15 Логарифмы

Логарифмы

Теоретическая справка

Так же полезно помнить следующее:

Пусть $k$ - натуральное число. Тогда:
если $k$ - нечётное число, то верно следующее: $\log_b{a^k}=k\log_b{a}$ .
если $k$ - чётное число, то верно следующее: $\log_b{a^k}=k\log_b{|a|}$ .

Для того, чтобы при решении задач не возникло проблем, вам понадобится умение вычислять следующие производные:

h(x)=\ln{(ax+b)}, \text{\, где\,} a \text{\,и\,} b \text{ -- некоторые константы}.

Функцию $h(x)$ можно представить в виде $h(x)=f(g(x))$ , где $f(x)=\ln{x}$ , $g(x)=ax+b$ .
Далее действуем согласно нашему алгоритму:
1) Находим $f'(x)$ производную функции $f(x)=\ln{x}$ : $f'(x)=(\ln{x})'=\dfrac{1}{x}$ .
2) Подставим в найденную производную $g(x)=ax+b$ вместо каждого вхождения $x$ : $f'(g(x))=\dfrac{1}{ax+b}$ .
3) Находим $g'(x)$ производную функции $g(x)$ : $g'(x)=(ax+b)'=a$ .
4) Умножаем $f'(g(x))$ на $g'(x)$ . Получаем: $h'(x)=f'(g(x))\cdot g'(x)=\dfrac{1}{ax+b}\cdot a=\dfrac{a}{ax+b}$ .

h(x)=(ax+b)^k, \text{\, где\,} a \text{ и } b \text{ -- некоторые константы}.

Функцию $h(x)$ можно представить в виде $h(x)=f(g(x))$ , где $f(x)=x^k$ , $g(x)=ax+b$ .
Далее действуем согласно нашему алгоритму:
1) Находим $f'(x)$ производную функции $f(x)=x^k$ : $f'(x)=(x^k)'=kx^{k-1}$ .
2) Подставим в найденную производную $g(x)=ax+b$ вместо каждого вхождения $x$ : $f'(g(x))=k(ax+b)^{k-1}$ .
3) Находим $g'(x)$ производную функции $g(x)$ : $g'(x)=(ax+b)'=a$ .
4) Умножаем $f'(g(x))$ на $g'(x)$ . Получаем: $h'(x)=f'(g(x))\cdot g'(x)=k(ax+b)^{k-1}\cdot a$ .

h(x)=\ln{(ax+b)^k}, \text{\, где\,} a \text{\,и\,} b \text{ -- некоторые константы}.

Функцию $h(x)$ можно представить в виде $h(x)=f(g(x))$ , где $f(x)=\ln{x}$ , $g(x)=(ax+b)^k$ .
Далее действуем согласно нашему алгоритму:
1) Находим $f'(x)$ производную функции $f(x)=\ln{x}$ : $f'(x)=(\ln{x})'=\dfrac{1}{x}$ .
2) Подставим в найденную производную $g(x)=(ax+b)^k$ вместо каждого вхождения $x$ : $f'(g(x))=\dfrac{1}{(ax+b)^k}$ .
3) Находим $g'(x)$ производную функции $g(x)$ : $g'(x)=((ax+b)^k)'=ak(ax+b)^{k-1}$ .
4) Умножаем $f'(g(x))$ на $g'(x)$ . Получаем: $h'(x)=f'(g(x))\cdot g'(x)=\\ \\=\dfrac{1}{(ax+b)^k} \cdot ak(ax+b)^{k-1}=\dfrac{ak}{ax+b}$ .

$\Longrightarrow$ Алгоритм решения задач этого раздела

$\blacktriangleright$ Пример 1.

Найдите точку минимума функции $f(x)=10x-10\ln{(x+7)}+5$ .

Решение

Действуем по алгоритму:
1. Найдём область определения функции.

Данная функция определена для всех $x$ , при которых $x+7>0 \Leftrightarrow x>-7$ .

2. Считаем производную $f'(x)$ функции $f(x)$ :

$f'(x)=(10x-10\ln{(x+7)}+5)'=(10x)'-(10\ln{(x+7)})'+(5)'=(10x)'-(10\ln{(x+7)})'+\\ \\+(5)'=10-\dfrac{10}{x+7}$ .

Чтобы вычислить производную от $\ln{(x+7)}$ можно воспользоваться формулой для производной сложной функции:

Функцию $h(x)$ можно представить в виде $h(x)=f(g(x))$ , где $f(x)=\ln{x}$ , $g(x)=x+7$ .

Далее действуем согласно алгоритму:

1) Находим $f'(x)$ производную функции $f(x)=\ln{x}$ : $f'(x)=(\ln{x})'=\dfrac{1}{x}$ .

2) Подставим в найденную производную $g(x)=x+7$ вместо каждого вхождения $x$ : $f'(g(x))=\dfrac{1}{x+7}$ .

3) Находим $g'(x)$ производную функции $g(x)$ . $g'(x)=(x+7)'=1$ .

4) Умножаем $f'(g(x))$ на $g'(x)$ . Получаем: $h'(x)=f'(g(x))\cdot g'(x)=\dfrac{1}{x+7} \cdot 1=\dfrac{1}{x+7}$ .

3. Решаем уравнение $f'(x)=0$ . Корни уравнения это критические точки:

10-\dfrac{10}{x+7}= \Leftrightarrow 10\Big(1-\dfrac{1}{x+7}\Big)=0 \Leftrightarrow 1-\dfrac{1}{x+7}=0 \Leftrightarrow 1=\dfrac{1}{x+7} \Leftrightarrow x+7=1 \Leftrightarrow x=-6.

4. Наносим критические точки на числовую прямую и расставляем знаки $f'(x)$ .

Найденная точка $-6$ лежит на луче $(-7; +\infty)$ .
Определим знаки $f'(x)=10-\dfrac{10}{x+7}$ :

Возьмём произвольную точку из интервала $x\in(-6; +\infty)$ и определим знак производной $f'(x)$ в этой точке:

x=3 \,\, \rightarrow \,\, f'(3)=10-\dfrac{10}{3+7}=10-1=9.

Производная $f'(x)$ положительна, следовательно функция возрастает. На числовой прямой ставим над промежутком знак << $+$ >>.

Возьмём произвольную точку из интервала $x\in(-7;-6)$ и определим знак производной $f'(x)$ в этой точке:

x=-6,5 \,\, \rightarrow \,\, f'(-6,5)=10-\dfrac{10}{-6,5+7}=10-\dfrac{10}{0,5}=10-20=-10.

Производная $f'(x)$ отрицательна, следовательно функция убывает.На числовой прямой ставим над промежутком знак << $-$ >>.

5. Определим искомую точку минимума:

Искомая точка минимума $x=-6$ , так как до неё функция убывает, а после неё возрастает.

Ответ: $-6$ .

$\Longrightarrow$ Решение задачи

$\blacktriangleright$ Пример 2.

Найдите точку максимума функции $f(x)=1,5x^2-42x+120\ln{x}-10$ .
Решение

Действуем по алгоритму:
1. Найдём область определения функции.

Данная функция определена, когда логарифмируемое выражение положительно, то есть когда $x>0$ .

2. Считаем производную $f'(x)$ функции $f(x)$ :

f'(x)=3x-42+\dfrac{120}{x}.

3. Решаем уравнение $f'(x)=0$ . Корни уравнения это критические точки:

3x-42+\dfrac{120}{x}=0 \Leftrightarrow 3x^2-42x+120=0 \Leftrightarrow x^2-14x+40=0 \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} x=4, \\ x=10. \\ \end{gathered} \right.

4. Наносим критические точки на числовую прямую и расставляем знаки $f'(x)$ .

Найденные точки лежат на луче $(0; +\infty)$ . Определим знаки $f'(x)=3x-42+\dfrac{120}{x}$ :

Возьмём произвольную точку из интервала $x\in(10; +\infty)$ и определим знак производной $f'(x)$ в этой точке:

x=120 \,\, \rightarrow \,\, f'(120)=3\cdot 120-42+\dfrac{120}{120}=360-42+1=319.

Производная $f'(x)$ положительна, следовательно функция возрастает. На числовой прямой ставим над промежутком знак << $+$ >>.
Возьмём произвольную точку из интервала $x\in(4;10)$ и определим знак производной $f'(x)$ в этой точке:

x=6 \,\, \rightarrow \,\, f'(6)=3\cdot 6-42+\dfrac{120}{6}=18-42+20=-4.

Производная $f'(x)$ отрицательна, следовательно функция убывает. На числовой прямой ставим над промежутком знак << $-$ >>.
Возьмём произвольную точку из интервала $x\in(0; 4)$ и определим знак производной $f'(x)$ в этой точке:

x=3 \,\, \rightarrow \,\, f'(3)=3\cdot 3-42+\dfrac{120}{3}=9-42+40=7.

Производная $f'(x)$ положительна, следовательно функция возрастает. На числовой прямой ставим над промежутком знак << $+$ >>.

5. Определим искомую точку максимума:

Искомая точка максимума $x=4$ , так как до неё функция возрастает, а после убывает.

Ответ: $4$ .

$\Longrightarrow$ Решение задачи

$\blacktriangleright$ Пример 3.

Найдите наименьшее значение функции $f(x)=10x-\ln{(x+10)^{10}}$ на отрезке $[-9,5; 0]$ .
Решение

Вариант 1:

Действуем по алгоритму:

1. Найдём область определения функции:

Данная функция определена, когда логарифмируемое выражение положительно, то есть когда $(x+10)^{10}>0 \Leftrightarrow x\neq-10$ .

2. На данном на отрезке $[-9,5; 0]$ :

Первый способ вычисления производной:

f(x)=10x-\ln{(x+10)^{10}}=10x-10\ln{|x+10|}=10x-10\ln{(x+10)} \text{,\, т.к.\,} x \geqslant -10.

Считаем производную $f'(x)$ функции $f(x)$ :

$f'(x)=(10x-10\ln{(x+10)})'=(10x)'-10(\ln{(x+10)})'=f'(x)=10-10\dfrac{1}{x+10}=$ $=10-\dfrac{10}{x+10}.$

Чтобы вычислить производную от $\ln{(x+10)}$ можно воспользоваться формулой для производной сложной функции:

Функцию $h(x)$ можно представить в виде $h(x)=f(g(x))$ , где $f(x)=\ln{x}$ , $g(x)=x+10$ .

Далее действуем согласно нашему алгоритму:

1) Находим $f'(x)$ производную функции $f(x)=\ln{x}$ : $f'(x)=(\ln{x})'=\dfrac{1}{x}$ .

2) Подставим в найденную производную $g(x)=x+10$ вместо каждого вхождения $x$ : $f'(g(x))=\dfrac{1}{x+10}$ .

3) Находим $g'(x)$ производную функции $g(x)$ : $g'(x)=(x+10)'=1$ .

4) Умножаем $f'(g(x))$ на $g'(x)$ . Получаем: $h'(x)=f'(g(x))\cdot g'(x)=\dfrac{1}{x+10}\cdot 1=\dfrac{1}{x+10}$ .

Второй способ вычисления производной:

f'(x)=(10x-\ln{(x+10)^{10}})=(10x)'-(\ln{(x+10)^{10}})'=f'(x)=10-\dfrac{10}{x+10}.

Чтобы вычислить производную от $\ln{(x+10)^{10}}$ можно воспользоваться формулой для производной сложной функции:

Функцию $h(x)$ можно представить в виде $h(x)=f(g(x))$ , где $f(x)=\ln{x}$ ,
$g(x)=(x+10)^{10}$ .

Далее действуем согласно нашему алгоритму:

1) Находим $f'(x)$ производную функции $f(x)=\ln{x}$ : $f'(x)=(\ln{x})'=\dfrac{1}{x}$ .

2) Подставим в найденную производную $g(x)=(x+10)^{10}$ вместо каждого вхождения $x$ : $f'(g(x))=\dfrac{1}{(x+10)^{10}}$ .

3) Находим $g'(x)$ производную функции $g(x)$ : $g'(x)=((x+10)^{10})'=10\cdot(x+10)^{9}$ .

4) Умножаем $f'(g(x))$ на $g'(x)$ . Получаем:

h'(x)=f'(g(x))\cdot g'(x)=\dfrac{1}{(x+10)^{10}} \cdot 10\cdot(x+10)^{9} =\dfrac{10}{x+10}.

Заметим, что в процессе у нас возникает производная от $(x+10)^{10}$ . Посчитаем её:

Функцию $h(x)$ можно представить в виде $h(x)=f(g(x))$ , где $f(x)=x^{10}$ , $g(x)=x+10$ .

Далее действуем согласно нашему алгоритму:

1) Находим $f'(x)$ производную функции $f(x)=x^{10}$ : $f'(x)=(x^{10})'=10x^9$ .

2) Подставим в найденную производную $g(x)=x+6$ вместо каждого вхождения $x$ : $f'(g(x))=10(x+10)^9$ .

3) Находим $g'(x)$ производную функции $g(x)$ : $g'(x)=(x+10)'=1$ .

4) Умножаем $f'(g(x))$ на $g'(x)$ . Получаем: $h'(x)=f'(g(x))\cdot g'(x)=10(x+10)^9$ .

3. Решаем уравнение $f'(x)=0$ . Корни уравнения это критические точки:

\left\{ \begin{gathered} 10-\dfrac{10}{x+10}=0, \\ -9,5\leqslant x \leqslant 0. \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} \dfrac{1}{x+10}=1, \\ -9,5\leqslant x \leqslant 0. \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} x=-9, \\ -9,5\leqslant x \leqslant 0. \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow x=-9.

4. Наносим критические точки на числовую прямую и расставляем знаки $f'(x)$ .

Определим знаки $f'(x)=10-\dfrac{10}{x+10}$ :

Возьмём произвольную точку из промежутка $x\in(-9; 0]$ и определим знак производной $f'(x)$ в этой точке:

x=-5 \,\, \rightarrow \,\, f'(-5)=10-\dfrac{10}{-5+10}=10-\dfrac{10}{5}=10-2=8.

Производная $f'(x)$ положительна, следовательно функция возрастает. На числовой прямой ставим над промежутком знак << $+$ >>.
Возьмём произвольную точку из промежутка $x\in[-9,5;-9)$ и определим знак производной $f'(x)$ в этой точке:

x=-9,2 \,\, \rightarrow \,\, f'(-9,2)=10-\dfrac{10}{-9,2+10}=10-\dfrac{10}{0,8}=10-\dfrac{25}{2}=10-12,5=-2,5.

Производная $f'(x)$ отрицательна, следовательно функция убывает. На числовой прямой ставим над промежутком знак << $-$ >>.

5. В точке $x=-9$ заданная функция имеет минимум, а значит в этой точке достигается наименьшее значение на отрезке.

6. Найдём это наименьшее значение:

f(-9)=10\cdot(-9)-\ln{1}=-90.

Ответ: $-90$ .

Вариант 2:

Нас просят найти значение функции. Это значит, что мы должны будем некоторое значение $x$ подставить в функцию

f(x)=10x-\ln{(x+10)^{10}},

вычислить значение этой функции и записать его в ответ.

Мы так же помним, что ответ в первой части ЕГЭ может быть только целым числом или десятичной дробью.

Итак, нам надо поставить вместо $x$ какое-то значение и получить <<нормальный>> ответ.

Логарифмическая функция $\ln{x}$ может принимать <<нормальные>> значения при <<нормальном>> $x$ только при $x=1:$

\ln{1}=0.

Мы должны найти такое значение $x$ , при котором можно вычислить $\ln{(x+10)^{10}}$ . То есть $(x+10)^{10}=1 \Rightarrow x+10=\pm 1 \Rightarrow \left[ \begin{gathered} x=-9, \\ x=-11. \\ \end{gathered} \right.$

Отрезку $x\in[-9,5;0]$ принадлежит только $x=-9$ . Значит $x=-9$ это наша искомая точка. Подставляем $x=-9$ в исходную функцию:

x=-9 \,\, \rightarrow \,\, f(-9)=10\cdot(-9)-\ln{(-9+10)^{10}}=-90-\ln{1^{10}}=-90-\ln{1}=-90.

Таким образом наименьшим значением функции

f(x)=10x-\ln{(x+10)^{10}}

на промежутке $x\in[-9,5;0]$ является $f(-9)=-90$ .

Ответ: $-90$ .

$\Longrightarrow$ Решение задачи

$\blacktriangleright$ Пример 4.

Найдите наибольшее значение функции $f(x)=\ln{(12x)}-12x+16$ на отрезке $\Big[\dfrac{1}{24};\dfrac{5}{24}\Big]$ .

Решение

Вариант 1:

Действуем по алгоритму:

1. Найдём область определения функции:

Данная функция определена, когда логарифмируемое выражение положительно, то есть когда $12x>0 \Leftrightarrow x>0$ .

2. Считаем производную $f'(x)$ функции $f(x)$ :

f'(x)=(\ln{(12x)})'-(12x)'+(16)'.

Отдельно распишем производную $h(x)=\ln{(12x)}$ :
Функцию $h(x)$ можно представить в виде $h(x)=f(g(x))$ , где $f(x)=\ln{x}$ , $g(x)=12x$ .
Далее действуем согласно нашему алгоритму:
1) Находим $f'(x)$ производную функции $f(x)=\ln{x}$ : $f'(x)=(\ln{x})'=\dfrac{1}{x}$ .

2) Подставим в найденную производную $g(x)=12x$ вместо каждого вхождения $x$ : $f'(g(x))=\dfrac{1}{12x}$ .
3) Находим $g'(x)$ производную функции $g(x)$ : $g'(x)=(12x)'=12$ .
4) Умножаем $f'(g(x))$ на $g'(x)$ . Получаем: $h'(x)=f'(g(x))\cdot g'(x)=\dfrac{1}{12x}\cdot 12=\dfrac{12}{12x}=\dfrac{1}{x}$ .
Тогда:

f'(x)=\dfrac{1}{x}-12.

3. Решаем уравнение $f'(x)=0$ . Корни уравнения это критические точки:

\left\{ \begin{gathered} \dfrac{1}{x}-12=0, \\ \dfrac{1}{24}\leqslant x \leqslant \dfrac{5}{24}. \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} x=\dfrac{1}{12}, \\ \dfrac{1}{24}\leqslant x \leqslant \dfrac{5}{24}. \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow x=\dfrac{1}{12}.

4. Наносим критические точки на числовую прямую и расставляем знаки $f'(x)$ .

Определим знаки $f'(x)=\dfrac{1}{x}-12$ :

Возьмём произвольную точку из промежутка $x\in\bigg(\dfrac{1}{12}; \dfrac{5}{24}\bigg]$ и определим знак производной $f'(x)$ в этой точке:

x=\dfrac{1}{6} \,\, \rightarrow \,\, f'\bigg(\dfrac{1}{6}\bigg)=\dfrac{1}{\frac{1}{6}}-12=6-12=-6.

Производная $f'(x)$ отрицательна, следовательно функция убывает. На числовой прямой ставим над промежутком знак << $-$ >>.
Возьмём произвольную точку из промежутка $x\in\bigg[\dfrac{1}{24};\dfrac{1}{12}\bigg)$ и определим знак производной $f'(x)$ в этой точке:

x=\dfrac{1}{16} \,\, \rightarrow \,\, f'\bigg(\dfrac{1}{16}\bigg)=\dfrac{1}{\frac{1}{16}}-12=16-12=4.

5. В точке $x=\dfrac{1}{12}$ заданная функция имеет максимум, а значит в этой точке достигается наибольшее значение на отрезке.

6. Найдём это наибольшее значение:

f\bigg(\dfrac{1}{12}\bigg)=\ln{1}-\dfrac{1}{12}\cdot 12+16=15.

Ответ: $15$ .

Вариант 2:

Нас просят найти наибольшее значение функции. Это значит, что мы должны будем найти некоторое значение $x$ , подставить его в функцию $f(x)=\ln{(12x)}-12x+16,$ вычислить значение этой функции и записать его в ответ.

Мы так же помним, что ответ в первой части ЕГЭ может быть только целым числом или десятичной дробью.

Итак, нам надо поставить вместо $x$ какое-то значение и получить <<нормальный>> ответ.

Логарифмическая функция $\ln{x}$ может принимать <<нормальные>> значения при <<нормальном>> $x$ только при $x=1:$

\ln{1}=0.

Мы должны найти такое значение $x$ , при котором можно вычислить $\ln{(12x)}$ . То есть $12x=1 \Leftrightarrow x=\dfrac{1}{12}.$

$x=\dfrac{1}{12}$ принадлежит отрезку $x\in\bigg[\dfrac{1}{24};\dfrac{5}{24}\bigg]$ . Значит $x=\dfrac{1}{12}$ это наша искомая точка. Подставляем $x=\dfrac{1}{12}$ в исходную функцию:

x=\dfrac{1}{12} \,\, \rightarrow \,\, f\bigg(\dfrac{1}{12}\bigg)=\ln{1}-\dfrac{1}{12}\cdot 12+16=15.

Таким образом наименьшим значением функции

f(x)=\ln{(12x)}-12x+16.

на промежутке $x\in\bigg[\dfrac{1}{24};\dfrac{5}{24}\bigg]$ является $f\bigg(\dfrac{1}{12}\bigg)=15$ .

Ответ: $15$ .

$\Longrightarrow$ Решение задачи

Задачи для самостоятельного решения

1. Найти наименьшее значение функции $f(x)=3x-\ln{(x+3)^{3}}$ на отрезке $[-2,5; 0]$

$\Longrightarrow$ Решение задачи

2. Найти наибольшее значение функции $f(x)=\ln{(x+5)^{5}}-5x$ на отрезке $[-4,5; 0]$

3. Найти наименьшее значение функции $f(x)=4x-4\ln{(x+7)}+6$ на отрезке

$[-6,5; 0]$

4. Найти наибольшее значение функции $f(x)=8\ln{(x+7)}-8x+3$ на отрезке

$[-6,5; 0]$

5. Найти наименьшее значение функции $f(x)=9x-\ln{9x}+3$ на отрезке $\bigg[\dfrac{1}{18};\dfrac{5}{18}\bigg]$

6. Найти наибольшее значение функции $f(x)=\ln{(11x)}-11x+9$ на отрезке $\bigg[\dfrac{1}{22};\dfrac{5}{22}\bigg]$

$\Longrightarrow$ Решение задачи

7. Найти наибольшее значение функции $f(x)=2x^{2}-13x+9\ln{x}+8$ на отрезке

$\bigg[\dfrac{13}{14};\dfrac{15}{14}\bigg]$

8. Найти наименьшее значение функции $f(x)=2x^{2}-5x+\ln{x}-3$ на отрезке

$\bigg[\dfrac{5}{6};\dfrac{7}{6}\bigg]$

9. Найти точку максимума функции $f(x)=\ln{(x+5)}-2x+9$

10. Найдите точку минимума функции $f(x)=2x-\ln(x+3)+7$

11. Найдите точку минимума функции $f(x)=3x-\ln{(x+3)^3}$

12. Найдите точку максимума функции $f(x)=\ln{(x+5)^5}-5x$

13. Найдите точку минимума функции $f(x)=4x-4\ln{(x+7)}+6$

14. Найдите точку максимума функции $f(x)=8\ln{(x+7)}-8x+3$

15. Найдите точку максимума функции $f(x)=2x^2-13x+9\ln{x}+8$

16. Найдите точку минимума функции $f(x)=2x^2-5x+\ln{x}-3$

Обратите внимание:

$\Longrightarrow$ Приемы, рассказанные в данном видео, могут здорово
упростить решение некоторых задач это раздел

Логарифмы

$-6$ ;
$20$ ;
$-18$ ;
$51$ ;
$4$ ;
$8$ ;
$-3$ ;
$-6$ ;
$-4,5$ ;
$-2,5$ ;
$-2$ ;
$-4$ ;
$-6$ ;
$-6$ ;
$1$ ;
$1$ .