10 Иррациональная функция

Иррациональная функция

Теоретическая справка

$\Longrightarrow$ Алгоритм решения задач этого раздела

$\blacktriangleright$ Пример 1.

Найдите точку максимума функции $f(x)=3+30x-2x\sqrt{x}$ .

Решение

Действуем по алгоритму нахождения точки максимума:

1. Найдём область определения функции $f(x)$ :

Функция $f(x)=3+30x-2x\sqrt{x}$ определена при $x\geqslant0$ , так как функция $\sqrt{x}$ определена только при таких значениях.

2. Считаем производную $f'(x)$ функции $f(x)$ :

f^\prime(x)=(3+30x-2x\sqrt{x})'=(3+30x-2x\cdot x^{\frac{1}{2}})'=(3+30x-2x^{\frac{3}{2}})'= 30-2\cdot \dfrac{3}{2} x^{\frac{1}{2}}=30-3\sqrt{x}.

3. Решаем уравнение $f'(x)=0$ . Корни уравнения это критические точки:

-3\sqrt{x}+30=0 \Leftrightarrow \sqrt{x}=10 \Leftrightarrow x=100.

4. Наносим критические точки на числовую прямую и расставляем знаки $f'(x)$ .

Определим знаки $f'(x)=30-3\sqrt{x}$ :

Возьмём произвольную точку из интервала $x\in(100; +\infty)$ и определим знак производной $f'(x)$ в этой точке:

x=10000 \,\, \rightarrow \,\, f'(10000)=30-3\sqrt{10000}=30-3\cdot 100=30-300=-270.

Производная $f'(x)$ отрицательна, следовательно функция убывает. На числовой прямой ставим над промежутком знак << $-$ >>.
Возьмём произвольную точку из интервала $x\in(0;100)$ и определим знак производной $f'(x)$ в этой точке:

x=4 \,\, \rightarrow \,\, f'(4)=30-3\sqrt{4}=30-3\cdot 2=24.

Производная $f'(x)$ положительна, следовательно функция возрастает. На числовой прямой ставим над промежутком знак << $+$ >>.

5. Определим искомую точку максимума:

Искомая точка максимума $x=100$ , так как до неё функция возрастает, а после убывает.

Ответ: 100.

$\Longrightarrow$ Решение задачи

$\blacktriangleright$ Пример 2.

Найдите точку минимума функции $f(x)=x\sqrt{x}-1,5x+2$ .

Решение

Действуем по алгоритму нахождения точки минимума:

1. Найдём область определения функции $f(x)$ :

Функция $f(x) = x\sqrt{x}-1,5x+2$ определена при $x\geqslant0$ , так как функция $\sqrt{x}$ определена только при таких значениях.

2. Считаем производную $f'(x)$ функции $f(x)$ :

f^\prime(x)=(x\sqrt{x}-1,5x+2)'=(x\cdot x^{\frac{1}{2}}-1,5x+2)'=(x^{\frac{3}{2}}-1,5x+2)'=\dfrac{3}{2}x^{\frac{1}{2}}-1,5=1,5\sqrt{x}-1,5.

3. Решаем уравнение $f'(x)=0$ . Корни уравнения это критические точки:

1,5\sqrt{x}-1,5=0 \Leftrightarrow \sqrt{x}=1 \Leftrightarrow x=1.

4. Наносим критические точки на числовую прямую и расставляем знаки $f'(x)$ .

Определим знаки $f'(x)=1,5\sqrt{x}-1,5$ :

Возьмём произвольную точку из интервала $x\in(1; +\infty)$ и определим знак производной $f'(x)$ в этой точке:

x=4 \,\, \rightarrow \,\, f'(4)=1,5\sqrt{4}-1,5=1,5.

Производная $f'(x)$ положительна, следовательно функция возрастает. На числовой прямой ставим над промежутком знак << $+$ >>.
Возьмём произвольную точку из интервала $x\in(0;1)$ и определим знак производной $f'(x)$ в этой точке:

x=0,16 \,\, \rightarrow \,\, f'(0,16)=1,5\sqrt{0,16}-1,5=1,5\cdot0,4-1,5=0,6-1,5=-0,9.

Производная $f'(x)$ отрицательна, следовательно функция убывает. На числовой прямой ставим над промежутком знак << $-$ >>.

5. Определим искомую точку минимума:

Искомая точка минимума $x=1$ , так как до неё функция убывает, а после возрастает.

Ответ: 1.

$\Longrightarrow$ Решение задачи

$\blacktriangleright$ Пример 3.

Найдите наименьшее значение функции $f=\dfrac{4}{3}x^{\frac{3}{2}}-12x+49$ на отрезке $[34;49]$ .

Решение

Действуем по алгоритму:

1. Найдём область определения функции $f(x)$ .

Функция $f(x)=\dfrac{4}{3}x^{\frac{3}{2}}-12x+49$ определена при $x\geqslant0$ , так как функция $x^{\frac{3}{2}}$ определена

только при таких значениях.

2. Считаем производную $f'(x)$ функции $f(x)$ :

f^\prime(x)= \dfrac{4}{3}\cdot \dfrac{3}{2}\cdot x^{\frac{1}{2}}-12=2\sqrt{x}-12.

3. Решаем уравнение $f'(x)=0$ . Корни уравнения это критические точки:

2\sqrt{x}-12=0 \Leftrightarrow \sqrt{x}=\dfrac{12}{2} \Leftrightarrow \sqrt{x}=6 \Leftrightarrow x=36.

4. Наносим критические точки на числовую прямую и расставляем знаки $f'(x)$ .

Определим знаки $f'(x)=2\sqrt{x}-12$ :

Возьмём произвольную точку из промежутка $x\in(36; 49]$ и определим знак производной $f'(x)$ в этой точке:

x=48\,\, \rightarrow \,\, f'(48)=2\sqrt{48}-12=\sqrt{192}-\sqrt{144}>0.

Производная $f'(x)$ положительна, следовательно функция возрастает. На числовой прямой ставим над промежутком знак << $+$ >>.
Возьмём произвольную точку из промежутка $x\in[34;36)$ и определим знак производной $f'(x)$ в этой точке:

x=35\,\, \rightarrow \,\, f'(35)=2\sqrt{35}-12<0.

Производная $f'(x)$ отрицательна, следовательно функция отрицательна. На числовой прямой ставим над промежутком знак << $-$ >>.

5. В точке $x=36$ заданная функция достигает своего наименьшего значения.

6. Найдём это наименьшее значение:

$f(36)=\dfrac{4}{3}\sqrt{36^3}-12\cdot 36 +49=\dfrac{4}{3}\sqrt{6^6}-432+49=\dfrac{4}{3}=\dfrac{4}{3}\cdot 6^3-432+49=4\cdot 72-432+49=\\ \\=288-432+49=-95.$

Ответ: –95.

$\Longrightarrow$ Решение задачи

Задачи для самостоятельного решения

Найдите точку минимума функции $f(x)=x^{\frac{3}{2}}-3x+1$
Найдите наименьшее значение функции $f(x)=x^{\frac{3}{2}}-3x+1$ на отрезке $[1;9]$
Найдите точку минимума функции $f(x)=\dfrac{2}{3}x^{\frac{3}{2}}-2x+1$
Найдите наименьшее значение функции $f(x)=\dfrac{2}{3}x^{\frac{3}{2}}-3x+1$ на отрезке $[1;9]$
Найдите точку максимума функции $f(x)=7+6x-2x^{\frac{3}{2}}$
Найдите наибольшее значение функции $f(x)=3x-2x^{\frac{3}{2}}$ на отрезке $[0;7]$
Найдите точку максимума функции $f(x)=-\dfrac{2}{3}x^{\frac{3}{2}}+3x+1$
Найдите наибольшее значение функции $f(x)=-\dfrac{2}{3}x^{\frac{3}{2}}+3x+1$ на отрезке $[1;9]$
Найдите точку минимума функции $f(x)=x\sqrt{x}-3x+1$

$\Longrightarrow$ Решение задачи
Найдите наименьшее значение функции $f(x)=x\sqrt{x}-3x+1$ на отрезке $[1;9]$
Найдите точку минимума функции $f(x)=\dfrac{2}{3}x\sqrt{x}-2x+1$
Найдите наименьшее значение функции $f(x)=\dfrac{2}{3}x\sqrt{x}-3x+1$ на отрезке $[1;9]$
Найдите точку максимума функции $f(x)=7+6x-2x\sqrt{x}$
Найдите наибольшее значение функции $f(x)=3x-2x\sqrt{x}$ на отрезке $[0;4]$

$\Longrightarrow$ Решение задачи
Найдите точку максимума функции $f(x)=-\dfrac{2}{3}x\sqrt{x}+3x+1$
Найдите наибольшее значение функции $f(x)=-\dfrac{2}{3}x\sqrt{x}+3x+1$ на отрезке $[1,9]$ .

Иррациональная функция

$4$ ;
$-3$ ;
$4$ ;
$-8$ ;
$4$ ;
$1$ ;
$9$ ;
$10$ ;
$4$ ;
$-3$ ;
$4$ ;
$-8$ ;
$4$ ;
$1$ ;
$9$ ;
$10$ .