5 Метод Гаусса: прямой и обратный ход

Метод Гаусса: прямой и обратный ход

Метод Гаусса последовательно убирает неизвестные из нижних уравнений. Сначала система приводится к ступенчатому виду, а затем из него восстанавливаются значения неизвестных или описываются все решения.

Прямой ход создаёт нули под ведущими элементами. Работа идёт сверху вниз и слева направо. Обратный ход идёт снизу вверх: либо выполняется обратная подстановка, либо строковыми преобразованиями зануляются элементы над ведущими.

LaTeX — Прямой ход: фиолетовым отмечены элементы, выбранные в качестве ведущих; голубым — элементы, которые зануляем или только что занулили. В результате ведущие элементы образуют лестницу

Схема показывает общий принцип, а теперь проведём те же преобразования подробно и проверим каждое полученное число.

Пример

Решим систему

\begin{cases} x+y+z=6\\ 2x-y+z=3\\ x+2y-z=2 \end{cases}

Шаг 1. Записываем расширенную матрицу.

Первый элемент первой строки равен $1$ и является её ведущим элементом. Используем его, чтобы занулить числа под ним.

Шаг 2. Исключаем $x$ из второй и третьей строк.

R_2\leftarrow R_2-2R_1 \qquad R_3\leftarrow R_3-R_1

Получаем

Шаг 3. Выбираем удобный элемент, который станет ведущим во второй строке. В третьей строке стоит единица, поэтому поменяем вторую и третью строки:

R_2\leftrightarrow R_3

Перестановка не обязательна для правильности, но она делает арифметику проще.

Шаг 4. Исключаем $y$ из третьей строки.

R_3\leftarrow R_3+3R_2

Прямой ход завершён: матрица имеет ступенчатый вид.

Шаг 5. Выполняем обратную подстановку. Матрице соответствует система

\begin{cases} x+y+z=6\\ y-2z=-4\\ -7z=-21 \end{cases}

Из последнего уравнения $z=3$ . Затем

y-2\cdot3=-4 \quad\Longrightarrow\quad y=2

x+2+3=6 \quad\Longrightarrow\quad x=1

Получили решение $(1,2,3)$ .

Шаг 6. Проверяем ответ в исходной системе.

1+2+3=6 \qquad 2\cdot1-2+3=3 \qquad 1+2\cdot2-3=2

Все равенства верны.

Прямой ход не требует, чтобы каждый ведущий элемент сразу был единицей. Иногда выгоднее сначала создавать нули целыми числами, а деление выполнить позже. Правильный выбор преобразования должен сохранять множество решений и по возможности уменьшать арифметическую громоздкость.