=f(x)}$

1. Находим область определения $D(f)$ функции $f(x)$ .
2. Вычисляем производную $f'(x)$ функции $f(x)$ .
3. Решаем уравнение $f'(x)=0$ . Корни уравнения, попавшие в $D(f)$ , $-$ также критические точки.
4. Наносим $D(f)$ и все найденные критические точки на числовую прямую и расставляем знаки $f'(x)$ , производной функции $f(x)$ , в полученных промежутках. Если значение производной в точке промежутка положительно, то на рисунке над промежутком ставим знак << $+$ >> и делаем вывод, что функция возрастает на промежутке. Если значение производной в точке промежутка отрицательно, то на рисунке над промежутком ставим знак << $-$ >> и делаем вывод, что функция убывает на промежутке.
5. Делаем выводы про найденные критические точки:

$x_0$ – точка $\max$ .

$x_0$ не точка $\max$ и не точка $\min$ .

$x_0$ – точка $\min$ .

$x_0$ не точка $\max$ и не точка $\min$ .

Обратите внимание, что точка экстремума, это всегда точка в которой существует функция. Не может точка, в которой не существует функция, быть точкой экстремума.

Чтобы понять, как расставить знаки производной функции $f(x)$ на координатной прямой разберём пример.

$\blacktriangleright$ Пример. Найти экстремумы функции $f(x)=-x^3+12x+7$ .

1. Область определения функции - все действительные числа.
2. Посчитаем производную функции: $f'(x)=-3x^2+12$ .
3. Решаем уравнение $f'(x)=0$ . Корни уравнения это критические точки:
$-3x^2+12=0 \Leftrightarrow x^2=4 \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} x=-2, \\ x=2. \\ \end{gathered} \right.$
4. Нанесём критические точки на координатную прямую.

Они разобьют нашу координатную прямую на три промежутка:
Первый промежуток: $x\in(2; +\infty)$ .
Второй промежуток: $x\in(-2;2)$ .
Третий промежуток: $x\in(-\infty; -2)$ .

Теперь определим знак $f'(x)$ в каждом из полученных промежутков.
Для этого выбираем произвольную точку $x_0$ в каждом из трех промежутков и определяем знак $f'(x_0)$ :

1) $x\in(2; +\infty)$ : Возьмём из этого промежутка точку $x_0=100$ . Подставляем $x_0=100$ в производную: $y'(100)=-3\cdot 100^2+12$ . Даже не вычисляя значение производной, мы можем увидеть, что оно меньше 0. Тогда знак $f'(x)$ на этом интервале << $-$ >>.

2) $x\in(-2;2)$ : Возьмём из этого промежутка точку $x_0=0$ (когда $0$ входит в интервал, очень удобно взять именно $x_0=0$ ). Подставляем $x_0=0$ в производную: $y'(0)=-3\cdot 0^3+12=12$ . Значение производной в точке $x_0$ положительно, тогда знак $f'(x)$ на этом интервале << $+$ >>.

3) $x\in(-\infty; -2)$ : Возьмём из этого промежутка точку $x_0=-100$ . Подставляем в производную: $y'(-100)=-3\cdot(-100)^2+12$ . Аналогично интервалу $x\in(2;+\infty)$ видим, что значение меньше 0. Тогда знак $f'(x)$ на этом интервале << $-$ >>.
5. Изобразим полученные результаты на координатной прямой:

Получили, что у функции две точки экстремума.
Точка минимума $x_{min}=-2$ , точка максимума $x_{max}=2$ .
Найдём минимум и максимум этой функции, для этого подставим найденные точки в функцию.
Минимум равен $f_{min}=f(-2)=-(-2)^3+12(-2)+7=8-24+7=-9$ .
Максимум равен $f_{max}=f(2)=-2^3+12\cdot2+7=-8+24+7=23$ .

Алгоритм поиска наибольшего/наименьшего значения функции $y=f(x)$ на отрезке $[a;b]$

1. Находим область определения функции $f(x)$ .
2. Считаем производную $f'(x)$ функции $f(x)$ .
3. Решаем уравнение $f'(x)=0$ . Корни уравнения $-$ критические точки.
4. Наносим критические точки, попавшие в отрезок $[a;b]$ , на числовую прямую и расставляем знаки $f'(x)$ производной функции $f(x)$ в полученных промежутках.
5. Проанализируем ситуации, которые мы могли получить:

$\Rightarrow$ в т. $a$ функция принимает
наименьшее значение,
в т. $b$ функция принимает
наибольшее значение.

$\Rightarrow$ в т. $x_0$ функция принимает
наибольшее значение,
в т. $a$ или т. $b$ принимает
наименьшее значение.

$\Rightarrow$ в т. $x_1$ или т. $b$ функция достигает
наибольшего значения,
в т. $x_2$ или т. $a$ функция достигает
наименьшего значения.

$\Rightarrow$ в т. $a$ функция принимает
наибольшее значение,
в т. $b$ функция принимает
наименьшее значение.

$\Rightarrow$ в т. $x_0$ функция принимает
наименьшее значение,
в т. $a$ или т. $b$ принимает
наибольшее значение.

$\Rightarrow$ в т. $x_0$ функция принимает
наименьшее значение,
в т. $a$ или т. $b$ принимает
наибольшее значение.

6. Подставляем точку $x_0$ в которой достигается наибольшее/наименьшее значение в функцию $f(x)$ . Полученное значение и есть наш ответ.
Если точек в которых может достигаться наибольшее/наименьшее значение функции несколько, то считаем значение функции $f(x)$ в каждой из них, а затем, сравнивая найденные значения, выбираем из них наибольшее/наименьшее.

Основные формулы производных

$c'=0$ , где $c$ - константа
$(\pi)'=0$
$(e)'=0$
$(e^2)'=0$
$(\sqrt{e})'=0$
$(\ln{7})'=0$
$\left(\sin{\dfrac{\pi}{6}}\right)'=0$
$(10^{10})'=0$

Производная от постоянной величины всегда равна 0

$(\sin x)'=\cos x$
$(\cos x)'=-\sin x$
$(\tan x)'=\dfrac{1}{\cos^2 x}$
$(\cot x)'=-\dfrac{1}{\sin^2 x}$

$(x^n)'=n\cdot x^{n-1}$
$(x^2)'=2x^{2-1}=2x$
$(x)'=x^{1-1}=x^0=1$
$\left(\dfrac{1}{x}\right)'=(x^{-1})'=-1\cdot x^{-2}=-\dfrac{1}{x^2}$
$(\sqrt{x})'=(x^{\frac{1}{2}})'=\dfrac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}}=\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{1}{\sqrt{x}}=\,\,\,\,\,\,=\dfrac{1}{2\sqrt{x}}$
$(\sqrt[3]{x})'=(x^{\frac{1}{3}})'=\dfrac{1}{3}x^{\frac{1}{3}-1}=\dfrac{1}{3}x^{-\frac{2}{3}}=\,\,\,\,\,\,=\dfrac{1}{3}\cdot \dfrac{1}{\sqrt[3]{x^2}}=\dfrac{1}{3\sqrt[3]{x^2}}$
$(x\cdot\sqrt{x})'= (x^1\cdot x^\frac{1}{2})^\prime=(x^{1+\frac{1}{2}})^\prime=\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,=(x^{\frac{3}{2}})'=\dfrac{3}{2}x^{\frac{1}{2}}=\dfrac{3}{2}\sqrt{x}$

$(e^x)'=e^x$
$(\ln x)'=\dfrac{1}{x}$
$(a^x)'=a^x\cdot\ln a$
$(\log_a x)'=\dfrac{1}{x\cdot\ln a}$
$(e^{ax+b})'=e^{ax+b}\cdot a$
$(\ln (ax+b))' = \dfrac{1}{ax+b}\cdot a$

Правила дифференцирования

— $(c\cdot f)'=c\cdot f'$ ; $c$ $-$ константа
— $(f\pm g)'=f'\pm g'$

— $(f\cdot g)' = f'g+g'f$
— $\Big(\dfrac{f}{g}\Big)'=\dfrac{f'g-g'f}{g^2}$ , где $g \neq 0$

Задачи

Многочлены

Теоретическая справка

$\Longrightarrow$ Алгоритм решения задач этого раздела

$\blacktriangleright$ Пример 1.

Найдите точку минимума функции: $f(x)=-21x^{2}-x^{3}+32$ .

Решение

Действуем по алгоритму:

1. Найдём область определения функции.

Функция $f(x)=-21x^{2}-x^{3}+32$ определена на множестве всех действительных чисел.

2. Считаем производную $f'(x)$ функции $f(x)$ :

$f'(x)=(-21x^{2}-x^{3}+32)'=-21\cdot2x-3x^2+0=-42x-3x^{2}=-3x(14+x)$ .

3. Решим уравнение $f'(x)=0$ . Корни уравнения это критические точки.

Ищем критические точки: $-3x(14+x)=0 \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} x=-14, \\ x=0. \\ \end{gathered} \right.$

Произведение двух выражений равно 0, когда хотя бы одно из выражений равно 0, и оба выражения имеют смысл.

4. Наносим критические точки на числовую прямую и расставляем знаки $f'(x)$ .

Определим знаки $f'(x)=-3x(14+x)$ :

Возьмём произвольную точку из интервала $x\in(0; +\infty)$ и определим знак производной $f'(x)$ в этой точке:

x=2\,\, \rightarrow \,\, f'(2)=-3\cdot 2(14+2)=-6\cdot 16=-96.

Производная $f'(x)$ отрицательна, следовательно функция убывает. На числовой прямой ставим над промежутком знак << $-$ >>.
Возьмём произвольную точку из интервала $x\in(-14;0)$ и определим знак производной $f'(x)$ в этой точке:

x=-1\,\, \rightarrow \,\, f'(-1)=-3\cdot(-1)(14+(-1))=3\cdot 13=39.

Производная $f'(x)$ положительна, следовательно функция возрастает. На числовой прямой ставим над промежутком знак << $+$ >>.
Возьмём произвольную точку из интервала $x\in(-\infty;-14)$ и определим знак производной $f'(x)$ в этой точке:

x=-20\,\, \rightarrow \,\, f'(-20)=-3\cdot(-20)(14+(-20))=60\cdot (-6)=-360.

Производная $f'(x)$ отрицательна, следовательно функция убывает. На числовой прямой ставим над промежутком знак << $-$ >>.

5. Определим искомую точку минимума:

Искомая точка минимума $x=-14$ , так как до нее функция убывает, а после возрастает.

Ответ: –14.

$\Longrightarrow$ Решение задачи

$\blacktriangleright$ Пример 2.

Найдите точку максимума функции $f(x)=x^3-18x^2+11$ .

Решение

Действуем по алгоритму:

1. Найдём область определения функции $f(x)$ .

Функция $f(x)=x^{3}-18x^{2}+11$ определена на множестве всех действительных чисел.

2. Считаем производную $f'(x)$ функции $f(x)$ :

f^\prime(x)=(x^{3}-18x^{2}+11)'=3x^2-36x=3x(x-12).

3. Решаем уравнение $f'(x)=0$ . Корни уравнения это критические точки:

3x(x-12)=0, \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} x=0, \\ x=12. \\ \end{gathered} \right.

Произведение двух выражений равно 0, когда хотя бы одно из выражений равно 0, и оба выражения имеют смысл.

4. Наносим критические точки на числовую прямую и расставляем знаки $f'(x)$ .

Определим знаки $f'(x)=3x(x-12)$ :

Возьмём произвольную точку из интервала $x\in(12; +\infty)$ и определим знак производной $f'(x)$ в этой точке:

x=100\,\, \rightarrow \,\, f'(100)=3\cdot 100(100-12)>0.

Производная $f'(x)$ положительна, следовательно функция возрастает. На числовой прямой ставим над промежутком знак << $+$ >>.
Возьмём произвольную точку из интервала $x\in(0; 12)$ и определим знак производной $f'(x)$ в этой точке:

x=2\,\, \rightarrow \,\, f'(2)=3\cdot 2(2-12)=6\cdot (-10)=-60.

Производная $f'(x)$ отрицательна, следовательно функция убывает. На числовой прямой ставим над промежутком знак << $-$ >>.
Возьмём произвольную точку из интервала $x\in(-\infty;0)$ и определим знак производной $f'(x)$ в этой точке:

x=-1\,\, \rightarrow \,\, f'(-1)=3\cdot(-1)((-1)-12)=-3\cdot (-13)=39.

Производная $f'(x)$ положительна, следовательно функция возрастает. На числовой прямой ставим над промежутком знак << $+$ >>.

5. Определим искомую точку максимума:

Искомая точка максимума $x=0$ , так как до неё функция возрастает, а после убывает.

Ответ: 0.

$\Longrightarrow$ Решение задачи

$\blacktriangleright$ Пример 3.

Найдите наименьшее значение функции $f(x)=x^3-8x^2+16x+3$ на отрезке $[3,5; 13]$ .

Решение

Вариант 1:

Действуем по алгоритму:

1. Найдём область определения функции $f(x)$ .

Функция $f(x) = x^3-8x^2+16x+3$ определена при всех значениях $x$ .

2. Считаем производную $f'(x)$ функции $f(x)$ :

f^\prime(x)= 3x^2-16x+16

3. Решаем уравнение $f'(x)=0$ . Корни уравнения это критические точки:

\left\{ \begin{gathered} 3x^2-16x+16=0, \\ 3,5\leqslant x \leqslant 13 \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} \left[ \begin{gathered} x=4, \\ x=\dfrac{4}{3}, \\ \end{gathered} \right. \\ 3,5\leqslant x \leqslant 13 \end{gathered} \right. \Leftrightarrow x=4.

4. Наносим критические точки на числовую прямую и расставляем знаки $f'(x)$

Определим знаки $f'(x)=3x^2-16x+16$ :

Возьмём произвольную точку из промежутка $x\in(4;13]$ и определим знак производной $f'(x)$ в этой точке:

x=10\,\, \rightarrow \,\, f'(10)=3\cdot (10)^2-16\cdot (10)+16=300-160+16=156.

Производная $f'(x)$ положительна, следовательно функция возрастает. На числовой прямой ставим над промежутком знак << $+$ >>.
Возьмём произвольную точку из промежутка $x\in[3,5; 4)$ и определим знак производной $f'(x)$ в этой точке:

x=3,7\,\, \rightarrow \,\, f'(3,7)=3\cdot (3,7)^2-16\cdot 3,7+16=3\cdot 13,69-59,2+16=41,07-59,2+16=-2,13.

Производная $f'(x)$ отрицательна, следовательно функция убывает. На числовой прямой ставим над промежутком знак << $-$ >>.
5. В точке $x=4$ заданная функция достигает своего наименьшего значения на данном отрезке.

6. Найдём это наименьшее значение:

f(4)=4^3-8\cdot 4^2+16\cdot 4+3=64-128+64+3=3.

Ответ: 3.

Вариант 2:

Преобразуем исходную функцию: $x^3-8x^2+16x+3=x(x^2-8x+16)+3=x(x-4)^2+3$ .
На промежутке $[3,5;13]$ выражение $x(x-4)^2$ представляет собой два неотрицательных множителя. Множитель $(x-4)^2$ это квадрат выражения, а значит всегда неотрицательный. Множитель $x$ положителен на промежутке $[3,5;13]$ . Приходим к тому, что $x(x-4)^2+3 \geqslant 3$ .
Достигается ли когда-нибудь $3$ ? Да, достигается, при $x=4 \,\, \Longrightarrow \,\, 4(4-4)^2+3=3.$

Мы показали, что $f(x)$ не бывает меньше $3$ и показали, что значение $3$ достигается на промежутке $[3,5;13]$ . Значит наименьшее значение нашей функции это $3$ .

Ответ: $3$ .

$\Longrightarrow$ Решение задачи

$\blacktriangleright$ Пример 4.

Найдите наибольшее значение функции $f(x)=x^5-5x^3-20x$ на отрезке $[-6;1]$ .
Решение

Действуем по алгоритму:

1. Найдём область определения функции $f(x)$ .

Функция $f(x)=x^5-5x^3-20x$ определена при всех значениях $x$ .

2. Считаем производную $f'(x)$ функции $f(x)$ :

f'(x)=5x^4-15x^2-20.

3. Решаем уравнение $f'(x)=0$ . Корни уравнения это критические точки:

Решим уравнение $5x^4-15x^2-20=0$ . Это биквадратное уравнение. Сделаем замену $x^2=t$ , $t\geqslant 0$ .
Тогда уравнение примет следующий вид: $5t^2-15t-20=0 \Rightarrow t^2-3t-4=0 \Rightarrow \left[ \begin{gathered} t_1=-1, \\ t_2=4. \\ \end{gathered} \right.$
$t_1=-1$ не подходит, т.к. $t\geqslant 0$ .
Вернёмся к прежней переменной: $t=4 \Leftrightarrow x^2=4 \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} x=-2, \\ x=2. \\ \end{gathered} \right.$

Учитывая ограничения, получим: $\left\{ \begin{gathered} \left[ \begin{gathered} x=-2, \\ x=2, \\ \end{gathered} \right. \\ -6\leqslant x \leqslant 1. \end{gathered} \right. \Leftrightarrow x=-2.$

4. Наносим критические точки на числовую прямую и расставляем знаки $f'(x)$ .

Определим знаки $f'(x)=5x^4-15x^2-20$ :

Возьмём произвольную точку из промежутка $x\in(-2; 1]$ и определим знак производной $f'(x)$ в этой точке:

x=0\,\, \rightarrow \,\, f'(0)=5\cdot (0)^4-15\cdot (0)^2-20=-20.

x=-4\,\, \rightarrow \,\, f'(-4)=5\cdot (-4)^4-15\cdot (-4)^2-20=5\cdot 256-15\cdot 16-20=1280-240-20>0.

5. В точке $x=-2$ заданная функция достигает своего наибольшего значения.

6. Найдём это наибольшее значение:

f(-2)=(-2)^5-5\cdot (-2)^3-20\cdot (-2)=48.

Ответ: 48.

$\Longrightarrow$ Решение задачи

Задачи для самостоятельного решения

Найдите точку максимума функции $f(x)=7+12x-x^3$
Найдите точку минимума функции $f(x)=7+12x-x^3$
Найдите наименьшее значение функции $f(x)=7+12x-x^3$ на отрезке $[-2;2]$
Найдите наибольшее значение функции $f(x)=7+12x-x^3$ на отрезке $[-2;2]$
Найдите точку максимума функции $f(x)=9x^2-x^3$
Найдите точку минимума функции $f(x)=9x^2-x^3$
Найдите наименьшее значение функции $f(x)=9x^2-x^3$ на отрезке $[-1;5]$
Найдите наибольшее значение функции $f(x)=9x^2-x^3$ на отрезке $[2;10]$
Найдите точку максимума функции $f(x)=\dfrac{x^3}{3}-9x-7$
Найдите точку минимума функции $f(x)=\dfrac{x^3}{3}-9x-7$
Найдите наименьшее значение функции $f(x)=\dfrac{x^3}{3}-9x-7$ на отрезке $[-3;3]$
Найдите наибольшее значение функции $f(x)=\dfrac{x^3}{3}-9x-7$ на отрезке $[-3;3]$
Найдите точку максимума функции $f(x)=5+9x-\dfrac{x^3}{3}$
Найдите точку минимума функции $f(x)=5+9x-\dfrac{x^3}{3}$
Найдите наименьшее значение функции $f(x)=5+9x-\dfrac{x^3}{3}$ на отрезке $[-3;3]$
Найдите наибольшее значение функции $f(x)=5+9x-\dfrac{x^3}{3}$ на отрезке $[-3;3]$
Найдите точку минимума функции $f(x)=x^3-48x+17$
Найдите наибольшее значение функции $f(x)=x^3-3x^2+4$ на отрезке $[-2;0]$
Найдите точку максимума функции $f(x)=x^3-3x^2+2$
Найдите наименьшее значение функции $f(x)=x^3-3x^2+2$ на отрезке $[1;4]$
Найдите точку минимума функции $f(x)=x^3-2x^2+x+3$
Найдите наибольшее значение функции $f(x)=x^3+2x^2+x+3$ на отрезке $[-4;-1]$
Найдите точку максимума функции $f(x)=x^3-5x^2+7x-5$
Найдите наименьшее значение функции $f(x)=x^3-x^2-40x+3$ на отрезке $[0;4]$
Найдите точку максимума функции $f(x)=(x-2)^2(x-4)+5$
Найдите точку минимума функции $f(x)=(x+3)^2(x+5)-1$

$\Longrightarrow$ Решение задачи
Найдите наименьшее значение функции $f(x)=(x+3)^2(x+5)-1$ на отрезке $[-4;-1]$
Найдите наибольшее значение функции $f(x)=(x-2)^2(x-4)+5$ на отрезке $[1;3]$
Найдите наибольшее значение функции $f(x)=3x^5-20x^3-54$ на отрезке $[-4;-1]$

Иррациональная функция

Теоретическая справка

$\Longrightarrow$ Алгоритм решения задач этого раздела

$\blacktriangleright$ Пример 1.

Найдите точку максимума функции $f(x)=3+30x-2x\sqrt{x}$ .

Решение

Действуем по алгоритму нахождения точки максимума:

1. Найдём область определения функции $f(x)$ :

Функция $f(x)=3+30x-2x\sqrt{x}$ определена при $x\geqslant0$ , так как функция $\sqrt{x}$ определена только при таких значениях.

2. Считаем производную $f'(x)$ функции $f(x)$ :

f^\prime(x)=(3+30x-2x\sqrt{x})'=(3+30x-2x\cdot x^{\frac{1}{2}})'=(3+30x-2x^{\frac{3}{2}})'= 30-2\cdot \dfrac{3}{2} x^{\frac{1}{2}}=30-3\sqrt{x}.

3. Решаем уравнение $f'(x)=0$ . Корни уравнения это критические точки:

-3\sqrt{x}+30=0 \Leftrightarrow \sqrt{x}=10 \Leftrightarrow x=100.

4. Наносим критические точки на числовую прямую и расставляем знаки $f'(x)$ .

Определим знаки $f'(x)=30-3\sqrt{x}$ :

Возьмём произвольную точку из интервала $x\in(100; +\infty)$ и определим знак производной $f'(x)$ в этой точке:

x=10000 \,\, \rightarrow \,\, f'(10000)=30-3\sqrt{10000}=30-3\cdot 100=30-300=-270.

Производная $f'(x)$ отрицательна, следовательно функция убывает. На числовой прямой ставим над промежутком знак << $-$ >>.
Возьмём произвольную точку из интервала $x\in(0;100)$ и определим знак производной $f'(x)$ в этой точке:

x=4 \,\, \rightarrow \,\, f'(4)=30-3\sqrt{4}=30-3\cdot 2=24.

5. Определим искомую точку максимума:

Искомая точка максимума $x=100$ , так как до неё функция возрастает, а после убывает.

Ответ: 100.

$\Longrightarrow$ Решение задачи

$\blacktriangleright$ Пример 2.

Найдите точку минимума функции $f(x)=x\sqrt{x}-1,5x+2$ .

Решение

Действуем по алгоритму нахождения точки минимума:

1. Найдём область определения функции $f(x)$ :

Функция $f(x) = x\sqrt{x}-1,5x+2$ определена при $x\geqslant0$ , так как функция $\sqrt{x}$ определена только при таких значениях.

2. Считаем производную $f'(x)$ функции $f(x)$ :

f^\prime(x)=(x\sqrt{x}-1,5x+2)'=(x\cdot x^{\frac{1}{2}}-1,5x+2)'=(x^{\frac{3}{2}}-1,5x+2)'=\dfrac{3}{2}x^{\frac{1}{2}}-1,5=1,5\sqrt{x}-1,5.

3. Решаем уравнение $f'(x)=0$ . Корни уравнения это критические точки:

1,5\sqrt{x}-1,5=0 \Leftrightarrow \sqrt{x}=1 \Leftrightarrow x=1.

4. Наносим критические точки на числовую прямую и расставляем знаки $f'(x)$ .

Определим знаки $f'(x)=1,5\sqrt{x}-1,5$ :

Возьмём произвольную точку из интервала $x\in(1; +\infty)$ и определим знак производной $f'(x)$ в этой точке:

x=4 \,\, \rightarrow \,\, f'(4)=1,5\sqrt{4}-1,5=1,5.

Производная $f'(x)$ положительна, следовательно функция возрастает. На числовой прямой ставим над промежутком знак << $+$ >>.
Возьмём произвольную точку из интервала $x\in(0;1)$ и определим знак производной $f'(x)$ в этой точке:

x=0,16 \,\, \rightarrow \,\, f'(0,16)=1,5\sqrt{0,16}-1,5=1,5\cdot0,4-1,5=0,6-1,5=-0,9.

5. Определим искомую точку минимума:

Искомая точка минимума $x=1$ , так как до неё функция убывает, а после возрастает.

Ответ: 1.

$\Longrightarrow$ Решение задачи

$\blacktriangleright$ Пример 3.

Найдите наименьшее значение функции $f=\dfrac{4}{3}x^{\frac{3}{2}}-12x+49$ на отрезке $[34;49]$ .

Решение

Действуем по алгоритму:

1. Найдём область определения функции $f(x)$ .

Функция $f(x)=\dfrac{4}{3}x^{\frac{3}{2}}-12x+49$ определена при $x\geqslant0$ , так как функция $x^{\frac{3}{2}}$ определена

только при таких значениях.

2. Считаем производную $f'(x)$ функции $f(x)$ :

f^\prime(x)= \dfrac{4}{3}\cdot \dfrac{3}{2}\cdot x^{\frac{1}{2}}-12=2\sqrt{x}-12.

3. Решаем уравнение $f'(x)=0$ . Корни уравнения это критические точки:

2\sqrt{x}-12=0 \Leftrightarrow \sqrt{x}=\dfrac{12}{2} \Leftrightarrow \sqrt{x}=6 \Leftrightarrow x=36.

4. Наносим критические точки на числовую прямую и расставляем знаки $f'(x)$ .

Определим знаки $f'(x)=2\sqrt{x}-12$ :

Возьмём произвольную точку из промежутка $x\in(36; 49]$ и определим знак производной $f'(x)$ в этой точке:

x=48\,\, \rightarrow \,\, f'(48)=2\sqrt{48}-12=\sqrt{192}-\sqrt{144}>0.

Производная $f'(x)$ положительна, следовательно функция возрастает. На числовой прямой ставим над промежутком знак << $+$ >>.
Возьмём произвольную точку из промежутка $x\in[34;36)$ и определим знак производной $f'(x)$ в этой точке:

x=35\,\, \rightarrow \,\, f'(35)=2\sqrt{35}-12<0.

Производная $f'(x)$ отрицательна, следовательно функция отрицательна. На числовой прямой ставим над промежутком знак << $-$ >>.

5. В точке $x=36$ заданная функция достигает своего наименьшего значения.

6. Найдём это наименьшее значение:

$f(36)=\dfrac{4}{3}\sqrt{36^3}-12\cdot 36 +49=\dfrac{4}{3}\sqrt{6^6}-432+49=\dfrac{4}{3}=\dfrac{4}{3}\cdot 6^3-432+49=4\cdot 72-432+49=\\ \\=288-432+49=-95.$

Ответ: –95.

$\Longrightarrow$ Решение задачи

Задачи для самостоятельного решения

Найдите точку минимума функции $f(x)=x^{\frac{3}{2}}-3x+1$
Найдите наименьшее значение функции $f(x)=x^{\frac{3}{2}}-3x+1$ на отрезке $[1;9]$
Найдите точку минимума функции $f(x)=\dfrac{2}{3}x^{\frac{3}{2}}-2x+1$
Найдите наименьшее значение функции $f(x)=\dfrac{2}{3}x^{\frac{3}{2}}-3x+1$ на отрезке $[1;9]$
Найдите точку максимума функции $f(x)=7+6x-2x^{\frac{3}{2}}$
Найдите наибольшее значение функции $f(x)=3x-2x^{\frac{3}{2}}$ на отрезке $[0;7]$
Найдите точку максимума функции $f(x)=-\dfrac{2}{3}x^{\frac{3}{2}}+3x+1$
Найдите наибольшее значение функции $f(x)=-\dfrac{2}{3}x^{\frac{3}{2}}+3x+1$ на отрезке $[1;9]$
Найдите точку минимума функции $f(x)=x\sqrt{x}-3x+1$

$\Longrightarrow$ Решение задачи
Найдите наименьшее значение функции $f(x)=x\sqrt{x}-3x+1$ на отрезке $[1;9]$
Найдите точку минимума функции $f(x)=\dfrac{2}{3}x\sqrt{x}-2x+1$
Найдите наименьшее значение функции $f(x)=\dfrac{2}{3}x\sqrt{x}-3x+1$ на отрезке $[1;9]$
Найдите точку максимума функции $f(x)=7+6x-2x\sqrt{x}$
Найдите наибольшее значение функции $f(x)=3x-2x\sqrt{x}$ на отрезке $[0;4]$

$\Longrightarrow$ Решение задачи
Найдите точку максимума функции $f(x)=-\dfrac{2}{3}x\sqrt{x}+3x+1$
Найдите наибольшее значение функции $f(x)=-\dfrac{2}{3}x\sqrt{x}+3x+1$ на отрезке $[1,9]$ .

Дробно-рациональная функция

Теоретическая справка

$\Longrightarrow$ Алгоритм решения задач этого раздела

$\blacktriangleright$ Пример 1.

Найдите точку максимума функции: $f(x)=-\dfrac{x^{2}+324}{x}$ .
Решение

Действуем по алгоритму:

1. Найдём область определения функции $f(x)$ .

Т.к. перед нами дробь, то знаменатель дроби $x\neq0$ , то есть область определения функции:
$x\in(-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$ .

2. Считаем производную $f'(x)$ функции $f(x)$ :

Используя правило дифференцирования дроби: $\Big(\dfrac{f}{g}\Big)^\prime=\dfrac{f^\prime g-g^\prime f}{g^2}$

$f^\prime(x)=\Big(\dfrac{-x^{2}-324}{x}\Big)'=\,\dfrac{(-x^{2}-324)'\cdot x-x'\cdot(-x^{2}-324)}{x^2}=\dfrac{-2x^2+x^2+324}{x^2}=\dfrac{-x^2+324}{x^2}.$

3. Решаем уравнение $f'(x)=0$ . Корни уравнения это критические точки.

\dfrac{-x^2+324}{x^{2}}=0 \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} x^2=324, \\ x^2\neq0 \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} \left[ \begin{gathered} x=-18, \\ x=18, \\ \end{gathered} \right. \\ x \neq 0 \end{gathered} \right.

4. Наносим область определения и критические точки функции на числовую прямую и расставляем знаки $f'(x)$ .

Определим знаки $f'(x)=\dfrac{-x^2+324}{x^2}$ :

Возьмём произвольную точку из интервала $x\in(18; +\infty)$ и определим знак производной $f'(x)$ в этой точке:

x=20 \,\, \rightarrow \,\, f'(20)=\dfrac{-(20)^2+324}{(20)^2}=\dfrac{-400+324}{400}=\dfrac{-76}{400} < 0.

Производная $f'(x)$ отрицательна, следовательно функция убывает. На числовой прямой ставим над промежутком знак << $-$ >>.
Возьмём произвольную точку из интервала $x\in(0;18)$ и определим знак производной $f'(x)$ в этой точке:

x=1 \,\, \rightarrow \,\, f'(1)=\dfrac{-(1)^2+324}{1^2}=323 > 0.

Производная $f'(x)$ положительна, следовательно функция возрастает. На числовой прямой ставим над промежутком знак << $+$ >>.
Возьмём произвольную точку из интервала $x\in(-18;0)$ и определим знак производной $f'(x)$ в этой точке:

x=-1 \,\, \rightarrow \,\, f'(-1)=\dfrac{-(-1)^2+324}{(-1)^2}=323 > 0.

Производная $f'(x)$ положительна, следовательно функция возрастает. На числовой прямой ставим над промежутком знак << $+$ >>.
Возьмём произвольную точку из интервала $x\in(-\infty; -18)$ и определим знак производной $f'(x)$ в этой точке:

x=-20 \,\, \rightarrow \,\, f'(-20)=\dfrac{-(-20)^2+324}{(-20)^2}=\dfrac{-400+324}{400}=\dfrac{-76}{400}< 0.

5. Определим искомую точку максимума:

Искомая точка максимума $x=18$ , так как до неё функция возрастает, а после убывает.

Ответ: 18.

$\Longrightarrow$ Решение задачи

$\blacktriangleright$ Пример 2.

Найдите точку минимума функции: $f(x)=\dfrac{841}{x}+x+14$ .
Решение

Действуем по алгоритму:

1. Найдём область определения функции $f(x)$ .

Одно из слагаемых в нашей функции это рациональная дробь. Знаменатель дроби не должен быть равным 0. Тогда область определения функции: $x\in(-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$ .

2. Считаем производную $f'(x)$ функции $f(x)$ :

$f'(x)=\Big(\dfrac{841}{x}+x+14\Big)'=\Big(\dfrac{841}{x}\Big)'+(x)'+(14)'=-\dfrac{841}{x^{2}}+1$ .
3. Решаем уравнение $f'(x)=0$ . Корни уравнения это критические точки:

1-\dfrac{841}{x^{2}}=0 \Leftrightarrow \dfrac{x^2-841}{x^{2}}=0 \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} x^2=841, \\ x^2\neq0. \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} \left[ \begin{gathered} x=-29, \\ x=29, \\ \end{gathered} \right. \\ x \neq 0. \end{gathered} \right.

4. Наносим область определения и критические точки функции на числовую прямую и расставляем знаки $f'(x)$ .

Определим знаки $f'(x)=1-\dfrac{841}{x^{2}}$ :

Возьмём произвольную точку из интервала $x\in(29; +\infty)$ и определим знак производной $f'(x)$ в этой точке:

x=40 \,\, \rightarrow \,\, f'(40)=1-\dfrac{841}{(40)^{2}}=1-\dfrac{841}{1600}>0.

Производная $f'(x)$ положительна, следовательно функция возрастает. На числовой прямой ставим над промежутком знак << $+$ >>.
Возьмём произвольную точку из интервала $x\in(0;29)$ и определим знак производной $f'(x)$ в этой точке:

x=1 \,\, \rightarrow \,\, f'(1)=1-\dfrac{841}{1^{2}}=-840 < 0.

Производная $f'(x)$ отрицательна, следовательно функция убывает. На числовой прямой ставим над промежутком знак << $-$ >>.
Возьмём произвольную точку из интервала $x\in(-29;0)$ и определим знак производной $f'(x)$ в этой точке:

x=-1 \,\, \rightarrow \,\, f'(-1)=1-\dfrac{841}{(-1)^{2}}=-840 < 0.

Производная $f'(x)$ положительна, следовательно функция убывает. На числовой прямой ставим над промежутком знак << $-$ >>.
Возьмём произвольную точку из интервала $x\in(-\infty; -29)$ и определим знак производной $f'(x)$ в этой точке:

x=-40 \,\, \rightarrow \,\, f'(-40)=1-\dfrac{841}{(-40)^{2}}=1-\dfrac{841}{1600}>0.

Производная $f'(x)$ отрицательна, следовательно функция убывает. На числовой прямой ставим над промежутком знак << $+$ >>.

5. Определим искомую точку максимума:

Искомая точка максимума $x= -29$ , так как до неё функция возрастает, а после убывает.

Ответ: -29.

$\Longrightarrow$ Решение задачи

$\blacktriangleright$ Пример 3.

Найдите наименьшее значение функции: $f(x)=-\dfrac{4}{x}-x$ на отрезке $[-2,5; -1]$ .
Решение

Вариант 1:

Действуем по алгоритму:

1. Найдём область определения функции $f(x)$ .

Т.к. перед нами дробь, то знаменатель дроби $x\neq0$ , то есть область определения функции: $x\in(-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$ .
2. Считаем производную $f'(x)$ функции $f(x)$ :

$f'(x)=\dfrac{4}{x^{2}}-1$ .

3. Решаем уравнение $f'(x)=0$ . Корни уравнения это критические точки:

\left\{ \begin{gathered} 1-\dfrac{4}{x^{2}}=0, \\ -2,5\leqslant x \leqslant -1. \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} x^{2}=4, \\ -2,5\leqslant x \leqslant -1. \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} \left[ \begin{gathered} x=-2, \\ x=2, \\ \end{gathered} \right. \\ -2,5\leqslant x \leqslant -1. \end{gathered} \right. \Leftrightarrow x=-2.

4. Наносим критические точки функции на числовую прямую и расставляем знаки $f'(x)$

Определим знаки $f'(x)=\dfrac{4}{x^{2}}-1$ :

Возьмём произвольную точку из промежутка $x\in(-2; -1]$ и определим знак производной $f'(x)$ в этой точке:

x=-1,5 \,\, \rightarrow \,\, f'(-1,5)=\dfrac{4}{(-1,5)^{2}}-1=\dfrac{4}{2,25}-1=\dfrac{16}{9}-1=\dfrac{7}{9}>0.

Производная $f'(x)$ положительна, следовательно функция возрастает. На числовой прямой ставим над промежутком знак << $+$ >>.
Возьмём произвольную точку из промежутка $x\in[-2,5;-2)$ и определим знак производной $f'(x)$ в этой точке:

x= -2,1 \,\, \rightarrow \,\, f'(-2,1)=\dfrac{4}{(-2,1)^{2}}-1=\dfrac{400}{441}-1=-\dfrac{41}{441}<0.

5. В точке $x=-2$ заданная функция достигает своего наименьшего значения.

6. Найдём это наименьшее значение: $f(-2)=\dfrac{4}{2}+2=4$ .

Ответ: 4.

Вариант 2:

Решим задачу через неравенство Коши:

Для положительных чисел $a,b >0$ , справедливо следующее неравенство: $a+b\geqslant 2\sqrt{ab}$ .
При этом равенство достигается тогда и только тогда, когда числа $a$ и $b$ равны: $a+b=2\sqrt{ab} \Leftrightarrow a=b$ .
Для отрицательных чисел $a,b <0$ , справедливо следующее неравенство: $a+b\leqslant -2\sqrt{ab}$ .
При этом равенство достигается, когда числа $a$ и $b$ равны: $a+b=-2\sqrt{ab} \Leftrightarrow a=b$ .

Теперь перейдём к решению задачи.
Представим $f(x)$ в виде:

f(x)=-x-\dfrac{4}{x}=-\Big(x+\dfrac{4}{x}\Big).

Так как $x\in[-2,5;-1]$ , то числа $x$ и $\dfrac{4}{x}$ отрицательны, тогда

x+\dfrac{4}{x}\leqslant -2\sqrt{\dfrac{4}{x}\cdot x} \leqslant -2\sqrt{4} \leqslant -4.

Равенство достигается при $\dfrac{4}{x}=x \Leftrightarrow x^2=4 \Leftrightarrow x=\pm 2 \Rightarrow x=-2$ так как $x\in[-2,5;-1]$ .
Если $x+\dfrac{4}{x} \leqslant -4$ , то $f(x)=-\Big(x+\dfrac{4}{x}\Big) \geqslant 4$ и равенство достигается при $x=-2$ , так как $x\in[-2,5;-1]$ .

Таким образом мы понимаем, что наименьшим значением функции $f(x)$ на отрезке $x\in[-2,5;-1]$ будет $f(-2)=4$ .

Ответ: $4$ .

$\Longrightarrow$ Решение задачи

$\blacktriangleright$ Пример 4.

Найдите наибольшее значение функции: $f(x)=\dfrac{x^{2}+1}{x}$ на отрезке $[-11; -0,5]$ .
Решение

Вариант 1:

Действуем по алгоритму:

1. Найдём область определения функции $f(x)$ .

Так как перед нами дробь, то знаменатель дроби $x\neq0$ , то есть область определения функции: $x\in(-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$ .

2. Считаем производную $f'(x)$ функции $f(x)$ :

f'(x)=\Big(x+\dfrac{1}{x}\Big)'=1-\dfrac{1}{x^{2}}=\dfrac{x^{2}-1}{x^{2}}.

3. Решаем уравнение $f'(x)=0$ . Корни уравнения это критические точки:

\left\{ \begin{gathered} \dfrac{x^{2}-1}{x^{2}}=0, \\ -11\leqslant x \leqslant -0,5. \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} \dfrac{(x-1)(x+1)}{x^{2}}=0, \\ -11\leqslant x \leqslant -0,5. \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} \left[ \begin{gathered} x=-1, \\ x=1, \\ \end{gathered} \right. \\ -11\leqslant x \leqslant -0,5. \end{gathered} \right. \Leftrightarrow x=-1.

4. Наносим критические точки на числовую прямую и расставляем знаки $f'(x)$ .

Определим знаки $f'(x)=\dfrac{x^2-1}{x^2}$ :

Возьмём произвольную точку из промежутка $x\in(-1; -0,5]$ и определим знак производной $f'(x)$ в этой точке:

x=-0,6 \,\, \rightarrow \,\, f'(-0,6)=\dfrac{(-0,6)^2-1}{(-0,6)^2}=\dfrac{0,36-1}{0,36}=\dfrac{-0,64}{0,36}<0.

x=-5 \,\, \rightarrow \,\, f'(-5)=\dfrac{(-5)^2-1}{(-5)^2}=\dfrac{24}{25}>0.

5. В точке $x=-1$ заданная функция достигает своего наибольшего значения.

6. Найдём это наибольшее значение: $f(-1)=\dfrac{2}{-1}=-2$ .

Ответ: $-2$ .

Вариант 2:

Решим задачу с помощью неравенства Коши.

Представим $f(x)$ в виде:

\dfrac{x^2+1}{x}=x+\dfrac{1}{x}.

Так как $x\in[-11;-0,5]$ , то числа $x$ и $\dfrac{1}{x}$ отрицательны, тогда

x+\dfrac{1}{x}\leqslant -2\sqrt{\dfrac{1}{x}\cdot x} \leqslant -2\sqrt{1} \leqslant -2.

Равенство достигается при $\dfrac{1}{x}=x \Leftrightarrow x^2=1 \Leftrightarrow x=\pm 1 \Rightarrow x=-1$ , так как $x\in[-11;-0,5]$ .

Тогда мы понимаем, что наибольшим значением функции $f(x)$ на отрезке $x\in[-11;-0,5]$ будет являться $f(-1)=-2$ .

Ответ: $-2$ .

$\Longrightarrow$ Решение задачи

Задачи для самостоятельного решения

1. Найдите точку максимума функции $f(x)=-\dfrac{x^2+289}{x}$

$\Longrightarrow$ Решение задачи
2. Найдите точку минимума функции $f(x)=-\dfrac{x^2+1}{x}$

3. Найдите наименьшее значение функции $f(x)=\dfrac{x^2+25}{x}$ на отрезке $[1;10]$

4. Найдите наибольшее значение функции $f(x)=\dfrac{x^2+25}{x}$ на отрезке $[-10;-1]$

5. Найдите точку максимума функции $f(x)=\dfrac{16}{x}+x+3$

6. Найдите точку минимума функции $f(x)=\dfrac{25}{x}+x+25$

7. Найдите наименьшее значение функции $f(x)=x+\dfrac{36}{x}$ на отрезке $[1;9]$

8. Найдите наибольшее значение функции $f(x)=x+\dfrac{9}{x}$ на отрезке $[-4;-1]$

9. Найдите точку максимума функции $f(x)=-\dfrac{x}{x^2+289}$

10. Найдите точку минимума функции $f(x)=-\dfrac{x}{x^2+1}$

Примечание:

$\Longrightarrow$ Неравенство Коши в задаче 11

Тригонометрическая функция

Теоретическая справка

$\blacktriangleright$ Пример 1.

Найдите точку максимума функции $f(x)=(2x-1)\cos{x}-2\sin{x}+2$ на интервале $\bigg(0;\dfrac{\pi}{2} \bigg)$ .
Решение

Действуем по алгоритму:

1. Найдём область определения функции $f(x)$ .

Функция $f(x)$ определена при всех значениях $x$ .

2. Считаем производную $f'(x)$ функции $f(x)$ :

$f'(x)=((2x-1)\cos{x}-2\sin{x}+2)'=((2x-1)\cos{x})'-(2\sin{x})'+(2)'=(2x-1)'\cos{x}+\\ \\+ (2x-1)(\cos{x})'-(2\sin{x})'+(2)'=2\cos{x}+(2x-1)(-\sin{x})-2\cos{x}=-(2x-1)\sin{x}= \\ \\= (1-2x)\sin{x}$ .

3. На заданном промежутке (первая четверть без граничных точек) синус не обращается в ноль и принимает только положительные значения.

f'(x)=0 \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} \left[ \begin{gathered} 1-2x=0, \\ \sin{x}=0, \\ \end{gathered} \right. \\ x\in\bigg(0 ;\dfrac{\pi}{2}\bigg). \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} \left[ \begin{gathered} x=\dfrac{1}{2}, \\ x=\pi k, \\ \end{gathered} \right. \\ x\in\bigg(0 ;\dfrac{\pi}{2}\bigg). \end{gathered} \right. \Leftrightarrow x=0.5.

4. Наносим критические точки на числовую прямую и расставляем знаки $f'(x)$ .

Определим знаки $f'(x)=(1-2x)\sin{x}$ :

Вспомним, что на интервале $\bigg(0;\dfrac{\pi}{2} \bigg)$ функция $\sin{x}$ принимает положительные значения.
Так же важно понимать, что $\pi=3,14...$ , а тогда $\dfrac{\pi}{2}=1,57...$ . Поэтому полезно воспринимать наш интервал как $x\in(0; 1,57...)$ .
Возьмём произвольную точку из интервала $x\in(0; 0,5)$ и определим знак производной $f'(x)$ в этой точке: $x=\dfrac{1}{4}\Rightarrow \Big(1-2\cdot \dfrac{1}{4}\Big)\sin{\dfrac{1}{4}} = \dfrac{1}{2}\sin\dfrac{1}{4} > \dfrac{1}{2}\sin 0 = 0.$
Производная $f'(x)$ положительна, следовательно функция возрастает. На числовой прямой ставим над промежутком знак << $+$ >>.
Возьмём произвольную точку из интервала $x\in\bigg(0,5; \dfrac{\pi}{2}\bigg)$ и определим знак производной $f'(x)$ в этой точке : $x=1\Rightarrow (1-2\cdot 1)\sin{1}=-1\cdot \sin{1}=-\sin{1}< -\sin 0 = 0$ .
Производная $f'(x)$ отрицательна, следовательно функция убывает. На числовой прямой ставим над промежутком знак << $-$ >>.

5. Определим искомую точку максимума:

Искомая точка максимума $x=0,5$ , так как до неё функция возрастает, а после убывает.

Ответ: 0,5.

$\Longrightarrow$ Решение задачи

$\blacktriangleright$ Пример 2.

Найдите точку минимума функции $f(x)=(6-4x)\cos{x}+4\sin{x}+13$ на интервале $\bigg(0;\dfrac{\pi}{2} \bigg).$
Решение

Действуем по алгоритму:

1. Найдём область определения функции $f(x)$ .

Функция $f(x)$ определена при всех значениях $x$ .

2. Считаем производную $f'(x)$ функции $f(x)$ :

$f'(x)=((6-4x)\cos{x}+4\sin{x}+13)'=((6-4x)\cos{x})'+(4\sin{x})'+(13)'=(6-4x)'\cos{x}+\\ \\+(6-4x)(\cos{x})'+4(\sin{x})'+(13)'=-4\cos{x}+(6-4x)(-\sin{x})+4\cos{x}=-(6-4x)\sin{x}=\\ \\=(4x-6)\sin{x}$ .

3. Решаем уравнение $f'(x)=0$ . Корни уравнения это критические точки:

\left\{ \begin{gathered} (4x-6)\sin{x}=0, \\ 0< x < \dfrac{\pi}{2}. \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} \left[ \begin{gathered} x=\dfrac{3}{2}, \\ x=\pi k,\, k\in\mathbb{Z}, \\ \end{gathered} \right. \\ 0< x < \dfrac{\pi}{2}. \end{gathered} \right. \Leftrightarrow x=\dfrac{3}{2}.

4. Наносим критические точки на числовую прямую и расставляем знаки $f'(x)$

Определим знаки $f'(x)=(4x-6)\sin{x}$ :

Вспомним, что на интервале $\bigg(0;\dfrac{\pi}{2} \bigg)$ функция $\sin{x}$ принимает положительные значения.
Так же важно понимать, что $\pi=3,14...$ , а тогда $\dfrac{\pi}{2}=1,57...$ . Поэтому полезно воспринимать наш интервал как $x\in(0; 1,57...)$ .

Возьмём произвольную точку из интервала $x\in\bigg(0; \dfrac{3}{2}\bigg)$ и определим знак производной $f'(x)$ в этой точке: $x=\dfrac{1}{2}\Rightarrow \bigg(4\cdot \dfrac{1}{2}-6\bigg)\sin{\dfrac{1}{2}}=(2-6)\sin{\dfrac{1}{2}}=-4\sin{\dfrac{1}{2}}<0.$
Производная $f'(x)$ отрицательна, следовательно функция убывает. На числовой прямой ставим над промежутком знак << $-$ >>.

Возьмём произвольную точку из интервала $x\in\bigg(\dfrac{3}{2}; \dfrac{\pi}{2}\bigg)$ и определим знак производной $f'(x)$ в этой точке: $x=1,55\Rightarrow (4\cdot 1,55-6)\sin{1,55}=(6,2-6)\sin{1,55}=0,2\sin{1,55}>0$ .
Производная $f'(x)$ положительна, следовательно функция возрастает. На числовой прямой ставим над промежутком знак << $+$ >>.

5. Определим искомую точку минимума:

Искомая точка минимума $x=1,5$ , так как до неё функция убывает, а после возрастает.

Ответ: $1,5$ .

$\Longrightarrow$ Решение задачи

$\blacktriangleright$ Пример 3.

Найдите наименьшее значение функции $f(x)=3+\dfrac{5\pi}{4}-5x-5\sqrt{2}\cos{x}$ на отрезке $\bigg[0; \dfrac{\pi}{2}\bigg]$ .
Решение

Вариант 1:

Действуем по алгоритму:

1. Найдём область определения функции $f(x)$ .

Функция $f(x)$ определена при всех значениях $x$ .

2. Считаем производную $f'(x)$ функции $f(x)$ :

$f'(x)=\bigg(3+\dfrac{5\pi}{4}-5x-5\sqrt{2}\cos{x}\bigg)'=(3)'+\bigg(\dfrac{5\pi}{4}\bigg)'-(5x)'-(5\sqrt{2}\cos{x})'=0+0-5- \\ -5\sqrt{2}\cdot(-\sin{x})$ $=-5+5\sqrt{2}\sin{x}$ .

3. Решаем уравнение $f'(x)=0$ . Корни уравнения это критические точки:

\left\{ \begin{gathered} -5+5\sqrt{2}\sin{x}=0, \\ 0\leqslant x \leqslant \dfrac{\pi}{2}. \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} \sin{x}=\dfrac{1}{\sqrt{2}}, \\ 0\leqslant x \leqslant \dfrac{\pi}{2}. \end{gathered} \right. \Leftrightarrow x=\dfrac{\pi}{4}.

4. Наносим критические точки на числовую прямую и расставляем знаки $f'(x)$ .

Определим знаки $f'(x)=-5+5\sqrt{2}\sin{x}$ :

Возьмём произвольную точку из промежутка $x\in\bigg[0; \dfrac{\pi}{4}\bigg)$ и определим знак производной $f'(x)$ в этой точке: $x=0 \Rightarrow -5+5\sqrt{2}\sin{0}=-5<0$ .
Производная $f'(x)$ отрицательна, следовательно функция убывает. На числовой прямой ставим над промежутком знак << $-$ >>.
Возьмём произвольную точку из промежутка $x\in\bigg(\dfrac{\pi}{4}; \dfrac{\pi}{2}\bigg]$ и определим знак производной $f'(x)$ в этой точке: $x=\dfrac{\pi}{2}\Rightarrow -5+5\sqrt{2}\sin{\dfrac{\pi}{2}}=-5+5\sqrt{2}>0$ .
Производная $f'(x)$ положительна, следовательно функция возрастает. На числовой прямой ставим над промежутком знак << $+$ >>.
Мы могли взять вместо точек $0$ и $\dfrac{\pi}{2}$ , допустим $\dfrac{\pi}{3}$ и $\dfrac{\pi}{6}$ и получить такие же знаки.

5. В точке $x=\dfrac{\pi}{4}$ заданная функция достигает своего наименьшего значения.

6. Найдем это наименьшее значение:

f\bigg(\dfrac{\pi}{4}\bigg)=3+\dfrac{5\pi}{4}-\dfrac{5\pi}{4}-5\sqrt{2}\cos{\dfrac{\pi}{4}}=-2.

Ответ: $-2$ .

Вариант 2:

Нас просят найти значение функции.

Это значит, что мы должны будем некоторое значение $x$ , подставить в функцию

f(x)=3+\dfrac{5\pi}{4}-5x-5\sqrt{2}\cos{x},

вычислить значение этой функции и записать значение в ответ.

Мы так же помним, что ответ в первой части ЕГЭ может быть только целым числом или обыкнивенной десятичной дробью.

Итак, нам надо поставить вместо $x$ какое-то значение и получить <<нормальный>> ответ.

Можем заметить, что у нас есть слагаемое $\dfrac{5\pi}{4}$ , которое должно куда-то пропасть.

Убрать его может либо слагаемое $5x$ , либо слагаемое $-5\sqrt{2}\cos{x}$ , но мы не знаем таких значений $x$ при которых слагаемое $-5\sqrt{2}\cos{x}$ принимает значения содержащие $\pi$ .

Поэтому мы хотим подобрать $х$ такой, что $5x=\dfrac{5\pi}{4}$ , то есть $x=\dfrac{\pi}{4}$ .

Это единственная точка, которую мы можем подставить и получить <<нормальный>> ответ. Поставляем:

f\bigg(\dfrac{\pi}{4}\bigg)=3+\dfrac{5\pi}{4}-5\cdot \dfrac{\pi}{4}-5\sqrt{2}\cos{\dfrac{\pi}{4}}=3-5\sqrt{2}\cdot\dfrac{\sqrt{2}}{2}=3-\dfrac{10}{2}=3-5=-2.

Ответ: $-2$ .

$\Longrightarrow$ Решение задачи

Задачи для самостоятельного решения

1. Найдите наибольшее значение функции $f(x)=12\cos{x}+ 6\sqrt{3}x -2\sqrt{3}\pi+6$ на отрезке $\bigg[0; \dfrac{\pi}{2}\bigg]$

$\Longrightarrow$ Решение задачи

2. Найдите наименьшее значение функции $f(x)=3+\dfrac{5\pi}{4}-5x-5\sqrt{2}\cos{x}$ на отрезке $\bigg[0; \dfrac{\pi}{2}\bigg]$
3. Найдите наибольшее значение функции $f(x)=3\tan{x}-3x+5$ на отрезке $\bigg[-\dfrac{\pi}{4};0\bigg]$

4. Найдите наименьшее значение функции $f(x)=5\tan{x}-5x+6$ на отрезке $\bigg[0;\dfrac{\pi}{4}\bigg]$

5. Найдите наибольшее значение функции $f(x)=16\tan{x}-16x+4\pi-5$ на отрезке

$\bigg[-\dfrac{\pi}{4};\dfrac{\pi}{4}\bigg]$

6. Найдите наименьшее значение функции $f(x)=4\tan{x}-4x-\pi+5$ на отрезке

$\bigg[-\dfrac{\pi}{4};\dfrac{\pi}{4}\bigg]$

7. Найдите наибольшее значение функции $f(x)=3x-3\tan{x}-5$ на отрезке $\bigg[0;\dfrac{\pi}{4}\bigg]$

8. Найдите наименьшее значение функции $f(x)=4x-4\tan{x}+12$ на отрезке $\bigg[-\dfrac{\pi}{4};0\bigg]$

9. Найдите наименьшее значение функции $f(x)=2\tan{x}-4x+\pi-3$ на отрезке

$\bigg[-\dfrac{\pi}{3};\dfrac{\pi}{3}\bigg]$

$\Longrightarrow$ Решение задачи

10. Найдите наибольшее значение функции $f(x)=14x-7\tan{x}-3,5\pi+11$ на отрезке $\bigg[-\dfrac{\pi}{3};\dfrac{\pi}{3}\bigg]$

11. Найдите точку максимума функции $f(x)=(2x-3)\cos{x}-2\sin{x}+5$ принадлежащую промежутку $\bigg(0;\dfrac{\pi}{2}\bigg)$

$\Longrightarrow$ Решение задачи

12. Найдите точку минимума функции $f(x)=(0,5-x)\cos{x}+\sin{x}$ принадлежащую

промежутку $\bigg(0;\dfrac{\pi}{2}\bigg)$

$\Longrightarrow$ Решение задачи

13. Найдите наибольшее значение функции $f(x)=-2\tan{x}+4x-\pi-3$ на отрезке

$\bigg[-\dfrac{\pi}{3};\dfrac{\pi}{3}\bigg]$

$\Longrightarrow$ Решение задачи

14. Найдите наименьшее значение функции $f(x)=-14x+7\tan{x}+\dfrac{7\pi}{2}+11$ на отрезке $\bigg[-\dfrac{\pi}{3};\dfrac{\pi}{3}\bigg]$

$\Longrightarrow$ Решение задачи

15. Найдите наибольшее значение функции $f(x)=12\sin{x}-6\sqrt{3}x+\sqrt{3}\pi+6$ на отрезке $\bigg[0;\dfrac{\pi}{2}\bigg]$

16. Найдите наименьшее значение функции $f(x)=3-\dfrac{5\pi}{4}+5x-5\sqrt{2}\sin{x}$ на отрезке $\bigg[0;\dfrac{\pi}{2}\bigg]$

Обратите внимание:

$\Longrightarrow$ Приемы, рассказанные в данном видео, могут здорово
упростить решение некоторых задач это раздела

Тригонометрическая функция, производная которой не обращается в ноль

Теоретическая справка

$\Longrightarrow$ Алгоритм решения задач этого раздела

$\blacktriangleright$ Пример 1.

Найдите наименьшее значение функции: $f(x)=6\cos{x}+\dfrac{24}{\pi}x+5$ на отрезке $\bigg[-\dfrac{2\pi}{3}; 0\bigg]$ .

Решение

Вариант 1:

Действуем по алгоритму:

1. Найдём область определения функции $f(x)$ .

Функция $f(x)$ определена при всех значениях $x$ .

2. Считаем производную $f'(x)$ функции $f(x)$ :

$f^\prime(x)=\bigg(6\cos{x}+\dfrac{24}{\pi}x+5\bigg)'=(6\cos{x})'+\bigg(\dfrac{24}{\pi}x\bigg)'+(5)'=6(\cos{x})'+\dfrac{24}{\pi}(x)'+(5)'=$ $=-6\sin{x}+\dfrac{24}{\pi}.$

3. Решаем уравнение $f'(x)=0$ . Корни уравнения это критические точки.

Уравнение $f'(x)=0$ не имеет решений, т.к. $\dfrac{24}{3,1415...}>7$ , а $-6 \leqslant -6\sin{x} \leqslant 6$ , поэтому $f'(x)=\dfrac{24}{\pi}-6\sin{x}>7-6=1>0$ производная положительна при всех значениях переменной, следовательно функция $f(x)$ является возрастающей.

4. Так как функция возрастает, то чем больше мы будем брать $x$ , тем больше будет её значение.
Значит наименьшее значение будет достигаться при самом маленьком значении $x$ . В нашем случае это $x=-\dfrac{2\pi}{3}$ .

5. Найдём это наименьшее значение:

f\bigg(-\dfrac{2\pi}{3}\bigg)=6\cos\bigg(-\dfrac{2\pi}{3}\bigg)-\dfrac{24}{\pi}\cdot\dfrac{2\pi}{3}+5=-6\bigg(\dfrac{1}{2}\bigg)-16+5=-14.

Ответ: $-14$ .

Вариант 2:

В данной задаче можно угадать ответ. Проведём следующие подготовительные рассуждения.

В нашей задаче надо получить нормальный ответ, значит, нам надо, чтобы $\cos{x}$ принимал значения без корней. Такие значения $\cos{x}$ принимает в точках $0,\, -\dfrac{2\pi}{3}, \, -\dfrac{\pi}{2},\, -\dfrac{\pi}{3}$ .

Подставим каждое из значений и убедимся в этом:

\cos{0}=1,

\cos{\bigg(-\dfrac{2\pi}{3}\bigg)}=-\dfrac{1}{2},

\cos{\bigg(-\dfrac{\pi}{2}\bigg)}=0,

\cos{\bigg(-\dfrac{\pi}{3}\bigg)}=\dfrac{1}{2}.

Видим, что наименьшее значение $\cos{x}$ примет при $x=-\dfrac{2\pi}{3}$ .

Тогда найдём это наименьшее значение:

f\bigg(-\dfrac{2\pi}{3}\bigg)=6\cos\bigg(-\dfrac{2\pi}{3}\bigg)-\dfrac{24}{\pi}\cdot\dfrac{2\pi}{3}+5=-6\bigg(\dfrac{1}{2}\bigg)-16+5=-14.

Ответ: $-14$ .

$\Longrightarrow$ Решение задачи

$\blacktriangleright$ Пример 2.

Найдите наибольшее значение функции: $f(x)=7\cos{x}-13x+26$ на отрезке $\bigg[0;\dfrac{3\pi}{2}\bigg].$

Решение

Вариант 1:

Действуем по алгоритму:

1. Найдём область определения функции $f(x)$ .

Функция $f(x)$ определена при всех значениях $x$ .

2. Считаем производную $f'(x)$ функции $f(x)$ :

f^\prime(x)=(7\cos{x}-13x+26)'=(7\cos{x})'-(13x)'+(26)'=-7\sin{x}-13.

3. Решаем уравнение $f'(x)=0$ . Корни уравнения это критические точки.

Уравнение $f'(x)=0$ не имеет решений, т.к. $-7\sin{x}-13=0 \Leftrightarrow \sin{x}=-\dfrac{13}{7}<-1$ . Теперь можно заметить, что $f'(x)=-7\sin{x}-13\leqslant 7-13 = -6 <0$ . Следовательно производная отрицательна при всех значениях переменной, поэтому заданная функция является убывающей.

4. Так как функция убывает, то чем больше мы будем брать $x$ , тем меньше будет её значение. Значит наибольшее значение будет достигаться при самом маленьком значении $x$ . В нашем случае это $x=0$ .

5. Найдём это наибольшее значение:

f(0)=7\cos{0}-13\cdot 0 +26=7+26=33.

Ответ: $33$ .

Вариант 2: Нас просят найти значение функции.

Это значит, что мы должны будем некоторое значение $x$ подставить в исходную функцию $f(x)=7\cos{x}-13x+26$ , вычислить значение этой функции и записать его в ответ.

Мы также помним, что ответ в первой части ЕГЭ может быть только целым числом или десятичной дробью.

Итак, нам надо поставить вместо $x$ какое-то значение и получить <<нормальный>> ответ.

Можем заметить, что у нас есть слагаемое $x$ , и слагаемое $\cos{x}$ . Нам не подходят значения $x$ , содержащие $\pi$ , и не подходят значения при которых мы не можем вычислить точное значение $\cos{x}$ , поэтому единственная точка, которая нам подходит – это точка $x = 0$ . $f(0) = 7\cos{0} - 13\cdot 0 + 26 = 7 + 26 = 33$ .

Ответ: $33$ .

$\Longrightarrow$ Решение задачи

$\blacktriangleright$ Пример 3.

Найдите наибольшее значение функции: $f(x)=16\tan{x}-16x+4\pi-5$ на отрезке $\bigg[-\dfrac{\pi}{4};\dfrac{\pi}{4}\bigg]$ .

Решение

Действуем по алгоритму:

1. Найдём область определения функции $f(x)$ .

Областью определения являются те $x$ при которых верно, что $\cos{x}\neq 0$ , так как $\tan{x}=\dfrac{\sin{x}}{\cos{x}}$ . Тогда: $x\neq \dfrac{\pi}{2}+\pi k,$ где $k -$ целое число.

2. Считаем производную $f'(x)$ функции $f(x)$ :

$f^\prime(x)=(16\tan{x}-16x+4\pi-5)'=16(\tan{x})'-16(x)'+(4\pi)'-(5)'=\dfrac{16}{\cos^{2}{x}}-16=\dfrac{16-16\cos^2{x}}{\cos^2{x}}=\dfrac{16(1-\cos^2{x})}{\cos^2{x}}=\dfrac{16\sin^2{x}}{\cos^2{x}}=16\tan^{2}{x}.$

3. Решаем уравнение $f'(x)=0$ . Корни уравнения это критические точки.

16\tan^2{x}=0 \Leftrightarrow \tan^2{x}=0 \Leftrightarrow \tan{x}=0 \Leftrightarrow x=0+\pi k \Leftrightarrow x=\pi k.

Мы могли бы нанести эти точки на числовую прямую и расставить знаки в полученных промежутках, но вместо этого внимательно проанализируем нашу производную:
функция $f'(x)=16\tan^2{x}$ $\geqslant 0$ на области определения $\Rightarrow$ функция $f(x)$ возрастает.

4. Так как функция непрерывна на отрезке и возрастает, то чем больше мы будем брать $x$ , тем больше будет её значение на этом отрезке. Значит наибольшее значение будет достигаться при самом большом значении $x$ . В нашем случае это $x=\dfrac{\pi}{4}$ .

5. Найдём это наибольшее значение:

f\bigg(\dfrac{\pi}{4}\bigg)=16\tan{\dfrac{\pi}{4}}-16\cdot\dfrac{\pi}{4}+4\pi-5=11.

Ответ: $11$ .

$\Longrightarrow$ Решение задачи

Задачи для самостоятельного решения

1. Найдите наименьшее значение функции $f(x)=5\cos{x}-6x+4$ на отрезке $\bigg[-\dfrac{3\pi}{2};0\bigg]$

$\Longrightarrow$ Решение задачи

2. Найдите наибольшее значение функции $f(x)=15x-3\sin{x}+5$ на отрезке $\bigg[-\dfrac{\pi}{2};0 \bigg]$

$\Longrightarrow$ Решение задачи

3. Найдите наименьшее значение функции $f(x)=9\cos{x}+14x+7$ на отрезке $\bigg[0;\dfrac{3\pi}{2}\bigg]$

4. Найдите наименьшее значение функции $f(x)=7\sin{x}-8x+9$ на отрезке $\bigg[-\dfrac{3\pi}{2};0\bigg]$

5. Найдите наименьшее значение функции $f(x)=6\cos{x}-\dfrac{36}{\pi}x+5$ на отрезке $\bigg[-\dfrac{2\pi}{3};0\bigg]$

6. Найдите наибольшее значение функции $f(x)=10\sin{x}-\dfrac{36}{\pi}x+7$ на отрезке

$\bigg[-\dfrac{5\pi}{6};0\bigg]$

7. Найдите наибольшее значение функции $f(x)=2\cos{x}-\dfrac{18}{\pi}x+4$ на отрезке $\bigg[-\dfrac{2\pi}{3};0 \bigg]$

8. Найдите наименьшее значение функции $f(x)=5\sin{x}-\dfrac{24}{\pi}x+6$ на отрезке $\bigg[-\dfrac{5\pi}{6};0\bigg]$

9. Найдите наибольшее значение функции $f(x)=7\cos{x}+16x-2$ на отрезке $\bigg[-\dfrac{3\pi}{2};0 \bigg]$

10. Найдите наименьшее значение функции $f(x)=13x-9\sin{x}+9$ на отрезке

$\bigg[0;\dfrac{\pi}{2} \bigg]$

11. Найдите наибольшее значение функции $f(x)=4\cos{x}-20x+7$ на отрезке

$\bigg[0;\dfrac{3\pi}{2}\bigg]$

12. Найдите наибольшее значение функции $f(x)=5\sin{x}-6x+3$ на отрезке $\bigg[0;\dfrac{\pi}{2}\bigg]$

Обратите внимание:

Показательная функция.

Теоретическая справка

$\Longrightarrow$ Алгоритм решения задач этого раздела

$\blacktriangleright$ Пример 1.

Найдите точку минимума функции $f(x)=(2x^2-38x+38)e^{x-25}$ .
Решение

Действуем по алгоритму:

1. Найдём область определения функции $f(x)$ :

Функция $f(x)$ определена при всех значениях $x$ .

2. Считаем производную $f'(x)$ функции $f(x)$ :

$f'(x)=(2x^2-38x+38)^\prime e^{x-25}+(2x^2-38x+38)(e^{x-25})^\prime=(4x-38)e^{x-25}+(2x^2-38x+\\ \\+38)e^{x-25}=(4x-38+2x^2-38x+38)e^{x-25}=(2x^2-34x)e^{x-25}=2x(x-17)e^{x-25}$ .

Чтобы вычислить производную от $e^{x-25}$ можно воспользоваться:

1) формулой $(e^{ax+b})'=e^{ax+b}\cdot a$ , т.е. $(e^{x-25})'=1\cdot e^{x-25}=e^{x-25}$ .

2) формулой для вычисления производной сложной функции:

Функцию $h(x)$ можно представить в виде $h(x)=f(g(x))$ , где $f(x)=e^{x}$ , $g(x)=x-25$ .

Далее действуем согласно нашему алгоритму:

1) Находим $f'(x)$ производную функции $f(x)=e^{x}$ : $f'(x)=e^{x}$ .

2) Подставим в найденную производную $g(x)=x-25$ вместо каждого вхождения $x$ : $f'(g(x))=e^{x-25}$ .

3) Находим $g'(x)$ производную функции $g(x)$ : $g'(x)=(x-25)'=1$ .

4) Умножаем $f'(g(x))$ на $g'(x)$ . Получаем: $h'(x)=f'(g(x))\cdot g'(x)=e^{x-25}$ .

3. Решаем уравнение $f'(x)=0$ . Корни уравнения - это критические точки:

2x(x-17)e^{x-25}=0 \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} x=0, \\ x=17. \\ \end{gathered} \right.

Примечание: показательная функция принимает только положительные значения, поэтому $e^{x-25} \neq 0$ при всех значениях $x$ .

4. Наносим критические точки на числовую прямую и расставляем знаки $f'(x)$ .

Определим знаки $f'(x)=2x(x-17)e^{x-25}$ :

Возьмём произвольную точку из интервала $x\in(17; +\infty)$ и определим знак производной $f'(x)$ в этой точке:

x=25 \,\, \rightarrow \,\, f'(25)=2\cdot 25(25-17)e^{25-25}=2\cdot 25\cdot 8e^{25-25}>0.

Производная $f'(x)$ положительна, следовательно функция возрастает. На числовой прямой ставим над промежутком знак << $+$ >>.
Возьмём произвольную точку из интервала $x\in(0;17)$ и определим знак производной $f'(x)$ в этой точке:

x=1 \,\, \rightarrow \,\, f'(1)=2\cdot 1(1-17)e^{1-25}=2\cdot (-16)\cdot e^{-24}=-32e^{-24}<0.

x=-1 \,\, \rightarrow \,\, f'(-1)=2\cdot (-1)((-1)-17)e^{-1-25}=2\cdot (-1)\cdot (-18)\cdot e^{-26}=36e^{-26}>0.

5. Определим искомую точку минимума:

Искомая точка минимума $x=17$ , так как до неё функция убывает, а после возрастает.

Ответ: $17$ .

$\Longrightarrow$ Решение задачи

$\blacktriangleright$ Пример 2.

Найдите точку максимума функции $f(x)=(x-14)^2e^{26-x}$ .
Решение

Действуем по алгоритму:

1. Найдём область определения функции $f(x)$ :

Функция $f(x)$ определена при всех значениях $x$ .

2. Считаем производную $f'(x)$ функции $f(x)$ :

$f'(x)= ((x-14)^2)^\prime\cdot (e^{26-x})+((x-14)^2)\cdot(e^{26-x})^\prime=f'(x)=2(x-14)\cdot e^{26-x}-(x-14)^2\cdot e^{26-x}=\\ \\=-(x-14)(x-16)e^{26-x}.$

Чтобы вычислить производную от $(x-14)^2$ можно воспользоваться формулой для производной сложной функции:

Функцию $h(x)$ можно представить в виде $h(x)=f(g(x))$ , где $f(x)=x^2$ , $g(x)=x-14$ .

Далее действуем согласно нашему алгоритму:

1) Находим $f'(x)$ производную функции $f(x)=x^2$ : $f'(x)=(x^2)'=2x$ .

2) Подставим в найденную производную $g(x)=x-14$ вместо каждого вхождения $x$ : $f'(g(x))=2(x-14)$ .

3) Находим $g'(x)$ производную функции $g(x)$ : $g'(x)=(x-14)'=1$ .

4) Умножаем $f'(g(x))$ на $g'(x)$ . Получаем: $h'(x)=f'(g(x))\cdot g'(x)=2(x-14)$ .

Чтобы вычислить производную от $e^{26-x}$ можно воспользоваться:

1) формулой $(e^{ax+b})'=e^{ax+b}\cdot a$ , т.е. $(e^{26-x})'= (-1)\cdot e^{26-x}=-e^{26-x}$ .

2) формулой для вычисления производной сложной функции:

Функцию $h(x)$ можно представить в виде $h(x)=f(g(x))$ , где $f(x)=e^x$ , $g(x)=26-x$ .

Далее действуем согласно нашему алгоритму:

1) Находим $f'(x)$ производную функции $f(x)=e^x$ : $f'(x)=(e^x)'=e^x$ .

2) Подставим в найденную производную $g(x)=26-x$ вместо каждого вхождения $x$ : $f'(g(x))=e^{26-x}$ .

3) Находим $g'(x)$ производную функции $g(x)$ : $g'(x)=(26-x)'=-1$ .

4) Умножаем $f'(g(x))$ на $g'(x)$ . Получаем: $h'(x)=f'(g(x))\cdot g'(x)=e^{26-x}\cdot (-1)=\\ \\=-e^{26-x}$ .

3. Решаем уравнение $f'(x)=0$ . Корни уравнения это критические точки:

-(x-14)(x-16)e^{26-x}=0 \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} x=14, \\ x=16. \\ \end{gathered} \right.

Примечание: показательная функция принимает только положительные значения, поэтому $e^{26-x}\neq0$ при всех значениях $x$ .

4. Наносим критические точки на числовую прямую и расставляем знаки $f'(x)$ .

Определим знаки $f'(x)=-(x-14)(x-16)e^{26-x}$ :

Возьмём произвольную точку из интервала $x\in(16; +\infty)$ и определим знак производной $f'(x)$ в этой точке:

x=26 \,\, \rightarrow \,\, f'(26)=-(26-14)(26-16)e^{26-26}=-12\cdot 10=-120.

Производная $f'(x)$ отрицательна, следовательно функция убывает. На числовой прямой ставим над промежутком знак << $-$ >>.
Возьмём произвольную точку из интервала $x\in(14;16)$ и определим знак производной $f'(x)$ в этой точке:

x=15 \,\, \rightarrow \,\, f'(15)=-(15-14)(15-16)e^{26-15}=-1\cdot (-1)e^{11}=e^{11}>0.

Производная $f'(x)$ положительна, следовательно функция возрастает. На числовой прямой ставим над промежутком знак << $+$ >>.
Возьмём произвольную точку из интервала $x\in(-\infty;14)$ и определим знак производной $f'(x)$ в этой точке:

x=0 \,\, \rightarrow \,\, f'(0)=-(0-14)(0-16)e^{26-0}=-(-14)\cdot (-16)\cdot e^{26}=-224e^{26}<0.

5. Определим искомую точку максимума:

Искомая точка максимума $x=16$ , так как до неё функция возрастает, а после убывает.

Ответ: $16$ .

$\Longrightarrow$ Решение задачи

$\blacktriangleright$ Пример 3.

Найдите наибольшее значение функции $f(x)=(x+6)^2e^{-4-x}$ на отрезке $[-6;-1]$ .
Решение

Вариант 1:

Действуем по алгоритму:

1. Найдём область определения функции $f(x)$ .

Функция $f(x)$ определена при всех значениях $x$ .

2. Считаем производную $f'(x)$ функции $f(x)$ .

$f'(x)=((x+6)^2)'e^{-4-x}+(x+6)^2(e^{-4-x})'=2(x+6)e^{-4-x}-e^{-4-x}(x+6)^2=e^{-4-x}(2x+$ $+12)-e^{-4-x}(x^2+12x+36)=(2x+12-x^2-12x-36)e^{-4-x}=-(x^2+10x+24)e^{-4-x}.$

Чтобы вычислить производную от $(x+6)^2$ можно воспользоваться формулой для производной сложной функции:

Функцию $h(x)$ можно представить в виде $h(x)=f(g(x))$ , где $f(x)=x^2$ , $g(x)=x+6$ .

Далее действуем согласно нашему алгоритму:

1) Находим $f'(x)$ производную функции $f(x)=x^2$ : $f'(x)=(x^2)'=2x.$

2) Подставим в найденную производную $g(x)=x+6$ вместо каждого вхождения $x$ : $f'(g(x))=2(x+6).$

3) Находим $g'(x)$ производную функции $g(x)$ : $g'(x)=(x+6)'=1.$

4) Умножаем $f'(g(x))$ на $g'(x)$ . Получаем: $h'(x)=f'(g(x))\cdot g'(x)=2(x+6).$

Чтобы вычислить производную от $e^{-4-x}$ можно воспользоваться:

1) формулой $(e^{ax+b})'=e^{ax+b}\cdot a$ , т.е. $(e^{-4-x})'= (-1)\cdot e^{-4-x}=-e^{-4-x}.$

2) формулой для вычисления производной сложной функции:

Функцию $h(x)$ можно представить в виде $h(x)=f(g(x))$ , где $f(x)=e^{x}$ , $g(x)=-4-x$ .

Далее действуем согласно нашему алгоритму:

1) Находим $f'(x)$ производную функции $f(x)=e^{x}$ : $f'(x)=(e^{x})'=e^{x}.$

2) Подставим в найденную производную $g(x)=-4-x$ вместо каждого вхождения $x$ : $f'(g(x))=e^{-4-x}.$

3) Находим $g'(x)$ производную функции $g(x)$ : $g'(x)=(-4-x)'=-1.$

4) Умножаем $f'(g(x))$ на $g'(x)$ . Получаем: $h'(x)=f'(g(x))\cdot g'(x)=-e^{-4-x}.$

3. Найдем нули производной на заданном отрезке:

\left\{ \begin{gathered} -(x^2+10x+24)e^{-4-x}=0, \\ -6\leqslant x \leqslant -1. \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} x^2+10x+24=0, \\ -6\leqslant x \leqslant -1. \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} \left[ \begin{gathered} x=-6, \\ x=-4, \\ \end{gathered} \right. \\ -6\leqslant x \leqslant -1. \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} x=-6, \\ x=-4. \\ \end{gathered} \right.

Примечание: показательная функция принимает только положительные значения, поэтому $e^{-4-x}\neq0$ при всех значениях $x$ .

4. Наносим критические точки на числовую прямую и расставляем знаки $f'(x)$

Определим знаки $f'(x)=-(x^2+10x+24)e^{-4-x}$ :

Возьмём произвольную точку из промежутка $x\in(-4; -1]$ и определим знак производной $f'(x)$ в этой точке:

x=-2 \,\, \rightarrow \,\, f'(-2)=-((-2)^2+10\cdot (-2)+24)e^{-4-(-2)}=-(4-20+24)e^{-2}=-8e^{-2}<0.

Производная $f'(x)$ отрицательна, следовательно функция убывает. На числовой прямой ставим над промежутком знак << $-$ >>.
Возьмём произвольную точку из промежутка $x\in[-6;-4)$ и определим знак производной $f'(x)$ в этой точке: $x=-5 \,\, \rightarrow \,\, f'(-5)=-((-5)^2+10\cdot (-5)+24)e^{-4-(-5)}=-(25-50+24)e^{1}=-(-1)e^1=e^1>0.$ Производная $f'(x)$ положительна, следовательно функция возрастает. На числовой прямой ставим над промежутком знак << $+$ >>.

5. В точке $x=-4$ заданная функция имеет максимум, являющийся ее наибольшим значением на заданном отрезке.

6. Найдем это наибольшее значение: $f(-4)=(-4+6)^2e^{-4+4}=4.$

Ответ: $4$ .

Вариант 2:

Нас просят найти наибольшее значение функции. Это значит, что мы должны будем некоторое значение $x$ подставить в функцию $f(x)=(x+6)e^{-4-x},$ вычислить значение этой функции и записать его в ответ.

Мы так же помним, что ответ в первой части ЕГЭ может быть только целым числом или десятичной дробью.

Итак, нам надо поставить вместо $x$ какое-то значение и получить <<нормальный>> ответ.

Экспонента $e^{x}$ может принимать нормальные значения только при $x=0 \Rightarrow e^{0}=1$ .

В нашем случае, еще есть скобка $(x+6)$ и если они равна 0, то все выражение равно 0. Итак, нам нужно добиться такого значения $x$ , чтобы либо скобка $(x+6)=0$ , либо $e^{-4-x}=1$ .

Найдём эти значения $x$ : $\left[ \begin{gathered} x+6=0, \\ e^{-4-x}=e^{0}. \\ \end{gathered} \right. \Rightarrow \left[ \begin{gathered} x=-6, \\ -4-x=0. \\ \end{gathered} \right. \Rightarrow \left[ \begin{gathered} x=-6, \\ x=-4. \\ \end{gathered} \right.$

Если $x=-6$ , то $f(-6)=(-6+6)^2e^{-4+6}=0\cdot e^{2}=0$ .

Если $x=-4$ , то $f(-4)=(-4+6)^2e^{-4+4}=4\cdot e^{0}=4\cdot 1=4$ .

Отсюда мы понимаем, что наибольшим значением функции будет $4$ .

Ответ: $4$ .

$\Longrightarrow$ Решение задачи

$\blacktriangleright$ Пример 4.

Найдите наибольшее значение функции $f(x)=(20-x)e^{x-19}$ на отрезке $[17;29]$ .
Решение

Вариант 1:

Действуем по алгоритму:

1. Найдём область определения функции $f(x)$ .

Функция $f(x)$ определена при всех значениях $x$ .

2. Считаем производную $f'(x)$ функции $f(x)$ :

$f'(x)=((20-x)e^{x-19})^\prime=(20-x)^\prime e^{x-19}+(20-x)(e^{x-19})^\prime= -e^{x-19}+(20-x)e^{x-19}=$ $=(19-x)e^{x-19}.$

3. Найдем нули производной на заданном отрезке:

\left\{ \begin{gathered} (19-x)e^{x-19}=0, \\ 17\leqslant x \leqslant 29. \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} x-19=0, \\ 17\leqslant x \leqslant 29. \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow x=19.

Примечание: показательная функция принимает только положительные значения, поэтому $e^{x-19}\neq0$ при всех значениях $x$ .

4. Наносим критические точки на числовую прямую и расставляем знаки $f'(x)$ .

Определим знаки $f'(x)=(19-x)e^{x-19}$ :

Возьмём произвольную точку из промежутка $x\in(19; 29]$ и определим знак производной $f'(x)$ в этой точке:

x=20 \,\, \rightarrow \,\, f'(20)=(19-20)e^{20-19}=-e^1<0.

Производная $f'(x)$ отрицательна, следовательно функция убывает. На числовой прямой ставим над промежутком знак << $-$ >>.
Возьмём произвольную точку из промежутка $x\in[17;19)$ и определим знак производной $f'(x)$ в этой точке:

x=18 \,\, \rightarrow \,\, f'(18)=(19-18)e^{18-19}=e^{-1}>0.

5. В точке $x=19$ заданная функция имеет максимум, являющийся её наибольшим значением на заданном отрезке.

6. Найдём это наибольшее значение:

f(19)=(20-19)e^{19-19}=1\cdot e^0=1.

Ответ: $1$ .

Вариант 2:

Нас просят найти наибольшее значение функции. Это значит, что мы должны будем некоторое значение $x$ подставить в функцию $f(x)=(20-x)e^{x-19},$ вычислить значение этой функции и записать его в ответ.

Мы так же помним, что ответ в первой части ЕГЭ может быть только целым числом или десятичной дробью.

Итак, нам надо поставить вместо $x$ какое-то значение и получить <<нормальный>> ответ.

Экспонента $e^{x}$ может принимать нормальные значения только при $x=0 \Rightarrow e^{0}=1$ .

В нашем случае, еще есть скобка $(20-x)$ и если они равна 0, то все выражение равно 0. Итак, нам нужно добиться такого значения $x$ , чтобы либо скобка $(20-x)=0$ , либо $e^{x-19}=1$ .

Найдём эти значения $x$ : $\left[ \begin{gathered} 20-x=0, \\ e^{x-19}=e^{0}. \\ \end{gathered} \right. \Rightarrow \left[ \begin{gathered} x=20, \\ x-19=0. \\ \end{gathered} \right. \Rightarrow \left[ \begin{gathered} x=20, \\ x=19. \\ \end{gathered} \right.$

Если $x=20$ , то $f(20)=(20-20)e^{20-19}=0\cdot e^{1}=0$ .

Если $x=19$ , то $f(19)=(20-19)e^{19-19}=1\cdot e^{0}=1\cdot 1=1$ .

Отсюда мы понимаем, что наибольшим значением функции будет $1$ .

Ответ: $1$ .

$\Longrightarrow$ Решение задачи

Задачи для самостоятельного решения

1. Найти точку минимума функции $f(x)=(x+16) e^{x-16}$

2. Найти точку максимума функции $f(x)=(9-x) e^{x+9}$

3. Найти точку минимума функции $f(x)=(3-x) e^{3-x}$

4. Найти точку максимума функции $f(x)=(x+16) e^{16-x}$

5. Найти точку минимума функции $f(x)=(3x^{2}-36x+36) e^{x-36}$

6. Найти точку максимума функции $f(x)=(3x^{2}-36x+36) e^{x-36}$

7. Найти точку максимума функции $f(x)=(x^{2}-10x+10) e^{5-x}$

8. Найти точку максимума функции $f(x)=(x-2)^{2}e^{x-6}$

9. Найти точку минимума функции $f(x)=(x-2)^{2}e^{x-5}$

10. Найти точку максимума функции $f(x)=(x+6)^{2}e^{4-x}$

11. Найти точку минимума функции $f(x)=(x+3)^{2}e^{2-x}$

12. Найдите точку минимума функции $f(x)=(x^2-8x+8)e^{6-x}$

13. Найдите точку максимума функции $f(x)=(x^2-8x+8)e^{6-x}$

14. Найдите наименьшее значение функции $f(x)=(8-x)e^{9-x}$ на отрезке $[3;10]$

15. Найдите наибольшее значение функции $f(x)=(8-x)e^{x-7}$ на отрезке $[3;10]$

16. Найдите наибольшее значение функции $f(x)=(x-9)e^{10-x}$ на отрезке $[-11;11]$

17. Найдите наименьшее значение функции $f(x)=(3x^2-36x+36)e^{x-10}$ на отрезке $[8;11]$

18. Найдите наибольшее значение функции $f(x)=(3x^2-36x+36)e^{x}$ на отрезке $[-1;4]$

19. Найдите наименьшее значение функции $f(x)=(x^2-8x+8)e^{2-x}$ на отрезке $[1;7]$

20. Найдите наибольшее значение функции $f(x)=(x^2-10x+10)e^{10-x}$ на отрезке $[5;11]$

$\Longrightarrow$ Решение задачи

21. Найдите наименьшее значение функции $f(x)=(x-2)^2e^{x-2}$ на отрезке $[1;4]$

22. Найдите наибольшее значение функции $f(x)=(x-2)^2e^{x}$ на отрезке $[-5;1]$

23. Найдите наименьшее значение функции $f(x)=(x+3)^2e^{-3-x}$ на отрезке $[-5;-1]$

24. Найдите наибольшее значение функции $f(x)=(x+6)^2e^{-4-x}$ на отрезке $[-6;-1]$

$\Longrightarrow$ Решение задачи

25. Найдите наименьшее значение функции $f(x)=(x-8)e^{x-7}$ на отрезке $[6,8]$

$\Longrightarrow$ Решение задачи

26. Найдите наименьшее значение функции $f(x)=e^{2x}-6e^{x}+3$ на отрезке $[1;2]$

$\Longrightarrow$ Решение задачи

Обратите внимание:

$\Longrightarrow$ Видео, которое поможет разобраться с номером 26

Логарифмы

Теоретическая справка

Так же полезно помнить следующее:

Пусть $k$ - натуральное число. Тогда:
если $k$ - нечётное число, то верно следующее: $\log_b{a^k}=k\log_b{a}$ .
если $k$ - чётное число, то верно следующее: $\log_b{a^k}=k\log_b{|a|}$ .

Для того, чтобы при решении задач не возникло проблем, вам понадобится умение вычислять следующие производные:

h(x)=\ln{(ax+b)}, \text{\, где\,} a \text{\,и\,} b \text{ -- некоторые константы}.

Функцию $h(x)$ можно представить в виде $h(x)=f(g(x))$ , где $f(x)=\ln{x}$ , $g(x)=ax+b$ .
Далее действуем согласно нашему алгоритму:
1) Находим $f'(x)$ производную функции $f(x)=\ln{x}$ : $f'(x)=(\ln{x})'=\dfrac{1}{x}$ .
2) Подставим в найденную производную $g(x)=ax+b$ вместо каждого вхождения $x$ : $f'(g(x))=\dfrac{1}{ax+b}$ .
3) Находим $g'(x)$ производную функции $g(x)$ : $g'(x)=(ax+b)'=a$ .
4) Умножаем $f'(g(x))$ на $g'(x)$ . Получаем: $h'(x)=f'(g(x))\cdot g'(x)=\dfrac{1}{ax+b}\cdot a=\dfrac{a}{ax+b}$ .

h(x)=(ax+b)^k, \text{\, где\,} a \text{ и } b \text{ -- некоторые константы}.

Функцию $h(x)$ можно представить в виде $h(x)=f(g(x))$ , где $f(x)=x^k$ , $g(x)=ax+b$ .
Далее действуем согласно нашему алгоритму:
1) Находим $f'(x)$ производную функции $f(x)=x^k$ : $f'(x)=(x^k)'=kx^{k-1}$ .
2) Подставим в найденную производную $g(x)=ax+b$ вместо каждого вхождения $x$ : $f'(g(x))=k(ax+b)^{k-1}$ .
3) Находим $g'(x)$ производную функции $g(x)$ : $g'(x)=(ax+b)'=a$ .
4) Умножаем $f'(g(x))$ на $g'(x)$ . Получаем: $h'(x)=f'(g(x))\cdot g'(x)=k(ax+b)^{k-1}\cdot a$ .

h(x)=\ln{(ax+b)^k}, \text{\, где\,} a \text{\,и\,} b \text{ -- некоторые константы}.

Функцию $h(x)$ можно представить в виде $h(x)=f(g(x))$ , где $f(x)=\ln{x}$ , $g(x)=(ax+b)^k$ .
Далее действуем согласно нашему алгоритму:
1) Находим $f'(x)$ производную функции $f(x)=\ln{x}$ : $f'(x)=(\ln{x})'=\dfrac{1}{x}$ .
2) Подставим в найденную производную $g(x)=(ax+b)^k$ вместо каждого вхождения $x$ : $f'(g(x))=\dfrac{1}{(ax+b)^k}$ .
3) Находим $g'(x)$ производную функции $g(x)$ : $g'(x)=((ax+b)^k)'=ak(ax+b)^{k-1}$ .
4) Умножаем $f'(g(x))$ на $g'(x)$ . Получаем: $h'(x)=f'(g(x))\cdot g'(x)=\\ \\=\dfrac{1}{(ax+b)^k} \cdot ak(ax+b)^{k-1}=\dfrac{ak}{ax+b}$ .

$\Longrightarrow$ Алгоритм решения задач этого раздела

$\blacktriangleright$ Пример 1.

Найдите точку минимума функции $f(x)=10x-10\ln{(x+7)}+5$ .

Решение

Действуем по алгоритму:
1. Найдём область определения функции.

Данная функция определена для всех $x$ , при которых $x+7>0 \Leftrightarrow x>-7$ .

2. Считаем производную $f'(x)$ функции $f(x)$ :

$f'(x)=(10x-10\ln{(x+7)}+5)'=(10x)'-(10\ln{(x+7)})'+(5)'=(10x)'-(10\ln{(x+7)})'+\\ \\+(5)'=10-\dfrac{10}{x+7}$ .

Чтобы вычислить производную от $\ln{(x+7)}$ можно воспользоваться формулой для производной сложной функции:

Функцию $h(x)$ можно представить в виде $h(x)=f(g(x))$ , где $f(x)=\ln{x}$ , $g(x)=x+7$ .

Далее действуем согласно алгоритму:

1) Находим $f'(x)$ производную функции $f(x)=\ln{x}$ : $f'(x)=(\ln{x})'=\dfrac{1}{x}$ .

2) Подставим в найденную производную $g(x)=x+7$ вместо каждого вхождения $x$ : $f'(g(x))=\dfrac{1}{x+7}$ .

3) Находим $g'(x)$ производную функции $g(x)$ . $g'(x)=(x+7)'=1$ .

4) Умножаем $f'(g(x))$ на $g'(x)$ . Получаем: $h'(x)=f'(g(x))\cdot g'(x)=\dfrac{1}{x+7} \cdot 1=\dfrac{1}{x+7}$ .

3. Решаем уравнение $f'(x)=0$ . Корни уравнения это критические точки:

10-\dfrac{10}{x+7}= \Leftrightarrow 10\Big(1-\dfrac{1}{x+7}\Big)=0 \Leftrightarrow 1-\dfrac{1}{x+7}=0 \Leftrightarrow 1=\dfrac{1}{x+7} \Leftrightarrow x+7=1 \Leftrightarrow x=-6.

4. Наносим критические точки на числовую прямую и расставляем знаки $f'(x)$ .

Найденная точка $-6$ лежит на луче $(-7; +\infty)$ .
Определим знаки $f'(x)=10-\dfrac{10}{x+7}$ :

Возьмём произвольную точку из интервала $x\in(-6; +\infty)$ и определим знак производной $f'(x)$ в этой точке:

x=3 \,\, \rightarrow \,\, f'(3)=10-\dfrac{10}{3+7}=10-1=9.

Производная $f'(x)$ положительна, следовательно функция возрастает. На числовой прямой ставим над промежутком знак << $+$ >>.

Возьмём произвольную точку из интервала $x\in(-7;-6)$ и определим знак производной $f'(x)$ в этой точке:

x=-6,5 \,\, \rightarrow \,\, f'(-6,5)=10-\dfrac{10}{-6,5+7}=10-\dfrac{10}{0,5}=10-20=-10.

Производная $f'(x)$ отрицательна, следовательно функция убывает.На числовой прямой ставим над промежутком знак << $-$ >>.

5. Определим искомую точку минимума:

Искомая точка минимума $x=-6$ , так как до неё функция убывает, а после неё возрастает.

Ответ: $-6$ .

$\Longrightarrow$ Решение задачи

$\blacktriangleright$ Пример 2.

Найдите точку максимума функции $f(x)=1,5x^2-42x+120\ln{x}-10$ .
Решение

Действуем по алгоритму:
1. Найдём область определения функции.

Данная функция определена, когда логарифмируемое выражение положительно, то есть когда $x>0$ .

2. Считаем производную $f'(x)$ функции $f(x)$ :

f'(x)=3x-42+\dfrac{120}{x}.

3. Решаем уравнение $f'(x)=0$ . Корни уравнения это критические точки:

3x-42+\dfrac{120}{x}=0 \Leftrightarrow 3x^2-42x+120=0 \Leftrightarrow x^2-14x+40=0 \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} x=4, \\ x=10. \\ \end{gathered} \right.

4. Наносим критические точки на числовую прямую и расставляем знаки $f'(x)$ .

Найденные точки лежат на луче $(0; +\infty)$ . Определим знаки $f'(x)=3x-42+\dfrac{120}{x}$ :

Возьмём произвольную точку из интервала $x\in(10; +\infty)$ и определим знак производной $f'(x)$ в этой точке:

x=120 \,\, \rightarrow \,\, f'(120)=3\cdot 120-42+\dfrac{120}{120}=360-42+1=319.

Производная $f'(x)$ положительна, следовательно функция возрастает. На числовой прямой ставим над промежутком знак << $+$ >>.
Возьмём произвольную точку из интервала $x\in(4;10)$ и определим знак производной $f'(x)$ в этой точке:

x=6 \,\, \rightarrow \,\, f'(6)=3\cdot 6-42+\dfrac{120}{6}=18-42+20=-4.

Производная $f'(x)$ отрицательна, следовательно функция убывает. На числовой прямой ставим над промежутком знак << $-$ >>.
Возьмём произвольную точку из интервала $x\in(0; 4)$ и определим знак производной $f'(x)$ в этой точке:

x=3 \,\, \rightarrow \,\, f'(3)=3\cdot 3-42+\dfrac{120}{3}=9-42+40=7.

5. Определим искомую точку максимума:

Искомая точка максимума $x=4$ , так как до неё функция возрастает, а после убывает.

Ответ: $4$ .

$\Longrightarrow$ Решение задачи

$\blacktriangleright$ Пример 3.

Найдите наименьшее значение функции $f(x)=10x-\ln{(x+10)^{10}}$ на отрезке $[-9,5; 0]$ .
Решение

Вариант 1:

Действуем по алгоритму:

1. Найдём область определения функции:

Данная функция определена, когда логарифмируемое выражение положительно, то есть когда $(x+10)^{10}>0 \Leftrightarrow x\neq-10$ .

2. На данном на отрезке $[-9,5; 0]$ :

Первый способ вычисления производной:

f(x)=10x-\ln{(x+10)^{10}}=10x-10\ln{|x+10|}=10x-10\ln{(x+10)} \text{,\, т.к.\,} x \geqslant -10.

Считаем производную $f'(x)$ функции $f(x)$ :

$f'(x)=(10x-10\ln{(x+10)})'=(10x)'-10(\ln{(x+10)})'=f'(x)=10-10\dfrac{1}{x+10}=$ $=10-\dfrac{10}{x+10}.$

Чтобы вычислить производную от $\ln{(x+10)}$ можно воспользоваться формулой для производной сложной функции:

Функцию $h(x)$ можно представить в виде $h(x)=f(g(x))$ , где $f(x)=\ln{x}$ , $g(x)=x+10$ .

Далее действуем согласно нашему алгоритму:

1) Находим $f'(x)$ производную функции $f(x)=\ln{x}$ : $f'(x)=(\ln{x})'=\dfrac{1}{x}$ .

2) Подставим в найденную производную $g(x)=x+10$ вместо каждого вхождения $x$ : $f'(g(x))=\dfrac{1}{x+10}$ .

3) Находим $g'(x)$ производную функции $g(x)$ : $g'(x)=(x+10)'=1$ .

4) Умножаем $f'(g(x))$ на $g'(x)$ . Получаем: $h'(x)=f'(g(x))\cdot g'(x)=\dfrac{1}{x+10}\cdot 1=\dfrac{1}{x+10}$ .

Второй способ вычисления производной:

f'(x)=(10x-\ln{(x+10)^{10}})=(10x)'-(\ln{(x+10)^{10}})'=f'(x)=10-\dfrac{10}{x+10}.

Чтобы вычислить производную от $\ln{(x+10)^{10}}$ можно воспользоваться формулой для производной сложной функции:

Функцию $h(x)$ можно представить в виде $h(x)=f(g(x))$ , где $f(x)=\ln{x}$ ,
$g(x)=(x+10)^{10}$ .

Далее действуем согласно нашему алгоритму:

1) Находим $f'(x)$ производную функции $f(x)=\ln{x}$ : $f'(x)=(\ln{x})'=\dfrac{1}{x}$ .

2) Подставим в найденную производную $g(x)=(x+10)^{10}$ вместо каждого вхождения $x$ : $f'(g(x))=\dfrac{1}{(x+10)^{10}}$ .

3) Находим $g'(x)$ производную функции $g(x)$ : $g'(x)=((x+10)^{10})'=10\cdot(x+10)^{9}$ .

4) Умножаем $f'(g(x))$ на $g'(x)$ . Получаем:

h'(x)=f'(g(x))\cdot g'(x)=\dfrac{1}{(x+10)^{10}} \cdot 10\cdot(x+10)^{9} =\dfrac{10}{x+10}.

Заметим, что в процессе у нас возникает производная от $(x+10)^{10}$ . Посчитаем её:

Функцию $h(x)$ можно представить в виде $h(x)=f(g(x))$ , где $f(x)=x^{10}$ , $g(x)=x+10$ .

Далее действуем согласно нашему алгоритму:

1) Находим $f'(x)$ производную функции $f(x)=x^{10}$ : $f'(x)=(x^{10})'=10x^9$ .

2) Подставим в найденную производную $g(x)=x+6$ вместо каждого вхождения $x$ : $f'(g(x))=10(x+10)^9$ .

3) Находим $g'(x)$ производную функции $g(x)$ : $g'(x)=(x+10)'=1$ .

4) Умножаем $f'(g(x))$ на $g'(x)$ . Получаем: $h'(x)=f'(g(x))\cdot g'(x)=10(x+10)^9$ .

3. Решаем уравнение $f'(x)=0$ . Корни уравнения это критические точки:

\left\{ \begin{gathered} 10-\dfrac{10}{x+10}=0, \\ -9,5\leqslant x \leqslant 0. \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} \dfrac{1}{x+10}=1, \\ -9,5\leqslant x \leqslant 0. \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} x=-9, \\ -9,5\leqslant x \leqslant 0. \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow x=-9.

4. Наносим критические точки на числовую прямую и расставляем знаки $f'(x)$ .

Определим знаки $f'(x)=10-\dfrac{10}{x+10}$ :

Возьмём произвольную точку из промежутка $x\in(-9; 0]$ и определим знак производной $f'(x)$ в этой точке:

x=-5 \,\, \rightarrow \,\, f'(-5)=10-\dfrac{10}{-5+10}=10-\dfrac{10}{5}=10-2=8.

Производная $f'(x)$ положительна, следовательно функция возрастает. На числовой прямой ставим над промежутком знак << $+$ >>.
Возьмём произвольную точку из промежутка $x\in[-9,5;-9)$ и определим знак производной $f'(x)$ в этой точке:

x=-9,2 \,\, \rightarrow \,\, f'(-9,2)=10-\dfrac{10}{-9,2+10}=10-\dfrac{10}{0,8}=10-\dfrac{25}{2}=10-12,5=-2,5.

5. В точке $x=-9$ заданная функция имеет минимум, а значит в этой точке достигается наименьшее значение на отрезке.

6. Найдём это наименьшее значение:

f(-9)=10\cdot(-9)-\ln{1}=-90.

Ответ: $-90$ .

Вариант 2:

Нас просят найти значение функции. Это значит, что мы должны будем некоторое значение $x$ подставить в функцию

f(x)=10x-\ln{(x+10)^{10}},

вычислить значение этой функции и записать его в ответ.

Мы так же помним, что ответ в первой части ЕГЭ может быть только целым числом или десятичной дробью.

Итак, нам надо поставить вместо $x$ какое-то значение и получить <<нормальный>> ответ.

Логарифмическая функция $\ln{x}$ может принимать <<нормальные>> значения при <<нормальном>> $x$ только при $x=1:$

\ln{1}=0.

Мы должны найти такое значение $x$ , при котором можно вычислить $\ln{(x+10)^{10}}$ . То есть $(x+10)^{10}=1 \Rightarrow x+10=\pm 1 \Rightarrow \left[ \begin{gathered} x=-9, \\ x=-11. \\ \end{gathered} \right.$

Отрезку $x\in[-9,5;0]$ принадлежит только $x=-9$ . Значит $x=-9$ это наша искомая точка. Подставляем $x=-9$ в исходную функцию:

x=-9 \,\, \rightarrow \,\, f(-9)=10\cdot(-9)-\ln{(-9+10)^{10}}=-90-\ln{1^{10}}=-90-\ln{1}=-90.

Таким образом наименьшим значением функции

f(x)=10x-\ln{(x+10)^{10}}

на промежутке $x\in[-9,5;0]$ является $f(-9)=-90$ .

Ответ: $-90$ .

$\Longrightarrow$ Решение задачи

$\blacktriangleright$ Пример 4.

Найдите наибольшее значение функции $f(x)=\ln{(12x)}-12x+16$ на отрезке $\Big[\dfrac{1}{24};\dfrac{5}{24}\Big]$ .

Решение

Вариант 1:

Действуем по алгоритму:

1. Найдём область определения функции:

Данная функция определена, когда логарифмируемое выражение положительно, то есть когда $12x>0 \Leftrightarrow x>0$ .

2. Считаем производную $f'(x)$ функции $f(x)$ :

f'(x)=(\ln{(12x)})'-(12x)'+(16)'.

Отдельно распишем производную $h(x)=\ln{(12x)}$ :
Функцию $h(x)$ можно представить в виде $h(x)=f(g(x))$ , где $f(x)=\ln{x}$ , $g(x)=12x$ .
Далее действуем согласно нашему алгоритму:
1) Находим $f'(x)$ производную функции $f(x)=\ln{x}$ : $f'(x)=(\ln{x})'=\dfrac{1}{x}$ .

2) Подставим в найденную производную $g(x)=12x$ вместо каждого вхождения $x$ : $f'(g(x))=\dfrac{1}{12x}$ .
3) Находим $g'(x)$ производную функции $g(x)$ : $g'(x)=(12x)'=12$ .
4) Умножаем $f'(g(x))$ на $g'(x)$ . Получаем: $h'(x)=f'(g(x))\cdot g'(x)=\dfrac{1}{12x}\cdot 12=\dfrac{12}{12x}=\dfrac{1}{x}$ .
Тогда:

f'(x)=\dfrac{1}{x}-12.

3. Решаем уравнение $f'(x)=0$ . Корни уравнения это критические точки:

\left\{ \begin{gathered} \dfrac{1}{x}-12=0, \\ \dfrac{1}{24}\leqslant x \leqslant \dfrac{5}{24}. \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} x=\dfrac{1}{12}, \\ \dfrac{1}{24}\leqslant x \leqslant \dfrac{5}{24}. \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow x=\dfrac{1}{12}.

4. Наносим критические точки на числовую прямую и расставляем знаки $f'(x)$ .

Определим знаки $f'(x)=\dfrac{1}{x}-12$ :

Возьмём произвольную точку из промежутка $x\in\bigg(\dfrac{1}{12}; \dfrac{5}{24}\bigg]$ и определим знак производной $f'(x)$ в этой точке:

x=\dfrac{1}{6} \,\, \rightarrow \,\, f'\bigg(\dfrac{1}{6}\bigg)=\dfrac{1}{\frac{1}{6}}-12=6-12=-6.

Производная $f'(x)$ отрицательна, следовательно функция убывает. На числовой прямой ставим над промежутком знак << $-$ >>.
Возьмём произвольную точку из промежутка $x\in\bigg[\dfrac{1}{24};\dfrac{1}{12}\bigg)$ и определим знак производной $f'(x)$ в этой точке:

x=\dfrac{1}{16} \,\, \rightarrow \,\, f'\bigg(\dfrac{1}{16}\bigg)=\dfrac{1}{\frac{1}{16}}-12=16-12=4.

5. В точке $x=\dfrac{1}{12}$ заданная функция имеет максимум, а значит в этой точке достигается наибольшее значение на отрезке.

6. Найдём это наибольшее значение:

f\bigg(\dfrac{1}{12}\bigg)=\ln{1}-\dfrac{1}{12}\cdot 12+16=15.

Ответ: $15$ .

Вариант 2:

Нас просят найти наибольшее значение функции. Это значит, что мы должны будем найти некоторое значение $x$ , подставить его в функцию $f(x)=\ln{(12x)}-12x+16,$ вычислить значение этой функции и записать его в ответ.

Мы так же помним, что ответ в первой части ЕГЭ может быть только целым числом или десятичной дробью.

Итак, нам надо поставить вместо $x$ какое-то значение и получить <<нормальный>> ответ.

Логарифмическая функция $\ln{x}$ может принимать <<нормальные>> значения при <<нормальном>> $x$ только при $x=1:$

\ln{1}=0.

Мы должны найти такое значение $x$ , при котором можно вычислить $\ln{(12x)}$ . То есть $12x=1 \Leftrightarrow x=\dfrac{1}{12}.$

$x=\dfrac{1}{12}$ принадлежит отрезку $x\in\bigg[\dfrac{1}{24};\dfrac{5}{24}\bigg]$ . Значит $x=\dfrac{1}{12}$ это наша искомая точка. Подставляем $x=\dfrac{1}{12}$ в исходную функцию:

x=\dfrac{1}{12} \,\, \rightarrow \,\, f\bigg(\dfrac{1}{12}\bigg)=\ln{1}-\dfrac{1}{12}\cdot 12+16=15.

Таким образом наименьшим значением функции

f(x)=\ln{(12x)}-12x+16.

на промежутке $x\in\bigg[\dfrac{1}{24};\dfrac{5}{24}\bigg]$ является $f\bigg(\dfrac{1}{12}\bigg)=15$ .

Ответ: $15$ .

$\Longrightarrow$ Решение задачи

Задачи для самостоятельного решения

1. Найти наименьшее значение функции $f(x)=3x-\ln{(x+3)^{3}}$ на отрезке $[-2,5; 0]$

$\Longrightarrow$ Решение задачи

2. Найти наибольшее значение функции $f(x)=\ln{(x+5)^{5}}-5x$ на отрезке $[-4,5; 0]$

3. Найти наименьшее значение функции $f(x)=4x-4\ln{(x+7)}+6$ на отрезке

$[-6,5; 0]$

4. Найти наибольшее значение функции $f(x)=8\ln{(x+7)}-8x+3$ на отрезке

$[-6,5; 0]$

5. Найти наименьшее значение функции $f(x)=9x-\ln{9x}+3$ на отрезке $\bigg[\dfrac{1}{18};\dfrac{5}{18}\bigg]$

6. Найти наибольшее значение функции $f(x)=\ln{(11x)}-11x+9$ на отрезке $\bigg[\dfrac{1}{22};\dfrac{5}{22}\bigg]$

$\Longrightarrow$ Решение задачи

7. Найти наибольшее значение функции $f(x)=2x^{2}-13x+9\ln{x}+8$ на отрезке

$\bigg[\dfrac{13}{14};\dfrac{15}{14}\bigg]$

8. Найти наименьшее значение функции $f(x)=2x^{2}-5x+\ln{x}-3$ на отрезке

$\bigg[\dfrac{5}{6};\dfrac{7}{6}\bigg]$

9. Найти точку максимума функции $f(x)=\ln{(x+5)}-2x+9$

10. Найдите точку минимума функции $f(x)=2x-\ln(x+3)+7$

11. Найдите точку минимума функции $f(x)=3x-\ln{(x+3)^3}$

12. Найдите точку максимума функции $f(x)=\ln{(x+5)^5}-5x$

13. Найдите точку минимума функции $f(x)=4x-4\ln{(x+7)}+6$

14. Найдите точку максимума функции $f(x)=8\ln{(x+7)}-8x+3$

15. Найдите точку максимума функции $f(x)=2x^2-13x+9\ln{x}+8$

16. Найдите точку минимума функции $f(x)=2x^2-5x+\ln{x}-3$

Обратите внимание:

$\Longrightarrow$ Приемы, рассказанные в данном видео, могут здорово
упростить решение некоторых задач это раздел

Парабола

Теоретическая справка

Для решения задач этого раздела нам полезно помнить следующие формулы:
1) $(\sqrt{x})'=\Big(x^{\frac{1}{2}}\Big)'=\dfrac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}}=\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{1}{\sqrt{x}}=\dfrac{1}{2\sqrt{x}}$ ,

2) $(a^x)'=a^x\cdot\ln a$ ,

3) $(\log_a x)'=\dfrac{1}{x\cdot\ln a}$ ,

4) Если $h(x)=f(g(x))$ , то $h'(x)=f'(g(x))\cdot g'(x)$ .

Что полезно помнить про параболу?

1) Графиком функции $f(x)=ax^2+bx+c$ является парабола.

2) При $a>0$ ветви параболы направлены вверх. При $a<0$ ветви параболы направлены

вниз.
3) Координаты вершины параболы можно найти следующим образом: $x_{\text{в}}=-\dfrac{b}{2a}$ и $y_{\text{в}}=\dfrac{4ac-b^2}{4a}.$

$\Longrightarrow$ Алгоритм решения задач этого раздела

$\Longrightarrow$ Видео, которое поможет вспомнить как считать
производную сложной функции

$\Longrightarrow$ Видео, которое поможет вспомнить
метод выделения полного квадрата

$\blacktriangleright$ Пример 1.

Найдите точку максимума функции $f(x)=\sqrt{-79-18x-x^2}$ .
Решение

Вариант 1 (Используя параболу):

Квадратный корень из выражения достигает своего максимального значения, когда подкоренное выражение достигает своего максимального значения. Подкоренное выражение - это квадратный трёхчлен $-79-18x-x^2$ с отрицательным старшим коэффициентом. Графиком функции $g(x)=-79-18x-x^2$ является парабола. Ветви параболы направлены вниз. Парабола, ветви которой направлены вниз, достигает своего максимального значения в точке $x_{\text{вер}}=-\dfrac{b}{2a}$ - вершине параболы. В нашем случае - в точке $x_{\text{вер}}=-\dfrac{b}{2a}=-\dfrac{-18}{-2}=-9$ . Поэтому для нашего выражения $y=\sqrt{-79-18x-x^2}$ точкой максимума является $x=x_{\text{вер}}=-9$ .

Ответ: $-9$ .

Вариант 2 (Используя производную):

1. Найдём область определения $f(x)$ .

При $-79-18x-x^2\geqslant 0 \Leftrightarrow x^2+18x+79 \leqslant 0 \Leftrightarrow (x+9+\sqrt{2})(x+9-\sqrt{2})\leqslant 0$ .

2. Считаем производную $f'(x)$ функции $f(x)$ :

Действуем согласно нашему алгоритму:
Функция $f(x)$ представима в виде $f(x)=h(g(x))$ , где $h(x)=\sqrt{x}, g(x)=-79-18x-x^2$ .
1) Находим $h'(x)$ производную функции $h(x)=\sqrt{x}$ : $h'(x)=(\sqrt{x})'=\dfrac{1}{2\sqrt{x}}$ .
2) Подставим в найденную производную $g(x)=-79-18x-x^2$ вместо каждого вхождения $x$ : $h'(g(x))=\dfrac{1}{2\sqrt{-79-18x-x^2}}$ .
3) Находим $g'(x)$ производную функции $g(x)$ : $g'(x)=(-79-18x-x^2)'=-18-2x$ .
4) Умножаем $h'(g(x))$ на $g'(x)$ . Получаем:

f'(x)=h'(g(x))\cdot g'(x)=\dfrac{1}{2\sqrt{-79-18x-x^2}} \cdot (-18-2x)=\dfrac{-9-x}{\sqrt{-79-18x-x^2}}.

3. Решаем уравнение $f'(x)=0$ . Корни уравнения это критические точки:

\dfrac{-9-x}{\sqrt{-79-18x-x^2}}=0 \Rightarrow -9-x=0 \Rightarrow x=-9.

4. Определим, является ли найденная критическая точка $x=-9$ точкой минимума или точкой максимума. Определим знаки производной $f'(x)$ :

Возьмём произвольную точку из промежутка $x\in(-9; -9+\sqrt{2}]$ и определим знак производной $f'(x)$ в этой точке:

x=-8 \,\, \rightarrow \,\, f'(-8)=\dfrac{-9+8}{\sqrt{-79-18\cdot (-8)-(-8)^2}}=\dfrac{-1}{1}=-1.

x=-10 \,\, \rightarrow \,\, f'(-10)=\dfrac{-9+10}{\sqrt{-79-18\cdot (-10)-(-10)^2}}=\dfrac{1}{1}=1.

5. Определим искомую точку максимума:

Искомая точка максимума $x=-9$ , так как до неё функция возрастает, а после убывает.

Ответ: $-9$ .

Вариант 3 (Используя метод выделения полного квадрата):

Выделим в подкоренном выражении полный квадрат.

$\sqrt{-(79+18x+x^2)}=\sqrt{-(x^2+9\cdot 2x+81 -81 +79)}=\sqrt{-((x+9)^2-2)}=$

$=\sqrt{-(x+9)^2+2}\leqslant 2.$
Заметим, что равенство достигается, когда $(x+9)^2=0 \Leftrightarrow x+9=0 \Leftrightarrow x=-9$ .
Поэтому $x=-9$ это точка максимума.

Ответ: $-9$ .

$\Longrightarrow$ Решение задачи

$\blacktriangleright$ Пример 2.

Найдите точку минимума функции $f(x)=7^{x^2+2x+3}$ .

Решение

Вариант 1 (Используя параболу):

Функция $h(x)=7^x$ достигает своего минимума при минимально возможном значении $x$ . В нашем случае показатель степени - это квадратный трёхчлен $x^2+2x+3$ с положительным старшим коэффициентом. Графиком функции $f(x)=x^2+2x+3$ является парабола, ветви которой направлены вверх, значит она достигает своего минимального значения в точке $x_{min}=-\dfrac{b}{2a}$ – вершине параболы.

В нашем случае в точке $x_{min}=-\dfrac{b}{2a}=-\dfrac{2}{2}=-1$ . Поэтому для нашего выражения $f(x)=7^{x^2+2x+3}$ точкой минимума является $x=-1$ .

Ответ: $-1$ .

Вариант 2 (Используя производную):

1. Найдём область определения $f(x)$ .

Функция $f(x)=7^{x^2+2x+3}$ определена при всех значениях $x$ .

2. Считаем производную $f'(x)$ функции $f(x)$ :

Действуем согласно нашему алгоритму:
Функция $f(x)$ представима в виде $f(x)=h(g(x))$ , где $h(x)=7^x, g(x)=x^2+2x+3$ .
1) Находим $h'(x)$ производную функции $h(x)=7^x$ : $h'(x)=(7^x)'=\ln{7}\cdot 7^{x}$ .
2) Подставим в найденную производную $g(x)=x^2+2x+3$ вместо каждого вхождения $x$ : $h'(g(x))=\ln{7}\cdot 7^{x^2+2x+3}$ .
3) Находим $g'(x)$ производную функции $g(x)$ : $g'(x)=(x^2+2x+3)'=2x+2$ .
4) Умножаем $h'(g(x))$ на $g'(x)$ . Получаем: $f'(x)=h'(g(x))\cdot g'(x)=\ln{7}\cdot 7^{x^2+2x+3} \cdot (2x+2)$ .

3. Решаем уравнение $f'(x)=0$ . Корни уравнения это критические точки:

\ln{7}\cdot 7^{x^2+2x+3}\cdot(2x+2)=0 \Rightarrow \left[ \begin{gathered} 7^{x^2+2x+3}=0, \\ 2x+2=0. \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow 2x+2=0 \Leftrightarrow x=-1.

Примечание: показательная функция принимает только положительные значения, поэтому $7^{x^2+2x+3}\neq0$ при всех значениях $x$ .

4. Определим, является ли найденная критическая точка $x=-1$ точкой минимума или точкой максимума. Определим знаки производной $f'(x)$ :

Возьмём произвольную точку из интервала $x\in(-1; +\infty)$ и определим знак производной $f'(x)$ в этой точке:

x=0 \,\, \rightarrow \,\, f'(0)=\ln{7}\cdot 7^{0^2+2\cdot 0+3}\cdot(2\cdot 0+2)=\ln{7}\cdot 7^{3}\cdot 2>0.

Производная $f'(x)$ положительна, следовательно функция возрастает. На числовой прямой ставим над промежутком знак << $+$ >>.
Возьмём произвольную точку из интервала $x\in(-\infty; -1)$ и определим знак производной $f'(x)$ в этой точке:

x=-4 \,\, \rightarrow \,\, f'(-4)=\ln{7}\cdot 7^{(-4)^2+2\cdot (-4)+3}\cdot(2\cdot (-4)+2)=\ln{7}\cdot 7^{11}\cdot (-6)<0.

5. Определим искомую точку минимума:

Искомая точка минимума $x=-1$ , так как до неё функция убывает, а после возрастает.

Ответ: $-1$ .

Вариант 3 (Используя метод выделения полного квадрата):

Выделим в степени полный квадрат.

7^{x^2+2x+3}=7^{x^2+2\cdot 1x+1-1+3}=7^{(x+1)^2+2}\geqslant 7^2=49.

Заметим, что равенство достигается, когда $(x+1)^2=0 \Leftrightarrow x+1=0 \Leftrightarrow x=-1$ .

Поэтому $x=-1$ это точка минимума.

Ответ: $-1$ .

$\Longrightarrow$ Решение задачи

$\blacktriangleright$ Пример 3.

Найдите наименьшее значение функции $f(x)=\sqrt{x^2+22x+122}$ .
Решение

Вариант 1 (Используя параболу):

Корень из выражения достигает своего минимального значения, когда подкоренное выражение достигает своего минимального значения. Подкоренное выражение - это квадратный трёхчлен $x^2+22x+122$ с положительным старшим коэффициентом. Графиком функции $f(x)=x^2+22x+122$ является парабола, ветви которой направлены вверх, значит она достигает своего минимального значения в точке $x_{min}=-\dfrac{b}{2a}$ - вершине параболы. В нашем случае - в точке $x_{min}=-\dfrac{b}{2a}=-\dfrac{22}{2}=-11$ . Теперь нам остается найти значение функции $f(x)$ в точке $x_{min}=-11$ .

f(-11)=\sqrt{(-11)^2+22\cdot(-11) +122}=\sqrt{121-242+122}=\sqrt{1}=1.

Ответ: $1$ .

Вариант 2 (Используя производную):

1. Найдём область определения $f(x)$ .

$f(x)=\sqrt{x^2+22x+122}$ определена при условии $x^2+22x+122\geqslant 0$ . $x^2+22x+122 = x^2 + 2\cdot 11x + 11^2 + 1 = (x+11)^2+1$ , поэтому неравенство $x^2+22x+122\geqslant 0$ выполнено при $x\in \mathbb{R}$ , поэтому $f(x)$ определена при $x\in \mathbb{R}$ .

2. Считаем производную $f'(x)$ функции $f(x)$ :

Действуем согласно нашему алгоритму:
Пусть $h(x)=\sqrt{x}, g(x)=x^2+22x+122$ .
1) Находим $h'(x)$ производную функции $h(x)=\sqrt{x}$ : $h'(x)=(\sqrt{x})'=\dfrac{1}{2\sqrt{x}}$ .
2) Подставим в найденную производную $g(x)=x^2+22x+122$ вместо каждого вхождения $x$ : $h'(g(x))=\dfrac{1}{2\sqrt{x^2+22x+122}}$ .
3) Находим $g'(x)$ производную функции $g(x)$ : $g'(x)=(x^2+22x+122)'=2x+22$ .
4) Умножаем $h'(g(x))$ на $g'(x)$ . Получаем: $f'(x)=h'(g(x))\cdot g'(x)=\\ \\=\dfrac{1}{2\sqrt{x^2+22x+122}} \cdot (2x+22)=\dfrac{x+11}{x^2+22x+122}$ .

3. Решаем уравнение $f'(x)=0$ . Корни уравнения это критические точки:

\dfrac{x+11}{\sqrt{x^2+22x+122}}=0 \Rightarrow x+11=0 \Rightarrow x=-11.

4. Определим, является ли найденная критическая точка $x=-11$ точкой минимума или точкой максимума. Определим знаки производной $f'(x)$ :

Возьмём произвольную точку из интервала $x\in(-11; +\infty)$ и определим знак производной $f'(x)$ в этой точке:

x=0 \,\, \rightarrow \,\, f'(0)=\dfrac{0+11}{\sqrt{0^2+22\cdot 0+122}}=\dfrac{11}{122}>0.

Производная $f'(x)$ положительна, следовательно функция возрастает. На числовой прямой ставим над промежутком знак << $+$ >>.
Возьмём произвольную точку из интервала $x\in(-\infty; -11)$ и определим знак производной $f'(x)$ в этой точке:

x=-20 \,\, \rightarrow \,\, f'(-20)=\dfrac{-20+11}{\sqrt{(-20)^2+22\cdot (-20)+122}}=\dfrac{-9}{\sqrt{82}}<0.

5. В точке $x=-11$ заданная функция имеет минимум, являющийся её наименьшим значением.

6. Найдём наименьшее значение:

f(-11)=\sqrt{11^2-22\cdot11+122}=\sqrt{121-242+122}=\sqrt{1}=1.

Ответ: $1$ .

Вариант 3 (Используя метод выделения полного квадрата):

Выделим в подкоренном выражении полный квадрат.

$\sqrt{x^2+22x+122}=\sqrt{x^2+2\cdot11x+121-121+122}=\sqrt{x^2+22x+121+1}=$

$=\sqrt{(x+11)^2+1}\geqslant 1.$
Заметим, что равенство достигается, когда $(x+11)^2=0 \Leftrightarrow x+11=0 \Leftrightarrow x=-11$ .
Поэтому $x=-11$ это точка минимума.

Наименьшее значение функции достигается при $x=-11$ , значит наименьшее значение $f(-11)=1.$

Ответ: $1$ .

$\Longrightarrow$ Решение задачи

$\blacktriangleright$ Пример 4.

Найдите наибольшее значение функции $f(x)= \log_{\frac{1}{3}}{(x^2+6x+12)}$ .
Решение

Вариант 1 (Используя параболу)

Функция $\log_{\frac{1}{3}}{x}$ убывающая, так как основание логарифма $\dfrac{1}{3}$ меньше $1$ . Значит, чем больше логарифмическое выражение $x$ , тем меньше значение $\log_{\frac{1}{3}}{x}$ .

Поэтому $g(x)=\log_{\frac{1}{3}}{x}$ достигает своего максимального значения, когда логарифмируемое выражение достигает своего минимального значения. Логарифмируемое выражение - это квадратный трёхчлен $x^2+6x+12$ с положительным старшим коэффициентом. Графиком функции $f(x)=x^2+6x+12$ является парабола, ветви которой направлены вверх. Парабола с ветвями вверх достигает своего наименьшего значения в точке $x_{\text{вер}}=-\dfrac{b}{2a}$ – вершине параболы. В нашем случае - в точке $x_{\text{вер}}=-\dfrac{b}{2a}=-\dfrac{6}{2}=-3$ . Теперь нам остается найти значение функции $f(x)$ в точке $x_{\text{вер}}=-3$ .

f(-3)= \log_{\frac{1}{3}}{((-3)^2+6\cdot(-3)+12)}=\log_{\frac{1}{3}}{(9-18+12)}=\log_{\frac{1}{3}}{3}=-1.

Таким образом наибольшее значение функции достигается в точке $-3$ и равно $-1$ .

Ответ: $-1$ .

Вариант 2 (Используя производную):

1. Найдём область определения $f(x)$ .

Функция $f(x)=\log_{\frac{1}{3}}{(x^2+6x+12)}$ определена при всех значениях $x$ .
Действительно, $x^2+6x+12 = x^2 + 6x + 9 + 3 = (x+3)^2 + 2>0$ .

2. Считаем производную $f'(x)$ функции $f(x)$ :

Действуем согласно нашему алгоритму:
Пусть $h(x)=\log_{\frac{1}{3}}{x}, g(x)=x^2+6x+12$ .
1) Находим $h'(x)$ производную функции $h(x)=\log_{\frac{1}{3}}{x}$ :

h'(x)=(\log_{\frac{1}{3}}{x})'=\dfrac{1}{\ln{\Big(\dfrac{1}{3}\Big)}\cdot x}=\dfrac{1}{\ln{(3^{-1})}\cdot x}=\dfrac{1}{-\ln{(3)}\cdot x}.

2) Подставим в найденную производную $g(x)=x^2+6x+12$ вместо каждого вхождения $x$ : $h'(g(x))=\dfrac{1}{-\ln{(3)}\cdot (x^2+6x+12)}$ .
3) Находим $g'(x)$ производную функции $g(x) = x^2+6x+12$ : $g'(x)=(x^2+6x+12)'=2x+6$ .
4) Умножаем $h'(g(x))$ на $g'(x)$ . Получаем: $f'(x)=h'(g(x))\cdot g'(x)=\\ \\=-\dfrac{1}{\ln{(3)}\cdot (x^2+6x+12)}\cdot (2x+6)=-\dfrac{2x+6}{\ln{(3)}\cdot (x^2+6x+12)}$ .

3. Решаем уравнение $f'(x)=0$ . Корни уравнения это критические точки:

-\dfrac{2x+6}{\ln{3}\cdot (x^2+6x+12)}=0 \Rightarrow -2x-6=0 \Rightarrow -2x=6 \Rightarrow x=-3.

4. Определим, является ли найденная критическая точка $x=-3$ точкой минимума или точкой максимума. Определим знаки производной $f'(x)$ :

Возьмём произвольную точку из интервала $x\in(-3; +\infty)$ и определим знак производной $f'(x)$ в этой точке:

x=0 \,\, \rightarrow \,\, f'(0)=-\dfrac{2\cdot 0+6}{\ln{3}\cdot (0^2+6\cdot 0+12)}=-\dfrac{6}{\ln{(3)}\cdot 12}<0.

Производная $f'(x)$ отрицательна, следовательно функция убывает. На числовой прямой ставим над промежутком знак << $-$ >>.
Возьмём произвольную точку из интервала $x\in(-\infty; -3)$ и определим знак производной $f'(x)$ в этой точке:

x=-5 \,\, \rightarrow \,\, f'(-5)=-\dfrac{2\cdot (-5)+6}{\ln{3}\cdot ((-5)^2+6\cdot (-5)+12)}=-\dfrac{-4}{7}=\dfrac{4}{7}>0.

5. В точке $x=-3$ заданная функция имеет максимум, так как до него функция возрастает, а после него убывает. В этой точке функция $f(x)$ достигает своего наибольшего значения.

6. Найдём значение функции $f(x)$ в точке $x=-3$ :

f(-3)=\log_{\frac{1}{3}}{(3^2+6\cdot (-3)+12)}=\log_{\frac{1}{3}}{(9-18+12)}=\log_{\frac{1}{3}}{3}=-1.

Ответ: $-1$ .

Вариант 3 (Используя метод выделения полного квадрата):

Выделим в логарифмируемом выражении полный квадрат.

\log_{\frac{1}{3}}{(x^2+6x+12)}=\log_{\frac{1}{3}}{(x^2+2\cdot3\cdot x+3^2-3^2+12)}=\log_{\frac{1}{3}}{((x+3)^2+3)}.

Функция $\log_{\frac{1}{3}}{x}$ убывающая, так как основание логарифма $\dfrac{1}{3}$ меньше $1$ . Значит чем больше логарифмическое выражение $x$ , тем меньше значение $\log_{\frac{1}{3}}{x}$ .

Заметим, что равенство достигается при $x=-3$ , поэтому:

$\log_{\frac{1}{3}}{((x+3)^2+3)}\leqslant \log_{\frac{1}{3}}{3}=-1$ .

Ответ: $-1$ .

$\Longrightarrow$ Решение задачи

Задачи для самостоятельного решения

1. Найдите точку максимума функции $f(x)=\sqrt{4-4x-x^2}$

2. Найдите точку минимума функции $f(x)=\sqrt{x^2-6x+11}$

3. Найдите наименьшее значение функции $f(x)=\sqrt{x^2-6x+13}$

4. Найдите наибольшее значение функции $f(x)=\sqrt{5-4x-x^2}$

$\Longrightarrow$ Решение задачи

5. Найдите точку максимума функции $f(x)=\log_2{(2+2x-x^2)}-2$

$\Longrightarrow$ Решение задачи

6. Найдите точку минимума функции $f(x)=\log_2{(x^2-6x+12)}+2$

7. Найдите наименьшее значение функции $f(x)=\log_3{(x^2-6x+10)}+2$

8. Найдите наибольшее значение функции $f(x)=\log_5{(4-2x-x^2)}+3$

$\Longrightarrow$ Решение задачи

9. Найдите точку максимума функции $f(x)=11^{6x-x^2}$

10. Найдите точку минимума функции $f(x)=7^{x^2+2x+3}$

11. Найдите наименьшее значение функции $f(x)=2^{x^2+2x+5}$

$\Longrightarrow$ Решение задачи

12. Найдите наибольшее значение функции $f(x)=3^{-7-6x-x^2}$

Ответы

Многочлены

$2$ ;
$-2$ ;
$-9$ ;
$23$ ;
$6$ ;
$0$ ;
$0$ ;
$108$ ;
$-3$ ;
$3$ ;
$-25$ ;
$11$ ;
$3$ ;
$-3$ ;
$-13$ ;
$23$ ;
$4$ ;
$4$ ;
$0$ ;
$-2$ ;
$1$ ;
$3$ ;
$1$ ;
$-109$ ;
$2$ ;
$-3$ ;
$-1$ ;
$5$ ;
$10$ .

Иррациональная функция

$4$ ;
$-3$ ;
$4$ ;
$-8$ ;
$4$ ;
$1$ ;
$9$ ;
$10$ ;
$4$ ;
$-3$ ;
$4$ ;
$-8$ ;
$4$ ;
$1$ ;
$9$ ;
$10$ .

Дробно-рациональная функция

$17$ ;
$-1$ ;
$10$ ;
$-10$ ;
$-4$ ;
$5$ ;
$12$ ;
$-6$ ;
$-17$ ;
$1$ .

Тригонометрия

$12$ ;
$-2$ ;
$5$ ;
$6$ ;
$11$ ;
$1$ ;
$-5$ ;
$12$ ;
$-1$ ;
$4$ ;
$1,5$ ;
$0,5$ ;
$-5$ ;
$18$ ;
$12$ ;
$-2$ .

Тригонометрическая функция, производная которой не обращается в 0

$9$ ;
$5$ ;
$16$ ;
$9$ ;
$11$ ;
$32$ ;
$15$ ;
$6$ ;
$5$ ;
$9$ ;
$11$ ;
$3$ .

Показательная функция

$-17$ ;
$8$ ;
$4$ ;
$-15$ ;
$10$ ;
$0$ ;
$10$ ;
$0$ ;
$2$ ;
$-4$ ;
$-3$ ;
$2$ ;
$8$ ;
$-1$ ;
$1$ ;
$1$ ;
$-24$ ;
$36$ ;
$-4$ ;
$10$ ;
$0$ ;
$4$ ;
$0$ ;
$4$ ;
$-1$ ;
$-6$ .

Логарифмы

$-6$ ;
$20$ ;
$-18$ ;
$51$ ;
$4$ ;
$8$ ;
$-3$ ;
$-6$ ;
$-4,5$ ;
$-2,5$ ;
$-2$ ;
$-4$ ;
$-6$ ;
$-6$ ;
$1$ ;
$1$ .

Парабола

$-2$ ;
$-2$ ;
$2$ ;
$2$ ;
$1$ ;
$1$ ;
$2$ ;
$4$ ;
$3$ ;
$-1$ ;
$16$ ;
$9$ .

Производная для ЕГЭ

Определения

Достаточное условие монотонности функции

Необходимое условие экстремума

Достаточное условие экстремума

Алгоритм поиска точек \({min/max}\) функции \({y=f(x)}\)

Алгоритм поиска наибольшего/наименьшего значения функции \(y=f(x)\) на отрезке \([a;b]\)

Основные формулы производных

Правила дифференцирования

Задачи

Многочлены

Теоретическая справка

Задачи для самостоятельного решения

Иррациональная функция

Теоретическая справка

Задачи для самостоятельного решения

Дробно-рациональная функция

Теоретическая справка

Задачи для самостоятельного решения

Тригонометрическая функция

Теоретическая справка

Задачи для самостоятельного решения

Тригонометрическая функция, производная которой не обращается в ноль

Теоретическая справка

Задачи для самостоятельного решения

Показательная функция.

Теоретическая справка

Задачи для самостоятельного решения

Логарифмы

Теоретическая справка

Задачи для самостоятельного решения

Парабола

Теоретическая справка

Задачи для самостоятельного решения

Ответы

Многочлены

Иррациональная функция

Дробно-рациональная функция

Тригонометрия

Тригонометрическая функция, производная которой не обращается в 0

Показательная функция

Логарифмы

Парабола

Алгоритм поиска точек ${min/max}$ функции ${y=f(x)}$

Алгоритм поиска наибольшего/наименьшего значения функции $y=f(x)$ на отрезке $[a;b]$