11 Дробно-рациональная функция

Дробно-рациональная функция

Теоретическая справка

$\Longrightarrow$ Алгоритм решения задач этого раздела

$\blacktriangleright$ Пример 1.

Найдите точку максимума функции: $f(x)=-\dfrac{x^{2}+324}{x}$ .
Решение

Действуем по алгоритму:

1. Найдём область определения функции $f(x)$ .

Т.к. перед нами дробь, то знаменатель дроби $x\neq0$ , то есть область определения функции:
$x\in(-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$ .

2. Считаем производную $f'(x)$ функции $f(x)$ :

Используя правило дифференцирования дроби: $\Big(\dfrac{f}{g}\Big)^\prime=\dfrac{f^\prime g-g^\prime f}{g^2}$

$f^\prime(x)=\Big(\dfrac{-x^{2}-324}{x}\Big)'=\,\dfrac{(-x^{2}-324)'\cdot x-x'\cdot(-x^{2}-324)}{x^2}=\dfrac{-2x^2+x^2+324}{x^2}=\dfrac{-x^2+324}{x^2}.$

3. Решаем уравнение $f'(x)=0$ . Корни уравнения это критические точки.

\dfrac{-x^2+324}{x^{2}}=0 \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} x^2=324, \\ x^2\neq0 \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} \left[ \begin{gathered} x=-18, \\ x=18, \\ \end{gathered} \right. \\ x \neq 0 \end{gathered} \right.

4. Наносим область определения и критические точки функции на числовую прямую и расставляем знаки $f'(x)$ .

Определим знаки $f'(x)=\dfrac{-x^2+324}{x^2}$ :

Возьмём произвольную точку из интервала $x\in(18; +\infty)$ и определим знак производной $f'(x)$ в этой точке:

x=20 \,\, \rightarrow \,\, f'(20)=\dfrac{-(20)^2+324}{(20)^2}=\dfrac{-400+324}{400}=\dfrac{-76}{400} < 0.

Производная $f'(x)$ отрицательна, следовательно функция убывает. На числовой прямой ставим над промежутком знак << $-$ >>.
Возьмём произвольную точку из интервала $x\in(0;18)$ и определим знак производной $f'(x)$ в этой точке:

x=1 \,\, \rightarrow \,\, f'(1)=\dfrac{-(1)^2+324}{1^2}=323 > 0.

Производная $f'(x)$ положительна, следовательно функция возрастает. На числовой прямой ставим над промежутком знак << $+$ >>.
Возьмём произвольную точку из интервала $x\in(-18;0)$ и определим знак производной $f'(x)$ в этой точке:

x=-1 \,\, \rightarrow \,\, f'(-1)=\dfrac{-(-1)^2+324}{(-1)^2}=323 > 0.

Производная $f'(x)$ положительна, следовательно функция возрастает. На числовой прямой ставим над промежутком знак << $+$ >>.
Возьмём произвольную точку из интервала $x\in(-\infty; -18)$ и определим знак производной $f'(x)$ в этой точке:

x=-20 \,\, \rightarrow \,\, f'(-20)=\dfrac{-(-20)^2+324}{(-20)^2}=\dfrac{-400+324}{400}=\dfrac{-76}{400}< 0.

Производная $f'(x)$ отрицательна, следовательно функция убывает. На числовой прямой ставим над промежутком знак << $-$ >>.

5. Определим искомую точку максимума:

Искомая точка максимума $x=18$ , так как до неё функция возрастает, а после убывает.

Ответ: 18.

$\Longrightarrow$ Решение задачи

$\blacktriangleright$ Пример 2.

Найдите точку минимума функции: $f(x)=\dfrac{841}{x}+x+14$ .
Решение

Действуем по алгоритму:

1. Найдём область определения функции $f(x)$ .

Одно из слагаемых в нашей функции это рациональная дробь. Знаменатель дроби не должен быть равным 0. Тогда область определения функции: $x\in(-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$ .

2. Считаем производную $f'(x)$ функции $f(x)$ :

$f'(x)=\Big(\dfrac{841}{x}+x+14\Big)'=\Big(\dfrac{841}{x}\Big)'+(x)'+(14)'=-\dfrac{841}{x^{2}}+1$ .
3. Решаем уравнение $f'(x)=0$ . Корни уравнения это критические точки:

1-\dfrac{841}{x^{2}}=0 \Leftrightarrow \dfrac{x^2-841}{x^{2}}=0 \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} x^2=841, \\ x^2\neq0. \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} \left[ \begin{gathered} x=-29, \\ x=29, \\ \end{gathered} \right. \\ x \neq 0. \end{gathered} \right.

4. Наносим область определения и критические точки функции на числовую прямую и расставляем знаки $f'(x)$ .

Определим знаки $f'(x)=1-\dfrac{841}{x^{2}}$ :

Возьмём произвольную точку из интервала $x\in(29; +\infty)$ и определим знак производной $f'(x)$ в этой точке:

x=40 \,\, \rightarrow \,\, f'(40)=1-\dfrac{841}{(40)^{2}}=1-\dfrac{841}{1600}>0.

Производная $f'(x)$ положительна, следовательно функция возрастает. На числовой прямой ставим над промежутком знак << $+$ >>.
Возьмём произвольную точку из интервала $x\in(0;29)$ и определим знак производной $f'(x)$ в этой точке:

x=1 \,\, \rightarrow \,\, f'(1)=1-\dfrac{841}{1^{2}}=-840 < 0.

Производная $f'(x)$ отрицательна, следовательно функция убывает. На числовой прямой ставим над промежутком знак << $-$ >>.
Возьмём произвольную точку из интервала $x\in(-29;0)$ и определим знак производной $f'(x)$ в этой точке:

x=-1 \,\, \rightarrow \,\, f'(-1)=1-\dfrac{841}{(-1)^{2}}=-840 < 0.

Производная $f'(x)$ положительна, следовательно функция убывает. На числовой прямой ставим над промежутком знак << $-$ >>.
Возьмём произвольную точку из интервала $x\in(-\infty; -29)$ и определим знак производной $f'(x)$ в этой точке:

x=-40 \,\, \rightarrow \,\, f'(-40)=1-\dfrac{841}{(-40)^{2}}=1-\dfrac{841}{1600}>0.

Производная $f'(x)$ отрицательна, следовательно функция убывает. На числовой прямой ставим над промежутком знак << $+$ >>.

5. Определим искомую точку максимума:

Искомая точка максимума $x= -29$ , так как до неё функция возрастает, а после убывает.

Ответ: -29.

$\Longrightarrow$ Решение задачи

$\blacktriangleright$ Пример 3.

Найдите наименьшее значение функции: $f(x)=-\dfrac{4}{x}-x$ на отрезке $[-2,5; -1]$ .
Решение

Вариант 1:

Действуем по алгоритму:

1. Найдём область определения функции $f(x)$ .

Т.к. перед нами дробь, то знаменатель дроби $x\neq0$ , то есть область определения функции: $x\in(-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$ .
2. Считаем производную $f'(x)$ функции $f(x)$ :

$f'(x)=\dfrac{4}{x^{2}}-1$ .

3. Решаем уравнение $f'(x)=0$ . Корни уравнения это критические точки:

\left\{ \begin{gathered} 1-\dfrac{4}{x^{2}}=0, \\ -2,5\leqslant x \leqslant -1. \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} x^{2}=4, \\ -2,5\leqslant x \leqslant -1. \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} \left[ \begin{gathered} x=-2, \\ x=2, \\ \end{gathered} \right. \\ -2,5\leqslant x \leqslant -1. \end{gathered} \right. \Leftrightarrow x=-2.

4. Наносим критические точки функции на числовую прямую и расставляем знаки $f'(x)$

Определим знаки $f'(x)=\dfrac{4}{x^{2}}-1$ :

Возьмём произвольную точку из промежутка $x\in(-2; -1]$ и определим знак производной $f'(x)$ в этой точке:

x=-1,5 \,\, \rightarrow \,\, f'(-1,5)=\dfrac{4}{(-1,5)^{2}}-1=\dfrac{4}{2,25}-1=\dfrac{16}{9}-1=\dfrac{7}{9}>0.

Производная $f'(x)$ положительна, следовательно функция возрастает. На числовой прямой ставим над промежутком знак << $+$ >>.
Возьмём произвольную точку из промежутка $x\in[-2,5;-2)$ и определим знак производной $f'(x)$ в этой точке:

x= -2,1 \,\, \rightarrow \,\, f'(-2,1)=\dfrac{4}{(-2,1)^{2}}-1=\dfrac{400}{441}-1=-\dfrac{41}{441}<0.

5. В точке $x=-2$ заданная функция достигает своего наименьшего значения.

6. Найдём это наименьшее значение: $f(-2)=\dfrac{4}{2}+2=4$ .

Ответ: 4.

Вариант 2:

Решим задачу через неравенство Коши:

Для положительных чисел $a,b >0$ , справедливо следующее неравенство: $a+b\geqslant 2\sqrt{ab}$ .
При этом равенство достигается тогда и только тогда, когда числа $a$ и $b$ равны: $a+b=2\sqrt{ab} \Leftrightarrow a=b$ .
Для отрицательных чисел $a,b <0$ , справедливо следующее неравенство: $a+b\leqslant -2\sqrt{ab}$ .
При этом равенство достигается, когда числа $a$ и $b$ равны: $a+b=-2\sqrt{ab} \Leftrightarrow a=b$ .

Теперь перейдём к решению задачи.
Представим $f(x)$ в виде:

f(x)=-x-\dfrac{4}{x}=-\Big(x+\dfrac{4}{x}\Big).

Так как $x\in[-2,5;-1]$ , то числа $x$ и $\dfrac{4}{x}$ отрицательны, тогда

x+\dfrac{4}{x}\leqslant -2\sqrt{\dfrac{4}{x}\cdot x} \leqslant -2\sqrt{4} \leqslant -4.

Равенство достигается при $\dfrac{4}{x}=x \Leftrightarrow x^2=4 \Leftrightarrow x=\pm 2 \Rightarrow x=-2$ так как $x\in[-2,5;-1]$ .
Если $x+\dfrac{4}{x} \leqslant -4$ , то $f(x)=-\Big(x+\dfrac{4}{x}\Big) \geqslant 4$ и равенство достигается при $x=-2$ , так как $x\in[-2,5;-1]$ .

Таким образом мы понимаем, что наименьшим значением функции $f(x)$ на отрезке $x\in[-2,5;-1]$ будет $f(-2)=4$ .

Ответ: $4$ .

$\Longrightarrow$ Решение задачи

$\blacktriangleright$ Пример 4.

Найдите наибольшее значение функции: $f(x)=\dfrac{x^{2}+1}{x}$ на отрезке $[-11; -0,5]$ .
Решение

Вариант 1:

Действуем по алгоритму:

1. Найдём область определения функции $f(x)$ .

Так как перед нами дробь, то знаменатель дроби $x\neq0$ , то есть область определения функции: $x\in(-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$ .

2. Считаем производную $f'(x)$ функции $f(x)$ :

f'(x)=\Big(x+\dfrac{1}{x}\Big)'=1-\dfrac{1}{x^{2}}=\dfrac{x^{2}-1}{x^{2}}.

3. Решаем уравнение $f'(x)=0$ . Корни уравнения это критические точки:

\left\{ \begin{gathered} \dfrac{x^{2}-1}{x^{2}}=0, \\ -11\leqslant x \leqslant -0,5. \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} \dfrac{(x-1)(x+1)}{x^{2}}=0, \\ -11\leqslant x \leqslant -0,5. \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} \left[ \begin{gathered} x=-1, \\ x=1, \\ \end{gathered} \right. \\ -11\leqslant x \leqslant -0,5. \end{gathered} \right. \Leftrightarrow x=-1.

4. Наносим критические точки на числовую прямую и расставляем знаки $f'(x)$ .

Определим знаки $f'(x)=\dfrac{x^2-1}{x^2}$ :

Возьмём произвольную точку из промежутка $x\in(-1; -0,5]$ и определим знак производной $f'(x)$ в этой точке:

x=-0,6 \,\, \rightarrow \,\, f'(-0,6)=\dfrac{(-0,6)^2-1}{(-0,6)^2}=\dfrac{0,36-1}{0,36}=\dfrac{-0,64}{0,36}<0.

Производная $f'(x)$ отрицательна, следовательно функция убывает. На числовой прямой ставим над промежутком знак << $-$ >>.
Возьмём произвольную точку из промежутка $x\in[-11;-1)$ и определим знак производной $f'(x)$ в этой точке:

x=-5 \,\, \rightarrow \,\, f'(-5)=\dfrac{(-5)^2-1}{(-5)^2}=\dfrac{24}{25}>0.

Производная $f'(x)$ положительна, следовательно функция возрастает. На числовой прямой ставим над промежутком знак << $+$ >>.

5. В точке $x=-1$ заданная функция достигает своего наибольшего значения.

6. Найдём это наибольшее значение: $f(-1)=\dfrac{2}{-1}=-2$ .

Ответ: $-2$ .

Вариант 2:

Решим задачу с помощью неравенства Коши.

Представим $f(x)$ в виде:

\dfrac{x^2+1}{x}=x+\dfrac{1}{x}.

Так как $x\in[-11;-0,5]$ , то числа $x$ и $\dfrac{1}{x}$ отрицательны, тогда

x+\dfrac{1}{x}\leqslant -2\sqrt{\dfrac{1}{x}\cdot x} \leqslant -2\sqrt{1} \leqslant -2.

Равенство достигается при $\dfrac{1}{x}=x \Leftrightarrow x^2=1 \Leftrightarrow x=\pm 1 \Rightarrow x=-1$ , так как $x\in[-11;-0,5]$ .

Тогда мы понимаем, что наибольшим значением функции $f(x)$ на отрезке $x\in[-11;-0,5]$ будет являться $f(-1)=-2$ .

Ответ: $-2$ .

$\Longrightarrow$ Решение задачи

Задачи для самостоятельного решения

1. Найдите точку максимума функции $f(x)=-\dfrac{x^2+289}{x}$

$\Longrightarrow$ Решение задачи
2. Найдите точку минимума функции $f(x)=-\dfrac{x^2+1}{x}$

3. Найдите наименьшее значение функции $f(x)=\dfrac{x^2+25}{x}$ на отрезке $[1;10]$

4. Найдите наибольшее значение функции $f(x)=\dfrac{x^2+25}{x}$ на отрезке $[-10;-1]$

5. Найдите точку максимума функции $f(x)=\dfrac{16}{x}+x+3$

6. Найдите точку минимума функции $f(x)=\dfrac{25}{x}+x+25$

7. Найдите наименьшее значение функции $f(x)=x+\dfrac{36}{x}$ на отрезке $[1;9]$

8. Найдите наибольшее значение функции $f(x)=x+\dfrac{9}{x}$ на отрезке $[-4;-1]$

9. Найдите точку максимума функции $f(x)=-\dfrac{x}{x^2+289}$

10. Найдите точку минимума функции $f(x)=-\dfrac{x}{x^2+1}$

Примечание:

$\Longrightarrow$ Неравенство Коши в задаче 11

Дробно-рациональная функция

$17$ ;
$-1$ ;
$10$ ;
$-10$ ;
$-4$ ;
$5$ ;
$12$ ;
$-6$ ;
$-17$ ;
$1$ .