14 Показательная функция.

Показательная функция.

Теоретическая справка

$\Longrightarrow$ Алгоритм решения задач этого раздела

$\blacktriangleright$ Пример 1.

Найдите точку минимума функции $f(x)=(2x^2-38x+38)e^{x-25}$ .
Решение

Действуем по алгоритму:

1. Найдём область определения функции $f(x)$ :

Функция $f(x)$ определена при всех значениях $x$ .

2. Считаем производную $f'(x)$ функции $f(x)$ :

$f'(x)=(2x^2-38x+38)^\prime e^{x-25}+(2x^2-38x+38)(e^{x-25})^\prime=(4x-38)e^{x-25}+(2x^2-38x+\\ \\+38)e^{x-25}=(4x-38+2x^2-38x+38)e^{x-25}=(2x^2-34x)e^{x-25}=2x(x-17)e^{x-25}$ .

Чтобы вычислить производную от $e^{x-25}$ можно воспользоваться:

1) формулой $(e^{ax+b})'=e^{ax+b}\cdot a$ , т.е. $(e^{x-25})'=1\cdot e^{x-25}=e^{x-25}$ .

2) формулой для вычисления производной сложной функции:

Функцию $h(x)$ можно представить в виде $h(x)=f(g(x))$ , где $f(x)=e^{x}$ , $g(x)=x-25$ .

Далее действуем согласно нашему алгоритму:

1) Находим $f'(x)$ производную функции $f(x)=e^{x}$ : $f'(x)=e^{x}$ .

2) Подставим в найденную производную $g(x)=x-25$ вместо каждого вхождения $x$ : $f'(g(x))=e^{x-25}$ .

3) Находим $g'(x)$ производную функции $g(x)$ : $g'(x)=(x-25)'=1$ .

4) Умножаем $f'(g(x))$ на $g'(x)$ . Получаем: $h'(x)=f'(g(x))\cdot g'(x)=e^{x-25}$ .

3. Решаем уравнение $f'(x)=0$ . Корни уравнения - это критические точки:

2x(x-17)e^{x-25}=0 \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} x=0, \\ x=17. \\ \end{gathered} \right.

Примечание: показательная функция принимает только положительные значения, поэтому $e^{x-25} \neq 0$ при всех значениях $x$ .

4. Наносим критические точки на числовую прямую и расставляем знаки $f'(x)$ .

Определим знаки $f'(x)=2x(x-17)e^{x-25}$ :

Возьмём произвольную точку из интервала $x\in(17; +\infty)$ и определим знак производной $f'(x)$ в этой точке:

x=25 \,\, \rightarrow \,\, f'(25)=2\cdot 25(25-17)e^{25-25}=2\cdot 25\cdot 8e^{25-25}>0.

Производная $f'(x)$ положительна, следовательно функция возрастает. На числовой прямой ставим над промежутком знак << $+$ >>.
Возьмём произвольную точку из интервала $x\in(0;17)$ и определим знак производной $f'(x)$ в этой точке:

x=1 \,\, \rightarrow \,\, f'(1)=2\cdot 1(1-17)e^{1-25}=2\cdot (-16)\cdot e^{-24}=-32e^{-24}<0.

Производная $f'(x)$ отрицательна, следовательно функция убывает. На числовой прямой ставим над промежутком знак << $-$ >>.
Возьмём произвольную точку из интервала $x\in(-\infty;0)$ и определим знак производной $f'(x)$ в этой точке:

x=-1 \,\, \rightarrow \,\, f'(-1)=2\cdot (-1)((-1)-17)e^{-1-25}=2\cdot (-1)\cdot (-18)\cdot e^{-26}=36e^{-26}>0.

Производная $f'(x)$ положительна, следовательно функция возрастает. На числовой прямой ставим над промежутком знак << $+$ >>.

5. Определим искомую точку минимума:

Искомая точка минимума $x=17$ , так как до неё функция убывает, а после возрастает.

Ответ: $17$ .

$\Longrightarrow$ Решение задачи

$\blacktriangleright$ Пример 2.

Найдите точку максимума функции $f(x)=(x-14)^2e^{26-x}$ .
Решение

Действуем по алгоритму:

1. Найдём область определения функции $f(x)$ :

Функция $f(x)$ определена при всех значениях $x$ .

2. Считаем производную $f'(x)$ функции $f(x)$ :

$f'(x)= ((x-14)^2)^\prime\cdot (e^{26-x})+((x-14)^2)\cdot(e^{26-x})^\prime=f'(x)=2(x-14)\cdot e^{26-x}-(x-14)^2\cdot e^{26-x}=\\ \\=-(x-14)(x-16)e^{26-x}.$

Чтобы вычислить производную от $(x-14)^2$ можно воспользоваться формулой для производной сложной функции:

Функцию $h(x)$ можно представить в виде $h(x)=f(g(x))$ , где $f(x)=x^2$ , $g(x)=x-14$ .

Далее действуем согласно нашему алгоритму:

1) Находим $f'(x)$ производную функции $f(x)=x^2$ : $f'(x)=(x^2)'=2x$ .

2) Подставим в найденную производную $g(x)=x-14$ вместо каждого вхождения $x$ : $f'(g(x))=2(x-14)$ .

3) Находим $g'(x)$ производную функции $g(x)$ : $g'(x)=(x-14)'=1$ .

4) Умножаем $f'(g(x))$ на $g'(x)$ . Получаем: $h'(x)=f'(g(x))\cdot g'(x)=2(x-14)$ .

Чтобы вычислить производную от $e^{26-x}$ можно воспользоваться:

1) формулой $(e^{ax+b})'=e^{ax+b}\cdot a$ , т.е. $(e^{26-x})'= (-1)\cdot e^{26-x}=-e^{26-x}$ .

2) формулой для вычисления производной сложной функции:

Функцию $h(x)$ можно представить в виде $h(x)=f(g(x))$ , где $f(x)=e^x$ , $g(x)=26-x$ .

Далее действуем согласно нашему алгоритму:

1) Находим $f'(x)$ производную функции $f(x)=e^x$ : $f'(x)=(e^x)'=e^x$ .

2) Подставим в найденную производную $g(x)=26-x$ вместо каждого вхождения $x$ : $f'(g(x))=e^{26-x}$ .

3) Находим $g'(x)$ производную функции $g(x)$ : $g'(x)=(26-x)'=-1$ .

4) Умножаем $f'(g(x))$ на $g'(x)$ . Получаем: $h'(x)=f'(g(x))\cdot g'(x)=e^{26-x}\cdot (-1)=\\ \\=-e^{26-x}$ .

3. Решаем уравнение $f'(x)=0$ . Корни уравнения это критические точки:

-(x-14)(x-16)e^{26-x}=0 \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} x=14, \\ x=16. \\ \end{gathered} \right.

Примечание: показательная функция принимает только положительные значения, поэтому $e^{26-x}\neq0$ при всех значениях $x$ .

4. Наносим критические точки на числовую прямую и расставляем знаки $f'(x)$ .

Определим знаки $f'(x)=-(x-14)(x-16)e^{26-x}$ :

Возьмём произвольную точку из интервала $x\in(16; +\infty)$ и определим знак производной $f'(x)$ в этой точке:

x=26 \,\, \rightarrow \,\, f'(26)=-(26-14)(26-16)e^{26-26}=-12\cdot 10=-120.

Производная $f'(x)$ отрицательна, следовательно функция убывает. На числовой прямой ставим над промежутком знак << $-$ >>.
Возьмём произвольную точку из интервала $x\in(14;16)$ и определим знак производной $f'(x)$ в этой точке:

x=15 \,\, \rightarrow \,\, f'(15)=-(15-14)(15-16)e^{26-15}=-1\cdot (-1)e^{11}=e^{11}>0.

Производная $f'(x)$ положительна, следовательно функция возрастает. На числовой прямой ставим над промежутком знак << $+$ >>.
Возьмём произвольную точку из интервала $x\in(-\infty;14)$ и определим знак производной $f'(x)$ в этой точке:

x=0 \,\, \rightarrow \,\, f'(0)=-(0-14)(0-16)e^{26-0}=-(-14)\cdot (-16)\cdot e^{26}=-224e^{26}<0.

Производная $f'(x)$ отрицательна, следовательно функция убывает. На числовой прямой ставим над промежутком знак << $-$ >>.

5. Определим искомую точку максимума:

Искомая точка максимума $x=16$ , так как до неё функция возрастает, а после убывает.

Ответ: $16$ .

$\Longrightarrow$ Решение задачи

$\blacktriangleright$ Пример 3.

Найдите наибольшее значение функции $f(x)=(x+6)^2e^{-4-x}$ на отрезке $[-6;-1]$ .
Решение

Вариант 1:

Действуем по алгоритму:

1. Найдём область определения функции $f(x)$ .

Функция $f(x)$ определена при всех значениях $x$ .

2. Считаем производную $f'(x)$ функции $f(x)$ .

$f'(x)=((x+6)^2)'e^{-4-x}+(x+6)^2(e^{-4-x})'=2(x+6)e^{-4-x}-e^{-4-x}(x+6)^2=e^{-4-x}(2x+$ $+12)-e^{-4-x}(x^2+12x+36)=(2x+12-x^2-12x-36)e^{-4-x}=-(x^2+10x+24)e^{-4-x}.$

Чтобы вычислить производную от $(x+6)^2$ можно воспользоваться формулой для производной сложной функции:

Функцию $h(x)$ можно представить в виде $h(x)=f(g(x))$ , где $f(x)=x^2$ , $g(x)=x+6$ .

Далее действуем согласно нашему алгоритму:

1) Находим $f'(x)$ производную функции $f(x)=x^2$ : $f'(x)=(x^2)'=2x.$

2) Подставим в найденную производную $g(x)=x+6$ вместо каждого вхождения $x$ : $f'(g(x))=2(x+6).$

3) Находим $g'(x)$ производную функции $g(x)$ : $g'(x)=(x+6)'=1.$

4) Умножаем $f'(g(x))$ на $g'(x)$ . Получаем: $h'(x)=f'(g(x))\cdot g'(x)=2(x+6).$

Чтобы вычислить производную от $e^{-4-x}$ можно воспользоваться:

1) формулой $(e^{ax+b})'=e^{ax+b}\cdot a$ , т.е. $(e^{-4-x})'= (-1)\cdot e^{-4-x}=-e^{-4-x}.$

2) формулой для вычисления производной сложной функции:

Функцию $h(x)$ можно представить в виде $h(x)=f(g(x))$ , где $f(x)=e^{x}$ , $g(x)=-4-x$ .

Далее действуем согласно нашему алгоритму:

1) Находим $f'(x)$ производную функции $f(x)=e^{x}$ : $f'(x)=(e^{x})'=e^{x}.$

2) Подставим в найденную производную $g(x)=-4-x$ вместо каждого вхождения $x$ : $f'(g(x))=e^{-4-x}.$

3) Находим $g'(x)$ производную функции $g(x)$ : $g'(x)=(-4-x)'=-1.$

4) Умножаем $f'(g(x))$ на $g'(x)$ . Получаем: $h'(x)=f'(g(x))\cdot g'(x)=-e^{-4-x}.$

3. Найдем нули производной на заданном отрезке:

\left\{ \begin{gathered} -(x^2+10x+24)e^{-4-x}=0, \\ -6\leqslant x \leqslant -1. \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} x^2+10x+24=0, \\ -6\leqslant x \leqslant -1. \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} \left[ \begin{gathered} x=-6, \\ x=-4, \\ \end{gathered} \right. \\ -6\leqslant x \leqslant -1. \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} x=-6, \\ x=-4. \\ \end{gathered} \right.

Примечание: показательная функция принимает только положительные значения, поэтому $e^{-4-x}\neq0$ при всех значениях $x$ .

4. Наносим критические точки на числовую прямую и расставляем знаки $f'(x)$

Определим знаки $f'(x)=-(x^2+10x+24)e^{-4-x}$ :

Возьмём произвольную точку из промежутка $x\in(-4; -1]$ и определим знак производной $f'(x)$ в этой точке:

x=-2 \,\, \rightarrow \,\, f'(-2)=-((-2)^2+10\cdot (-2)+24)e^{-4-(-2)}=-(4-20+24)e^{-2}=-8e^{-2}<0.

Производная $f'(x)$ отрицательна, следовательно функция убывает. На числовой прямой ставим над промежутком знак << $-$ >>.
Возьмём произвольную точку из промежутка $x\in[-6;-4)$ и определим знак производной $f'(x)$ в этой точке: $x=-5 \,\, \rightarrow \,\, f'(-5)=-((-5)^2+10\cdot (-5)+24)e^{-4-(-5)}=-(25-50+24)e^{1}=-(-1)e^1=e^1>0.$ Производная $f'(x)$ положительна, следовательно функция возрастает. На числовой прямой ставим над промежутком знак << $+$ >>.

5. В точке $x=-4$ заданная функция имеет максимум, являющийся ее наибольшим значением на заданном отрезке.

6. Найдем это наибольшее значение: $f(-4)=(-4+6)^2e^{-4+4}=4.$

Ответ: $4$ .

Вариант 2:

Нас просят найти наибольшее значение функции. Это значит, что мы должны будем некоторое значение $x$ подставить в функцию $f(x)=(x+6)e^{-4-x},$ вычислить значение этой функции и записать его в ответ.

Мы так же помним, что ответ в первой части ЕГЭ может быть только целым числом или десятичной дробью.

Итак, нам надо поставить вместо $x$ какое-то значение и получить <<нормальный>> ответ.

Экспонента $e^{x}$ может принимать нормальные значения только при $x=0 \Rightarrow e^{0}=1$ .

В нашем случае, еще есть скобка $(x+6)$ и если они равна 0, то все выражение равно 0. Итак, нам нужно добиться такого значения $x$ , чтобы либо скобка $(x+6)=0$ , либо $e^{-4-x}=1$ .

Найдём эти значения $x$ : $\left[ \begin{gathered} x+6=0, \\ e^{-4-x}=e^{0}. \\ \end{gathered} \right. \Rightarrow \left[ \begin{gathered} x=-6, \\ -4-x=0. \\ \end{gathered} \right. \Rightarrow \left[ \begin{gathered} x=-6, \\ x=-4. \\ \end{gathered} \right.$

Если $x=-6$ , то $f(-6)=(-6+6)^2e^{-4+6}=0\cdot e^{2}=0$ .

Если $x=-4$ , то $f(-4)=(-4+6)^2e^{-4+4}=4\cdot e^{0}=4\cdot 1=4$ .

Отсюда мы понимаем, что наибольшим значением функции будет $4$ .

Ответ: $4$ .

$\Longrightarrow$ Решение задачи

$\blacktriangleright$ Пример 4.

Найдите наибольшее значение функции $f(x)=(20-x)e^{x-19}$ на отрезке $[17;29]$ .
Решение

Вариант 1:

Действуем по алгоритму:

1. Найдём область определения функции $f(x)$ .

Функция $f(x)$ определена при всех значениях $x$ .

2. Считаем производную $f'(x)$ функции $f(x)$ :

$f'(x)=((20-x)e^{x-19})^\prime=(20-x)^\prime e^{x-19}+(20-x)(e^{x-19})^\prime= -e^{x-19}+(20-x)e^{x-19}=$ $=(19-x)e^{x-19}.$

3. Найдем нули производной на заданном отрезке:

\left\{ \begin{gathered} (19-x)e^{x-19}=0, \\ 17\leqslant x \leqslant 29. \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} x-19=0, \\ 17\leqslant x \leqslant 29. \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow x=19.

Примечание: показательная функция принимает только положительные значения, поэтому $e^{x-19}\neq0$ при всех значениях $x$ .

4. Наносим критические точки на числовую прямую и расставляем знаки $f'(x)$ .

Определим знаки $f'(x)=(19-x)e^{x-19}$ :

Возьмём произвольную точку из промежутка $x\in(19; 29]$ и определим знак производной $f'(x)$ в этой точке:

x=20 \,\, \rightarrow \,\, f'(20)=(19-20)e^{20-19}=-e^1<0.

Производная $f'(x)$ отрицательна, следовательно функция убывает. На числовой прямой ставим над промежутком знак << $-$ >>.
Возьмём произвольную точку из промежутка $x\in[17;19)$ и определим знак производной $f'(x)$ в этой точке:

x=18 \,\, \rightarrow \,\, f'(18)=(19-18)e^{18-19}=e^{-1}>0.

5. В точке $x=19$ заданная функция имеет максимум, являющийся её наибольшим значением на заданном отрезке.

6. Найдём это наибольшее значение:

f(19)=(20-19)e^{19-19}=1\cdot e^0=1.

Ответ: $1$ .

Вариант 2:

Нас просят найти наибольшее значение функции. Это значит, что мы должны будем некоторое значение $x$ подставить в функцию $f(x)=(20-x)e^{x-19},$ вычислить значение этой функции и записать его в ответ.

Мы так же помним, что ответ в первой части ЕГЭ может быть только целым числом или десятичной дробью.

Итак, нам надо поставить вместо $x$ какое-то значение и получить <<нормальный>> ответ.

Экспонента $e^{x}$ может принимать нормальные значения только при $x=0 \Rightarrow e^{0}=1$ .

В нашем случае, еще есть скобка $(20-x)$ и если они равна 0, то все выражение равно 0. Итак, нам нужно добиться такого значения $x$ , чтобы либо скобка $(20-x)=0$ , либо $e^{x-19}=1$ .

Найдём эти значения $x$ : $\left[ \begin{gathered} 20-x=0, \\ e^{x-19}=e^{0}. \\ \end{gathered} \right. \Rightarrow \left[ \begin{gathered} x=20, \\ x-19=0. \\ \end{gathered} \right. \Rightarrow \left[ \begin{gathered} x=20, \\ x=19. \\ \end{gathered} \right.$

Если $x=20$ , то $f(20)=(20-20)e^{20-19}=0\cdot e^{1}=0$ .

Если $x=19$ , то $f(19)=(20-19)e^{19-19}=1\cdot e^{0}=1\cdot 1=1$ .

Отсюда мы понимаем, что наибольшим значением функции будет $1$ .

Ответ: $1$ .

$\Longrightarrow$ Решение задачи

Задачи для самостоятельного решения

1. Найти точку минимума функции $f(x)=(x+16) e^{x-16}$

2. Найти точку максимума функции $f(x)=(9-x) e^{x+9}$

3. Найти точку минимума функции $f(x)=(3-x) e^{3-x}$

4. Найти точку максимума функции $f(x)=(x+16) e^{16-x}$

5. Найти точку минимума функции $f(x)=(3x^{2}-36x+36) e^{x-36}$

6. Найти точку максимума функции $f(x)=(3x^{2}-36x+36) e^{x-36}$

7. Найти точку максимума функции $f(x)=(x^{2}-10x+10) e^{5-x}$

8. Найти точку максимума функции $f(x)=(x-2)^{2}e^{x-6}$

9. Найти точку минимума функции $f(x)=(x-2)^{2}e^{x-5}$

10. Найти точку максимума функции $f(x)=(x+6)^{2}e^{4-x}$

11. Найти точку минимума функции $f(x)=(x+3)^{2}e^{2-x}$

12. Найдите точку минимума функции $f(x)=(x^2-8x+8)e^{6-x}$

13. Найдите точку максимума функции $f(x)=(x^2-8x+8)e^{6-x}$

14. Найдите наименьшее значение функции $f(x)=(8-x)e^{9-x}$ на отрезке $[3;10]$

15. Найдите наибольшее значение функции $f(x)=(8-x)e^{x-7}$ на отрезке $[3;10]$

16. Найдите наибольшее значение функции $f(x)=(x-9)e^{10-x}$ на отрезке $[-11;11]$

17. Найдите наименьшее значение функции $f(x)=(3x^2-36x+36)e^{x-10}$ на отрезке $[8;11]$

18. Найдите наибольшее значение функции $f(x)=(3x^2-36x+36)e^{x}$ на отрезке $[-1;4]$

19. Найдите наименьшее значение функции $f(x)=(x^2-8x+8)e^{2-x}$ на отрезке $[1;7]$

20. Найдите наибольшее значение функции $f(x)=(x^2-10x+10)e^{10-x}$ на отрезке $[5;11]$

$\Longrightarrow$ Решение задачи

21. Найдите наименьшее значение функции $f(x)=(x-2)^2e^{x-2}$ на отрезке $[1;4]$

22. Найдите наибольшее значение функции $f(x)=(x-2)^2e^{x}$ на отрезке $[-5;1]$

23. Найдите наименьшее значение функции $f(x)=(x+3)^2e^{-3-x}$ на отрезке $[-5;-1]$

24. Найдите наибольшее значение функции $f(x)=(x+6)^2e^{-4-x}$ на отрезке $[-6;-1]$

$\Longrightarrow$ Решение задачи

25. Найдите наименьшее значение функции $f(x)=(x-8)e^{x-7}$ на отрезке $[6,8]$

$\Longrightarrow$ Решение задачи

26. Найдите наименьшее значение функции $f(x)=e^{2x}-6e^{x}+3$ на отрезке $[1;2]$

$\Longrightarrow$ Решение задачи

Обратите внимание:

$\Longrightarrow$ Видео, которое поможет разобраться с номером 26

$\Longrightarrow$ Приемы, рассказанные в данном видео, могут здорово
упростить решение некоторых задач это раздела

Показательная функция

$-17$ ;
$8$ ;
$4$ ;
$-15$ ;
$10$ ;
$0$ ;
$10$ ;
$0$ ;
$2$ ;
$-4$ ;
$-3$ ;
$2$ ;
$8$ ;
$-1$ ;
$1$ ;
$1$ ;
$-24$ ;
$36$ ;
$-4$ ;
$10$ ;
$0$ ;
$4$ ;
$0$ ;
$4$ ;
$-1$ ;
$-6$ .