Цель метода Гаусса — заменить исходную систему более простой, не потеряв и не добавив ни одного решения. Для этого нужно точно понимать, какие преобразования сохраняют множество решений.
эквивалентны: у обеих единственное решение \(x=y=\frac12\).
Над строками расширенной матрицы разрешены три элементарных преобразования. Будем обозначать \(i\)-ю строку через \(R_i\), а через \(\lambda\) — произвольное действительное число.
Преобразование
Запись
Обязательное условие
Поменять две строки местами
\(R_i\leftrightarrow R_j\)
Можно для любых двух строк
Умножить строку на число
\(R_i\leftarrow\lambda R_i\)
\(\lambda\ne0\)
Прибавить к строке кратную другой
\(R_j\leftarrow R_j+\lambda R_i\)
\(i\ne j\), число \(\lambda\) может быть любым
Например, запись \(R_3\leftarrow R_3-2R_1\) требует умножить всю первую строку на \(-2\), прибавить результат ко всей третьей строке и записать новую строку на место третьей.
Условие \(\lambda\ne0\) во втором преобразовании существенно. Умножение строки на ноль уничтожает целое уравнение. Обратно восстановить его уже невозможно, поэтому множество решений может увеличиться. Например,
\[x=1
\quad\xrightarrow{\text{недопустимое умножение на }0}\quad
0=0\]
До такого действия подходило только \(x=1\), а после него подходит любое действительное число. Значит, системы уже не эквивалентны.
