5 Алгоритм поиска точек {min/max} функции {y=f(x)}
Алгоритм поиска точек \({min/max}\) функции \({y=f(x)}\)
1. Находим область определения \(D(f)\) функции \(f(x)\).
2. Вычисляем производную \(f'(x)\) функции \(f(x)\).
3. Решаем уравнение \(f'(x)=0\). Корни уравнения, попавшие в \(D(f)\), \(-\) также критические точки.
4. Наносим \(D(f)\) и все найденные критические точки на числовую прямую и расставляем знаки \(f'(x)\), производной функции \(f(x)\), в полученных промежутках. Если значение производной в точке промежутка положительно, то на рисунке над промежутком ставим знак <<\(+\)>> и делаем вывод, что функция возрастает на промежутке. Если значение производной в точке промежутка отрицательно, то на рисунке над промежутком ставим знак <<\(-\)>> и делаем вывод, что функция убывает на промежутке.
5. Делаем выводы про найденные критические точки:
\(x_0\) – точка \(\max\).
\(x_0\) не точка \(\max\) и не точка \(\min\).
\(x_0\) – точка \(\min\).
\(x_0\) не точка \(\max\) и не точка \(\min\).
Обратите внимание, что точка экстремума, это всегда точка в которой существует функция. Не может точка, в которой не существует функция, быть точкой экстремума.
Чтобы понять, как расставить знаки производной функции \(f(x)\) на координатной прямой разберём пример.
\(\blacktriangleright\) Пример. Найти экстремумы функции \(f(x)=-x^3+12x+7\).
1. Область определения функции - все действительные числа.
2. Посчитаем производную функции: \(f'(x)=-3x^2+12\).
3. Решаем уравнение \(f'(x)=0\). Корни уравнения это критические точки:
\(-3x^2+12=0 \Leftrightarrow x^2=4 \Leftrightarrow \left[
\begin{gathered}
x=-2,
\\
x=2.
\\
\end{gathered}
\right.\)
4. Нанесём критические точки на координатную прямую.
Они разобьют нашу координатную прямую на три промежутка:
Первый промежуток: \(x\in(2; +\infty)\).
Второй промежуток: \(x\in(-2;2)\).
Третий промежуток: \(x\in(-\infty; -2)\).
Теперь определим знак \(f'(x)\) в каждом из полученных промежутков.
Для этого выбираем произвольную точку \(x_0\) в каждом из трех промежутков и определяем знак \(f'(x_0)\):
1) \(x\in(2; +\infty)\): Возьмём из этого промежутка точку \(x_0=100\). Подставляем \(x_0=100\) в производную: \(y'(100)=-3\cdot 100^2+12\). Даже не вычисляя значение производной, мы можем увидеть, что оно меньше 0. Тогда знак \(f'(x)\) на этом интервале <<\(-\)>>.
2) \(x\in(-2;2)\): Возьмём из этого промежутка точку \(x_0=0\) (когда \(0\) входит в интервал, очень удобно взять именно \(x_0=0\)). Подставляем \(x_0=0\) в производную: \(y'(0)=-3\cdot 0^3+12=12\). Значение производной в точке \(x_0\) положительно, тогда знак \(f'(x)\) на этом интервале <<\(+\)>>.
3) \(x\in(-\infty; -2)\): Возьмём из этого промежутка точку \(x_0=-100\). Подставляем в производную: \(y'(-100)=-3\cdot(-100)^2+12\). Аналогично интервалу \(x\in(2;+\infty)\) видим, что значение меньше 0. Тогда знак \(f'(x)\) на этом интервале <<\(-\)>>.
5. Изобразим полученные результаты на координатной прямой:
Получили, что у функции две точки экстремума.
Точка минимума \(x_{min}=-2\), точка максимума \(x_{max}=2\).
Найдём минимум и максимум этой функции, для этого подставим найденные точки в функцию.
Минимум равен \(f_{min}=f(-2)=-(-2)^3+12(-2)+7=8-24+7=-9\).
Максимум равен \(f_{max}=f(2)=-2^3+12\cdot2+7=-8+24+7=23\).