9 Геометрический смысл множества решений

Геометрический смысл множества решений

В системе с двумя неизвестными уравнение $ax+by=c$ , где $a$ и $b$ не равны нулю одновременно, задаёт прямую на плоскости. Решения системы — общие точки всех этих прямых. Поэтому три алгебраических исхода имеют наглядное геометрическое объяснение.

LaTeX — Число решений определяется общей частью прямых: одной точкой, пустым множеством или всей совпавшей прямой

Первой картинке соответствует, например, система

\begin{cases} x+y=3\\ x-y=1 \end{cases}

у которой единственное решение $(2,1)$ . Во втором случае уравнения $x+y=2$ и $x+y=4$ задают разные параллельные прямые. Вычитание строк приводит к противоречию $0=2$ . В третьем случае уравнения $x+y=2$ и $2x+2y=4$ задают одну прямую; второе не добавляет ограничения, поэтому появляется строка $0=0$ и бесконечно много решений.

Картинка предполагает, что каждое уравнение действительно задаёт прямую. Если $a=b=0$ , равенство $0=c$ при $c\ne0$ не задаёт ни одной точки, а равенство $0=0$ допускает всю плоскость. Поэтому при бесконечном числе решений общим множеством может оказаться не только прямая, но и вся плоскость.

Для трёх неизвестных уравнение $ax+by+cz=d$ , в котором коэффициенты $a,b,c$ не равны нулю одновременно, задаёт плоскость в пространстве. Общая часть нескольких плоскостей может быть точкой, прямой, целой плоскостью или пустым множеством. Если после преобразований все уравнения превратились в $0=0$ , решением будет всё пространство. В большем числе измерений рисунок уже не построить привычным способом, но метод Гаусса продолжает работать без изменений.