9 Многочлены

Многочлены

Теоретическая справка

$\Longrightarrow$ Алгоритм решения задач этого раздела

$\blacktriangleright$ Пример 1.

Найдите точку минимума функции: $f(x)=-21x^{2}-x^{3}+32$ .

Решение

Действуем по алгоритму:

1. Найдём область определения функции.

Функция $f(x)=-21x^{2}-x^{3}+32$ определена на множестве всех действительных чисел.

2. Считаем производную $f'(x)$ функции $f(x)$ :

$f'(x)=(-21x^{2}-x^{3}+32)'=-21\cdot2x-3x^2+0=-42x-3x^{2}=-3x(14+x)$ .

3. Решим уравнение $f'(x)=0$ . Корни уравнения это критические точки.

Ищем критические точки: $-3x(14+x)=0 \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} x=-14, \\ x=0. \\ \end{gathered} \right.$

Произведение двух выражений равно 0, когда хотя бы одно из выражений равно 0, и оба выражения имеют смысл.

4. Наносим критические точки на числовую прямую и расставляем знаки $f'(x)$ .

Определим знаки $f'(x)=-3x(14+x)$ :

Возьмём произвольную точку из интервала $x\in(0; +\infty)$ и определим знак производной $f'(x)$ в этой точке:

x=2\,\, \rightarrow \,\, f'(2)=-3\cdot 2(14+2)=-6\cdot 16=-96.

Производная $f'(x)$ отрицательна, следовательно функция убывает. На числовой прямой ставим над промежутком знак << $-$ >>.
Возьмём произвольную точку из интервала $x\in(-14;0)$ и определим знак производной $f'(x)$ в этой точке:

x=-1\,\, \rightarrow \,\, f'(-1)=-3\cdot(-1)(14+(-1))=3\cdot 13=39.

Производная $f'(x)$ положительна, следовательно функция возрастает. На числовой прямой ставим над промежутком знак << $+$ >>.
Возьмём произвольную точку из интервала $x\in(-\infty;-14)$ и определим знак производной $f'(x)$ в этой точке:

x=-20\,\, \rightarrow \,\, f'(-20)=-3\cdot(-20)(14+(-20))=60\cdot (-6)=-360.

Производная $f'(x)$ отрицательна, следовательно функция убывает. На числовой прямой ставим над промежутком знак << $-$ >>.

5. Определим искомую точку минимума:

Искомая точка минимума $x=-14$ , так как до нее функция убывает, а после возрастает.

Ответ: –14.

$\Longrightarrow$ Решение задачи

$\blacktriangleright$ Пример 2.

Найдите точку максимума функции $f(x)=x^3-18x^2+11$ .

Решение

Действуем по алгоритму:

1. Найдём область определения функции $f(x)$ .

Функция $f(x)=x^{3}-18x^{2}+11$ определена на множестве всех действительных чисел.

2. Считаем производную $f'(x)$ функции $f(x)$ :

f^\prime(x)=(x^{3}-18x^{2}+11)'=3x^2-36x=3x(x-12).

3. Решаем уравнение $f'(x)=0$ . Корни уравнения это критические точки:

3x(x-12)=0, \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} x=0, \\ x=12. \\ \end{gathered} \right.

Произведение двух выражений равно 0, когда хотя бы одно из выражений равно 0, и оба выражения имеют смысл.

4. Наносим критические точки на числовую прямую и расставляем знаки $f'(x)$ .

Определим знаки $f'(x)=3x(x-12)$ :

Возьмём произвольную точку из интервала $x\in(12; +\infty)$ и определим знак производной $f'(x)$ в этой точке:

x=100\,\, \rightarrow \,\, f'(100)=3\cdot 100(100-12)>0.

Производная $f'(x)$ положительна, следовательно функция возрастает. На числовой прямой ставим над промежутком знак << $+$ >>.
Возьмём произвольную точку из интервала $x\in(0; 12)$ и определим знак производной $f'(x)$ в этой точке:

x=2\,\, \rightarrow \,\, f'(2)=3\cdot 2(2-12)=6\cdot (-10)=-60.

Производная $f'(x)$ отрицательна, следовательно функция убывает. На числовой прямой ставим над промежутком знак << $-$ >>.
Возьмём произвольную точку из интервала $x\in(-\infty;0)$ и определим знак производной $f'(x)$ в этой точке:

x=-1\,\, \rightarrow \,\, f'(-1)=3\cdot(-1)((-1)-12)=-3\cdot (-13)=39.

Производная $f'(x)$ положительна, следовательно функция возрастает. На числовой прямой ставим над промежутком знак << $+$ >>.

5. Определим искомую точку максимума:

Искомая точка максимума $x=0$ , так как до неё функция возрастает, а после убывает.

Ответ: 0.

$\Longrightarrow$ Решение задачи

$\blacktriangleright$ Пример 3.

Найдите наименьшее значение функции $f(x)=x^3-8x^2+16x+3$ на отрезке $[3,5; 13]$ .

Решение

Вариант 1:

Действуем по алгоритму:

1. Найдём область определения функции $f(x)$ .

Функция $f(x) = x^3-8x^2+16x+3$ определена при всех значениях $x$ .

2. Считаем производную $f'(x)$ функции $f(x)$ :

f^\prime(x)= 3x^2-16x+16

3. Решаем уравнение $f'(x)=0$ . Корни уравнения это критические точки:

\left\{ \begin{gathered} 3x^2-16x+16=0, \\ 3,5\leqslant x \leqslant 13 \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} \left[ \begin{gathered} x=4, \\ x=\dfrac{4}{3}, \\ \end{gathered} \right. \\ 3,5\leqslant x \leqslant 13 \end{gathered} \right. \Leftrightarrow x=4.

4. Наносим критические точки на числовую прямую и расставляем знаки $f'(x)$

Определим знаки $f'(x)=3x^2-16x+16$ :

Возьмём произвольную точку из промежутка $x\in(4;13]$ и определим знак производной $f'(x)$ в этой точке:

x=10\,\, \rightarrow \,\, f'(10)=3\cdot (10)^2-16\cdot (10)+16=300-160+16=156.

Производная $f'(x)$ положительна, следовательно функция возрастает. На числовой прямой ставим над промежутком знак << $+$ >>.
Возьмём произвольную точку из промежутка $x\in[3,5; 4)$ и определим знак производной $f'(x)$ в этой точке:

x=3,7\,\, \rightarrow \,\, f'(3,7)=3\cdot (3,7)^2-16\cdot 3,7+16=3\cdot 13,69-59,2+16=41,07-59,2+16=-2,13.

Производная $f'(x)$ отрицательна, следовательно функция убывает. На числовой прямой ставим над промежутком знак << $-$ >>.
5. В точке $x=4$ заданная функция достигает своего наименьшего значения на данном отрезке.

6. Найдём это наименьшее значение:

f(4)=4^3-8\cdot 4^2+16\cdot 4+3=64-128+64+3=3.

Ответ: 3.

Вариант 2:

Преобразуем исходную функцию: $x^3-8x^2+16x+3=x(x^2-8x+16)+3=x(x-4)^2+3$ .
На промежутке $[3,5;13]$ выражение $x(x-4)^2$ представляет собой два неотрицательных множителя. Множитель $(x-4)^2$ это квадрат выражения, а значит всегда неотрицательный. Множитель $x$ положителен на промежутке $[3,5;13]$ . Приходим к тому, что $x(x-4)^2+3 \geqslant 3$ .
Достигается ли когда-нибудь $3$ ? Да, достигается, при $x=4 \,\, \Longrightarrow \,\, 4(4-4)^2+3=3.$

Мы показали, что $f(x)$ не бывает меньше $3$ и показали, что значение $3$ достигается на промежутке $[3,5;13]$ . Значит наименьшее значение нашей функции это $3$ .

Ответ: $3$ .

$\Longrightarrow$ Решение задачи

$\blacktriangleright$ Пример 4.

Найдите наибольшее значение функции $f(x)=x^5-5x^3-20x$ на отрезке $[-6;1]$ .
Решение

Действуем по алгоритму:

1. Найдём область определения функции $f(x)$ .

Функция $f(x)=x^5-5x^3-20x$ определена при всех значениях $x$ .

2. Считаем производную $f'(x)$ функции $f(x)$ :

f'(x)=5x^4-15x^2-20.

3. Решаем уравнение $f'(x)=0$ . Корни уравнения это критические точки:

Решим уравнение $5x^4-15x^2-20=0$ . Это биквадратное уравнение. Сделаем замену $x^2=t$ , $t\geqslant 0$ .
Тогда уравнение примет следующий вид: $5t^2-15t-20=0 \Rightarrow t^2-3t-4=0 \Rightarrow \left[ \begin{gathered} t_1=-1, \\ t_2=4. \\ \end{gathered} \right.$
$t_1=-1$ не подходит, т.к. $t\geqslant 0$ .
Вернёмся к прежней переменной: $t=4 \Leftrightarrow x^2=4 \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} x=-2, \\ x=2. \\ \end{gathered} \right.$

Учитывая ограничения, получим: $\left\{ \begin{gathered} \left[ \begin{gathered} x=-2, \\ x=2, \\ \end{gathered} \right. \\ -6\leqslant x \leqslant 1. \end{gathered} \right. \Leftrightarrow x=-2.$

4. Наносим критические точки на числовую прямую и расставляем знаки $f'(x)$ .

Определим знаки $f'(x)=5x^4-15x^2-20$ :

Возьмём произвольную точку из промежутка $x\in(-2; 1]$ и определим знак производной $f'(x)$ в этой точке:

x=0\,\, \rightarrow \,\, f'(0)=5\cdot (0)^4-15\cdot (0)^2-20=-20.

Производная $f'(x)$ отрицательна, следовательно функция убывает. На числовой прямой ставим над промежутком знак << $-$ >>.
Возьмём произвольную точку из промежутка $x\in[-6;-2)$ и определим знак производной $f'(x)$ в этой точке:

x=-4\,\, \rightarrow \,\, f'(-4)=5\cdot (-4)^4-15\cdot (-4)^2-20=5\cdot 256-15\cdot 16-20=1280-240-20>0.

5. В точке $x=-2$ заданная функция достигает своего наибольшего значения.

6. Найдём это наибольшее значение:

f(-2)=(-2)^5-5\cdot (-2)^3-20\cdot (-2)=48.

Ответ: 48.

$\Longrightarrow$ Решение задачи

Задачи для самостоятельного решения

Найдите точку максимума функции $f(x)=7+12x-x^3$
Найдите точку минимума функции $f(x)=7+12x-x^3$
Найдите наименьшее значение функции $f(x)=7+12x-x^3$ на отрезке $[-2;2]$
Найдите наибольшее значение функции $f(x)=7+12x-x^3$ на отрезке $[-2;2]$
Найдите точку максимума функции $f(x)=9x^2-x^3$
Найдите точку минимума функции $f(x)=9x^2-x^3$
Найдите наименьшее значение функции $f(x)=9x^2-x^3$ на отрезке $[-1;5]$
Найдите наибольшее значение функции $f(x)=9x^2-x^3$ на отрезке $[2;10]$
Найдите точку максимума функции $f(x)=\dfrac{x^3}{3}-9x-7$
Найдите точку минимума функции $f(x)=\dfrac{x^3}{3}-9x-7$
Найдите наименьшее значение функции $f(x)=\dfrac{x^3}{3}-9x-7$ на отрезке $[-3;3]$
Найдите наибольшее значение функции $f(x)=\dfrac{x^3}{3}-9x-7$ на отрезке $[-3;3]$
Найдите точку максимума функции $f(x)=5+9x-\dfrac{x^3}{3}$
Найдите точку минимума функции $f(x)=5+9x-\dfrac{x^3}{3}$
Найдите наименьшее значение функции $f(x)=5+9x-\dfrac{x^3}{3}$ на отрезке $[-3;3]$
Найдите наибольшее значение функции $f(x)=5+9x-\dfrac{x^3}{3}$ на отрезке $[-3;3]$
Найдите точку минимума функции $f(x)=x^3-48x+17$
Найдите наибольшее значение функции $f(x)=x^3-3x^2+4$ на отрезке $[-2;0]$
Найдите точку максимума функции $f(x)=x^3-3x^2+2$
Найдите наименьшее значение функции $f(x)=x^3-3x^2+2$ на отрезке $[1;4]$
Найдите точку минимума функции $f(x)=x^3-2x^2+x+3$
Найдите наибольшее значение функции $f(x)=x^3+2x^2+x+3$ на отрезке $[-4;-1]$
Найдите точку максимума функции $f(x)=x^3-5x^2+7x-5$
Найдите наименьшее значение функции $f(x)=x^3-x^2-40x+3$ на отрезке $[0;4]$
Найдите точку максимума функции $f(x)=(x-2)^2(x-4)+5$
Найдите точку минимума функции $f(x)=(x+3)^2(x+5)-1$

$\Longrightarrow$ Решение задачи
Найдите наименьшее значение функции $f(x)=(x+3)^2(x+5)-1$ на отрезке $[-4;-1]$
Найдите наибольшее значение функции $f(x)=(x-2)^2(x-4)+5$ на отрезке $[1;3]$
Найдите наибольшее значение функции $f(x)=3x^5-20x^3-54$ на отрезке $[-4;-1]$

Многочлены

$2$ ;
$-2$ ;
$-9$ ;
$23$ ;
$6$ ;
$0$ ;
$0$ ;
$108$ ;
$-3$ ;
$3$ ;
$-25$ ;
$11$ ;
$3$ ;
$-3$ ;
$-13$ ;
$23$ ;
$4$ ;
$4$ ;
$0$ ;
$-2$ ;
$1$ ;
$3$ ;
$1$ ;
$-109$ ;
$2$ ;
$-3$ ;
$-1$ ;
$5$ ;
$10$ .