16 Парабола

Парабола

Теоретическая справка

Для решения задач этого раздела нам полезно помнить следующие формулы:
1) $(\sqrt{x})'=\Big(x^{\frac{1}{2}}\Big)'=\dfrac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}}=\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{1}{\sqrt{x}}=\dfrac{1}{2\sqrt{x}}$ ,

2) $(a^x)'=a^x\cdot\ln a$ ,

3) $(\log_a x)'=\dfrac{1}{x\cdot\ln a}$ ,

4) Если $h(x)=f(g(x))$ , то $h'(x)=f'(g(x))\cdot g'(x)$ .

Что полезно помнить про параболу?

1) Графиком функции $f(x)=ax^2+bx+c$ является парабола.

2) При $a>0$ ветви параболы направлены вверх. При $a<0$ ветви параболы направлены

вниз.
3) Координаты вершины параболы можно найти следующим образом: $x_{\text{в}}=-\dfrac{b}{2a}$ и $y_{\text{в}}=\dfrac{4ac-b^2}{4a}.$

$\Longrightarrow$ Алгоритм решения задач этого раздела

$\Longrightarrow$ Видео, которое поможет вспомнить как считать
производную сложной функции

$\Longrightarrow$ Видео, которое поможет вспомнить
метод выделения полного квадрата

$\blacktriangleright$ Пример 1.

Найдите точку максимума функции $f(x)=\sqrt{-79-18x-x^2}$ .
Решение

Вариант 1 (Используя параболу):

Квадратный корень из выражения достигает своего максимального значения, когда подкоренное выражение достигает своего максимального значения. Подкоренное выражение - это квадратный трёхчлен $-79-18x-x^2$ с отрицательным старшим коэффициентом. Графиком функции $g(x)=-79-18x-x^2$ является парабола. Ветви параболы направлены вниз. Парабола, ветви которой направлены вниз, достигает своего максимального значения в точке $x_{\text{вер}}=-\dfrac{b}{2a}$ - вершине параболы. В нашем случае - в точке $x_{\text{вер}}=-\dfrac{b}{2a}=-\dfrac{-18}{-2}=-9$ . Поэтому для нашего выражения $y=\sqrt{-79-18x-x^2}$ точкой максимума является $x=x_{\text{вер}}=-9$ .

Ответ: $-9$ .

Вариант 2 (Используя производную):

1. Найдём область определения $f(x)$ .

При $-79-18x-x^2\geqslant 0 \Leftrightarrow x^2+18x+79 \leqslant 0 \Leftrightarrow (x+9+\sqrt{2})(x+9-\sqrt{2})\leqslant 0$ .

2. Считаем производную $f'(x)$ функции $f(x)$ :

Действуем согласно нашему алгоритму:
Функция $f(x)$ представима в виде $f(x)=h(g(x))$ , где $h(x)=\sqrt{x}, g(x)=-79-18x-x^2$ .
1) Находим $h'(x)$ производную функции $h(x)=\sqrt{x}$ : $h'(x)=(\sqrt{x})'=\dfrac{1}{2\sqrt{x}}$ .
2) Подставим в найденную производную $g(x)=-79-18x-x^2$ вместо каждого вхождения $x$ : $h'(g(x))=\dfrac{1}{2\sqrt{-79-18x-x^2}}$ .
3) Находим $g'(x)$ производную функции $g(x)$ : $g'(x)=(-79-18x-x^2)'=-18-2x$ .
4) Умножаем $h'(g(x))$ на $g'(x)$ . Получаем:

f'(x)=h'(g(x))\cdot g'(x)=\dfrac{1}{2\sqrt{-79-18x-x^2}} \cdot (-18-2x)=\dfrac{-9-x}{\sqrt{-79-18x-x^2}}.

3. Решаем уравнение $f'(x)=0$ . Корни уравнения это критические точки:

\dfrac{-9-x}{\sqrt{-79-18x-x^2}}=0 \Rightarrow -9-x=0 \Rightarrow x=-9.

4. Определим, является ли найденная критическая точка $x=-9$ точкой минимума или точкой максимума. Определим знаки производной $f'(x)$ :

Возьмём произвольную точку из промежутка $x\in(-9; -9+\sqrt{2}]$ и определим знак производной $f'(x)$ в этой точке:

x=-8 \,\, \rightarrow \,\, f'(-8)=\dfrac{-9+8}{\sqrt{-79-18\cdot (-8)-(-8)^2}}=\dfrac{-1}{1}=-1.

Производная $f'(x)$ отрицательна, следовательно функция убывает. На числовой прямой ставим над промежутком знак << $-$ >>.
Возьмём произвольную точку из промежутка $x\in[-9-\sqrt{2}; -9)$ и определим знак производной $f'(x)$ в этой точке:

x=-10 \,\, \rightarrow \,\, f'(-10)=\dfrac{-9+10}{\sqrt{-79-18\cdot (-10)-(-10)^2}}=\dfrac{1}{1}=1.

Производная $f'(x)$ положительна, следовательно функция возрастает. На числовой прямой ставим над промежутком знак << $+$ >>.

5. Определим искомую точку максимума:

Искомая точка максимума $x=-9$ , так как до неё функция возрастает, а после убывает.

Ответ: $-9$ .

Вариант 3 (Используя метод выделения полного квадрата):

Выделим в подкоренном выражении полный квадрат.

$\sqrt{-(79+18x+x^2)}=\sqrt{-(x^2+9\cdot 2x+81 -81 +79)}=\sqrt{-((x+9)^2-2)}=$

$=\sqrt{-(x+9)^2+2}\leqslant 2.$
Заметим, что равенство достигается, когда $(x+9)^2=0 \Leftrightarrow x+9=0 \Leftrightarrow x=-9$ .
Поэтому $x=-9$ это точка максимума.

Ответ: $-9$ .

$\Longrightarrow$ Решение задачи

$\blacktriangleright$ Пример 2.

Найдите точку минимума функции $f(x)=7^{x^2+2x+3}$ .

Решение

Вариант 1 (Используя параболу):

Функция $h(x)=7^x$ достигает своего минимума при минимально возможном значении $x$ . В нашем случае показатель степени - это квадратный трёхчлен $x^2+2x+3$ с положительным старшим коэффициентом. Графиком функции $f(x)=x^2+2x+3$ является парабола, ветви которой направлены вверх, значит она достигает своего минимального значения в точке $x_{min}=-\dfrac{b}{2a}$ – вершине параболы.

В нашем случае в точке $x_{min}=-\dfrac{b}{2a}=-\dfrac{2}{2}=-1$ . Поэтому для нашего выражения $f(x)=7^{x^2+2x+3}$ точкой минимума является $x=-1$ .

Ответ: $-1$ .

Вариант 2 (Используя производную):

1. Найдём область определения $f(x)$ .

Функция $f(x)=7^{x^2+2x+3}$ определена при всех значениях $x$ .

2. Считаем производную $f'(x)$ функции $f(x)$ :

Действуем согласно нашему алгоритму:
Функция $f(x)$ представима в виде $f(x)=h(g(x))$ , где $h(x)=7^x, g(x)=x^2+2x+3$ .
1) Находим $h'(x)$ производную функции $h(x)=7^x$ : $h'(x)=(7^x)'=\ln{7}\cdot 7^{x}$ .
2) Подставим в найденную производную $g(x)=x^2+2x+3$ вместо каждого вхождения $x$ : $h'(g(x))=\ln{7}\cdot 7^{x^2+2x+3}$ .
3) Находим $g'(x)$ производную функции $g(x)$ : $g'(x)=(x^2+2x+3)'=2x+2$ .
4) Умножаем $h'(g(x))$ на $g'(x)$ . Получаем: $f'(x)=h'(g(x))\cdot g'(x)=\ln{7}\cdot 7^{x^2+2x+3} \cdot (2x+2)$ .

3. Решаем уравнение $f'(x)=0$ . Корни уравнения это критические точки:

\ln{7}\cdot 7^{x^2+2x+3}\cdot(2x+2)=0 \Rightarrow \left[ \begin{gathered} 7^{x^2+2x+3}=0, \\ 2x+2=0. \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow 2x+2=0 \Leftrightarrow x=-1.

Примечание: показательная функция принимает только положительные значения, поэтому $7^{x^2+2x+3}\neq0$ при всех значениях $x$ .

4. Определим, является ли найденная критическая точка $x=-1$ точкой минимума или точкой максимума. Определим знаки производной $f'(x)$ :

Возьмём произвольную точку из интервала $x\in(-1; +\infty)$ и определим знак производной $f'(x)$ в этой точке:

x=0 \,\, \rightarrow \,\, f'(0)=\ln{7}\cdot 7^{0^2+2\cdot 0+3}\cdot(2\cdot 0+2)=\ln{7}\cdot 7^{3}\cdot 2>0.

Производная $f'(x)$ положительна, следовательно функция возрастает. На числовой прямой ставим над промежутком знак << $+$ >>.
Возьмём произвольную точку из интервала $x\in(-\infty; -1)$ и определим знак производной $f'(x)$ в этой точке:

x=-4 \,\, \rightarrow \,\, f'(-4)=\ln{7}\cdot 7^{(-4)^2+2\cdot (-4)+3}\cdot(2\cdot (-4)+2)=\ln{7}\cdot 7^{11}\cdot (-6)<0.

Производная $f'(x)$ отрицательна, следовательно функция убывает. На числовой прямой ставим над промежутком знак << $-$ >>.

5. Определим искомую точку минимума:

Искомая точка минимума $x=-1$ , так как до неё функция убывает, а после возрастает.

Ответ: $-1$ .

Вариант 3 (Используя метод выделения полного квадрата):

Выделим в степени полный квадрат.

7^{x^2+2x+3}=7^{x^2+2\cdot 1x+1-1+3}=7^{(x+1)^2+2}\geqslant 7^2=49.

Заметим, что равенство достигается, когда $(x+1)^2=0 \Leftrightarrow x+1=0 \Leftrightarrow x=-1$ .

Поэтому $x=-1$ это точка минимума.

Ответ: $-1$ .

$\Longrightarrow$ Решение задачи

$\blacktriangleright$ Пример 3.

Найдите наименьшее значение функции $f(x)=\sqrt{x^2+22x+122}$ .
Решение

Вариант 1 (Используя параболу):

Корень из выражения достигает своего минимального значения, когда подкоренное выражение достигает своего минимального значения. Подкоренное выражение - это квадратный трёхчлен $x^2+22x+122$ с положительным старшим коэффициентом. Графиком функции $f(x)=x^2+22x+122$ является парабола, ветви которой направлены вверх, значит она достигает своего минимального значения в точке $x_{min}=-\dfrac{b}{2a}$ - вершине параболы. В нашем случае - в точке $x_{min}=-\dfrac{b}{2a}=-\dfrac{22}{2}=-11$ . Теперь нам остается найти значение функции $f(x)$ в точке $x_{min}=-11$ .

f(-11)=\sqrt{(-11)^2+22\cdot(-11) +122}=\sqrt{121-242+122}=\sqrt{1}=1.

Ответ: $1$ .

Вариант 2 (Используя производную):

1. Найдём область определения $f(x)$ .

$f(x)=\sqrt{x^2+22x+122}$ определена при условии $x^2+22x+122\geqslant 0$ . $x^2+22x+122 = x^2 + 2\cdot 11x + 11^2 + 1 = (x+11)^2+1$ , поэтому неравенство $x^2+22x+122\geqslant 0$ выполнено при $x\in \mathbb{R}$ , поэтому $f(x)$ определена при $x\in \mathbb{R}$ .

2. Считаем производную $f'(x)$ функции $f(x)$ :

Действуем согласно нашему алгоритму:
Пусть $h(x)=\sqrt{x}, g(x)=x^2+22x+122$ .
1) Находим $h'(x)$ производную функции $h(x)=\sqrt{x}$ : $h'(x)=(\sqrt{x})'=\dfrac{1}{2\sqrt{x}}$ .
2) Подставим в найденную производную $g(x)=x^2+22x+122$ вместо каждого вхождения $x$ : $h'(g(x))=\dfrac{1}{2\sqrt{x^2+22x+122}}$ .
3) Находим $g'(x)$ производную функции $g(x)$ : $g'(x)=(x^2+22x+122)'=2x+22$ .
4) Умножаем $h'(g(x))$ на $g'(x)$ . Получаем: $f'(x)=h'(g(x))\cdot g'(x)=\\ \\=\dfrac{1}{2\sqrt{x^2+22x+122}} \cdot (2x+22)=\dfrac{x+11}{x^2+22x+122}$ .

3. Решаем уравнение $f'(x)=0$ . Корни уравнения это критические точки:

\dfrac{x+11}{\sqrt{x^2+22x+122}}=0 \Rightarrow x+11=0 \Rightarrow x=-11.

4. Определим, является ли найденная критическая точка $x=-11$ точкой минимума или точкой максимума. Определим знаки производной $f'(x)$ :

Возьмём произвольную точку из интервала $x\in(-11; +\infty)$ и определим знак производной $f'(x)$ в этой точке:

x=0 \,\, \rightarrow \,\, f'(0)=\dfrac{0+11}{\sqrt{0^2+22\cdot 0+122}}=\dfrac{11}{122}>0.

Производная $f'(x)$ положительна, следовательно функция возрастает. На числовой прямой ставим над промежутком знак << $+$ >>.
Возьмём произвольную точку из интервала $x\in(-\infty; -11)$ и определим знак производной $f'(x)$ в этой точке:

x=-20 \,\, \rightarrow \,\, f'(-20)=\dfrac{-20+11}{\sqrt{(-20)^2+22\cdot (-20)+122}}=\dfrac{-9}{\sqrt{82}}<0.

5. В точке $x=-11$ заданная функция имеет минимум, являющийся её наименьшим значением.

6. Найдём наименьшее значение:

f(-11)=\sqrt{11^2-22\cdot11+122}=\sqrt{121-242+122}=\sqrt{1}=1.

Ответ: $1$ .

Вариант 3 (Используя метод выделения полного квадрата):

Выделим в подкоренном выражении полный квадрат.

$\sqrt{x^2+22x+122}=\sqrt{x^2+2\cdot11x+121-121+122}=\sqrt{x^2+22x+121+1}=$

$=\sqrt{(x+11)^2+1}\geqslant 1.$
Заметим, что равенство достигается, когда $(x+11)^2=0 \Leftrightarrow x+11=0 \Leftrightarrow x=-11$ .
Поэтому $x=-11$ это точка минимума.

Наименьшее значение функции достигается при $x=-11$ , значит наименьшее значение $f(-11)=1.$

Ответ: $1$ .

$\Longrightarrow$ Решение задачи

$\blacktriangleright$ Пример 4.

Найдите наибольшее значение функции $f(x)= \log_{\frac{1}{3}}{(x^2+6x+12)}$ .
Решение

Вариант 1 (Используя параболу)

Функция $\log_{\frac{1}{3}}{x}$ убывающая, так как основание логарифма $\dfrac{1}{3}$ меньше $1$ . Значит, чем больше логарифмическое выражение $x$ , тем меньше значение $\log_{\frac{1}{3}}{x}$ .

Поэтому $g(x)=\log_{\frac{1}{3}}{x}$ достигает своего максимального значения, когда логарифмируемое выражение достигает своего минимального значения. Логарифмируемое выражение - это квадратный трёхчлен $x^2+6x+12$ с положительным старшим коэффициентом. Графиком функции $f(x)=x^2+6x+12$ является парабола, ветви которой направлены вверх. Парабола с ветвями вверх достигает своего наименьшего значения в точке $x_{\text{вер}}=-\dfrac{b}{2a}$ – вершине параболы. В нашем случае - в точке $x_{\text{вер}}=-\dfrac{b}{2a}=-\dfrac{6}{2}=-3$ . Теперь нам остается найти значение функции $f(x)$ в точке $x_{\text{вер}}=-3$ .

f(-3)= \log_{\frac{1}{3}}{((-3)^2+6\cdot(-3)+12)}=\log_{\frac{1}{3}}{(9-18+12)}=\log_{\frac{1}{3}}{3}=-1.

Таким образом наибольшее значение функции достигается в точке $-3$ и равно $-1$ .

Ответ: $-1$ .

Вариант 2 (Используя производную):

1. Найдём область определения $f(x)$ .

Функция $f(x)=\log_{\frac{1}{3}}{(x^2+6x+12)}$ определена при всех значениях $x$ .
Действительно, $x^2+6x+12 = x^2 + 6x + 9 + 3 = (x+3)^2 + 2>0$ .

2. Считаем производную $f'(x)$ функции $f(x)$ :

Действуем согласно нашему алгоритму:
Пусть $h(x)=\log_{\frac{1}{3}}{x}, g(x)=x^2+6x+12$ .
1) Находим $h'(x)$ производную функции $h(x)=\log_{\frac{1}{3}}{x}$ :

h'(x)=(\log_{\frac{1}{3}}{x})'=\dfrac{1}{\ln{\Big(\dfrac{1}{3}\Big)}\cdot x}=\dfrac{1}{\ln{(3^{-1})}\cdot x}=\dfrac{1}{-\ln{(3)}\cdot x}.

2) Подставим в найденную производную $g(x)=x^2+6x+12$ вместо каждого вхождения $x$ : $h'(g(x))=\dfrac{1}{-\ln{(3)}\cdot (x^2+6x+12)}$ .
3) Находим $g'(x)$ производную функции $g(x) = x^2+6x+12$ : $g'(x)=(x^2+6x+12)'=2x+6$ .
4) Умножаем $h'(g(x))$ на $g'(x)$ . Получаем: $f'(x)=h'(g(x))\cdot g'(x)=\\ \\=-\dfrac{1}{\ln{(3)}\cdot (x^2+6x+12)}\cdot (2x+6)=-\dfrac{2x+6}{\ln{(3)}\cdot (x^2+6x+12)}$ .

3. Решаем уравнение $f'(x)=0$ . Корни уравнения это критические точки:

-\dfrac{2x+6}{\ln{3}\cdot (x^2+6x+12)}=0 \Rightarrow -2x-6=0 \Rightarrow -2x=6 \Rightarrow x=-3.

4. Определим, является ли найденная критическая точка $x=-3$ точкой минимума или точкой максимума. Определим знаки производной $f'(x)$ :

Возьмём произвольную точку из интервала $x\in(-3; +\infty)$ и определим знак производной $f'(x)$ в этой точке:

x=0 \,\, \rightarrow \,\, f'(0)=-\dfrac{2\cdot 0+6}{\ln{3}\cdot (0^2+6\cdot 0+12)}=-\dfrac{6}{\ln{(3)}\cdot 12}<0.

Производная $f'(x)$ отрицательна, следовательно функция убывает. На числовой прямой ставим над промежутком знак << $-$ >>.
Возьмём произвольную точку из интервала $x\in(-\infty; -3)$ и определим знак производной $f'(x)$ в этой точке:

x=-5 \,\, \rightarrow \,\, f'(-5)=-\dfrac{2\cdot (-5)+6}{\ln{3}\cdot ((-5)^2+6\cdot (-5)+12)}=-\dfrac{-4}{7}=\dfrac{4}{7}>0.

5. В точке $x=-3$ заданная функция имеет максимум, так как до него функция возрастает, а после него убывает. В этой точке функция $f(x)$ достигает своего наибольшего значения.

6. Найдём значение функции $f(x)$ в точке $x=-3$ :

f(-3)=\log_{\frac{1}{3}}{(3^2+6\cdot (-3)+12)}=\log_{\frac{1}{3}}{(9-18+12)}=\log_{\frac{1}{3}}{3}=-1.

Ответ: $-1$ .

Вариант 3 (Используя метод выделения полного квадрата):

Выделим в логарифмируемом выражении полный квадрат.

\log_{\frac{1}{3}}{(x^2+6x+12)}=\log_{\frac{1}{3}}{(x^2+2\cdot3\cdot x+3^2-3^2+12)}=\log_{\frac{1}{3}}{((x+3)^2+3)}.

Функция $\log_{\frac{1}{3}}{x}$ убывающая, так как основание логарифма $\dfrac{1}{3}$ меньше $1$ . Значит чем больше логарифмическое выражение $x$ , тем меньше значение $\log_{\frac{1}{3}}{x}$ .

Заметим, что равенство достигается при $x=-3$ , поэтому:

$\log_{\frac{1}{3}}{((x+3)^2+3)}\leqslant \log_{\frac{1}{3}}{3}=-1$ .

Ответ: $-1$ .

$\Longrightarrow$ Решение задачи

Задачи для самостоятельного решения

1. Найдите точку максимума функции $f(x)=\sqrt{4-4x-x^2}$

2. Найдите точку минимума функции $f(x)=\sqrt{x^2-6x+11}$

3. Найдите наименьшее значение функции $f(x)=\sqrt{x^2-6x+13}$

4. Найдите наибольшее значение функции $f(x)=\sqrt{5-4x-x^2}$

$\Longrightarrow$ Решение задачи

5. Найдите точку максимума функции $f(x)=\log_2{(2+2x-x^2)}-2$

$\Longrightarrow$ Решение задачи

6. Найдите точку минимума функции $f(x)=\log_2{(x^2-6x+12)}+2$

7. Найдите наименьшее значение функции $f(x)=\log_3{(x^2-6x+10)}+2$

8. Найдите наибольшее значение функции $f(x)=\log_5{(4-2x-x^2)}+3$

$\Longrightarrow$ Решение задачи

9. Найдите точку максимума функции $f(x)=11^{6x-x^2}$

10. Найдите точку минимума функции $f(x)=7^{x^2+2x+3}$

11. Найдите наименьшее значение функции $f(x)=2^{x^2+2x+5}$

$\Longrightarrow$ Решение задачи

12. Найдите наибольшее значение функции $f(x)=3^{-7-6x-x^2}$

Парабола

$-2$ ;
$-2$ ;
$2$ ;
$2$ ;
$1$ ;
$1$ ;
$2$ ;
$4$ ;
$3$ ;
$-1$ ;
$16$ ;
$9$ .