В параметрическом ответе предыдущего раздела направления \(\mathbf{u}\) и \(\mathbf{v}\) возникли не случайно: они описывают изменения решения, которые не меняют правую часть, потому что \(A\mathbf{u}=\mathbf{0}\). Чтобы понять эту часть ответа отдельно, рассмотрим системы, у которых все правые части равны нулю.
Любая однородная система совместна: подстановка \(\mathbf{x}=\mathbf{0}\) всегда даёт \(A\mathbf{0}=\mathbf{0}\). Кроме нулевого решения могут существовать ненулевые решения.
При строковых преобразованиях нулевой столбец правых частей остаётся нулевым. Поэтому в однородной системе не может появиться противоречие вида \(0=c\), где \(c\ne0\). Вопрос состоит только в том, будут ли свободные переменные.
Почему работает критерий. Если свободных переменных нет, все переменные главные, и при нулевой правой части обратный ход даёт только нулевое решение. Если свободная переменная есть, можно придать ей ненулевое значение, а затем определить главные переменные обратным ходом. Полученное решение будет ненулевым.
Почему работает частный случай \(m<n\). Каждая ненулевая строка ступенчатой матрицы даёт не более одной главной переменной. Главных переменных не может быть больше, чем строк, то есть больше \(m\). Если неизвестных \(n>m\), хотя бы одна из них останется свободной. Выберем для одной свободной переменной ненулевое значение, а остальные свободные переменные при необходимости положим равными нулю. После обратной подстановки получим ненулевое решение.
