12 Проверьте себя

Проверьте себя

Это короткая диагностика всей статьи. Сначала решите задания самостоятельно. При преобразовании матриц подписывайте каждую операцию над строками, а в задачах с параметрами проверяйте, что записаны все решения.

Для системы
$\begin{cases} x-2y+z=0\\ 3x+y-z=3 \end{cases}$
выпишите $A$ , $\mathbf{x}$ , $\mathbf{b}$ и $(A\mid\mathbf{b})$ . Проверьте, является ли $(1,1,1)$ решением.
Для расширенной матрицы, имеющей не менее трёх строк, какие из преобразований допустимы и сохраняют множество решений:
$R_1\leftrightarrow R_3 \qquad R_2\leftarrow0R_2 \qquad R_3\leftarrow R_3+5R_1 \qquad R_2\leftarrow-\frac12R_2$
Для недопустимого преобразования объясните причину.
Решите методом Гаусса систему
$\begin{cases} x+y+z=4\\ 2x-y+z=3\\ x+2y-z=1 \end{cases}$
Проверьте найденный ответ подстановкой.
Для каждой ступенчатой расширенной матрицы определите количество решений. Столбцы коэффициентов соответствуют переменным $x,y,z$ слева направо; если в матрице только два столбца коэффициентов, они соответствуют $x,y$ . В совместных случаях укажите главные и свободные переменные.
Опишите все решения системы
$\begin{cases} x+2y-z=1\\ 2x+4y-2z=2 \end{cases}$
Запишите ответ с параметрами и в виде суммы векторов.
Объясните, почему однородная система из двух уравнений с тремя неизвестными обязательно имеет ненулевое решение. Затем найдите все решения системы
$\begin{cases} x+y+z=0\\ x-y+z=0 \end{cases}$
Ответьте кратко.
1. Сопоставьте системы с геометрическими случаями «одна точка», «одна прямая», «нет общих точек»:
  $\begin{cases}x+y=2\\x-y=0 \end{cases} \qquad \begin{cases}x+y=2\\2x+2y=4 \end{cases} \qquad \begin{cases}x+y=2\\x+y=4 \end{cases}$
2. Ученик получил строку $(0\ 0\ 0\mid0)$ и написал: «система несовместна». В чём ошибка и какой вывод действительно можно сделать из этой строки?

Краткие разборы к разделу «Проверьте себя».

При порядке неизвестных $x,y,z$
$A= \begin{pmatrix} 1&-2&1\\ 3&1&-1 \end{pmatrix} \qquad \mathbf{x}=\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix} \qquad \mathbf{b}=\begin{pmatrix}0\\3\end{pmatrix}$
Для набора $(1,1,1)$ получаем
$1-2+1=0 \qquad 3+1-1=3$
Оба уравнения выполнены, значит набор является решением.
Допустимы перестановка $R_1\leftrightarrow R_3$ , прибавление $R_3\leftarrow R_3+5R_1$ и умножение $R_2\leftarrow-\frac12R_2$ . Преобразование $R_2\leftarrow0R_2$ недопустимо: оно стирает уравнение и необратимо.
Запишем расширенную матрицу и исключим $x$ :
$R_2\leftarrow R_2-2R_1 \qquad R_3\leftarrow R_3-R_1$
Поменяем последние строки и исключим $y$ :
$R_2\leftrightarrow R_3 \qquad R_3\leftarrow R_3+3R_2$
Отсюда $z=2$ , затем $y=1$ и $x=1$ . Проверка:
$1+1+2=4 \qquad 2-1+2=3 \qquad 1+2-2=1$
В $M_1$ нет противоречия, ведущие элементы стоят в столбцах $x$ и $y$ , а $z$ свободна. Поэтому решений бесконечно много. В $M_2$ обе переменные главные, значит решение единственно: $y=4$ , $x=-5$ . Матрица $M_3$ содержит строку $0=1$ , поэтому решений нет.
Вторая строка системы вдвое больше первой и после вычитания превращается в нулевую. Переменная $x$ главная, $y,z$ свободные. Пусть $y=s$ , $z=t$ . Тогда
$x=1-2s+t$
и
$\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1-2s+t\\s\\t\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix} +s\begin{pmatrix}-2\\1\\0\end{pmatrix} +t\begin{pmatrix}1\\0\\1\end{pmatrix} \qquad s,t\in\mathbb{R}$
В ступенчатой матрице двух уравнений может быть не более двух ведущих элементов. При трёх неизвестных хотя бы одна переменная свободна, поэтому можно выбрать ненулевое значение параметра и получить ненулевое решение.
Для данной системы вычтем второе уравнение из первого:
$2y=0 \quad\Longrightarrow\quad y=0$
Тогда $x+z=0$ . Полагая $z=t$ , получаем
$\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-t\\0\\t\end{pmatrix} =t\begin{pmatrix}-1\\0\\1\end{pmatrix} \qquad t\in\mathbb{R}$
a) Первая система задаёт две пересекающиеся прямые и имеет одну общую точку $(1,1)$ . Во второй системе второе уравнение является удвоенным первым, поэтому обе записи задают одну прямую и решений бесконечно много. В третьей системе левые части одинаковы, а правые различны: прямые параллельны и общих точек нет. b) Строка $(0\ 0\ 0\mid0)$ означает верное равенство $0=0$ , а не противоречие. Она не накладывает нового ограничения. Для вывода о количестве решений нужно проанализировать остальные строки и наличие свободных переменных.