13 Решения самостоятельных задач
Решения самостоятельных задач
Задача 1. При порядке неизвестных \(x,y,z\) \[A=
\begin{pmatrix}
1&2&-1\\
3&-1&2
\end{pmatrix}
\qquad
\mathbf{x}=\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}
\qquad
\mathbf{b}=\begin{pmatrix}4\\3\end{pmatrix}\] Для набора \((1,2,1)\): \[1+2\cdot2-1=4
\qquad
3\cdot1-2+2\cdot1=3\] Оба равенства верны, поэтому это решение. Для набора \((0,2,0)\) первое равенство верно, но второе даёт \(-2\ne3\). Следовательно, второй набор решением не является. |
Задача 2. После первых двух преобразований получаем \[R_2\leftarrow R_2-2R_1
\quad
(2,1,-1\mid1)-2(1,-1,2\mid4)
=(0,3,-5\mid-7)\] \[R_3\leftarrow R_3+R_1
\quad
(-1,2,1\mid2)+(1,-1,2\mid4)
=(0,1,3\mid6)\] Затем меняем вторую и третью строки местами: |
Задача 3. Выполним \(R_2\leftarrow R_2-2R_1\): Переменная \(x\) главная, \(y,z\) свободные. Положим \(y=s\), \(z=t\). Тогда \(x=2-s-t\), поэтому \[\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}2-s-t\\s\\t\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}2\\0\\0\end{pmatrix}
+s\begin{pmatrix}-1\\1\\0\end{pmatrix}
+t\begin{pmatrix}-1\\0\\1\end{pmatrix}
\qquad
s,t\in\mathbb{R}\] |
Задача 4. Вычтем первую строку из второй: Главные переменные \(x,y\), свободные \(z,w\). Пусть \(z=s\), \(w=t\). Из второй строки \(y=-t\), а из первой \[x-t+s+t=0
\quad\Longrightarrow\quad
x=-s\] Следовательно, \[\begin{pmatrix}x\\y\\z\\w\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}-s\\-t\\s\\t\end{pmatrix}
=s\begin{pmatrix}-1\\0\\1\\0\end{pmatrix}
+t\begin{pmatrix}0\\-1\\0\\1\end{pmatrix}
\qquad
s,t\in\mathbb{R}\] Например, при \(s=1\), \(t=0\) получаем ненулевое решение \((-1,0,1,0)\). |