6 Алгоритм поиска наибольшего/наименьшего значения функции y=f(x) на отрезке [a;b]

Алгоритм поиска наибольшего/наименьшего значения функции \(y=f(x)\) на отрезке \([a;b]\)

1. Находим область определения функции \(f(x)\).
2. Считаем производную \(f'(x)\) функции \(f(x)\).
3. Решаем уравнение \(f'(x)=0\). Корни уравнения \(-\) критические точки.
4. Наносим критические точки, попавшие в отрезок \([a;b]\), на числовую прямую и расставляем знаки \(f'(x)\) производной функции \(f(x)\) в полученных промежутках.
5. Проанализируем ситуации, которые мы могли получить:

pic_9

\(\Rightarrow\) в т. \(a\) функция принимает
наименьшее значение,
в т. \(b\) функция принимает
наибольшее значение.

pic_11

\(\Rightarrow\) в т. \(x_0\) функция принимает
наибольшее значение,
в т. \(a\) или т. \(b\) принимает
наименьшее значение.

pic_13

\(\Rightarrow\) в т. \(x_1\) или т. \(b\) функция достигает
наибольшего значения,
в т. \(x_2\) или т. \(a\) функция достигает
наименьшего значения.

pic_10

\(\Rightarrow\) в т. \(a\) функция принимает
наибольшее значение,
в т. \(b\) функция принимает
наименьшее значение.

pic_12

\(\Rightarrow\) в т. \(x_0\) функция принимает
наименьшее значение,
в т. \(a\) или т. \(b\) принимает
наибольшее значение.

pic_14

\(\Rightarrow\) в т. \(x_0\) функция принимает
наименьшее значение,
в т. \(a\) или т. \(b\) принимает
наибольшее значение.

6. Подставляем точку \(x_0\) в которой достигается наибольшее/наименьшее значение в функцию \(f(x)\). Полученное значение и есть наш ответ.
Если точек в которых может достигаться наибольшее/наименьшее значение функции несколько, то считаем значение функции \(f(x)\) в каждой из них, а затем, сравнивая найденные значения, выбираем из них наибольшее/наименьшее.